★啟用前注意保密試卷類型：B

2024年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）

數(shù)學

本試卷共5頁，19小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：I.答歌前，為生務必用］色字跡的鈉口或簽字熠將自己的姓名.考牛:號、試室號.

座位號m寫在答題F上.m2B鉛常將試卷類型（B）加涂在答題F的相應位

置匕并在一題卡相應位置上填涂考生號.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答

案信息點涂黑：如需改動，用梭皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在

試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指

定區(qū)域內(nèi)的相應位置匕如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：

不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合4={0,2,4},5={XGZ||X-1|>2},則4n（CZ8）=

A.{2}B.{0,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,4}

2.己知一批沙糖桔的果實橫徑（單位：mm）服從正態(tài)分布N（45,52）,其中果實橫徑落在

［40,55］的沙糖桔為優(yōu)質(zhì)品，則這批沙糖桔的優(yōu)質(zhì)品率約為

（若X~N（〃,『），則-b<%W〃+cr）r0.6827,PQ-2<rWX<〃+2（r）n0.9545）

A.0.6827B.0.8186C.0.8413D.0.9545

3.某學校安排4位教師在星期一至星期五值班，每天只安排1位教師.每位教師至少值

班1天，至多值班2天且這2天相連，則不同的安排方法共有

A.24種B.48種C.60種D.96種

4.某次考試后，甲、乙、丙、丁四位同學討論其中一道考題，各自陳述如下，甲說：我做錯

了；乙說：甲做對了；丙說：我做錯了；丁說：我和乙中有人做對.已知四人中只有一位

同學的解答是正確的，且只有一位同學的陳述是正確的，則解答正確的同學是

A.甲B.乙C.丙D.T

數(shù)學試卷B第1頁（共5頁）

5.已知a,夕,7是三個不重合的平面，且any=/,p[}y=m,則下列命題正確的是

A.若aJ_y,貝！1/〃加B.若/〃m,則?！ㄈf

C.若a_L夕，y_L/，貝!!/_LmD.若/_￡用，則a_L』

6.若X。是方程/(g(x))=g(/(x))的實數(shù)解，則稱X。是函數(shù)^=/。)與丁=8(%)的“復合

穩(wěn)定點”.若函數(shù)/(幻=優(yōu)(。＞0且awl)與g(x)=2x-2有且僅有兩個不同的“復合

穩(wěn)定點”，則a的取值范圍為

8.己知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(l+x)+/(l-x)=/(x),/(0)=2,則

/(20)+/(24)=

A.1B.2C.3D.4

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=lnx—四，貝II

x-1

A./(X)的定義域為(0,+8)B./(x)的觸在點(2J(2))處的切啕

C./(￡)+/(x)=0

D./(x)有兩個零點玉,工2，且耳9=1

則

10.在梯形48C。中，AB//CD,AB=1,CD=3.cosZD^C=—?COSZ4CD=2,

44

A.AD=^-

B.cosZBAD=-----

24

C.BA*AD=——D.ACLBD

數(shù)學試卷B第2頁(共5頁)

已知雙曲線的左、右焦點分別為耳，左頂點為點尸是的右

IJ.c：x2-1=iF2,4,c

支上一點，則

A.|尸耳「一|尸￡「的最小值為8

B.若直線尸瑪與C交于另一點0,則|P0|的最小值為6

C.百|(zhì)?|尸巴卜『"’「為定值

D,若/為△尸46的內(nèi)心，則由IT句|為定值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復數(shù)z=2g°s6+ism6（6GR）的實部為。，則tan20=_____.

1+1

22

13.已知點4,B,尸分別是橢圓C:§+A=l（a>b>0）的右頂點，上頂點和右焦點，

ab

若過）,B，尸三點的圓恰與y軸相切，則C的離心率為.

14.用兩個平行平面去截球體，把球體夾在兩截面之間的部分稱為球臺.根據(jù)祖唯原理（“塞

勢既同，則積不容異”），推導出球臺的體積/臺=/泌（3/+3寸+配），其中乙，r2

分別是兩個平行平面截球所得戴面圓的半徑，A是兩個平行平面之間的距離.已知圓臺qa

的上、下底面的圓周都在球。的球面上，圓臺qa的母線與底面所成的角為45°,若圓

臺上、下底面截球0所得的球臺的體積比圓臺0102的體積大為,則球。的表面

積％與圓臺QQ的側(cè)面積S6.的比值的取值范圍為.

數(shù)學試卷B第3頁（共5頁）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

治療某種疾病有一種傳統(tǒng)藥和一種創(chuàng)新藥，治療效果對比試驗數(shù)據(jù)如下：服用創(chuàng)新藥的50

名患者中有40名治愈；服用傳統(tǒng)藥的400名患者中有120名未治愈.

（1）補全2x2列聯(lián)表（單位：人），療效

藥物治愈未治愈合計

并根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，分創(chuàng)新藥40

傳統(tǒng)藥120

析創(chuàng)新藥的療效是否比傳統(tǒng)藥好；合計

（2）從服用傳統(tǒng)藥的400名患者中按療效比例分層隨機抽取10名，在這10人中隨機抽

取8人進行回訪，用X表示回訪中治愈者的人數(shù)，求X的分布列及均值.

2

陽2_n(ad-bc)a0.10.050.01

附：7—，

(a+b)(c+d)(a+c)@+d)Xa2.7063.8416.635

16.（15分）

己知等差數(shù)列S”｝的前〃項和為S",a2n+l=2an+2,且1%4為等差數(shù)列?

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）在2彳與2亍之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為4（4>0）的等

差數(shù)列，記數(shù)列，二的前〃項和為北，求證：Tn<3.

17.（15分）

如圖，矩形43CD是圓柱O'O的軸截面，AB=4,AD=2叵,瓦尸分別是上、下

底面圓周上的點，目CF〃AE.

（1）求證：DF//BE；

（2）若四邊形5E0尸為正方形，求平面4"與平面NOE夾角的正弦值.

數(shù)學試卷B第4頁（共5頁）

18.(17分)

己知點尸是拋物線C:/=4x的焦點，C的兩條切線交于點Pa。,％),A.8是切點?

(1)若x0=0,匕=3,求直線的方程；

(2)若點尸在直線y=x+3上，記△/>"的面積為S，APFB的面積為S”求

的最小值；

(3)證明：APFASARFP.

19.(17分)

己知函數(shù)f(x)=a{x+l)e-*+x2.

(1)討論/(x)的零點個數(shù)；

(2)若/(x)存在兩個極值點，記/為/(x)的極大值點，%為/(x)的零點,

證明：％—2玉>2.

數(shù)學試卷B第5頁(共5頁)

2024年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）數(shù)學參考答案

一、選擇題：本題共8小題，卷小題5分，共40分.

題號12345678

答案BBDCCDAA

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分

題號91011

答案BCDABDACD

三、填空題：本題共3小題，每小題6分，共15分.

題號121314

4書

答案-1

32

四、解答題（77分）

療效

15.（13分）藥物合計

治愈未治愈

【解析】（D補全2X2列聯(lián)表，如圖所示.創(chuàng)新藥401050

零假設為傳統(tǒng)藥280120400

合計320130450

%：藥物與治療效果之間無關聯(lián)，即使用創(chuàng)新菊

和使用傳統(tǒng)藥治療效果沒有差異.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計穌可得

450(40x120-10x280)2=空，16<3,841

50x400x320x130104

根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，沒有充分他據(jù)推斷仇不成立，因此可認為為成立，即使用

創(chuàng)新藥和使用傳統(tǒng)藥治療效果沒有差異，不能認為創(chuàng)新藥的療效比傳統(tǒng)藥好..............5分

（2）分層隨機抽取10名患者中治愈者有旃xl0=7人，未治愈者3人,

C3cs717

方法一：依題意，X的所有可能取值為5,6,7,p（X=5）=#=a=《,

267

p(*=6)=常rr*21后7，P(￥=7)=巖C1C吟3珠1.所以X的分布列為

X567

771

PT715

X的均值為E(X)=5x7A+6x7*+7x1A=q.............13分

I1?<1?<er

方法二：依題遺，￥服從超幾何分布，X的分布列為P（￥=A）=一三一.k=5,6,7.

Cm

所以X的分布列為

16.（15分）

【解析】（】）方法一：設等差數(shù)列｛q｝的公差為?,則”.=q+（"-lW，

在=24+2中，令”=1得4=2q+2,所以°]+2，=2“1+2,即“|=2d-2.(*)

因為｛Wi）為等差數(shù)列，則今■+牛=2乂全，化的得上+照要=2x駕

聯(lián)立（*＞式，解得q=d=2,所以仆=2〃........................7分

方法二：設等差數(shù)列｛%｝的公差為〃，則。"回+（〃-1*，因為外＞“=2%+2,

所以q+2〃d=2[q+（/＞-1）"]+2?化簡得q=2=-2,（*）

因為｛擊｝為等差數(shù)列，所以可設‘網(wǎng)+鏟—二新翌（h〃為常數(shù)），

即3/+（《一9”=62+伏+3"+/?,由待定系數(shù)法得/，=0,k+b=at-j,A-=y,

聯(lián)立（*）式，解得叫="=2,所以％=2〃.......................7分

2ff4,-2w2”

（2）證明：依即速2號=2”，2苧_2?！埃?，=■■

1>1〃+1//+)

工124314./+11234J/+1

方法一：所以北=44

4+不=尸"+/…+〒，/=>+>+了+…+產(chǎn)

1+2?

-

2"=+1I1W+1

兩式相減得，=r7y+-5-+-+^——p,

4

211-(菱)w+l3n+3,“+3,..

=F+y~~i-----yr=2-'pi-所以4=3---<3..........................15分

、2>

十計一...1"+lA(n-1)+BAn+BAII-2A+B,,.

方法一：設7=下-一聲-------r~~=-------2"------,(''&D為%，數(shù))

由待定系數(shù)法得/=1.B=3,HPJ-=2Pi—~^T.

~丁I1I1234n+l

所以7=彳+不+不+…不=要+齊+>+…+亍

2

聿q+U上W…+伊-D+3.叫—

1|2'J(22'J12?2}JI2，"2"J22""

所以。=3-展<3..............15分

17.(15分)

【解析】(1)證明：方法一：如圖，過點E作圓柱的母線EG,連。G,CG,則EG//4V/EC且

EG=AD=BC,所以四邊形d￡GQ和8EGC均是平行四邊形，所以月￡〃0G,BE//CG,...(*)

又CF//AE.所以CF//DG,所以，DCF=，CDG(不妨記作。),而CZ)為底而圓的省徑，所以

NDFC=NCGD=90°,所以C尸=OG(均等于COcos。)，所以四邊形CFDG為平行四邊形，所

以CGUFD,結合<*),可得DF//BE...............7分

方法二：依題照CD//AB,CFHAE,

所以，DCF=ZB,IE,不妨記作個，(必修第二冊P135定理)

又因為/B,8均為底而做的直卷，所以Nd￡8=NC7，Z)=90。，

所以4E=CF=4co$0,所以左=定，又瓦j=麗，

所以詬=芯-與=定+而=麗,所以DF//8E...............7分

方法三：因為/。是圓柱的母紋，所以4。3_平而48￡,以點0為坐標原點，DC,D/所在直紋分

別為x軸，Z軸,過點。垂直于DC的直線為/軸,建立如圖所示的空間也先坐標系，依題意CDHAB,

CF11AE,所以，DCF=ZB,1E，不妨記作0,又因為45,8均為底而圓的直徑，所以

4E8=NCFD=90。，所以3￡=C"=4cos0,由此可得。(0,0,0),C(4,0,0),/(0,0,24)，

j?(4,0,2>/2),￡(4cos2a-4cos，sin仇2夜)，5S=(-4sin2^,-4cos0sin^,O)?又0〃=4sin6,

￡CDF---0,所以尸(4sinZ，,4sinecose,0),*

所以麗=(4sin224sindcos，,0),所以而=_布,式……

所以DF//8E..............7分

其他方法：依題意8C//MJ,又8C<z平面E4),/Ou平而E4O,所以BC//平而E/D,因為

CFHAE,同理可證C尸〃E/D,而6CnCF=C,所以平而8CF〃平而以。.?…“(#)

又因為48為底面13的直徑,所以8EJ.4E,而/。是G3I柱的母線，所以/。_1_平而/8￡,

又5Eu平面NBE,所以4DJLBE,又/君0/。=4,所以B￡1.平面￡40,

同理可證DFJ.平面8CF,結合<#),可卷DF//BE..............7分

(2)解：由⑴可知GC=EB=DF,GD=CF=EA,不妨設GC=EB=DF=a,GD=CF=EA=b,

則，+〃=16,因為8C是四柱的母線，所以8cl.平面8戶，所以8C_l.b.

3

BF=。BC'+CF'=j8+6’，儂題意得BF=DF?即J8+6，=a，解得a=2由,b=2，

方法一：因為EG是圓柱的母線，8為底而破的直徑，所以EGJ.平而CO尸，GC1GD,故以點

G為坐標原點，GC,GD,GE所在直線分別為x軸，J軸，z軸，建立如圖所示的空間直向坐標

系,所以G(0,0,0),0(0,2,0),C(2",0,0),尸(26,2,0),8(2直,0,2夜)，￡(0,0,2>/2),4(0,2,271).

所以刀=(26,-2,0),"=(20,0,-2/),

設平面ABF的法向盤為n=(x,J,z),

n-AB-0,2y/3x-2y=0,

得取x=l,得

ii-AF=0,2瓜-2折=0.

同理可求平而ADE的法向故/?=(1,0,0),

所以平而48斤與平而夾角的正弦位為號..............15分

方法二：過點。作/E,8的平行線，兩直線交于點K,連/K，則NK是平而4BF與平面/DE

的交稅.因為AD是[01柱的母線，所以彳。J■平而,所以NDJ.D尸，又因為bJ.￡>尸，CFUDK,

所以DKJLDF,又4DC\DK=D,所以DFL平面4EDK.

過點D作DHL4K于H,連尸，，又因為DPJ./K,DFCDH=D,

所以4K1平面DFH,所以4KlFH,

所以ZDHF是平而ABF與平而ADE所成二而九的平而用.

?JfnA1r\trrliAK.r\uAD?KD4^22^6

在ADK中，AD=2V2?DK=CF=2，DH=?—=—?='=——?

AK2J33

“nAlcur+iA/rtan4FHD==L="7=..yf-rrn33y/\]

在RtAFDH中，DF=2JJ,HD2通>[2?r所rk以sui^FHD==—―一.

3

所以平而ABF與平面ADE央加的正弦值為號................15分

18.(17分)

【解析】(I〉解：當切紋斜率不存在忖，直線x=0是拋物線C的一條切紋，切點為(0,0)：

當切線斜率存在時，設切線方程為歹=去+3,與C聯(lián)立化筒得A2X2+(6X-4)X+9=0.

由相切關系得A?#。，A=(6A-4)2-4F.9=0,解得"=；,由$、2x+9=0,解得切點坐標為

4

5/112

.所以直線的方程為J，=9x..............5分

（2）解：設切點水對必），B（x2,y2）,則內(nèi)=4,X2=4,依題意切線P4PB斜率不為0,不妨設

44

Pd:x-X］=4（y-X）,聯(lián)立直線P4與拋物線C得/-40，+4（仍一%）=0,

由A=（4/1）2—4.4（/仍一為）=0解得。?

方法一：（用43點縱坐標作為關鍵參變量分析）所以切線P4的方程化簡為x=

同理切線P8的方程化簡為、?吟y-。，IP川=步匕產(chǎn)f=；后孤-刈

同理有IPB\=；匹即-%|.焦點尸。,0）到直線PA的距寓4

同理可得，焦點尸。,0）到直線PB的距離4=*4+H,

所以、=；|「川4=看（4+剛乂-可，s2T網(wǎng)內(nèi)=+（4+創(chuàng)必-%|，

22

所以$?S2=（-^-）（4+yi）（4+）（＞＞,-yz）=心汽心；+4（y：+y；）+l6］［（”+力）'一4”為］

Ioib

=&2［）配+4（）1+yiY-8"）、+16］［（乂+J、）2-4）仍］?

聯(lián)立PA,PB求得X。=華,%=比盧，即)m=4x。，M+為=2及,代入上式，化筒推理初

5i-S2=+16J?J-32,r0+16)(44-i6.v0)=；(君-2x0+1)3-42),

164

又JL.%+3.代入得A?S]=；(2x：+4x0+10)(x?+2x?+9)

22

=+2x0+5)(x；+2x0+9)=1[(x0+1)+4][U0+l)+8]

^1x4x8=16,當且僅當所=一1時取等號.所以的最小值為16.............13分

【備注】若切線。4。8使用直線方程0，-乂）=占住-修），（＞，-必）=的（*-&），需要考慮斜率不存在

的情形，若無此討論相體扣1分：

【備注】若切線04P8使用直線方程（3，-乂）=占"-不），（y-yi）=k2（x-X1）,相應的表述式參考如

下：A|=；,^2=—；切線PN,PB的方程分別為"丁+今.尸:X+務其他略.

ZlZ2乂/Z22

方法二：（以4,內(nèi)直線斜率（或斜率倒數(shù)）作為關鍵參變維分析）依題意切線P4/8斜率不為0,

不妨設=/心-尸0）,PB:x-x0=t2（y-y0）,聯(lián)立直線以與拋物線C得：

6/11

4/ly+4(/1jo-xo)=0?由A=(4/1)2-4-4(仇一%)=0,即/2-j，/+Xo=0,且切點力的縱坐標

))=4=2。同理可得/-卅2+9=0，切點3的縱坐標九=牛=24,

所以小，2是方程--卬+Xo=0的兩根，4+，2=加的=%，I41=J|+M-闖=Jl+>|2，]-川.

同理有IPB|=MJ|2,2-%|，焦點尸。,0)到直線P/f的距離4nL-jj=H，

,|l-x0+/2y0|

同理可得，焦點尸(1.0)到直線PB的距離4=F+了,

所以SI=；1。川4=；|2/|-比||l-Xo+/|)b|.Si=11PJ?I</2=y12/2-y0111-+r2y01,

所以$,S：=:|(2(-%)(2(-J%)11(1-.%+ZiJoXl-Au+

=；|4/心-2Q|+4)Jo+%'l|(l--'o)2+0i+幻％。-&)+Wo'|

將％+4=Jo,他7。代入上式中得，

222222

StSt='^|4.r0-y^||(l-.v0)+；'0(l-Jf0)+x0^0|=-^|4.v0-j0||(l-xD)+j0|,

又M=%+3.代入化筒得用S=；|4.%-(.“+3尸||。-xj'+Go+3)]

J222

=1|-v0-2.v0-9||2.v0+4x0+IO|=l|(jf0+l)+8||(A-0+l)+4|2：x8x4=16(當且僅當%=-l)

所以S|S’的最小值為16..............13分

【備注】若切絞04P6使用面線方程3-)，°)=AGf。)，3-為)=似xf)，相應的表述式參考

如下：k、,取是方程.%肥-為4+1=0的兩根，耳+及=勺，切點/,B的縱方程分別為

?*0?*0

；■，看：切點/,B的橫方程分別為專，排

+

S)?52=(yy-Xo)(yy-*0)|[^|(I-x0)+y0][^2(I-*o)

=zlri7-(2+2)/+X。，伙能0To)2+(A]+3(1_Xo仇+y02]|

=；|4%-)L||(1-.%)、九2|：其他略.

(3)證明：方法一：(三邊成比例)由⑵可知|P川=,4+貨＜-乃|，+

IPF1="%T)+y：={(竿_1)、(必；勺2=J縮■+4+卷+1=；J3+4X)片+4)

6

7/11

|B用=占+1=扣=；（用+4），

也；河時際\FA\扣+小標

/"I、4+謠gr山臼/后丁河F際

|4|；匹彳,一川7?77,JPF|\FA\\PA\

兩—1匹麗_閭一痂才因此兩一兩一兩，

故APFAsABFP..............17分

儡借瑞=群（其中廿2分別是卯8直線斜率倒如

【備注】其他參考表達式

方法二；（拋物線定義+幾何推理）當切線P/,PB的斜率存在時，由（2）可知切線P/,P3的斜

22

率分別為，分別過點48向準線x=_|作近線，?垂足分別記為小B1,易得

4（-1,M），B卜l,yj,所以外股的斜率分別為吟，吟，所以F

又|zUj=M?|,|因H8尸|,所以由初中平而幾何知識可得:

△24尸g△PM.△PB/P8瓦，所以IPA,|=|PF|=|,

所以N2I0|=，PBi4,即//>/、=ZP，M=，B\B=4PFB（記為a）,

又NPAF=N"4（記為3）,NAPF=NAP4（記為Y），ZPBF=ZPBB^記為8）,4BPF=ZBPB,

（記為力），則在△以產(chǎn)中,a+4+7=180°,在△%/中，2y+2"2（Q-90。）=180°,

即/+，+?=180°,所以口=。，即NP/尸=/8PF,所以APF/ISABFP..............17分

19.（17分）

【解析】（1）方法一：（分離參數(shù)法）因為/（」）=1/0,所以-1不是〃x）=0的實數(shù)解，

所以/（刈=0的實數(shù)解等價于-〃=生的實數(shù)解，令皈v）=①,x#-l,則“a"'。"：冬2）?！?

當xw（f,-D時,。'（*）<0,所以aX）在（-8,-1）上單調(diào)遞減:當xe（-l,0）時,。'（刈<0,所以女X）

在（-1,0）上單調(diào)遞減：當xe（0,+8）時,陽x）>0,所以。（x）在（0,e）上單調(diào)遞增：

又當X€（YO,-1）時，。（刈<0,且*-?-?>,，。）->0,II

（洛必達法則同注=lim,￡,=Hm-2e"=0）I/

-x+1、~（x+l）ex——xe"J-

x—>——>-<o.當KG（—I,+8）時，4（K）N0,且*T—l+，4（x）—x\I

7

8/11

x—>+o>/(x)—>+8.(洛必達法則limAC-=lim+—+?>)

JTT?〃X+IHI

所以當-“<0即“>0時，-a=，(x)僅有一個實數(shù)解；當-“=0即”=0時，-a=/(x)僅有一個實數(shù)

解0：當-0>0即。<0時，-4=/(x)有兩個實數(shù)解................7分

綜上，當“20時，〃x)僅有一個零點：當a<0時，〃x)有兩個答點.

【備注】在5分點基礎上，關于參數(shù)范圍與零點個數(shù)的結論部分正確的可得6分點，完全正確的可

得7分點.

方法二；(分類討論法〉依題談，f\x)=-ox。-、+2x=@丁),

e

(i)當。<0時，2e"-a>0恒成立，所以當、€(9,0)時，/'(x)<0；當xe(0,+8)時，

/,(x)>0,所以/(X)在y,0)上單調(diào)遞減，在(0，+8)上單調(diào)遞增.又/(0)=a<0.

/(-1)=1>0,當x->+<?時，(x+l)e'->O,x2->+<n,所以當XT+?時，/(X)T+<?,

所以由零點存在定理得小)有兩個零點.(當"。時，S。，1<0,?(1-1)<0.

利用Cx+IVx=eJ占甘

貝ij/(-?)=?(1-a)e0+a2>?(l-?)j——+a2=a+a?

I.I,-1,aII

/r(z一)=a(l—)e"4--T>(?-!)-----+-r=a+-r,

aaa'a-\aa

當小T。)時，"+當“wSf時…+八0,

所以對任意“<0,max{/(-3,/(一“)}>0.)

(ii)當a=0時，同理可知/(。在(~?>,0)上單調(diào)遞減,在(。，+8)上單調(diào)遞增.

又/(0)=0,所以/(刈僅有一?個零點.

(iii)當。>0時，由/'(x)=0得*=0或x=ln'.

①當。=2時，八x"0,所以/(x)在(-?>,+8)上單調(diào)遞增,

又/(-1)=1>0,/(-2)=-<7e2+4=-2e2+4<0,所以/⑶僅有-?個零點.

②當0<“<2時，I吟<0,所以/⑶在(YO,I吟)上單調(diào)遞增，在。吟,0)上單調(diào)逆減，在(0,+?>)

上單訓遞增.又/(0)=a>0,容易證明/(-I-?!?)=-e&+(l+-y=-e'+/<0,所以〃x)僅有一個

aa

零點.(備注：若通過極限說明，不能簡單地使用當XTYO時，磯X+1)e“Tf,X2->+00,

/(X)TV的推理形式，應該分析lim迎孚:=lim手二=lim-ac-*=Y°，進而說明當

x->-?x-?-?2xxn

8

XTYO時，/(X)fYO)

(事實上，當。>0時，/=1+—€(l,+<x>),令以O=-e'+N?則”(f)=-e，+2/■

a

/(1)=-e'+2<0,所以s'(i)=-e'+2，<d(l)<0,所以剛■-4+。4所J)<0)

③當。>2時，lny>0,所以/(x)在(YO,0)上單調(diào)遞增,在(0前會上單調(diào)遞減，在(1n]+8)上單

調(diào)遞增?又/(0)=。>0,.丐)="(I吟+1把一叫〉+ln2j=ln2y+2In,+2=(lny+l)2+1>0.

且/(-2)=一那+4<-2/+4<0,所以/(x)僅有一個零點.

標上，當a20時，/(x)僅有一個零點：當。<0時，/(x)有兩個冬點.

(2)證明：若/(*)存在兩個極值點,參考⑴方法二可得aw(0,2)U(2,+<?),當ae(2,+a>)時，

/(x)的極大值點/=。由終點存在定理得，/5)的零點司e(-2,-l),所以-2』>0-2x(-|)=2.

當ae(0.2)時，/(X)的極大值點.“=Ing，由零點存在定理得，/(')的零點典e(-l-L-l),

方法一：(分析法論證)要證%-2.V,>2,即逆ln^>2x,+2,即證，>於這

又。(玉+l)ef+X：=0,即1=一/e1…即流_三>e'二,又須e(-l-L-l)，

'2291+1)2(玉平1)a

即證2(3+?e'〉.],令/*.)=也孚二，A-6(-<?,-1),

彳X

2a+2).:?7—2(x+l)e“c-2x_2(/2)產(chǎn)

則"。)=，又X€y,T)，所以〃'(x)=0的根為-V2，

所以/心。在(_00,-&)上單調(diào)遞減，在(-V2.-I)上單調(diào)遞增，

所以力(x)2/;(-V2)=2M1)丁°=7+l)e>0.所以只需證(-71+l)e2d>-1,

只露證/-?<工]1=夜+1，又因為c'2x+l,V.V6R(證明略)，所以*=Vj-eR,

所以當時，入白，所以產(chǎn)<K/+I,結論得證.

I—(2—V2)—I

綜上可得，％-2玉>2總成立.17分

【備注1】要證.％-2q>2,則E￡-4>N，又ae(0,2)時，牛?」未必在單調(diào)遞增區(qū)間(-?>，％)