高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市東?？h2023-2024學年高一下學期期中考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數與分別表示向量與，則表示向量的復數為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗復數與分別表示向量與，因為，所以表示向量的復數為.故選：C.2.中，“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為，由大角對大邊可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理當時，，，由正弦定理可得，由大邊對大角可得，必要性成立，“”是“”的充要條件.故選：C.3.設，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，所以.故選：A.4.設為實數，向量，，且，則的值為（）A. B. C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗因為，所以，解得或.故選：D.5.在中，已知．若最長邊的長為，則最短邊的長為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵在中，，，，，即為最大角，與都為銳角，，，即為最小角，為最小邊，，，由正弦定理得：，解得.故選：B.6.將函數的圖象向右平移個單位長度后得到曲線．若曲線關于原點對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將函數的圖象向右平移個單位長度后函數〖解析〗式為：，即，又因為曲線關于原點對稱，所以，，解得，，因為，所以當時，取得最小值，的最小值是.故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，則，再分子分母同時除以可得：，即，所以.故選：C.8.在中，，，是以為直徑的圓上任意一點，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖：以中點為原點，建立平面直角坐標系，則，，設，，所以，，所以，因為，（其中且），所以，從而.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設是三個非零向量，則下列命題正確的有（）A. B.C.不與垂直 D.〖答案〗BD〖解析〗對于A：因為表示與共線的向量，表示與共線的向量，當與不共線，且時，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C，，所以與垂直，故C錯誤；對于D：當、不共線時，所以、、組成三角形的三邊，所以，當、同向時，當、反向時，又，，所以，故D正確.故選：BD.10.已知，是關于的方程的兩根，其中，．若（為虛數單位），則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗A、B：由題意可得，即，所以，故，故A、B正確；C：利用AB〖解析〗可得，故C錯誤；D：利用AB〖解析〗由可得，所以，而，故D錯誤.故選：AB.11.在銳角中，角的對邊分別為，且滿足，，則下列說法正確的有（）A.外接圓面積是 B.面積的最大值是C.周長的取值可以是 D.內切圓半徑的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗由，結合正弦定理，可得：，因為在銳角三角形中，，所以.由，又為銳角，所以，對A：設的外接圓半徑為，由，所以，所以外接圓面積為：，故A正確；對B：由余弦定理，當且僅當時取“”，所以，故B正確；對C：因為為銳角三角形，所以，，，所以，由正弦定理：，所以，，所以，因為，所以，所以，所以周長的取值范圍為，因為，故C錯誤；對D：設內切圓半徑為，則，又，，，所以，由，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數的零點為______．〖答案〗〖解析〗由.故〖答案〗：.13.某人在高出海面的山頂處，測得海面上的航標A在正東方向，俯角為，航標B在南偏東的方向上，俯角為，若航標A、B間的距離為400米，則山的海拔高度為_____米．〖答案〗〖解析〗如圖，設山在海平面處為，由題意可得，設山的海拔高度為，則，在中，由余弦定理得，即，解得，即山的海拔高度為米.故〖答案〗為：.14.已知中，，，在邊上，且，是邊上的中點.若與交于點，則______．〖答案〗〖解析〗設，則，設，可得，所以，而，由，可得，解得，所以，，由，設，則，可得，在中，由余弦定理，可得，因為，所以，即，可得.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應給出文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知點，且點滿足．（1）若點在直線上，求的值；（2）若，求．解：（1）因為點在直線上，故可設點，所以，，，由得，，即，解得.（2）由已知，由已知，所以，因為，所以，解得，所以，因此，．16.已知銳角，滿足，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為，，所以，所以，，因為，所以.（2）因為，所以，又因為，所以.17.已知滿足．（1）求；（2）若為的角平分線，，，求的周長.解：（1）在中，由正弦定理：，則，，，因為，所以，即，由余弦定理：，因為，所以.（2）設邊上的高為，因為為的角平分線，所以，所以面積：，的面積：，因此，又，，所以，在中，由余弦定理：，所以，而，，所以，又因為，即，解得，所以的周長為：．18.已知向量，，設函數．（1）求函數的最小正周期；（2）解不等式；（3）若對，都有成立，求實數的取值范圍．解：（1）由題意可得：，所以函數的最小正周期.（2）由可得，令，解得，所以的解集為.（3）由題意可得：，由可得，即對成立，因為，則，可得，令，可知問題轉化為對恒成立，可得對成立，又因為，當且僅當時，等號成立，可知，所以實數的取值范圍為.19.已知中，角，，的對邊為，，，是邊上的中點．（1）若．（i）求；（ii）若，，求的面積；（2）若，，，試探究存在時滿足的條件．解：（1）（i）在中，因為，由正弦定理可得，，所以，因為得，所以，故.（ii）在中，由余弦定理得，即，①因為是邊上的中點，所以，②①②得，所以的面積為.（2）（法一）如圖1，在中，由余弦定理得，即①；因為是邊上的中線，所以，兩邊平方有②，將①式代入②得，與同號，當時，，存在；當時，，由②得，因為，所以，即③，當為銳角時，，，，③式為，令，，知在上單調遞減，所以；當為鈍角時，，，，③式為，令，，知在上單調遞增，所以，所以，當時，，存在；當為銳角時，，存在；當為鈍角時，，存在.（法二