模塊綜合檢測(時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列函數(shù)中最值是eq\f(1,2)，周期是6π的三角函數(shù)的解析式是()A．y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(π,6))) B．y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6))) D．y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))解析：選A由題意得，A＝eq\f(1,2)，eq\f(2π,ω)＝6π，ω＝eq\f(1,3)，故選A.2．設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則＋＋＋等于()A． B．2C．3 D．4解析：選D依題意知，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，也是線段BD的中點(diǎn)，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4，故選D.3．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b等于()A．(－5，－10) B．(－4，－8)C．(－3，－6) D．(－2，－4)解析：選B∵a＝(1,2)，b＝(－2，m)，∴1×m－2×(－2)＝0，∴m＝－4.∴2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．4．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq\f(4,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－eq\f(\r(2),2)cos(π－α)的值為()A.eq\f(2\r(2),5) B．－eq\f(\r(2),5)C.eq\f(\r(2),5) D．－eq\f(2\r(2),5)解析：選Bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－eq\f(\r(2),2)cos(π－α)＝eq\f(\r(2),2)sinα＋eq\f(\r(2),2)cosα＋eq\f(\r(2),2)cosα＝eq\f(\r(2),2)sinα＋eq\r(2)cosα.∵sinα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(3,5).∴eq\f(\r(2),2)sinα＋eq\r(2)cosα＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)－eq\r(2)×eq\f(3,5)＝－eq\f(\r(2),5).5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5)，若(c－b)·a＝eq\f(15,2)，則a與c的夾角為()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：選Ca·b＝－10，則(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝eq\f(15,2)，所以c·a＝－eq\f(5,2)，設(shè)a與c的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·c,|a|·|c|)＝eq\f(－\f(5,2),\r(5)×\r(5))＝－eq\f(1,2)，又0°<θ<180°，所以θ＝120°.6．將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象經(jīng)怎樣的平移后所得的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，0))成中心對稱()A．向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位長度B．向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度C．向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位長度D．向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度解析：選C函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,6)，0))，其中離eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，0))最近的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，故函數(shù)圖象只需向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位長度即可．7．函數(shù)?(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)的部分圖象如圖所示，則?(1)＋?(2)＋?(3)＋…＋?(11)的值等于()A．2 B．2＋eq\r(2)C．2＋2eq\r(2) D．－2－2eq\r(2)解析：選C由圖象可知，函數(shù)的振幅為2，初相為0，周期為8，則A＝2，φ＝0，eq\f(2π,ω)＝8，從而?(x)＝2sineq\f(π,4)x.∴?(1)＋?(2)＋?(3)＋…＋?(11)＝?(1)＋?(2)＋?(3)＝2sineq\f(π,4)＋2sineq\f(π,2)＋2sineq\f(3π,4)＝2＋2eq\r(2).8．如圖，在四邊形ABCD中，||＋||＋||＝4，||·||＋||·||＝4，·＝·＝0，則(＋)·的值為()A．4 B．2C．4eq\r(2) D．2eq\r(2)解析：選A∵＝＋＋，·＝·＝0，∴(＋)·＝(＋)·(＋＋)＝2＋·＋·＋·＋·＋2＝2＋2·＋2.∵·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，∴∥，∴·＝||||，∴原式＝(||＋||)2.設(shè)||＋||＝x，則||＝4－x，||·x＝4，∴x2－4x＋4＝0，∴x＝2，∴原式＝4，故選A.二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．請把正確答案填在題中橫線上)9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，則實(shí)數(shù)t的值為________．解析：∵∠ABO＝90°，∴⊥，∴·＝0.又＝－＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，∴(2,2)·(3,2－t)＝6＋2(2－t)＝0.∴t＝5.答案：510．已知?(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，若cosα＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜α＜\f(π,2)))，則?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝________.解析：因?yàn)閏osα＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜α＜\f(π,2)))，所以sinα＝eq\f(4,5)；?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sinα＋cosα)＝eq\f(7\r(2),10).答案：eq\f(7\r(2),10)11．在△ABC中，已知sinA＝10sinBsinC，cosA＝10cosB·cosC，則tanA＝________，sin2A＝________.解析：由sinA＝10sinBsinC，cosA＝10cosBcosC得cosA－sinA＝10cos(B＋C)＝－10cosA，所以sinA＝11cosA，所以tanA＝11，sin2A＝eq\f(2sinAcosA,sin2A＋cos2A)＝eq\f(2tanA,1＋tan2A)＝eq\f(11,61).答案：11eq\f(11,61)12．函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2x＋sin2x＋1的最小正周期是________，振幅是________．解析：f(x)＝cos2x－sin2x＋sin2x＋1＝cos2x＋sin2x＋1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1，所以最小正周期為π，振幅為eq\r(2).答案：πeq\r(2)13．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝3，且|2a－b|＝eq\r(13)，則|2a＋b|＝________，向量a在向量b方向上的投影為________．解析：|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4×22－4a·b＋32＝13，解得a·b＝3.因?yàn)閨2a＋b|2＝4a2＋4a·b＋b2＝4×22＋4×3＋32＝37，所以|2a＋b|＝eq\r(37).向量a在向量b方向上的投影為eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(3,3)＝1.答案：eq\r(37)114．已知函數(shù)f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M＞0，ω＞0,0＜φ＜π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)，∠C＝90°，則f(x)＝________，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.解析：依題意知，△ABC是直角邊長為eq\f(\r(2),2)的等腰直角三角形，因此其邊AB上的高是eq\f(1,2)，AB＝1，故M＝eq\f(1,2)，函數(shù)f(x)的最小正周期是2，即eq\f(2π,ω)＝2，ω＝π，所以f(x)＝eq\f(1,2)cos(πx＋φ)，又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.由0＜φ＜π，得φ＝eq\f(π,2)，故f(x)＝eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,2)))＝－eq\f(1,2)sinπx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)sineq\f(π,2)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)sinπx－eq\f(1,2)15．有下列四個(gè)命題：①若α，β均為第一象限角，且α>β，則sinα>sinβ；②若函數(shù)y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(π,3)))的最小正周期是4π，則a＝eq\f(1,2)；③函數(shù)y＝eq\f(sin2x－sinx,sinx－1)是奇函數(shù)；④函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))在[0，π]上是增函數(shù)．其中正確命題的序號為________．解析：α＝390°>30°＝β，但sinα＝sinβ，所以①不正確；函數(shù)y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(π,3)))的最小正周期為T＝eq\f(2π,|a|)＝4π，所以|a|＝eq\f(1,2)，a＝±eq\f(1,2)，因此②不正確；③中函數(shù)定義域是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，顯然不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以③不正確；由于函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝－cosx，它在(0，π)上單調(diào)遞增，因此④正確．答案：④三、解答題(本大題共5小題，共74分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分14分)已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，a與b的夾角為θ.(1)若a∥b，求a·b；(2)若a－b與a垂直，求θ.解：(1)∵a∥b，∴θ＝0°或180°，∴a·b＝|a||b|cosθ＝±eq\r(2).(2)∵a－b與a垂直，∴(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝1－eq\r(2)cosθ＝0，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2).又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.17．(本小題滿分15分)已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈eq\f(π,2)，π，a·b＝eq\f(2,5)，求eq\f(5\r(2)sin2α－4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),2cos2\f(α,2)).解：∵a·b＝cos2α＋sinα(2sinα－1)＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝eq\f(2,5)，∴sinα＝eq\f(3,5).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，∴eq\f(5\r(2)sin2α－4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),2cos2\f(α,2))＝eq\f(5\r(2)sin2α－2\r(2)cosα－sinα,1＋cosα)＝eq\f(5\r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,25)))－2\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)－\f(3,5))),1－\f(4,5))＝－10eq\r(2).18．(本小題滿分15分)已知函數(shù)?(x)＝2cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx.(1)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，求?(x)的值域；(2)用五點(diǎn)法在下圖中作出y＝?(x)在閉區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的簡圖；解：?(x)＝2cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx＝2cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinxcos\f(π,3)＋cosxsin\f(π,3)))－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx＝sin2x＋eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(1)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(4π,3)，∴－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，∴當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，?(x)的值域?yàn)閇－eq\r(3)，2]．(2)由T＝eq\f(2π,2)，得T＝π，列表：x－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2x＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))020－20圖象如圖所示．19．(本小題滿分15分)已知向量＝(cosα，sinα)，α∈[－π，0]，向量m＝(2,1)，n＝(0，－eq\r(5))，且m⊥(－n)．(1)求向量；(2)若cos(β－π)＝eq\f(\r(2),10)，0<β<π，求cos(2α－β)的值．解：(1)∵＝(cosα，sinα)，∴－n＝(cosα，sinα＋eq\r(5))．∵m⊥(－n)，∴m·(－n)＝0，∴2cosα＋sinα＋eq\r(5)＝0.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得sinα＝－eq\f(\r(5),5)，cosα＝－eq\f(2\r(5),5)，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5))).(2)∵cos(β－π)＝eq\f(\r(2),10)，∴cosβ＝－eq\f(\r(2),10).又0<β<π，∴sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(7\r(2),10).又∵sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝eq\f(4,5)，cos2α＝2cos2α－1＝2×eq\f(4,5)－1＝eq\f(3,5)，∴cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ＝eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),10)))＋eq\f(4,5)×eq\f(7\r(2),10)＝eq\f(25\r(2),50)＝eq\f(\r(2),2).20．(本小題滿分15分)已知函數(shù)?(x)＝Asin(ωx＋φ)ω＞0,0＜φ＜eq\f(π,2)的部分圖象如圖所示．(1)求?(x)的解析式；(2)將函數(shù)y＝?(x)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)倍，再將所得函數(shù)圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(5π,12)))時(shí)，求函數(shù)y＝?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))－eq\r(2)?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的最值．解：(1)由圖得eq\f(3,4)T＝eq\f(11π,6)－eq\f(π,3)＝eq\f(9π,6)＝eq\f(3π,2)，∴T＝2π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝1.又?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)))＝0，得Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)＋φ))＝0，∴eq\f(11π,6)＋φ＝2kπ，k∈Z，φ＝2kπ－eq\f(11π,6)，k∈Z.∵0＜φ＜eq\f(π,2)，∴當(dāng)k＝1時(shí)，φ＝eq\f(π,6).又由?(0)＝2，得Asineq\f(π,6)＝2，∴A＝4，∴?(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).(2)將?(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變得到y(tǒng)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，再將圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位得到g(x)＝4sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，由2kπ－eq\f(π,2)