.1.4二次函數(shù)y＝ax＋bx＋c的圖象和性質(zhì)第二課時(shí)（盧文）一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知道a,b,c對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中所起的作用；2.能根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定a,b,c,Δ及相關(guān)代數(shù)式的符號(hào)；3.會(huì)利用二次函數(shù)解析式中字母的符號(hào)以及相關(guān)代數(shù)式的符號(hào)判斷圖象位置.（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)知道a,b,c對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中所起的作用.（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)能根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定a,b,c,Δ及相關(guān)代數(shù)式的符號(hào).二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)（1）拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由的符號(hào)決定，當(dāng)＞0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0時(shí)，拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)<0時(shí)，拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn).（2）的符號(hào)由x=1時(shí)拋物線上的點(diǎn)的位置確定：當(dāng)點(diǎn)在x軸上方時(shí)，＞0；當(dāng)點(diǎn)在x軸上時(shí)，=0；當(dāng)點(diǎn)在x軸下方時(shí)，<0.2.預(yù)習(xí)自測(cè)（1）已知二次函數(shù)，若，，那么它的圖象大致是（）【知識(shí)點(diǎn)】a,b,c對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中所起的作用【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：∵a<0，∴圖象開(kāi)口向下；∵c>0，∴圖象交y軸正半軸，故選D.【思路點(diǎn)撥】記住a,b,c對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中所起的作用是關(guān)鍵【答案】D（2）函數(shù)y=ax+b與y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列選項(xiàng)中正確的是()A.ab>0,c>0B.ab<0,c>0C.ab>0,c<0D.ab<0,c<0【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，a,b,c對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中所起的作用【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】觀察圖象知：a＞0，b<0，c<0，∴ab<0，故選D.【思路點(diǎn)撥】記住a,b,c對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中所起的作用是關(guān)鍵【答案】D（3）已知二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①a、b同號(hào)；②當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象性質(zhì)，a,b,c對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中所起的作用，拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)與一元二次方程根的關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】觀察圖象知：a＞0，b<0，c<0，故①錯(cuò)誤；由圖象與x軸交于（-1，0）和（5，0），知對(duì)稱軸是x=2，∴當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等，故②正確；由=2，可得4a+b=0，故③正確；當(dāng)y=-2時(shí)，x可取0和4，故④錯(cuò)誤．故選B.【思路點(diǎn)撥】記住a,b,c對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中所起的作用是關(guān)鍵【答案】B（4）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖，則下列各式中成立的個(gè)數(shù)是（）（1）abc＜0；（2）a＋b＋c＜0；（3）a＋c＞b；（4）a＜－．A．1B.2C.3D.4【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】觀察圖象知：a<0，b＞0，c＞0，∴abc<0，故（1）正確；x=1時(shí)，a＋b＋c＞0，故（2）錯(cuò)誤；x=-1時(shí)，a－b＋c<0，∴a＋c<b，故（3）錯(cuò)誤；對(duì)稱軸<1，∴a＜－，故（4）正確．故選B【思路點(diǎn)撥】記住a,b,c對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中所起的作用，a＋b＋c，a－b＋c符號(hào)的確定是關(guān)鍵【答案】B（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）拋物線y=ax+bx+c的開(kāi)口方向與a有關(guān)，a＞0，開(kāi)口向上，a<0，開(kāi)口向下．（2）拋物線y=ax+bx+c的對(duì)稱軸是直線.（3）拋物線y=ax+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.（4）拋物線y=ax+bx+c與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，c）（5）二次函數(shù)y=ax+bx+c，當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c；當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c；當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c；當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2b+c.問(wèn)題探究探究一a，b，c，Δ對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象中的作用及a，b，c，Δ符號(hào)的確定★▲●活動(dòng)①回顧舊知，引出新知搶答填空：1.拋物線y=ax2+bx+c的開(kāi)口方向由決定：開(kāi)口向上開(kāi)口向下.2.拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）.c>0與y軸的交點(diǎn)在；c<0與y軸的交點(diǎn)在；c=0拋物線過(guò)點(diǎn)3.拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線.b=0對(duì)稱軸是；a、b同號(hào)－EQ\F(b,2a)0對(duì)稱軸在y軸的側(cè)；a、b異號(hào)－EQ\F(b,2a)0對(duì)稱軸在y軸的側(cè).4.若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點(diǎn)，則交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，因此拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由決定.拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).學(xué)生搶答：a的符號(hào)；a＞0；a<0.2.（0,c）；y軸正半軸上；y軸負(fù)半軸上；原.3.；y軸；＜；左；＞；右.4.的符號(hào)；＞0；=0；<0.【設(shè)計(jì)意圖】回憶前面所學(xué)的與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的知識(shí)，為學(xué)習(xí)新課作鋪墊．●活動(dòng)②協(xié)作歸納，獲取新知引導(dǎo)學(xué)生，探究a、b、c、Δ=b2-4ac的符號(hào)與拋物線位置的關(guān)系．1.拋物線y=ax2+bx+c開(kāi)口向上；拋物線y=ax2+bx+c開(kāi)口向下.2.拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上；拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).3.拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是y軸b0；拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)－EQ\F(b,2a)0a、b號(hào)；拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)－EQ\F(b,2a)0a、b號(hào).4.拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)Δ；拋物線y=ax2+bx+c與x軸有一個(gè)交點(diǎn)Δ；拋物線y=ax2+bx+c與x軸無(wú)交點(diǎn)Δ.在學(xué)生的討論下，得出結(jié)論;1.a＞0；a<0.2.c<0；c＞0；c=0.3.=；<，同；＞，異.4.＞0；=0；<0.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在回顧舊知基礎(chǔ)上，輕松得到a、b、c、Δ=b2-4ac的符號(hào)與拋物線位置的關(guān)系．探究二確定代數(shù)式a+b+c；a-b+c；4a+2b+c；4a-2b+c；2a+b；2a-b的符號(hào)★▲●活動(dòng)①回顧舊知，引出新知填空：已知二次函數(shù)y=ax+bx+c，當(dāng)x=1時(shí)，y=__________；當(dāng)x=-1時(shí)，y=___________；當(dāng)x=2時(shí)，y=__________；當(dāng)x=-2時(shí)，y=___________.（3）當(dāng)a＞0，－EQ\F(b,2a)＞1時(shí)，2a+b_____0；當(dāng)a<0，－EQ\F(b,2a)＞1時(shí)，2a+b_____0；當(dāng)a＞0，－EQ\F(b,2a)＞-1時(shí)，2a-b_____0；當(dāng)a<0，－EQ\F(b,2a)＞-1時(shí)，2a-b_____0；學(xué)生搶答：（1）a+b+c；a-b+c；（2）4a+2b+c；4a-2b+c；（3）<；＞；＞；<【設(shè)計(jì)意圖】回憶前面所學(xué)的與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的知識(shí)，為學(xué)習(xí)新課作鋪墊．●活動(dòng)②合作歸納，獲取新知學(xué)生討論：1.a+b+c的符號(hào)：由x=____時(shí)拋物線上的點(diǎn)的位置確定點(diǎn)在x軸上方a+b+c____0點(diǎn)在x軸下方a+b+c____0點(diǎn)在x軸上a+b+c____0a-b+c的符號(hào)：由x=____時(shí)拋物線上的點(diǎn)的位置確定點(diǎn)在x軸上方a-b+c____0點(diǎn)在x軸下方a-b+c____0點(diǎn)在x軸上a-b+c____02.4a+2b+c的符號(hào)：由x=____時(shí)拋物線上的點(diǎn)的位置確定點(diǎn)在x軸上方4a+2b+c____0點(diǎn)在x軸下方4a+2b+c____0點(diǎn)在x軸上4a+2b+c____04a-2b+c的符號(hào)：由x=____時(shí)拋物線上的點(diǎn)的位置確定點(diǎn)在x軸上方4a-2b+c____0點(diǎn)在x軸下方4a-2b+c____0點(diǎn)在x軸上4a-2b+c____03.2a+b,2a-b的符號(hào):由對(duì)稱軸與直線x=____或x=____的位置確定.當(dāng)判斷2a+b的符號(hào)時(shí)，比較－EQ\F(b,2a)與____的大小關(guān)系當(dāng)判斷2a-b的符號(hào)時(shí)，比較－EQ\F(b,2a)與____的大小關(guān)系生答：1.1；＞，<，=.-1；＞，<，=.2.2；＞，<，=.-2；＞，<，=.3.1，-1；1；-1.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生根據(jù)已回顧的舊知，主動(dòng)去歸納含a,b,c的相關(guān)代數(shù)式的符號(hào)●活動(dòng)③小試牛刀拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，判斷下列各式的符號(hào)：（1）abc；（2）；（3）a+b+c；（4）a-b+c；（5）4a+2b+c；（6）4a-2b+c；（7）2a+b；（8）2a-b.學(xué)生討論得解：觀察圖象，由圖象開(kāi)口向下，得a<0.拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，又a<0，有b<0.圖象交y軸正半軸，知c＞0.∴abc＞0；（2）因圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴＞0；（3）圖象上的點(diǎn)（1，a+b+c）在第四象限，∴a+b+c<0；（4）圖象上的點(diǎn)（-1，a-b+c）在第二象限，∴a-b+c＞0；（5）圖象上的點(diǎn)（2，4a+2b+c）在第四象限，∴4a+2b+c<0；（6）圖象上的點(diǎn)（-2，4a-2b+c）在第三象限，∴4a-2b+c<0；（7）由a<0，－EQ\F(b,2a)<1，可得2a+b<0；（8）由a<0，－EQ\F(b,2a)＞-1，可得2a-b<0.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)怎樣應(yīng)用本節(jié)所學(xué)知識(shí)去解題.探究三應(yīng)用本節(jié)所學(xué)知識(shí)解題●活動(dòng)①基礎(chǔ)型例題例1.如圖，若a<0，b>0，c>0，則二次函數(shù)的圖象大致是()【知識(shí)點(diǎn)】a,b,c對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中所起的作用【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：∵a<0，∴圖象開(kāi)口向下；由a<0，b>0，得對(duì)稱軸＞0，∴圖象對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；∵c>0，∴圖象交y軸正半軸，故選A.【思路點(diǎn)撥】記住a,b,c對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中所起的作用是關(guān)鍵【答案】A練習(xí)：已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則點(diǎn)（ac，bc）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【知識(shí)點(diǎn)】a,b,c對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中所起的作用【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：圖象開(kāi)口向下，∴a<0；圖象交y軸正半軸，∴c>0；∵a<0，拋物線對(duì)稱軸在x軸右側(cè)，∴b＞0.∴ac<0，bc>0，∴點(diǎn)（ac，bc）在第二象限，故選B【思路點(diǎn)撥】記住a,b,c對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中所起的作用是關(guān)鍵【答案】B例2.已知拋物線的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定a,b,c,Δ及相關(guān)代數(shù)式的符號(hào)；【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：圖象上的點(diǎn)（1，a+b+c）在第四象限，∴a+b+c<0，A錯(cuò)誤；由a＞0，－EQ\F(b,2a)＞1，可得b<－2a，B錯(cuò)誤；圖象上的點(diǎn)（-1，a-b+c）在第二象限，∴a-b+c＞0，C正確；圖象交y軸于正半軸，∴c＞0，D錯(cuò)誤.故選C【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用a,b,c,Δ及相關(guān)代數(shù)式的符號(hào)與二次函數(shù)的圖象的關(guān)系判斷．【答案】C練習(xí)：二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象如圖所示，則下列關(guān)于a,b,c間的關(guān)系判斷正確的個(gè)數(shù)是（）①a＞0；②b＜0；③c＞0；④b-4ac＜0；⑤a+b+c＞0；⑥a-b+c＜0；⑦2a+b＞0.A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定a,b,c,Δ及相關(guān)代數(shù)式的符號(hào)【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：圖象開(kāi)口向上，∴a＞0，①正確；對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，a,b異號(hào)，可得b＜0,②正確；圖象交y軸正半軸，c＞0，③正確；圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，b-4ac＜0，④正確；圖象上的點(diǎn)（1，a+b+c）在第一象限，∴a+b+c＞0，⑤正確；圖象上的點(diǎn)（-1，a-b+c）在第二象限，∴a-b+c＞0，⑥錯(cuò)誤；由a＞0，－EQ\F(b,2a)<1，可得2a+b＞0，⑦正確；故選C【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用a,b,c,Δ及相關(guān)代數(shù)式的符號(hào)與二次函數(shù)的圖象的關(guān)系判斷．【答案】C【設(shè)計(jì)意圖】熟記a,b,c,Δ及相關(guān)代數(shù)式的符號(hào)與二次函數(shù)的圖象的關(guān)系●活動(dòng)2提升型例題例3.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，分析下列四個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正確的結(jié)論有（）A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：①由開(kāi)口向下，可得a＜0，又由拋物線與y軸交于正半軸，可得c＞0，然后由對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，得到b與a同號(hào)，則可得b＜0，abc＞0，故①錯(cuò)誤；②由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得b2﹣4ac＞0，故②正確；③當(dāng)x=﹣2時(shí)，y＜0，即4a﹣2b+c＜0（1）當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，即a+b+c＜0（2）（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0．故③錯(cuò)誤；④∵x=1時(shí)，y=a+b+c＜0，x=﹣1時(shí)，y=a﹣b+c＞0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)．故選：B．【思路點(diǎn)撥】③f（﹣2）+2f（1）=6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因?yàn)閍＜0，所以3a+c＜0．故錯(cuò)誤；④將x=1代入拋物線解析式得到a+b+c＜0，再將x=﹣1代入拋物線解析式得到a﹣b+c＞0，兩個(gè)不等式相乘，根據(jù)兩數(shù)相乘異號(hào)得負(fù)的取符號(hào)法則及平方差公式變形后，得到（a+c）2＜b2.【答案】B練習(xí)：如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），對(duì)稱軸為直線x=﹣1，給出四個(gè)結(jié)論：①c＞0；②若點(diǎn)B（﹣，y1）、C（﹣，y2）為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：由拋物線交y軸的正半軸，∴c＞0，故①正確；∵對(duì)稱軸為直線x=﹣1，∴點(diǎn)B（﹣，y1）距離對(duì)稱軸較近，∵拋物線開(kāi)口向下，∴y1＞y2，故②錯(cuò)誤；∵對(duì)稱軸為直線x=﹣1，∴﹣=﹣1，即2a﹣b=0，故③正確；由函數(shù)圖象可知拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0即4ac﹣b2＜0，∵a＜0，∴＞0，故④錯(cuò)誤；綜上，正確的結(jié)論是：①③，故選：B．【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)拋物線y軸交點(diǎn)情況判斷；②根據(jù)點(diǎn)離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近判斷；③根據(jù)拋物線對(duì)稱軸判斷；④根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)以及不等式的性質(zhì)判斷（也可以用最值的正負(fù)判斷）．【答案】B例4.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示對(duì)稱軸為．下列結(jié)論中，正確的是（）A.abc>0B.a+b=0C.2b+c>0D.4a+c<2b【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：觀察圖形知，拋物線的開(kāi)口方向向上，a＞0,對(duì)稱軸是直線x=-,代人對(duì)稱軸公式得：a=b,所以b＞0,拋物線與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸上，故c＜0,由此可知A項(xiàng)和B項(xiàng)錯(cuò)誤，觀察圖形，當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)，代入函數(shù)得，a+b+c＜0,即2b+c＜0,知C項(xiàng)錯(cuò)誤．觀察圖形，橫軸上的數(shù)字1所在位置介于對(duì)稱軸和拋物線與x軸的交點(diǎn)之間，根據(jù)對(duì)稱性，橫軸上的數(shù)字-2應(yīng)介于對(duì)稱軸和與拋物線另一交點(diǎn)之間，即當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)值為負(fù)，代人函數(shù)式得，4a-2b+c＜0,故D項(xiàng)正確．【思路點(diǎn)撥】此類問(wèn)題通常做法是：一觀察圖形，所有條件在圖形中找，二了解拋物線的性質(zhì)．【答案】D練習(xí)：如圖，是二次函數(shù)的圖象的一部分，圖象過(guò)A點(diǎn)（3，0），對(duì)稱軸為，給出三個(gè)結(jié)論：①；②；③的兩根分別為1和3；④．其中正確的命題是.【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：由圖象知：當(dāng)x=1時(shí)，y=ax2+bx+c=a+b+c＞0，∴①不正確.∵，a＜0，∴b＞0∴.∴②正確.∵圖象過(guò)點(diǎn)A（3,0），對(duì)稱軸為x=1，∴ax2+bx+c=0的兩根分別為-1和3.∴③正確.∵圖象過(guò)點(diǎn)A（3,0），∴9a+3b+c=0.∵=1，∴b=-2a.∴3a+c=0.又a＜0，∴8a+c＜0.∴④正確.綜上所述，正確的命題是②③④.【思路點(diǎn)撥】熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．●活動(dòng)3探究型例題例5.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（﹣1，0），（3，0）．對(duì)于下列命題：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正確的有（）A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：根據(jù)圖象可得：a＞0，c＜0，對(duì)稱軸：x=﹣＞0，①∵它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（﹣1，0），（3，0），∴對(duì)稱軸是x=1，∴﹣=1，∴b+2a=0，故①錯(cuò)誤；②∵a＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故②錯(cuò)誤；③∵a﹣b+c=0，∴c=b-a，∴a﹣2b+4c=a﹣2b+4(b-a)=2b-3a，∵b+2a=0，∴b=-2a，∴a﹣2b+4c=﹣4a-3a=﹣7a＜0，故此選項(xiàng)正確；④根據(jù)圖示知，當(dāng)x=4時(shí)，y＞0，∴16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0；故④正確；故正確為：③④2個(gè)．故選：B．【思路點(diǎn)撥】熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵【答案】B練習(xí)：如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出以下四個(gè)結(jié)論：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D． 4個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴c=0，∴abc=0∴①正確；∵x=1時(shí)，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正確；∵拋物線開(kāi)口向下，∴a＜0，∵拋物線的對(duì)稱軸是x=﹣，∴﹣，b＜0，∴b=3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正確；∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正確；綜上，可得正確結(jié)論有3個(gè)：①③④．故選：C．【思路點(diǎn)撥】熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵【答案】C例6.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列五個(gè)結(jié)論：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b>m(am+b)(m≠1，為實(shí)數(shù))．其中正確的結(jié)論有（）A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：（1）觀察圖象知，a<0，b＞0，c＞0，∴abc<0，①不正確；∵圖象上的點(diǎn)(-1,a-b+c)在第三象限，∴a-b+c<0，∴b＞a+c，②不正確；∵圖象上的點(diǎn)(2,4a+2b+c)在第一象限，∴4a+2b+c>0，③正確；∵對(duì)稱軸是x=1，∴，∴，將其代入a-b+c<0中，有-b+c<0，∴2c<3b，④正確；∵拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值y最大.∴當(dāng)x=1時(shí)的函數(shù)值大于x=m(m1)時(shí)的函數(shù)值，即a+b+c＞am+bm+c，∴a+b＞m（am+b），⑤正確．綜上正確的有③④⑤，故選B【思路點(diǎn)撥】熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵【答案】B練習(xí)：如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于(，0)，(，0)兩點(diǎn)，且，與y軸相交于(0，-2)，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(

)A．1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D．4個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：由圖知：.當(dāng)時(shí)，，所以，故③錯(cuò)誤；因?yàn)閽佄锞€與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以即，所以④正確；當(dāng)時(shí)，由圖象得，即，所以，故①錯(cuò)誤；因?yàn)?，又，所以，故②錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，即，所以，故⑤錯(cuò)誤．

所以答案選A．【思路點(diǎn)撥】熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵【答案】A【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：a、b、c及代數(shù)式由拋物線的決定具體說(shuō)明a由拋物線的開(kāi)口方向決定開(kāi)口向上a>0開(kāi)口向下a<0b由對(duì)稱軸x=－EQ\F(b,2a)的位置決定對(duì)稱軸在y軸左側(cè)a、b同號(hào)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)a、b異號(hào)對(duì)稱軸是y軸b=0c由拋物線與y軸交點(diǎn)（0，c）的位置決定與y軸交點(diǎn)在正半軸上c>0與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸上c<0拋物線過(guò)原點(diǎn)c=0b2-4ac由拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定與x軸有2個(gè)交點(diǎn)>0與x軸有1個(gè)交點(diǎn)=0與x軸沒(méi)有交點(diǎn)<02a-b

－EQ\F(b,2a)與-1比較2a+b－EQ\F(b,2a)與1比較a+b+c令x=1，看縱坐標(biāo)a-b+c

令x=-1，看縱坐標(biāo)4a+2b+c

令x=2，看縱坐標(biāo)4a-2b+c

令x=-2，看縱坐標(biāo)重難點(diǎn)歸納利用二次函數(shù)y＝ax＋bx＋c的圖象信息判斷各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)的方法：(1)a決定拋物線的開(kāi)口方向，簡(jiǎn)記為“正上負(fù)下”；(2)c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)位置，簡(jiǎn)記為“上正下負(fù)原點(diǎn)0”；(3)a，b的符號(hào)共同決定對(duì)稱軸的位置，簡(jiǎn)記為“左同右異y軸0”．另外還要注意特殊值的意義，如x＝1，－1，2，－2時(shí)y的值的符號(hào)．可以由圖象的位置來(lái)判斷各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，也可以由各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷圖象的位置．(4)解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，即會(huì)觀察圖象；如遇到2a+b,2a-b要與對(duì)稱軸聯(lián)系等.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.二次函數(shù)y=kx2-3x+2k-k2的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則k=.【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【解題過(guò)程】由題意知，2k-k2=0，且k0，∴k=2，故填2【思路點(diǎn)撥】圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，c=0,注意隱含條件k0【答案】22.若二次函數(shù)y=ax2+3x-1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是.【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【解題過(guò)程】由題意，得9+4a＞0且a0，∴a＞且a0.故填a＞且a0.【思路點(diǎn)撥】圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則Δ＞0，注意隱含條件a0.【答案】a＞且a0.3.已知拋物線在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是（）A、＞0B、＜0 C、＜0 D、++＞0【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：A、∵拋物線的開(kāi)口向下，∴＜0，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵拋物線的對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，∴，異號(hào)，由A、知＜0，∴＞0，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，∴＞0，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、=1，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在軸上方，即=1，，選項(xiàng)正確．故選D．【思路點(diǎn)撥】記住a,b,c對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中所起的作用是關(guān)鍵【答案】D4.在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+b的大致圖象是（）【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：A、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得：a＞0，此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+b的圖象應(yīng)該開(kāi)口向上，故A錯(cuò)誤；B、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得：a＜0，b＞0，此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+b的圖象應(yīng)該開(kāi)口向下，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于零，故B錯(cuò)誤；C、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得：a＜0，b＞0，此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+b的圖象應(yīng)該開(kāi)口向下，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于零，故C正確；D、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得：a＞0，b＞0，此時(shí)拋物線y=ax2+b的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于零，故D錯(cuò)誤；故選：C．【解題過(guò)程】記住一次函數(shù)圖象、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是關(guān)鍵【答案】C5.如圖是二次函數(shù)的圖象，下列結(jié)論：①二次三項(xiàng)式的最大值為4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程的兩根之和為-1；④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），∴二次三項(xiàng)式的最大值為4，故①正確；∵x=2時(shí)，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②正確；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，一元二次方程的兩根之和為-2，故③錯(cuò)誤；使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0或x≤-2，故④錯(cuò)誤，故選：B．【思路點(diǎn)撥】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、正確獲取圖象信息是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)確定二次三項(xiàng)式的最大值；②根據(jù)x=2時(shí)，y＜0確定4a+2b+c的符號(hào)；③根據(jù)拋物線的對(duì)稱性確定一元二次方程的兩根之和；④根據(jù)函數(shù)圖象確定使y≤3成立的x的取值范圍．【答案】B6.如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的有（） A、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、1個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：（1）根據(jù)圖示知，該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴Δ=b2﹣4ac＞0，故本選項(xiàng)正確；（2）由圖象知，該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)0＜y＜1，∴c＜1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；（3）由圖示，知對(duì)稱軸x=＞﹣1，又∵函數(shù)圖象的開(kāi)口向下，∴a＜0，∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，故本選項(xiàng)正確；（4）根據(jù)圖示可知，當(dāng)x=1，即y=a+b+c＜0，∴a+b+c＜0；故本選項(xiàng)正確．綜上所述，其中錯(cuò)誤的是（2），共有1個(gè)．故選D．【思路點(diǎn)撥】由拋物線的開(kāi)口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與1的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，從而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【答案】D．能力型師生共研7.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），下列結(jié)論：①；②；③；④.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象反應(yīng)出的數(shù)量關(guān)系，逐一判斷正確性：根據(jù)圖象可知：①＜0，＞0，∴＜0，正確；②∵頂點(diǎn)坐標(biāo)橫坐標(biāo)等于，∴，∴，正確；③∵頂點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)為1，∴，∴，正確；④當(dāng)=1時(shí)，，錯(cuò)誤．正確的有3個(gè)．故選C．【思路點(diǎn)撥】利用對(duì)稱軸進(jìn)行判定；利用頂點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)判定．【答案】C．8.如圖為拋物線的圖象，A、B、C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且OA=OC=1，則下列關(guān)系中正確的是（）A、 B、C、 D、【知識(shí)點(diǎn)】拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：由題意設(shè)C（0，1），∵OA=OC=1，∴A（-1，0），把A（-1，0）代入，得，即可得．故選B．【思路點(diǎn)撥】把（-1，0）代入中是解題關(guān)鍵．【答案】B探究型多維突破9.已知二次函數(shù)的圖象如圖，有下列結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②abc>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0；=5\*GB3⑤6a+3b+c>0.其中正確的有()A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：（1）圖象與x軸交于兩點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，①正確；（2）觀察圖象知，a＞0，b<0，c<0，∴abc>0，②正確；（3）∵對(duì)稱軸是x=1，∴，∴b=-2a.∵圖象上的點(diǎn)(-2,4a-2b+c)在第二象限，∴4a-2b+c＞0，把b=-2a代入，得8a+c>0，③正確；（4）∵圖象上的點(diǎn)(3,9a+3b+c)在第四象限，∴9a+3b+c＜0，④錯(cuò)誤；（5）把b=-2a代入6a+3b+c中化簡(jiǎn)得c,而c<0，∴6a+3b+c<0，=5\*GB3⑤錯(cuò)誤．其中正確的有3個(gè)，故選B．【思路點(diǎn)撥】能根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定a,b,c,Δ及相關(guān)代數(shù)式的符號(hào)是解題關(guān)鍵.【答案】B10.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：①∵函數(shù)開(kāi)口方向向上，∴a＞0；∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)∴ab異號(hào)，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x=1，∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），∴當(dāng)x=2時(shí)，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②錯(cuò)誤；③∵圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵對(duì)稱軸為直線x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4?a?（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正確④∵圖象與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正確⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正確；故選：D．【思路點(diǎn)撥】能根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定a,b,c,Δ及相關(guān)代數(shù)式的符號(hào)是解題關(guān)鍵.【答案】D自助餐1.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，其對(duì)稱軸x=﹣1，給出下列結(jié)果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，則正確的結(jié)論是（）A、①②③④ B、②④⑤C、②③④ D、①④⑤【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)情況，拋物線的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸及與y軸的交點(diǎn)，當(dāng)x=±1時(shí)的函數(shù)值，逐一判斷：∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴Δ=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正確；∵拋物線對(duì)稱軸為x=，與y軸交于負(fù)半軸，∴ab＞0，c＜0，abc＜0，故②錯(cuò)誤；∵拋物線對(duì)稱軸為x=，∴2a﹣b=0，故③錯(cuò)誤；∵當(dāng)x=1時(shí)，y＞0，即a+b+c＞0，故④正確；∵當(dāng)x=﹣1時(shí)，y＜0，即a﹣b+c＜0，故⑤正確．正確的是①④⑤．故選D．【思路點(diǎn)撥】能根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定a,b,c,Δ及相關(guān)代數(shù)式的符號(hào)是解題關(guān)鍵.【答案】D2.不論x為何值，二次函數(shù)y=ax-x+c的值恒為負(fù)，那么a,c應(yīng)滿足（）【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】解：∵不論x為何值，二次函數(shù)y=ax-x+c的值恒為負(fù)，∴二次函數(shù)圖象應(yīng)開(kāi)口向下，a<0；且圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，b-4ac<0,∴1-4ac<0,∴＞.故選C【思路點(diǎn)撥】二次函數(shù)y=ax+bx+c的值恒為負(fù)的條件是a<0且b-4ac<0．【答案】C3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3