考點(diǎn)19.圓的相關(guān)概念與性質(zhì)（精講）【命題趨勢】圓的相關(guān)概念及性質(zhì)在中考數(shù)學(xué)中，小題通常考查圓的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形等基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度一般在中檔及以下，而在解答題中，圓的基本性質(zhì)還可以和相似、三角形函數(shù)、特殊四邊形等結(jié)合出題，難度中等或偏上。在整個(gè)中考中的占比也不是很大，通常都是一道小題一道大題，分值在8-10分左右，屬于中考中的中檔考題。所以考生在復(fù)習(xí)這塊考點(diǎn)的時(shí)候，要充分掌握圓的基本性質(zhì)的各個(gè)概念、性質(zhì)以及推論。【知識清單】1．與圓有關(guān)的概念（☆）1）圓：平面上到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長（半徑）的所有點(diǎn)組成的圖形。2）弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦。3）弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，符號：；小于半圓的弧叫劣弧，大于半圓的弧叫優(yōu)弧。4）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。5）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。6）弦心距：圓心到弦的距離，叫弦心距。7）同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；等圓：半徑相等的圓叫做等圓；同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓。8）在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧，度數(shù)或長度相等的弧不一定是等弧。2：二圓的相關(guān)性質(zhì)及推理（☆☆☆）1）圓的對稱性（1）圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。其中直徑所在的直線都是圓的對稱軸；圓心是圓的對稱中心，將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。（2）圓是一個(gè)特殊的對稱圖形，它的許多性質(zhì)都可以由它的對稱性推出。2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。解題技巧：關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形。3）推論1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?）如圖，可得①AB過圓心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤?？偨Y(jié)：垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）；（4）平分弦所對的優(yōu)??；（5）平分弦所對的劣弧。若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，簡稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理。4）弧、弦、圓心角的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等。解題技巧：運(yùn)用這些相等關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化。5）圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。注意：圓的一條?。ㄏ遥┲粚χ粋€(gè)圓心角，對應(yīng)的圓周角有無數(shù)個(gè)，但圓周角的度數(shù)只有兩個(gè)，這兩個(gè)度數(shù)和為180°。6）圓內(nèi)接四邊形：如果四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形。這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓。性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角。解題技巧：（1）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?；（2）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對的圓周角；（3）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等?！疽族e(cuò)點(diǎn)歸納】1.求兩條弦間的距離時(shí)要分類討論兩條弦與圓心的相對位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)。2.圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.圓的有關(guān)概念例1：（2023·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）下列說法中正確的是（

）A．直徑是弦，半圓不是弧 B．相等的圓心角所對的弧也相等C．周長相等的兩個(gè)圓是等圓 D．圓是軸對稱圖形，每一條直徑都是它的對稱軸【答案】C【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)．根據(jù)圓的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可求解．【詳解】解：A、直徑是弦，半圓是弧，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、同圓（或等圓）中，相等的圓心角所對的弧也相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、周長相等的兩個(gè)圓是等圓，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D、圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C變式1．（2023·江蘇宿遷·九年級校聯(lián)考期中）下列說法中，正確的是（

）A．半圓是弧，弧也是半圓B．長度相等的弧是等弧C．弦是直徑D．在一個(gè)圓中，直徑是最長的弦【答案】D【分析】本題考查圓的基本概念辨析．根據(jù)?。簣A上兩點(diǎn)及其所夾的部分；弦：連接圓上兩點(diǎn)形成的線段，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、半圓是弧，但弧不一定是半圓，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、弦不一定是直徑，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、在一個(gè)圓中，直徑是最長的弦，故選項(xiàng)正確；故選D．變式2.（2023·福建·?？级＃┥钪薪?jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進(jìn)井里去，這是因?yàn)椋?/p>

）A．同樣長度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個(gè)圓所有的直徑都相等C．圓的周長是直徑的倍D．圓是軸對稱圖形【答案】B【分析】根據(jù)圓的特征即可求解．【詳解】解：根據(jù)同一個(gè)圓所有的直徑都相等，則井蓋就不會掉進(jìn)井里去，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識，理解并掌握圓的基礎(chǔ)知識，圓的基本特征是解題的關(guān)鍵．例2：（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正確的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形【答案】B【分析】根據(jù)扇形的定義，即可求解．扇形，是圓的一部分，由兩個(gè)半徑和和一段弧圍成．【詳解】解：甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，只有乙是扇形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的定義，熟練掌握扇形的定義是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023上·河北滄州·九年級?？计谥校┤鐖D，由點(diǎn)P引出的為的四條弦，其中最長的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓中最長的弦為直徑，根據(jù)圓中最長的弦為直徑進(jìn)行作答即可．【詳解】解：由圖可知，過圓心為直徑，∴最長，故選：C．變式2.（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）計(jì)算機(jī)處理任務(wù)時(shí)，經(jīng)常會以圓形進(jìn)度條的形式顯示任務(wù)完成的百分比．下面是同一個(gè)任務(wù)進(jìn)行到不同階段時(shí)進(jìn)度條的示意圖：若圓半徑為1，當(dāng)任務(wù)完成的百分比為x時(shí)，線段MN的長度記為d（x）．下列描述正確的是（）

A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】D【分析】根據(jù)已知，利用圖象判斷即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

A、，本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，，本選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)時(shí)，與可能相等，可能不等，本選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，，本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓知識的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．例3：（2023年江蘇省徐州市中考數(shù)學(xué)真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到；玉壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．(1)若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請畫出內(nèi)孔．【答案】(1)(2)①符合，圖見詳解；②圖見詳解【分析】（1）根據(jù)圓環(huán)面積可進(jìn)行求解；（2）①先確定該圓環(huán)的圓心，然后利用圓規(guī)確定其比例關(guān)系即可；②先確定好圓的圓心，然后根據(jù)平行線所截線段成比例可進(jìn)行作圖．【詳解】（1）解：由圖1可知：璧的“肉”的面積為；環(huán)的“肉”的面積為，∴它們的面積之比為；故答案為；（2）解：①在該圓環(huán)任意畫兩條相交的線，且交點(diǎn)在外圓的圓上，且與外圓的交點(diǎn)分別為A、B、C，則分別以A、B為圓心，大于長為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，同理可畫出線段的垂直平分線，線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心O，過圓心O畫一條直徑，以O(shè)為圓心，內(nèi)圓半徑為半徑畫弧，看是否滿足“肉好若一”的比例關(guān)系即可

由作圖可知滿足比例關(guān)系為的關(guān)系；②按照①中作出圓的圓心O，過圓心畫一條直徑，過點(diǎn)A作一條射線，然后以A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，把射線三等分，交點(diǎn)分別為C、D、E，連接，然后分別過點(diǎn)C、D作的平行線，交于點(diǎn)F、G，進(jìn)而以為直徑畫圓，則問題得解；如圖所示：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例，熟練掌握圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍【答案】B【分析】設(shè)OB=x，則OA=3x，BC=2x，根據(jù)圓的面積公式和正方形的面積公式，求出面積，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：由圓和正方形的對稱性，可知：OA=OD，OB=OC，∵圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1，∴設(shè)OB=x，則OA=3x，BC=2x，∴圓的面積=π(3x)2=9πx2，正方形的面積==2x2，∴9πx2÷2x2=，即：圓的面積約為正方形面積的14倍，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓和正方形的面積以及對稱性，根據(jù)題意畫出圖形，用未知數(shù)表示各個(gè)圖形的面積，是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形的面積為2，以它的對角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的周長為．

【答案】【分析】根據(jù)正方形的面積為2，求出，根據(jù)位似比求出，周長即可得出；【詳解】解：連接，則是四邊形的外接圓的直徑．

正方形的面積為2，，，，，∴四邊形的外接圓的周長；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形，涉及知識點(diǎn)：正方形的面積，正方形的對角線，圓的周長，解題關(guān)鍵求出正方形的邊長．例4：（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦半徑，則的度數(shù)為．【答案】100°/100度【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠OCA的度數(shù)，再根據(jù)等邊對等角求出∠OAC的度數(shù)，即可利用三角形內(nèi)角和定理求出∠AOC的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴∠OCA=∠BOC=40°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=40°，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°，故答案為：100°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·湖南長沙·?？级＃┤鐖D，點(diǎn)A，B，C均在上，若，，則（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)等邊對等角得出，則，最后根據(jù)等角對等角得出，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，

∵，∴，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握半徑相等，等腰三角形“等邊對等角”．變式2．（2023年江西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)，，，均在直線上，點(diǎn)在直線外，則經(jīng)過其中任意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫出圓的個(gè)數(shù)為（

）

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓可得，直線上任意2個(gè)點(diǎn)加上點(diǎn)可以畫出一個(gè)圓，據(jù)此列舉所有可能即可求解．【詳解】解：依題意，；；；；，加上點(diǎn)可以畫出一個(gè)圓，∴共有6個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓是解題的關(guān)鍵．例5：（2024上·北京豐臺·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，，連接，．則下面結(jié)論不一定成立的是（

）

A．B．C．D．平分【答案】D【分析】本題考查了直角三角形的特征，圓的定義，圓的基本性質(zhì)；由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半得，再由圓的定義得點(diǎn)A、D、C、B在以O(shè)為圓心，長為半徑的圓上，由圓的基本性質(zhì)及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求解；掌握有關(guān)性質(zhì)，能根據(jù)圓的定義確定A、D、C、B四點(diǎn)共圓是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，，，，，點(diǎn)A、D、C、B在以O(shè)為圓心，長為半徑的圓上，如圖，故A結(jié)論正確，不符合題意；

由圓周角定理得到，故B結(jié)論正確，不符合題意；四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，故C結(jié)論正確，不符合題意；和不一定相等，和不一定相等，不一定平分，故D結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．變式1．（2023上·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長線上，，，點(diǎn)是上一動點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系；作，使得，，則，，，由，推出，即（定長），由點(diǎn)是定點(diǎn)，是定長，點(diǎn)在半徑為1的上，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，作，使得，，則，，，，，，，，，即（定長），點(diǎn)是定點(diǎn)，是定長，點(diǎn)在半徑為1的上，，的最大值為，故選：C．變式2．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在等腰中，，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長是．【答案】【分析】取AB中點(diǎn)O，連接OP，OC，取OC中點(diǎn)D，連接MD，由勾股定理可得的長度，由三角形中位線定理可知，可以推出點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓．【詳解】取AB中點(diǎn)O，連接OP，OC，取OC中點(diǎn)D，連接MD，∵為等腰直角三角形，∴，，，由題意可知，點(diǎn)M的運(yùn)動路徑是以點(diǎn)D為圓心，以為半徑的半圓，點(diǎn)M的運(yùn)動路徑長，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡、點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動所形成的的圓形為點(diǎn)運(yùn)動的軌跡、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理、圓的周長的計(jì)算等知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，正確尋找點(diǎn)的運(yùn)動軌跡．核心考點(diǎn)2.圓的相關(guān)性質(zhì)及推理例5：（2023·四川德陽·模擬預(yù)測）下列語句中，正確的是（）①相等的圓周角所對的弧相等；②同弧或等弧所對的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的??；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形．A．①② B．②③ C．②④ D．④【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理判斷．【詳解】①在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，本說法錯(cuò)誤；②同弧或等弧所對的圓周角相等，本說法正確；③平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，本說法錯(cuò)誤；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形，本說法正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，掌握圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級?？计谥校┫铝忻}錯(cuò)誤的有（

）個(gè)A．弧長相等的兩段弧是等弧；B．過弦的中點(diǎn)的直徑平分弦所對的兩條??；C．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；D．如果一個(gè)四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題根據(jù)等弧的定義、垂徑定理、圓的對稱性以及四點(diǎn)共圓的判定逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、在同圓或等圓中，弧長相等的兩段弧是等弧，故A錯(cuò)誤，符合題意．B、過弦（弦不能是直徑）的中點(diǎn)的直徑平分弦所對的兩條弧，故B錯(cuò)誤，符合題意．C、圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故C錯(cuò)誤，符合題意．D、如果一個(gè)四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，D正確，不符合題意．綜上所述，符合題意的總共有3個(gè)，故選：C．變式2．（2024上·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）有下列命題：①不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；②相等的圓心角所對的弦相等；③同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A心角等于該弧所對的圓周角的一半；④三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形的內(nèi)心，是三邊垂直平分線的交點(diǎn)；⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．其中真命題的個(gè)數(shù)有個(gè)．【答案】【分析】根據(jù)圓的相關(guān)定義、定理，即可進(jìn)行判斷求解，本題考查了，圓的基本概念，圓周角定理，三角形內(nèi)心的定義，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記并充分理解相關(guān)定義、定理．【詳解】①不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，是真命題，②相等的圓心角所對的弦相等，是假命題，前提條件是：在同圓或等圓中，③同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A心角等于該弧所對的圓周角的一半，是真命題，④三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形的內(nèi)心，是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，是假命題，三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，是真命題，綜上所述①③⑤為真命題，故答案為：．例6：（2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個(gè)“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點(diǎn)，連接，與弦交于點(diǎn)，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm【答案】A【分析】首先利用垂徑定理的推論得出，，再設(shè)的半徑為，則．在中根據(jù)勾股定理列出方程，求出即可．【詳解】解：是的一部分，是的中點(diǎn)，，，．設(shè)的半徑為，則．在中，，，，，即的半徑為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，設(shè)的半徑為，列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，都是的半徑，交于點(diǎn)D．若，則的長為（

）．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)一步可求出的長．【詳解】解：∵∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，∵∴，由勾股定理得，∴∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及圓的有關(guān)性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵變式2．（2024·四川涼山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）建設(shè)中的“樂西高速”是樂山市與西昌市的重要通道，建成后將極大改善區(qū)域內(nèi)交通運(yùn)輸條件，并對沿途各縣的經(jīng)濟(jì)發(fā)展有極大地促進(jìn)作用，如圖是其中一個(gè)在建隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，若M是⊙O中弦的中點(diǎn)，經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，且，，則⊙O的半徑為（

）mA．5 B．6.5 C．7.5 D．8【答案】A【分析】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用依據(jù)勾股定理等知識，根據(jù)垂徑定理得,則,在中，由勾股定理得，進(jìn)而求出半徑即可．【詳解】解：連接，如圖所示：是弦的中點(diǎn)，m，m，設(shè)的半徑為m,在中，由勾股定理得：,即：，解得：，即的半徑為5m，故答案為：5．例7：（2023·遼寧撫順·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形內(nèi)接，平分，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、與的大小關(guān)系不確定，與不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、平分，，，，故本選項(xiàng)正確；C、與的大小關(guān)系不確定，與不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、與的大小關(guān)系不確定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．變式1.（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）如圖，是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，，D是弧的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)E．若E是的中點(diǎn)，則的長為（）

A．5 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】連接交于F，由垂徑定理得，，可證，接著證明得到，計(jì)算得，然后設(shè)，則，，最后利用勾股定理計(jì)算得到BC的長．【詳解】解：連接交于F，如圖，D是弧的中點(diǎn)，，，是直徑，，，，E是的中點(diǎn)，，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，，解得，即，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等，也考查了垂徑定理．變式2.（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在中，弦相交于點(diǎn)E，連接，已知．(1)求證：；(2)如果的半徑為5，，求的長．

【答案】(1)見解析(2)7【分析】（1）根據(jù)，可得，再證明，即可；（2）過O作與F，于G，連接，則，根據(jù)垂徑定理可得，證明，可得，從而得到四邊形是正方形，可得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出x的值，即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，在與中，，∴，∴；（2）解：過O作與F，于G，連接，則，

∴四邊形是矩形，根據(jù)垂徑定理得：，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴四邊形是正方形，∴，設(shè)，則，∴，即，解得：或（舍去），∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，弧、弦，圓心角的關(guān)系，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，弧、弦，圓心角的關(guān)系，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例8：（2023年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，半徑互相垂直，點(diǎn)在劣弧上．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)互相垂直可得所對的圓心角為，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，

半徑互相垂直，，所對的圓心角為，所對的圓周角，又，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握：同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．變式1．（2023年遼寧省阜新市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，A，B，C是上的三點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用圓周角定理求出，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點(diǎn)，的半徑為2．若，則的長為（

）

A．2 B． C． D．【答案】D【分析】連接，圓周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位線定理，即可求出的長．【詳解】解：連接，

∵的半徑為2．，∴，∴，∵D，G分別為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和三角形的中位線定理．熟練掌握相關(guān)定理，并靈活運(yùn)用，是解題關(guān)鍵．例9：（2023年山東省棗莊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，弦相交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理，可以得到的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可以求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出的度數(shù)．變式1.（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）某圓形舞臺，圓心為．，是舞臺邊緣上兩個(gè)固定位置，由線段及優(yōu)?。c(diǎn)是該弧中點(diǎn)）圍成的區(qū)域是表演區(qū)．如圖1，在處安裝一臺監(jiān)控器，其監(jiān)控的度為．如圖2，若再加一臺該型號的監(jiān)控器，可以監(jiān)控到表演區(qū)的整個(gè)區(qū)域，則下列方案可行的是（

）

甲：在處放置；乙：在處放置；丙：在處放置A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙【答案】A【分析】結(jié)合圓的基本性質(zhì)和定理逐項(xiàng)分析即可得出結(jié)論．【詳解】解：①若在處放置，如圖1所示，連接；

∵點(diǎn)是優(yōu)弧的中點(diǎn)，∴，，∴在處安裝監(jiān)控器可監(jiān)控到所對的區(qū)域，即兩臺監(jiān)控器可滿足監(jiān)控到表演區(qū)的整個(gè)區(qū)域，故甲方案可行；②若在處放置，如圖2所示，連接、、；由①知，由圓周角定理，，∴在處安裝監(jiān)控器可監(jiān)控到所對的區(qū)域，即兩臺監(jiān)控器可滿足監(jiān)控到表演區(qū)的整個(gè)區(qū)域，故乙方案可行；③若在處放置，如圖3所示，連接、、、，要使得其與處監(jiān)控器能夠監(jiān)控到表演區(qū)的整個(gè)區(qū)域，則處監(jiān)控器應(yīng)該監(jiān)控到所對弓形的內(nèi)部，由圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)可知，，∵監(jiān)控器監(jiān)控的度為，∴無法滿足監(jiān)控到所對弓形的內(nèi)部，即丙方案不可行；綜上分析，甲、乙方案可行，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)運(yùn)用，掌握圓的基本性質(zhì)和常見定理，熟練運(yùn)用于實(shí)際問題中是解題關(guān)鍵．變式2．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，是的內(nèi)接三角形，為的直徑，平分，交于點(diǎn)D，連接，點(diǎn)E在弦上，且，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到，根據(jù)等邊對等角得到，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解即可；（2）連接，首先證明出，得到，，然后由勾股定理得到，然后證明出是等邊三角形，進(jìn)而得到．【詳解】（1）證明：∵平分∴∵∴∵∴即（2）解：連接，∵為的直徑∴∵∴∴，∵在中，∴∵∴∵∴是等邊三角形∴．【點(diǎn)睛】此題考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．例10：（2023年遼寧省營口市中考數(shù)學(xué)真題）如圖所示，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，連接，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，連接，先由同弧所對的圓周角相等得到，再由直徑所對的圓周角是直角得到，則．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，故選D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，正確求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023年廣東省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握直徑所對圓周角為直角是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)(1)求證：；(2)若，求的長度．【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)由是的直徑，則，而，所以；由點(diǎn)C是的中點(diǎn)，得到，于是，即可得到；連接，，，可得圓的半徑為6，在直角三角形中，由，可得，進(jìn)而推出等于，再用弧長公式求解即可．本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，解直角三角形，弧長的計(jì)算，難度適中．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【詳解】（1）證明：是的直徑，，又，，，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，，，（2）解：連接，，，，，，，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，，的長度．例11：（2023年西藏自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，E為BC延長線上一點(diǎn)．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)求出的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握這些定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，D，C是上的點(diǎn)，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)和直徑所對圓周角等于90度求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，涉及圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)和直徑所對圓周角等于90