河北省唐山市灤南縣2023-2024學年高二下學期期中質量檢測

數(shù)學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知函數(shù)/(x)在x=x0處的導數(shù)為12,則lim/(尤。+—)一"％)=()

3Ar

A.-4B.4C.-36D.36

2.函數(shù)"x)=f-Inx單調遞減區(qū)間是()

■"],唱小劌’唱

3.北斗七星是夜空中的七顆亮星，我國漢代緯書《春秋運斗樞》就有記載，它們成的圖形

像我國古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不僅是天上的星象，是古人藉以判斷季節(jié)

的依據(jù)之一.如圖，用點A,B,C,D,E,F,G表示某季節(jié)的北斗七星，其中8,D,E,

F看作共線，其他任何三點均不共線，若過這七個點中任意三個點作三角形，則所作的不同

三角形的個數(shù)為()

C.

*G

B????

DEF

9A

A.35B.34

C.31D.30

4.(l+2x+/)5的展開式中/的系數(shù)為()

A.200B.210C.220D.240

5.數(shù)形結合是非常重要的數(shù)學思想，以函數(shù)為例，數(shù)是解析式，形是圖像.現(xiàn)有函數(shù)

f(x)=(x2-x)e,則它的圖像大致是()

6.某校三位同學報名參加數(shù)理化生四科學科競賽，每人限報且必須報兩門，由于數(shù)學是該

校優(yōu)勢科目，必須至少有兩人參賽，若要求每門學科都有人報名，則不同的參賽方案有（）

A.51種B.45種C.48種D.42種

7.函數(shù)了（力=依3+/+5x—i恰有3個單調區(qū)間的必要不充分條件是（）

A.1巴A）C.（f0）口（0,曰D.（y,。）

8.若函數(shù)〃尤）=電竺，且0<%<三<1,設〃=任生,匕=吧三，則的大小關系是（）

X再/

A.a>bB.a<bC.a=bD.〃,匕的大小不能確定

二、多選題

9.下列求導運算正確的是（）

A.（x+-y=i-4

XX

B.A雷=（帆+1）A：

C.C篇+2A；=4974

D./（x）=cos（2x-l）,則f'（x）=-sin（2x-1）

525

10.x=a0+（1—x）+a2（1—x）4---1-a5（l—x）,其中q（，=0,1…,5）為實數(shù)，則（）

A.。（）—0B.〃3=-10C.。］+。3+。5=—16D.。］+。2+，,，+。5=1

11.觀察圖象，下列結論錯誤的有（）

試卷第2頁，共4頁

px

A.若圖中為，(x)圖象，則〃x)在X=-2處取極小值

B.若圖中為/(尤)圖象，則/(x)兩個極值點

C.若圖中為y=(x+2)r(x)圖象，則/⑺在(0,2)上單調遞增

D.若圖中為y=(x+2)〃x)圖象，貝廳(x)40的解集為{x|-2JW2}

三、填空題

12.若函數(shù)滿足〃x)=x2/'(l)+lnx,則尸K___________.

13.已知(1-詞(l+x『的展開式中/的系數(shù)為TO,則實數(shù)。的值為.

14.已知函數(shù)/(x)=xlnx+Y,且%是函數(shù)的極值點.給出以下幾個命題:

①0</<一;

e

_1

②尤o>—；

e

③/(%)+%<0；

④+%>。

其中正確的命題是.(填出所有正確命題的序號)

四、解答題

15.(1)一場班級元旦晚會有有2個唱歌節(jié)目。和6；2個相聲節(jié)目1和2.要求排出一個

節(jié)目單，滿足第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目.一共有多少種可能(結果用數(shù)字表

示)？并列出所有可能的排列.

(2)7個人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，有多

少不同的種排法？(結果用數(shù)字表示)

(3)從4名男青年教師和5名女青年教師中選出4名教師參加新教材培訓，要求至少有2

名男教師和1名女教師參加，有多少種不同的選法？(結果用數(shù)字表示)

16.從①第4項的系數(shù)與第2項的系數(shù)之比是:；②第3項與倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)之和

為36；這兩個條件中任選一個，再解決補充完整的題目.

已知=40+"+02*2-1-----(weN*),且(2x-l)”的二項展開式中，.

⑴求”的值；

(2)①求二項展開式的中間項；

②求聞+同+同+…+㈤的值.

17.某集團為獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷.經(jīng)調查，每年投入費r

(單位:百萬元)，可增加銷售額約為-r+5/(單位:百萬元)(0WfW3).

(1)該公司將當年的廣告費控制在3百萬元之內，則應投入多少廣告費，才能使該公司獲得

的收益最大？

(2)該公司準備共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術改造.經(jīng)預測，每投入技術改造費x

(單位:百萬元)，可增加的銷售額為-：丁+/+3工(單位:百萬元).請設計一個資金分配方

案，使該公司獲得的收益最大.(注:收益=銷售額-投入)

18.已知函數(shù)/(x)=e*-fcv,(左eR,xeR)

⑴若左>0,且對于任意xNO,/(x)>0恒成立，求實數(shù)上的取值范圍；

(2)令g(x)=/-21nx,若至少存在一個實數(shù)&e[l,e],使/(%)<g(x0)成立，求實數(shù)A的取

值范圍.

19.已知函數(shù)/=ov(aeR).

(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；

(2)當。>0時,求函數(shù)在[L2]上最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【分析】由極限的性質結合導數(shù)的定義計算即可.

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)“X)在x=x0處的導數(shù)尸(x)=12,

則圓/(訪+M-/㈤=！同為。+MT⑷」4,

go3Ax3^0Ax3\'

故選：B

2.A

【分析】求導后，令/'(x)WO,解出即可.

2

【詳解】/,(x)=2x--1=^?x-^—,1x>0,

XX

令尸(x)W。，解得0<》考，

所以單調遞減區(qū)間為

故選：A.

3.C

【分析】由間接法，從所有三角形中減去不能構成三角形的情況計算即可.

【詳解】從這七個點任意選取三個點有C；=35個，

其中共線的四點中有C：=4個不能構成三角形，

所以不同的三角形個數(shù)有31個，

故選：C.

4.B

【分析】變形給定式子，再利用二項式定理求解作答.

【詳解】依題意，(l+2x+/)5=((i+x)2]5=(i+xy。，而(1+方。展開式中f的系數(shù)為

C：°=C：°=210,

所以(l+2x+/)5的展開式中爐的系數(shù)為210.

故選：B

5.D

答案第1頁，共10頁

【分析】根據(jù)函數(shù)〃尤圖像的特點以及特殊值一一判斷即可.

【詳解】當f（工）=（3-x）e*=0則有尤=0或x=l,排除A,C,

2x

fXx）=（x+x-l）e=0，則有/+尤-1=0顯然方程有兩個根占,三，

且為%=-1,/（X）有兩個極值點，排除B,

故選：D.

6.A

【分析】由題意，至少兩人報名數(shù)學競賽，所以可分為：兩人報名數(shù)學競賽和三人報名數(shù)學

競賽兩種情況進行討論.

【詳解】解：若三人有兩人報名數(shù)學競賽，并且兩人選報的學科都相同，則共有C；c；種情

況，

若這兩個人選報的另外的學科不同，則共有2仁6a種情況，

若三個人全部都報名數(shù)學競賽，則共有國種情況，

所以不同的參賽方案有：+&=51種情況，

故選：A.

7.A

【分析】由題意得了'（幻=3仆2+2工+5,然后對。分類討論求出使/（》）=0有兩個不等根的。的

范圍，結合充分必要條件的判定方法得答案.

【詳解】解：由/00=加+x，+5x-l,得1（x）=3/+2x+5,

當a=0時，由廣。）=0,解得x=函數(shù)/⑺有兩個單調區(qū)間；

當4>0時，由A=4-60a>0,解得即0<。（上，止匕時函數(shù)=+/+5%-1恰有3

個單調區(qū)間；

當“<0時，△=4-60“>。，解得即a<0,此時函數(shù)/（工）=加+f+5x-l恰有3個單調

區(qū)間.

???綜上所述。?（-=o,0）i^0,^是函數(shù)"x）=a?+/+5x_i恰有3個單調區(qū)間的充要條件,分

析可得ae1雙（J是其必要不充分條件.

故選：A.

答案第2頁，共10頁

【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查函數(shù)零點的判定，考查充分必要條件的

判定方法，屬于中檔題.

8.A

【分析】求導后再次構造g(x)=xcos^-sinx,再求導求出最大值小于零可得廣⑺小于零，

進而得到了(X)的單調性，然后求出結果即可.

【詳解】由題意可得了《六口。'：[如'

設g(%)=%cosx-sin%,貝！jg'(x)=cosx-xsinjv—cos%=-xsinx

因為Ovxvl,

所以g<x)<0恒成立，故g(x)在(0,1)上單調遞減，

所以g(x)1Mx<g(0)=0,

所以當無?。,1)時，r(x)<o,為減函數(shù)，

所以四>4,即

為馬

故選：A

【點睛】方法點睛：比較不等式大小問題可構造函數(shù)，求導判斷單調性進而比較大小，若一

次求導不能判斷單調性，可二次構造函數(shù)求導分析.

9.AC

【分析】利用導數(shù)計算公式，排列數(shù)和組合數(shù)的運算及性質分析各選項可得答案.

【詳解】A選項，(x+J_y=(x)'+[J_]=1一!，故A正確；

B選項，因為=(〃+l)〃("-l)L(n-m+V),

(7?7+1)A",=(m+l)n(n-1)L(n-m+I),故B錯誤；

100x99

C選項，C^+2A^=C?+2A^——+2x4x3=4974,故C正確；

002x1

D選項，/(x)=cos(2x-l),貝i]/'(x)=—2sin(2x-l),D錯誤.

故選：AC.

10.BC

答案第3頁，共10頁

【分析】根據(jù)給定的條件，把爐寫成口-(I-X)F，再利用二項式定理結合賦值法，逐項計算

判斷作答.

5525

【詳解1依題意，令f(x)—X=[1—(1—x)]=%+%(1—%)+a2(1—X)4---F4Z5(1-x),

對于A,%=/⑴=1,A錯誤；

對于B,%是口-(1-x)F按(1-刈展開的第4項系數(shù)，因此。3=C>(-1)3=-10,B正確；

對于C,%+%+〃2+/+%+%=/(°)，_q+。2_々3+〃4-〃5=/⑵，

所以卬+q+/=幽產2=與"=一16,C正確；

對于D,4+%+/+%+%=/(。)—4=。―1=—1,D錯誤.

故選：BC

11.ABCD

【分析】根據(jù)導函數(shù)以及原函數(shù)圖象關系，極值，單調性，逐個選項判斷即可.

【詳解】對于A,若圖中為了(幻圖象，/(-2)=0,且/⑴在x=-2左右均為增，A錯；

對于B,若圖中為/(X)圖象，則在(—e,—2)和(0,2)上遞減,“T在(—2,0)和(2,+8)

上遞增，所以Ax)有兩個極小值點和一個極大值點，B錯；

對于C,若圖中為y=(x+2)/'(x)圖象，則xe(O,2)時,已知圖象與f'⑺正負相同，所以

ra)<o,“X)單調遞減，c錯；

對于D,若圖中為y=(x+2)/(x)圖象，貝良4-2時，x+2W0,(x+2)/(x)W0,貝|/(x)20,

當一2<x<0時，x+2>0,(x+2)/(x)>0,貝i]/(x)>0,

當0VxW2時，x+2>0,(x+2)/(x)W0,貝i]/(x)W0,

當x>2時，x+2>0,(x+2)/(x)>0,貝i]/(x)>0,

所以的解集為{x|0WxW2},D錯.

故選：ABCD

12.1

【分析】對求導，求出〃x)=xV'(l)+lnx,即可求出廣(x)=-2x+J再將x=g代

答案第4頁，共10頁

入即可得出答案.

【詳解】因為/(x)=￡f⑴+lnx,

所以「(無)=2尸⑴x+J,則廣⑴=2-⑴+1,解得：/'⑴=」，

貝|:(司=一2彳+!，貝!]/'(：)=一2x：+2=l.

XJ乙

故答案為：1.

13.2

【分析】由(1一or)(1+x)6=(l+x)6-av(l+x)6,分別寫出(1+x)和以(1+x)6的展開式通項，

分別令x的指數(shù)為3,求出對應的參數(shù)值，代入通項可得出關于。的等式，進而可求得實數(shù)。

的值.

【詳解】(1—av)(l+x)6=(1+%)6—av(l+x)6,

6

(1+X)的展開式通項為Tk+i=C/d,

所以如。+x)6的展開式通項為Ar+1=axq?，=y?X』，

[k=3[k=3

令口“可得<

[r+l=3[r=2

由題意可得C：-“C：=20-15a=-10,解得。=2.

故答案為：2.

14.①③.

【詳解】試題分析：/T(x)的定義域為工>0,.手儂一物產.十舐畿，所以有

/)xlnx--2.\+1=0,所以有2遍m—順1理.帶:巔費，電即Inx-v-1即Inx.<Ind"，

1.、

所以有u<：[<一；/lx.i-x，+%=%由x.-1+1，因為

g

=-即值書:期,所以有

1

ar?'、V?-.=11/t.?.ir-\V*-x1/=x.Vi\tax-+x.V-1)<=-Xj<4r<0?

考點：導數(shù)在求函數(shù)極值中的應用

15.(1)共4種；答案見解析(2)432；(3)80.

【分析】(1)利用排列的定義即得；

答案第5頁，共10頁

(2)利用捆綁法，插空法即得；

(3)由題可分選2名男教師與2名女教師，選3名男教師與1名女教師兩類，即得.

【詳解】(1)歌唱節(jié)目記為6,相聲節(jié)目記為1,2,滿足第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是

唱歌節(jié)目的排列為：al2b,a21b,b12a,b21a.共4種

(2)甲乙丙3人必須相鄰，把他們捆綁看作一個元素與除甲乙丙丁戊外的兩個元素排列，

然后排其內部順序，再在3個元素形成的4個空中插入丁和戊，

故甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，共有A；A；A；=432(種).

(3)選2名男教師與2名女教師，共有C；C；=60(種)，選3名男教師與1名女教師，共有

C：C；=20(種)，

所以共有60+20=80(種).

16.(1)條件選擇見解析，〃=8

⑵①豈=1120/；②387.

【分析】(1)由題意，根據(jù)系數(shù)、二項式系數(shù)等知識，列出等式，解出"的值.

(2)由題意，利用通項公式求出二項展開式的中間項，再判斷出、出、%、右、%為正數(shù)，

%、的、。5、%為負數(shù)，再給X賦值，從而求出|聞+|?|+|。3|+…+|。"|的值.

【詳解】(1)若選擇①第4項的系數(shù)與第2項的系數(shù)之比是:，

4

貝!I有C：.2"-3.(-iy=3x2x1=("T)("2)=7,

4?244

化簡可得〃②—4〃-40=0,求得力=8或”=-7(舍去).

若選擇②第3項與倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)之和為36,

則有C；+C7=C；+C；=若4+n=曾=36，

化簡可得〃2+〃—72=0,求得〃=8或〃=—9(舍去).

(2)由(1)可得〃=8,

①(2%-球的二項展開式的中間項為4=小(2"、(-1)5=1120/.

②二項式(2x-1)8展開式的通項公式為q-(2%廣■(-i)r=(-i)r-2"，.q.一，，

答案第6頁，共10頁

所以“0、42、。4、。6、正數(shù)，、〃3、〃5、07^/負數(shù).

2

在(21—1丫=a0+aix+a2xH--F%%8中，令九=0,%=］.

再令x=—1,可得38=%—%+。2—%T—?+4=1++|4|+1生卜--卜|4|，

「?|力+同+同+…+同=3'-1.

17.(1)2百萬元

⑵答案見解析

【分析】(1)由題意結合二次函數(shù)的性質解出即可；

(2)根據(jù)題意，得到收益模型為g(x)=-；x3+4x+3,再用導數(shù)研究其最值即可.

【詳解】(1)設收益為了⑺，則有

f(t)=-t2+5t-t=-t2+4f=-(r-2)2+4,0<r<3,

所以當f=2百萬元時，公司獲得的收益最大.

(2)設此時的收益為g(x),則

g(x)=—§尤3+無~+3x+［—(3—x)+5(3—元)］—3=——+4x+3,0W/W3,

所以g'(x)=-x2+4,

令g'(x)=0,解得x=2,或-2(舍)，

又當0Wx<2時，g'(x)>0；當2<xV3時，g'(x)<0,

所以g(x)在［0,2］上是增函數(shù)，在［2,3］上是減函數(shù)，

所以當x=2時，g(x)取最大值，

即將2百萬元用于技術改造，1百萬元用于廣告促銷，將該公司由此獲得收益最大.

18.⑴(0,e)

⑵(。，+8)

【分析】(1)先由導數(shù)得出了。)的單調區(qū)間，再討論InZWO,ln%>0得出/⑺在［。,+8)上

答案第7頁，共10頁

的單調性，由此得出實數(shù)上的取值范圍；

（2）將問題轉化為至少存在一個實數(shù)與使左＞四包成立，求出F（x）=&吧的最小

入0X

值，進而得出實數(shù)左的取值范圍.

【詳解】（1）由f（x）=（-fcv,可得解（x）=e*-A,

若x＞ln左，貝！J/'（x）＞0；若xclnA:,貝?。?'（元）＜0；

故/*）的單調遞增區(qū)間為（In左,內），單調遞減區(qū)間為（y,lnk）.

當InkV0,即0＜心1時，/*）在［0,+8）上單調遞增，

則/。）2〃0）=1＞0,即0＜左41符合題意；

當In左＞0,即％＞1時，/（X）在（in^+co）上單調遞增，在［0,In左］上單調遞減，

則=In左）＞0,解得l＜%＜e；

綜上所述：實數(shù)上的取值范圍為（0,e）.

（2）若/（%）＜8（%）,則e%-g,＜e而一21nx0,可得網(wǎng)區(qū)，

故原題意等價于至少存在一個實數(shù)X。e［l,e］,使％＞也乜成立，

構造F（x）=網(wǎng)工，貝U9（x）=2（."）z0對Vxe［1,e］恒成立，

%X

故尸（尤）在［Le］上單調遞增，則尸（x）N尸（1）=0,可得左＞0,

故實數(shù)上的取值范圍為（0,+"）.

【點睛】方法點睛：L兩招破解不等式的恒成立問題

（1）分離參數(shù)法

第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的最值；

第三步：根據(jù)要求得所求范圍.

（2）函數(shù)思想法

第一步將不等式轉化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的極值；

第三步：構建不等式求解.

答案第8頁，共10頁

2.利用導數(shù)解決不等式存在性問題的方法技巧

根據(jù)條件將問題轉化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大（?。┲禎M足的不等式成立問題，進而用導數(shù)求

該函數(shù)在該區(qū)間上的最值問題，最后構建不等式求解.

19.（1）答案見解析；（2）答案見解析.

【分析】（1）求導后，根據(jù)導函數(shù)在定義域內的正負可確定/'（*）的單調區(qū)間；

（2）由（1）可知/'（X）單調性，分別在'VI、工22和1/＜2三種情況下，根據(jù)單調性確