石家莊市2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期末考試

高一數(shù)學(xué)

（時間120分鐘，滿分150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上的對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.

3.在答題卡上與題號相對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)答題，寫在試卷、草稿紙上或答題卡非題號對應(yīng)的

答題區(qū)域的答案一律無效.不得用規(guī)定以外的筆和紙答題，不得在答題卡上做任何標(biāo)記.

第I卷（選擇題共60分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

23

s=t+-

I.某物體做直線運動，其運動規(guī)律是則它在第4秒末瞬時速度為（）

67

A.---米/秒B.—米/秒C.8米/秒D.一米/秒

16164

2.[1+：）（1+力4的展開式中’含X?的項的系數(shù)為

A.4B.6C.10D.12

3.函數(shù)y=gx2-Inx的單調(diào)遞減區(qū)間為

A.(-l,l]B.(0,1]C.[1,+oo)D.(0,+8)

4.甲乙兩人進(jìn)行乒乓球決賽，比賽采取七局四勝制（當(dāng)一隊贏得四局勝利時，該隊獲勝，比賽結(jié)束）.現(xiàn)在

的情形是甲勝3局，乙勝2局.若兩人勝每局的概率相同，則甲獲得冠軍的概率為（）

33

A—B.一C.-D.1

4532

5.曲線y=在點（1,1）處的切線方程為（）

A.>'=2x-lB.y=l

cy=xD.y=3x-2

6.為落實立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開設(shè)A,B,C三門德育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、

丁、戊五位同學(xué)參加校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報名方法

有（）

A.54種B.240種C.150種D.60種

7.我們將服從二項分布的隨機(jī)變量稱為二項隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量.概率

論中有一個重要的結(jié)論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機(jī)變量丫~9〃,〃），當(dāng)〃充分大時，

二項隨機(jī)變量y可以由正態(tài)隨機(jī)變量X來近似，且正態(tài)隨機(jī)變量X的期望和方差與二項隨機(jī)變量丫的期望

和方差相同.棣莫弗在1733年證明了P的特殊情形，1812年，拉普拉斯對一般的P進(jìn)行了證明.現(xiàn)拋

擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過60次的概率為（）（附:

若X,則P（ju-a<X<//+er）?0.6827,-2a<X<〃+2b）?0.9545,

尸（〃-3cr<XK〃+3<T）a0.9973）

A.0.1587B.0.0228C.0.0027D.0.0014

2]n3

8.三個數(shù)a=w，b-\x\\/2<c=c的大小順序為（）

e'3

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.b<c<a

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某公司過去五個月的廣告費支出x（萬元）與銷售額y（萬元）之間有下列對應(yīng)數(shù)據(jù)：

X24568

y▲40605070

工作人員不慎將表格中y的第一個數(shù)據(jù)丟失.已知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系,且經(jīng)驗回歸方程為夕=6.5X+17.5,

則下列說法正確的有（）

A.銷售額與廣告費支出x正相關(guān)

B.丟失的數(shù)據(jù)（表中▲處）為30

C.該公司廣告費支出每增加1萬元，銷售額一定增加6.5萬元

D.若該公司下月廣告費支出為8萬元，則預(yù)測銷售額約為69.5萬元

10.下列結(jié)論正確的是（）

A.若C；；；=C*2,則機(jī)=3

B.（V+x+y），的展開式中的系數(shù)是30

C.在(l+x)2+(l+x)3++(l+x)”的展開式中，含的項的系數(shù)是220

D.(x-2)7展開式中，第4項和第5項的二項式系數(shù)最大

11.一口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和4個白球，從中無放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，記事

件4：第一次取出的是紅球；事件第一次取出的是白球；事件后取出的兩球同色；事件c：取出的

兩球中至少有一個紅球，貝)

A.事件A，4為互斥事件B.事件8,C為獨立事件

3I

c.P⑻=1D.P(C|A)=-

12.已知函數(shù)/(x)=lnx,^(x)=x3-2er2+kx(k&R),若函數(shù)y=/(x)—g(x)有唯一零點，則下列

說法正確的是()

.,1

AA.k=e+-

e

B.函數(shù)g(x)在(e,g(e))處的切線與直線x-ey=0平行

C.函數(shù)y=g(x)+2叱2在［0,e］上的最大值為2e?+1

D.函數(shù)y=g(x)-二-e、在［0,1］上單調(diào)遞減

e

第n卷(非選擇題共90分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某射手射擊所得環(huán)數(shù)J的分布列如下：

178910

PX0.1y0.4

已知〈的數(shù)學(xué)期望七(4)=8.9,則了=.

14.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%；加

工出來的零件混放在一起，且第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.現(xiàn)從加工

出來的零件中任取一個零件，則取到的零件是次品的概率為,取到的零件是次品，且是第3臺車

床加工的概率為.

15.中國新冠疫苗研究路徑有兩種技術(shù)路線：一個是滅活疫苗，一個是腺病毒載體疫苗.經(jīng)過科研工作者長

達(dá)一年左右的研制，截至目前我國已有4款自主研發(fā)的新冠疫苗獲批上市.其中在腺病毒載體疫苗研制過程

中，科研者要依次完成七項不同的任務(wù)，并對任務(wù)的順序提出了如下要求:重點任務(wù)A必須排在前三位，且

任務(wù)D、E必須排在一起，則這七項任務(wù)的安排方案共有種(用數(shù)字作答)

er,x>0

16.已知函數(shù)/(x)=11，若方程/")=2公有三個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是_________

—X——,%<0

122

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知展開式前三項的二項式系數(shù)和為22.

⑴求”的值：

(2)求展開式中的常數(shù)項；

(3)求展開式中各項系數(shù)的和.

18.已知函數(shù)/(x)=--3x+，〃有極小值-6.

(1)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求/W在［-3,4］上的最大值和最小值.

19.北京冬奧會的成功舉辦，推動了我國的冰雪運動邁上新臺階.某電視臺為了解我國電視觀眾對北京冬奧

會的收看情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作的觀眾日均收看冬奧會時間的頻

率分布表：

收看時間(分鐘)[0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]

頻率0.150.150.20.250.150.1

如果把日均收看冬奧會節(jié)目的時間高于40分鐘的觀眾稱為“冬奧迷”.

(1)根據(jù)已知條件請完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“冬奧迷”與性別有關(guān)？

非冬奧迷冬奧迷合計

女30

男10

總計100

(2)將上述調(diào)查的100人所得“冬奧迷”的頻率視為該地區(qū)“冬奧迷”被抽中的概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量的

電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽到的3名觀眾中的“冬奧迷”人數(shù)為

X，且每次抽取的結(jié)果是相互獨立的.求抽到“冬奧迷”的概率，并求隨機(jī)變量X的期望和方差.

附八n(ad-bc￥

其中〃=a+Z?+c+d.

(a+/?)(c+d)(a+c)S+d)

a=P(,2zk)0.10.050010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

20.3月14日為國際數(shù)學(xué)日，為慶祝該節(jié)日，某中學(xué)舉辦了數(shù)學(xué)文化節(jié)活動，其中一項活動是“數(shù)學(xué)知識競

賽”，初賽采用"兩輪制'’方式進(jìn)行，要求每個班級派出兩個小組，且每個小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽

都通過的小組才具備參與決賽的資格.高二(A)班派出甲、乙兩個小組參賽，在初賽中，若甲、乙兩組通過

第一輪比賽的概率分別是三，一，通過第二輪比賽的概率分別是一，:，且各個小組所有輪次比賽的結(jié)果

互不影響.

(1)若高二(A)班獲得決賽資格的小組個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)已知甲、乙兩個小組在決賽中相遇，決賽以三道搶答題形式進(jìn)行，搶到并答對一題得10分，答錯一題扣

10分，三輪后總分高的獲勝.假設(shè)兩組在決賽中對每個問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概

率，且甲、乙兩個小組每次搶到該題的可能性分別是-，4,假設(shè)每道題搶與答的結(jié)果均互不影響，求在

33

第一題中乙己得10分的情況下最終甲獲勝的概率.

21.近年來，明代著名醫(yī)藥學(xué)家李時珍故鄉(xiāng)黃岡市新春縣大力發(fā)展大健康產(chǎn)業(yè)，薪艾產(chǎn)業(yè)化種植已經(jīng)成為該

縣脫貧攻堅的主要產(chǎn)業(yè)之一，已知薪艾的株高y(單位：cm)與一定范圍內(nèi)的溫度x(單位：。C)有關(guān)，現(xiàn)收集

了新艾的13組觀測數(shù)據(jù)，得到如下的散點圖：

現(xiàn)根據(jù)散點圖利用)，=。+力五或丁=，+4建立y關(guān)于x的回歸方程，令s=4，/=,得到如下數(shù)據(jù):

XX

Xy57

10.15109.943.040.16

13士-13尸13—

13s?y￡立一13T?歹女-田ZX2-13/

1=1i=lk=\i=li=I

13.94-2.111.670.2121.22

且(4，%)與3,%)(i=L2,3,13)的相關(guān)系數(shù)分別為弓，r2,且與=-0.9953.

(1)用相關(guān)系數(shù)說明哪種模型建立y與x的回歸方程更合適；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

(3)已知斯艾的利潤z與x、y的關(guān)系為z=20y-；x,當(dāng)x為何值時，z的預(yù)報值最大.

參考數(shù)據(jù)和公式：0.21x21.22=4.4562,11.67x21.22=247.6374,9247.6374=15.7365,對于一組數(shù)據(jù)(乙,

2%匕.-nu-v

匕)(i=1,2,3,…其回歸直線方程v=a+/3u的斜率和截距的最小二乘法估計分別為"=母------

/=1

-nu-v

i=\

a-v-(iu相關(guān)系數(shù)r=

22.已知函數(shù)/(%)=lnx+ox2+(2a+l)x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

3

⑵“。時，證明…石-2

石家莊市2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期末考試

高一數(shù)學(xué)

（時間120分鐘，滿分150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上的對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.

3.在答題卡上與題號相對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)答題，寫在試卷、草稿紙上或答題卡非題號對應(yīng)的

答題區(qū)域的答案一律無效.不得用規(guī)定以外的筆和紙答題，不得在答題卡上做任何標(biāo)記.

第I卷（選擇題共60分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

s=t2+-

I.某物體做直線運動，其運動規(guī)律是L則它在第4秒末的瞬時速度為（）

A.---米/秒B.---米/秒C.8米/秒D.—米/秒

16164

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)實際意義求解即可.

【詳解】因s=t2+~,所以窕=2t-4，

tt

33125

令t=4,則sC=2?44=8-—=—,

421616

125

即在第4秒末的瞬時速度為9米/秒.

16

故選：B

2.1l+g］（l+x）34的展開式中，含x?的項的系數(shù)為

A.4B.6C.10D.12

【答案】C

【解析】

【分析】將（1+X）4展開，進(jìn)而求出（1+'）（1+X）4的展開式中含X2的項的系數(shù)

X

【詳解】(1+x)4=C：x°+C\x'+C：x2+C：x3+C：x'

展開式中含X2項的系數(shù)為C42+C43=10.故選C

【點睛】求兩個因式之積的特定項的系數(shù)，可先展開二項式，或利用通項公式，分析得到特定項有幾種情況，

再分別求出對應(yīng)項的系數(shù)，進(jìn)而得解

3.函數(shù)y=gx2-Inx的單調(diào)遞減區(qū)間為

A.(-l,l]B.(0,1]C.[1,+oo)D.(0,+oo)

【答案】B

【解析】

2X2—1

【詳解】對函數(shù)>=4/一心無求導(dǎo)，得x—!?=三二11>0),令｛X解得X€(0,l],因此函數(shù)

2xxx、>八0

》二萬/一瓜》的單調(diào)減區(qū)間為(0,1],故選B

考點定位：本小題考查導(dǎo)數(shù)問題，意在考查考生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)本身隱含定義域

4.甲乙兩人進(jìn)行乒乓球決賽，比賽采取七局四勝制(當(dāng)一隊贏得四局勝利時，該隊獲勝，比賽結(jié)束).現(xiàn)在

的情形是甲勝3局，乙勝2局.若兩人勝每局的概率相同，則甲獲得冠軍的概率為()

3321

A.-B.-C.-D.—

4532

【答案】A

【解析】

【分析】甲勝第六場的概率為此時就沒有必要打第七場了，甲在第六場失敗但在第七場獲勝的概率為

-X-,把這兩個概率值相加，即得甲獲得冠軍的概率.

22

【詳解】甲獲得冠軍時，只要在未來的2場比賽中至少勝一場即可.

由于兩人勝每局的概率相同，故甲勝每一場的概率都是

甲勝第六場的概率為g,此時就沒有必要打第七場了；

甲在第六場失敗，但在第七場獲勝的概率為

224

113

故甲獲得冠軍的概率為一+一=一.

244

故選：A.

5.曲線y=xe-在點（1,1）處的切線方程為（）

A.y=2x-\B.y=l

C.y=xD.y=3x-2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

［詳解］y=朧1，則>'=（1-x）er=0,

故曲線y=xe"*在點（1,1）處的切線方程為y-l=0x（x—l）,即y=l,

故選：B.

6.為落實立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開設(shè)4,B,C三門德育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、

丁、戊五位同學(xué)參加校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報名方法

有（）

A.54利?B.240種C.150種D.60種

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知對五位同學(xué)分3組，有兩種情況，然后分類討論各自情況種數(shù)，采用加法原理即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)選A,B,C三門德育校本課程，

每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，需要分三組，有兩類情況，

CCC

①三組人數(shù)為1、1、3,此時有?A；=60種;

A；

Cc；c；

②三組人數(shù)為2、2、1,此時有?A；=90種.

A；

所以共有60+90=150種.

故選：C

7.我們將服從二項分布的隨機(jī)變量稱為二項隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量.概率

論中有一個重要的結(jié)論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機(jī)變量丫~8（〃,夕），當(dāng)〃充分大時，

二項隨機(jī)變量丫可以由正態(tài)隨機(jī)變量X來近似，且正態(tài)隨機(jī)變量X的期望和方差與二項隨機(jī)變量丫的期望

和方差相同.棣莫弗在1733年證明了，=g的特殊情形，1812年，拉普拉斯對一般的p進(jìn)行了證明.現(xiàn)拋

擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過60次的概率為()(附:

若XN,,"),則尸(〃一XM〃+er)y().6827,P{/j—2<y<X</z+2cr)?0.9545,

P(/z-3cr<X</J+3cr)?0.9973)

A.0.1587B.0.0228C.0.0027D.0.0014

【答案】B

【解析】

【分析】由題意，根據(jù)二項分布的期望與方差公式分別求出"和CT?,然后再利用正態(tài)分布的對稱性即可求

解.

【詳解】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，設(shè)硬幣正面向上次數(shù)為X，則乂

所以E(X)=〃〃=100xg=50,￡>(X)=〃p(l-p)=100xgx(l-g]=25,

由題意，XNJ,"),且必=￡")=50,o-2=￡)(%)=25,

因為P(〃-2cr<X<〃+2cr)?0.9545,

所以利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過60次的概率為

1-o9545

產(chǎn)(X>60)=P(X>50+2x5)=—x0.0228,

故選：B.

8.三個數(shù)a==,〃=ln及，c=3的大小順序為()

e3

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】據(jù)題意可設(shè)/(x)=也，求導(dǎo)r(x)=N竺，從而可根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號得出/(X)在(e,+8)上單調(diào)遞

XX

減，從而得出b,c的大小順序.

【詳解】設(shè)/*)=哄，:(力=口竺，

XX

，x>e時，//(%)<0,

???/(X)在(e,+8)上單調(diào)遞減,

?2Ine2,,ln2ln4ln3,.

又a=—7=——,b=lnv2=—=—,c=—,且ue~>4>3

e-e2243

.?./（e2）</（4）</（3）,

:.a<b<c.

故選：A

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某公司過去五個月的廣告費支出x（萬元）與銷售額y（萬元）之間有下列對應(yīng)數(shù)據(jù)：

24568

y▲40605070

工作人員不慎將表格中y的第一個數(shù)據(jù)丟失.已知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，且經(jīng)驗回歸方程為9=6.5X+17.5,

則下列說法正確的有（）

A.銷售額與廣告費支出x正相關(guān)

B.丟失的數(shù)據(jù)（表中▲處）為30

C.該公司廣告費支出每增加1萬元，銷售額一定增加6.5萬元

D.若該公司下月廣告費支出為8萬元，則預(yù)測銷售額約為69.5萬元

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)經(jīng)驗回歸方程，即可結(jié)合選項逐一求解求解.

【詳解】由經(jīng)驗回歸方程￡=6.5X+17.5,可知3=6.5〉0，

所以銷售額）與支出的廣告費x呈正相關(guān)，所以A正確；

設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為加，由表中的數(shù)據(jù)可得工=5,

_220+m/220+，〃、

y=---,把（5,---）代入經(jīng)驗回歸方程，

可得」220一+m=6.5x5+17.5,解得加=30,所以B正確；

5

該公司支出的廣告費每增加1萬元，銷售額不一定增加6.5萬元，所以C不正確;

當(dāng)x=8時，3=6.5x8+17.5=69.5（萬元），所以D正確.

故選：ABD.

10.下列結(jié)論正確的是（）

A.若C；［=C：「2,則加=3

B.(V+x+yp的展開式中的系數(shù)是3o

C.在(l+x)2+(l+x)3++(l+x)”的展開式中，含爐的項的系數(shù)是220

D.(x-2)7的展開式中，第4項和第5項的二項式系數(shù)最大

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可判斷AD,由二項式展開式的特征可判斷BC.

【詳解】對于A,由于C；；)=,所以加=3/7/—2或根+3機(jī)—2=10,解的〃?=3或/〃=1,故A錯誤,

對于B,，+x+?的展開式通項為C：(x2+無廠/=,0<r<k<5,r,keN,

令k=2,lU—2k-r=5nk=2,r=l,所以的系數(shù)為C；C；=30,故B正確，

對于C,(l+x)2+(l+x)3++(1+幻”的展開式中，含f的項的系數(shù)是

G+G+C；++C[=C：2=220,故C正確，

對于D,(x-2)7的展開式中，第4項和第5項的二項式系數(shù)為C；,C；,由組合數(shù)的性質(zhì)可知C；,C；最大且

C；=C；,故D正確,

故選：BCD

11.一口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和4個白球，從中無放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，記事

件4：第一次取出的是紅球；事件&：第一次取出的是白球；事件少取出的兩球同色；事件c：取出的

兩球中至少有一個紅球，則()

A.事件a，4為互斥事件B.事件B,C為獨立事件

3I

C.P(8)=—D.P(C|A)=-

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)互斥事件、獨立事件的定義判斷AB,由組合數(shù)公式及古典概型公式求得P(8)判斷C,根據(jù)

條件概率公式求得「(C|4)判斷D.

【詳解】事件A：第一次取出的是紅球；事件為：第一次取出的是白球，這兩個事件不可能同時發(fā)生，它

們是互斥的，A正確;

C；C；+C：C；_3

事件B發(fā)生時，取出的兩球同為紅色或同為白色,則P(B)=故c正確;

C；C；7

cC+c[c；+c；c；5

事件C發(fā)生時，取出的兩球一紅一白或同為紅色，則P(C)

GC7

事件8c發(fā)生時，取出的兩球同為紅色，則P(BC)=K請

C7c67

因為P(B)P(C)WP(BC),所以事件B,C不是獨立事件，故B錯誤;

尸(4)=：24。=釜=,,則「?&)=%￥=；，D正確.

故選：ACD.

12.已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=x3-2ex2+hc(/：€/?),若函數(shù)y=/(x)—g(x)有唯一零點，則下列

說法正確的是()

.,1

A.k,—€2H—

e

B.函數(shù)g(x)在(e,g(e))處的切線與直線x—ey=O平行

C.函數(shù)y=g(x)+2ex2在［0,e］上的最大值為2e?+1

D.函數(shù)y=g(x)—二一e?》在［0,1］上單調(diào)遞減

e

【答案】AD

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)零點個數(shù)可判斷A；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B；由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單

調(diào)性后即可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)即可判斷D.

］nx

【詳解】解：對于A,由〃x)—g(x)=O,化為：——=x2-2ex+Zr(x>0).

X

分別令〃(x)=*^,v(x)=x2-2er+Z(x>0).

函數(shù)y=/(x)—g(x)有唯一零點，等價于函數(shù)"(x)與□(%)的圖象有唯一交點.

〃(力=二^-,當(dāng)0<x<e,w'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增；當(dāng)光>e,〃(x)<0,“(x)單調(diào)遞減，

可得x=e時，函數(shù)〃(力取得極大值即最大值，?(e)=-.

e

y(x)=(x-e)2+Z:-e2>Z:-e2,當(dāng)且僅當(dāng)x=e時取等號.

:.k-e2=~,即％=e2+-.因此正確.

ee

對于B,^f(x)=3x2-4ex+k,g'(e］=-e2+k=-,g(e)=l,

e

因此函數(shù)g(x)在(e,8仁))處的切線方程為％-^=0,因此錯誤.

對于C,函數(shù)y=r(x)=g(x)+2ex2=d+"，

t(x')=3x2+k=3x2+e2+->0,《X)單調(diào)遞增，

???，(x)在［0,e］上的最大值為r(e)=e3+ex^e2+^=2e3+l,因此不正確.

對于D,XG［0,1］時，函數(shù)力(尤)=y=g(x)---e2x=x3-2ex2+^e2--e2x=x3-2e%2,

當(dāng)xe［0,l］,〃(x)=3x?-4er=x(3x-4e)<0,因此函數(shù)〃(x)在［0,1］上單調(diào)遞減，正確.

故選：AD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、數(shù)形結(jié)合方

法、等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，解題的關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)，屬于難

題.

第n卷(非選擇題共90分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某射手射擊所得環(huán)數(shù)J的分布列如下：

g78910

PX0.1y0.4

已知4的數(shù)學(xué)期望￡偌)=8.9,則y=.

【答案】0.3

【解析】

【分析】根據(jù)分布列的概率之和等于1以及由分布列求期望的公式列方程即可求解.

x+0.1+y+0.4=l

【詳解】由題意可得：〈

7x+8x0.1+9y+10x0.4=8.9

x+y=0.5x=0.2

即《r-c一解得：1

7x+9y=4.1y=0.3

所以y=0.3,

故答案為：0.3.

14.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%；力口

工出來的零件混放在一起，且第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.現(xiàn)從加工

出來的零件中任取一個零件，則取到的零件是次品的概率為，取到的零件是次品，且是第3臺車

床加工的概率為.

3

【答案】①.0.0525②.-

7

【解析】

【分析】首先用數(shù)學(xué)語言表示已知條件，設(shè)8="任取一個零件為次品"，4="零件為第，?臺車床加工”。=1,

2,3),貝!|a=4UA2UA3,Ai,A2,2兩兩互斥.P(4)=0.25,P(A2)=0.3,尸03)=0.45,P(B|Ai)=0.06,

PCB|A2)=PCBH3)=0.05.由條件概率公式計算P(B)；由條件概率公式P(A[8)=與警計算.

【詳解】設(shè)8="任取一個零件為次品"，4=”零件為第，?臺車床加工'唧=1,2,3),則Q=4UA2UA3,A”

A2,A3兩兩互斥.根據(jù)題意得尸(Ai)=0.25,尸如)=0.3,尸(4)=0.45,P(B|A1)=0.06,P(B\AI)=P(B\A3)=0.05.

由全概率公式，

得P(B)=P(ADP(B|4)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|4)

=0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05

=0.0525.

“如果取到的零件是次品，計算它是第淚=1,2,3)臺車床加工的概率”，

就是計算在B發(fā)生的條件下，事件4發(fā)生的概率.

「(413)=生幽=尸(4)尸⑻娟

P(B)P(B)

_0.45x0.05_3

0.0525-7,

3

故答案為：0.0525；-

7

15.中國新冠疫苗研究路徑有兩種技術(shù)路線：一個是滅活疫苗，一個是腺病毒載體疫苗.經(jīng)過科研工作者長

達(dá)一年左右的研制，截至目前我國已有4款自主研發(fā)的新冠疫苗獲批上市.其中在腺病毒載體疫苗研制過程

中，科研者要依次完成七項不同的任務(wù)，并對任務(wù)的順序提出了如下要求:重點任務(wù)A必須排在前三位，且

任務(wù)D、E必須排在一起，則這七項任務(wù)的安排方案共有種(用數(shù)字作答)

【答案】624

【解析】

【分析】分A在第一位、第二位、第三位三種情況，考慮D、E有幾種方式，剩下的元素全排即可.

【詳解】把A排在第一位，任務(wù)D、E相鄰的位置有5個，兩者的順序有2種情況，剩下的4個任務(wù)全排

列，有A：=24種，共有5x2xA：=240種方案；

把A排在第二位,任務(wù)D、E相鄰的位置有4個,兩者的順序有2種情況，剩下的4個任務(wù)全排列，有A：=24

種，共有4x2xA：=192種方案；

把A排在第三位，任務(wù)D、E相鄰的位置有4個,兩者的順序有2種情況，剩下的4個任務(wù)全排列，有A：=24

種，共有4x2x4：=192種方案;

總共有240+192+192=624種方案.

故答案為：624.

er,x>0

16.已知函數(shù)〃無)=11，若方程/(幻=2公有三個不同的實數(shù)根，則〃的取值范圍是_________

一x—,x<0

[22

【答案】惇+8)

【解析】

【分析】先驗證x=0不是方程/(x)=2次的根，則當(dāng)中0時，方程〃x)=2or可化為：2a=旦"，

X

令〃(x)=/(0,分析出其單調(diào)性等性質(zhì)，作出其函數(shù)圖象，方程/(力=2必有三個不同的實數(shù)根，即直

線)，=2。與函數(shù)〃(x)的圖象有3個交點，從而數(shù)形結(jié)合得出答案.

詳解】當(dāng)x=0時，=此時/(0)=—；H2axO,

所以x=0不是方程/(x)=2ox的根.

當(dāng)xwO時，方程/(x)=ac可化為：2a=，

X

設(shè)/z(x)=""=<x

----,x<0

122x

方程/(x)=2"有三個不同的實數(shù)根，即直線y=2〃與函數(shù)Mx)的圖象有3個交點.

當(dāng)％<0時，//(%)=---,此時從工)單調(diào)遞增，且//(x)>L

22x2

當(dāng)x>0時，力(x)=J,貝！J/z'(x)=G—坐-，

X九一

當(dāng)0cx<1時，〃'(x)<0,當(dāng)x>l時，//(x)>0,

所以函數(shù)〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞減，且而n=&(l)=e,

作出從力的圖象如圖，

由圖可知，當(dāng)2a>e,即時，直線y=2a與函數(shù)力(力的圖象有3個交點，

所以方程/(x)=2以有三個不同的實數(shù)根時，實數(shù)〃的取值范圍為(彳,+8.

故答案為：

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知(2%+」=］展開式前三項的二項式系數(shù)和為22.

⑴求”的值：

(2)求展開式中的常數(shù)項;

(3)求展開式中各項系數(shù)的和.

【答案】(1)77=6

⑵60

⑶729

【解析】

【分析】(1)利用前三項二項式系數(shù)和可直接構(gòu)造方程求得〃的值；

(2)由二項式定理可得展開式通項，將廠=4代入即可得到常數(shù)項；

(3)令x=l即可求得各項系數(shù)和.

【小問1詳解】

由題意知I：C+C：+C：=l+=22,即〃？+〃—42=0，

解得：〃=6或〃=—7(舍)，.?.〃=6.

【小問2詳解】

則其展開式通項為

3

令6----r=0,解得：r=4,

2

???展開式中的常數(shù)項為2?*C：=4x15=60.

【小問3詳解】

令x=l,則展開式各項系數(shù)和為(2+if=36=729.

18.已知函數(shù)/⑴=^/一—7尢+機(jī)有極小值-6.

(1)求/⑴的單調(diào)區(qū)間；

⑵求f(x)在［—3,4］上的最大值和最小值.

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(—1,3),單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,-1),(3,+00)

14

(2)最大值為一，最小值為-6.

3

【解析】

【分析】⑴利用導(dǎo)數(shù)求得/(尤)的單調(diào)區(qū)間；

⑵由/(x)的極小值列方程求得機(jī)的值，比較極值和區(qū)間端點的函數(shù)值，求得/(x)在［-3,4］上的最大值

和最小值.

【小問1詳解】

f'(x)-x2—2x—3-(x-3)(x+l)，

令/'(x)>0,解得％<—1或x>3,令/'(x)<0,解得一l<x<3,

所以/(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(—1,3),單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,-1),(3,+8).

【小問2詳解】

由(1)知，f(x)的極小值為/(3)=；X33—32—3X3+/〃=—6,解得機(jī)=3.

???/5)在(—3,—1)單調(diào)遞增，在(—1,3)上單調(diào)遞減，在(3,4)上單調(diào)遞增，

.../(外的極小值為/(3)=-6,

la,14

/(x)的極大值為/(-1)=-X(-1)3-(-1)2-3X(-1)+3=y

又〃.3)=3(-3萬(-3>3><(-3)+3=-6'

/(4)=1x(4)3-42-3x4+3=

所以/(x)在［-3,4］上的最大值為最小值為-6.

19.北京冬奧會的成功舉辦，推動了我國的冰雪運動邁上新臺階.某電視臺為了解我國電視觀眾對北京冬奧

會的收看情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作的觀眾日均收看冬奧會時間的頻

率分布表：

收看時間(分鐘)[0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]

頻率0.150.150.20.250.150.1

如果把日均收看冬奧會節(jié)目的時間高于40分鐘的觀眾稱為“冬奧迷”.

(1)根據(jù)已知條件請完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“冬奧迷”與性別有關(guān)？

非冬奧迷冬奧迷合計

女30

男10

總計100

(2)將上述調(diào)查的100人所得“冬奧迷”的頻率視為該地區(qū)“冬奧迷”被抽中的概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量的

電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽到的3名觀眾中的“冬奧迷”人數(shù)為

X，且每次抽取的結(jié)果是相互獨立的.求抽到“冬奧迷”的概率，并求隨機(jī)變量X的期望和方差.

_n(ad-bc)2

附/二其中〃=〃+Z?+c+d

(Q+〃)(c+d)(a4-c)(b+d)

?=P(Z2>^)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有95%的把握認(rèn)為“冬奧迷”與性別有關(guān).

39

(2