【專(zhuān)題一】數(shù)形結(jié)合思想【考情分析】在高考題中，數(shù)形結(jié)合的題目出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)知識(shí)的方方面面上，把圖象作為工具、載體，以此尋求解題思路或制定解題方案，真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的簡(jiǎn)捷、靈活特點(diǎn)的多是填空小題。從近三年新課標(biāo)高考卷來(lái)看，涉及數(shù)形結(jié)合的題目略少，預(yù)測(cè)20XX年可能有所加強(qiáng)。因?yàn)閷?duì)數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能的考查，是新課標(biāo)高考明確的一個(gè)命題方向。1．?dāng)?shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對(duì)應(yīng)起來(lái)，借助圖形來(lái)研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。它可以使抽象的問(wèn)題具體化，復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化?！皵?shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。2．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考綱指出“數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查”，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能。3．“對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次的抽象和概括的考查，考查時(shí)要與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合”，用好數(shù)形結(jié)合的思想方法，需要在平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)注意理解概念的幾何意義和圖形的數(shù)量表示，為用好數(shù)形結(jié)合思想打下堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)。4．函數(shù)的圖像、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是“以形示數(shù)”，而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標(biāo)表示則是“以數(shù)助形”，還有導(dǎo)數(shù)更是數(shù)形形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供了“數(shù)形結(jié)合”的知識(shí)平臺(tái)。5．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過(guò)程中，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣，解題先想圖，以圖助解題。用好數(shù)形結(jié)合的方法，能起到事半功倍的效果，“數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬(wàn)事休”?？v觀多年來(lái)的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。【知識(shí)歸納】數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)．。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：數(shù)形結(jié)合思想解決的問(wèn)題常有以下幾種：(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；(3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式；(5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題；(6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問(wèn)題；(7)構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)；(8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等．常見(jiàn)適用數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)著力點(diǎn)是：以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法.以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度．具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確畫(huà)出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式(有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖)，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解．這種思想方法體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖象有機(jī)結(jié)合起來(lái)思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復(fù)合，通過(guò)對(duì)規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷解決。1．?dāng)?shù)形結(jié)合的途徑（1）通過(guò)坐標(biāo)系形題數(shù)解借助于建立直角坐標(biāo)系、復(fù)平面可以將圖形問(wèn)題代數(shù)化。這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分（在高考中主要也是以解析幾何作為知識(shí)載體來(lái)考察的）；值得強(qiáng)調(diào)的是，形題數(shù)解時(shí)，通過(guò)輔助角引入三角函數(shù)也是常常運(yùn)用的技巧（這是因?yàn)槿枪降氖褂?，可以大大縮短代數(shù)推理）實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。。常見(jiàn)方法有：①解析法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系），引進(jìn)坐標(biāo)將幾何圖形變換為坐標(biāo)間的代數(shù)關(guān)系。②三角法：將幾何問(wèn)題與三角形溝通，運(yùn)用三角代數(shù)知識(shí)獲得探求結(jié)合的途徑。③向量法：將幾何圖形向量化，運(yùn)用向量運(yùn)算解決幾何中的平角、垂直、夾角、距離等問(wèn)題。把抽象的幾何推理化為代數(shù)運(yùn)算。特別是空間向量法使解決立體幾何中平行、垂直、夾角、距離等問(wèn)題變得有章可循。（2）通過(guò)轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)題形解許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對(duì)應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化.例如，將a＞0與距離互化，將a2與面積互化，將a2+b2+ab=a2+b2－2與余弦定理溝通，將a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c與三角形的三邊溝通，將有序?qū)崝?shù)對(duì)（或復(fù)數(shù)）和點(diǎn)溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對(duì)應(yīng)等等.這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個(gè)圖形（平面的或立體的）。另外，函數(shù)的圖象也是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助于相伴而充分地發(fā)揮作用。常見(jiàn)的轉(zhuǎn)換途徑為：①方程或不等式問(wèn)題?？梢赞D(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)位置關(guān)系的問(wèn)題，并借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)的問(wèn)題。②利用平面向量的數(shù)量關(guān)系及模的性質(zhì)來(lái)尋求代數(shù)式性質(zhì)。（3）構(gòu)造幾何模型。通過(guò)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)分析，構(gòu)造出符合代數(shù)式的幾何圖形，如將與正方形的面積互化，將與體積互化，將與勾股定理溝通等等。（4）利用解析幾何中的曲線與方程的關(guān)系，重要的公式（如兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，直線的斜率，直線的截距）、定義等來(lái)尋求代數(shù)式的圖形背景及有關(guān)性質(zhì)。2．?dāng)?shù)形結(jié)合的原則（1）等價(jià)性原則在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞.有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說(shuō)明，但它同時(shí)也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)。（2）雙向性原則在數(shù)形結(jié)合時(shí)，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析（或僅對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行代數(shù)分析）在許多時(shí)候是很難行得通的。例如，在解析幾何中，我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，但是在許多時(shí)候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會(huì)使得復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。（3）簡(jiǎn)單性原則就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來(lái)敘述解題過(guò)程，則取決于那種方法更為簡(jiǎn)單.而不是去刻意追求一種流性的模式——代數(shù)問(wèn)題運(yùn)用幾何方法，幾何問(wèn)題尋找代數(shù)方法?！究键c(diǎn)例析】題型1：數(shù)軸、韋恩圖在集合中的應(yīng)用例1．（1）（2012高考真題浙江理1）設(shè)集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|-2x-3≤0},則A∩（CRB）=（）A．(1,4)B．(3,4)C．.(1,3)D．(1,2)∪（3,4）解析：B；B={x|-2x-3≤0}=，A∩（CRB）={x|1＜x＜4}=。故選B.點(diǎn)評(píng)：不等式型集合的交、并集通?？梢岳脭?shù)軸進(jìn)行，解題時(shí)注意驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)是否符合題意。（2）（2011湖南文1）設(shè)全集則（）A．B．Ｃ．Ｄ．解析：B；解析：畫(huà)出韋恩圖，可知。點(diǎn)評(píng)：本題主要利用數(shù)軸、韋恩圖考查集合的概念和集合的關(guān)系。（3）（2012高考真題重慶理10）設(shè)平面點(diǎn)集，則所表示的平面圖形的面積為（）（A）（B）（C）（D）解析：D；由可知或者，在同一坐標(biāo)系中做出平面區(qū)域如圖，由圖象可知的區(qū)域?yàn)殛幱安糠?，根?jù)對(duì)稱(chēng)性可知，兩部分陰影面積之和為圓面積的一半，所以面積為，選D.題型2：函數(shù)圖像的價(jià)值例2．（1）（2012高考真題江西理10）如右圖，已知正四棱錐所有棱長(zhǎng)都為1，點(diǎn)E是側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)垂直于的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記截面下面部分的體積為則函數(shù)的圖像大致為（）解析：A；（定性法）當(dāng)時(shí)，隨著的增大，觀察圖形可知，單調(diào)遞減，且遞減的速度越來(lái)越快；當(dāng)時(shí)，隨著的增大，觀察圖形可知，單調(diào)遞減，且遞減的速度越來(lái)越慢；再觀察各選項(xiàng)中的圖象，發(fā)現(xiàn)只有A圖象符合.故選A.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題，若函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)的解析式不好求時(shí)，作為選擇題，沒(méi)必要去求解具體的解析式，不但方法繁瑣，而且計(jì)算復(fù)雜，很容易出現(xiàn)某一步的計(jì)算錯(cuò)誤而造成前功盡棄；再次，作為選擇題也沒(méi)有太多的時(shí)間去給學(xué)生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且準(zhǔn)確節(jié)約時(shí)間.（2）（2012高考真題山東理12）設(shè)函數(shù)，若的圖象與圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則下列判斷正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，解析：B；在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，要想滿足條件，則有如圖，做出點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C,則C點(diǎn)坐標(biāo)為，由圖象知即，同理當(dāng)時(shí)，則有，故答案選B.另法：，則方程與同解，故其有且僅有兩個(gè)不同零點(diǎn).由得或.這樣，必須且只須或，因?yàn)?，故必有由此?不妨設(shè)，則.所以，比較系數(shù)得，故.，由此知，故答案為B.點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)中考查創(chuàng)新思維，要求必須要有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，考查新定義函數(shù)的理解、解絕對(duì)值不等式，中檔題，借形言數(shù)。（3）（2012高考真題湖南理8）已知兩條直線：y=m和：y=(m＞0)，與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn)A，B，與函數(shù)的圖像從左至右相交于C,D.記線段AC和BD在X軸上的投影長(zhǎng)度分別為a,b,當(dāng)m變化時(shí)，的最小值為（）A．B.C.D.解析：B；在同一坐標(biāo)系中作出y=m，y=(m＞0)，圖像如下圖，由=m，得，=，得.依照題意得.，.【點(diǎn)評(píng)】在同一坐標(biāo)系中作出y=m，y=(m＞0)，圖像，結(jié)合圖像可解得.題型3：解決方程、不等式問(wèn)題例3．若方程EMBEDEquation.2在EMBEDEquation.2內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解析：（1）原方程可化為EMBEDEquation.2設(shè)EMBEDEquation.2在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出它們的圖象（如圖）。由原方程在（0，3）內(nèi)有唯一解，知EMBEDEquation.2的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，可見(jiàn)m的取值范圍是EMBEDEquation.2或EMBEDEquation.2。例4．（2012高考真題浙江理17）設(shè)aR，若x＞0時(shí)均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，則a＝______________．解析：本題按照一般思路，則可分為一下兩種情況：(A)，無(wú)解；(B)，無(wú)解．因?yàn)槭艿浇?jīng)驗(yàn)的影響，會(huì)認(rèn)為本題可能是錯(cuò)題或者解不出本題．其實(shí)在x＞0的整個(gè)區(qū)間上，我們可以將其分成兩個(gè)區(qū)間(為什么是兩個(gè)？)，在各自的區(qū)間內(nèi)恒正或恒負(fù)．(如下答圖)我們知道：函數(shù)y1＝(a－1)x－1，y2＝x2－ax－1都過(guò)定點(diǎn)P(0，1)．考查函數(shù)y1＝(a－1)x－1：令y＝0，得M(，0)，還可分析得：a＞1；考查函數(shù)y2＝x2－ax－1：顯然過(guò)點(diǎn)M(，0)，代入得：，解之得：，舍去，得答案：．點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合的思想方法，是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)基本方法。深刻理解這一觀點(diǎn)，有利于提高我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。題型4：解決三角函數(shù)、平面向量問(wèn)題例5．（1）（2012高考真題江西理7）在直角三角形中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則=()A．2B．4C．5D．10解析：D；將直角三角形放入直角坐標(biāo)系中，如圖，設(shè)，則，,所以，，，所以,所以，選D.（2）（20XX年陜西15）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、、,其中與的夾角為120°，與的夾角為30°,且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,則λ+μ的值為。解析：（1）考查三角函數(shù)的計(jì)算、解析化應(yīng)用意識(shí)。解法1：約定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，解得解法2：坐標(biāo)化。約定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夾角公式得：，解得。（2）6；解析：（）2＝（λ+μ）2=λ2OA2+μ2OB2+2λμ=12；注意與的夾角為30°，與的夾角為120°，結(jié)合圖形容易得到與的夾角為90°，得μ=0；這樣就得到答案。點(diǎn)評(píng)：綜合近幾年的高考命題，平面向量單純只靠運(yùn)算解題是不夠的，需要結(jié)合幾何特征。例6．（2010全國(guó)卷1文數(shù)）已知圓的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么的最小值為（）A．B．C．D．答案：D；【解析1】如圖所示：設(shè)PA=PB=,∠APO=,則∠APB=，PO=，，===，令，則，即，由是實(shí)數(shù)，所以，，解得或.故.此時(shí).【解析2】設(shè)，換元：，【解析3】建系：園的方程為，設(shè)，點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長(zhǎng)定理，著重考查最值的求法——判別式法,同時(shí)也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力及運(yùn)算能力.題型5：解析幾何問(wèn)題例7．（1）（2012高考真題山東理5）已知變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是()（A）（B）（C）（D）解析：A；做出不等式所表示的區(qū)域如圖，由得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最大為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線截距最大，此時(shí)最小，由，解得，此時(shí)，所以的取值范圍是，選A.（2）（2011江蘇14）設(shè)集合,,若則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________解析：（數(shù)形結(jié)合）當(dāng)時(shí)，集合A是以（2，0）為圓心，以為半徑的圓，集合B是在兩條平行線之間，，因?yàn)榇藭r(shí)無(wú)解；當(dāng)時(shí)，集合A是以（2，0）為圓心，以和為半徑的圓環(huán)，集合B是在兩條平行線之間，必有.又因?yàn)?。點(diǎn)評(píng)：線性規(guī)劃是借助平面區(qū)域表示直線、不等式等代數(shù)表達(dá)式，最終借助圖形的性質(zhì)解決問(wèn)題；對(duì)于直線與圓的位置關(guān)系以及一些相關(guān)的夾角、弦長(zhǎng)問(wèn)題，往往要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離問(wèn)題來(lái)解決。例8．（1）（2012高考真題陜西理13）右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬米.解析：；設(shè)水面與橋的一個(gè)交點(diǎn)為A，如圖建立直角坐標(biāo)系則，A的坐標(biāo)為（2，-2）.設(shè)拋物線方程為，帶入點(diǎn)A得，設(shè)水位下降1米后水面與橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以水面寬度為.（2）【2012高考真題湖北理】（本小題滿分13分）設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線．（Ⅰ）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn).是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（Ⅰ）如圖1，設(shè)，，則由，可得，，所以，.①因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以.②將①式代入②式即得所求曲線的方程為.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.（Ⅱ）解法1：如圖2、3，，設(shè)，，則，，直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得.依題意可知此方程的兩根為，，于是由韋達(dá)定理可得，即.因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以.于是，.而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有.圖2圖3圖2圖3圖1ODxyAM第21題解答圖解法2：如圖2、3，，設(shè)，，則，，因?yàn)?，兩點(diǎn)在橢圓上，所以兩式相減可得.③依題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合，故.于是由③式可得.④又，，三點(diǎn)共線，所以，即.于是由④式可得.而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有.題型6：導(dǎo)數(shù)問(wèn)題例9．（2012高考真題重慶理8）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（）（A）函數(shù)有極大值和極小值（B）函數(shù)有極大值和極小值（C）函數(shù)有極大值和極小值（D）函數(shù)有極大值和極小值解析:D；由圖象可知當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，函數(shù)遞增.當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，函數(shù)遞減.當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，函數(shù)遞減.當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，函數(shù)遞增.所以函數(shù)有極大值，極小值,選D.點(diǎn)評(píng)：通過(guò)函數(shù)圖像分解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，對(duì)應(yīng)好原函數(shù)的單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。例10．（06浙江卷）已知函數(shù)f(x)=x+x，數(shù)列｜x｜(x＞0)的第一項(xiàng)x＝1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過(guò)（0，0）和（x,f(x)）兩點(diǎn)的直線平行（如圖）求證：當(dāng)n時(shí)，(Ⅰ)x（Ⅱ）。證明：（=1\*ROMANI）因?yàn)樗郧€在處的切線斜率因?yàn)檫^(guò)和兩點(diǎn)的直線斜率是所以.（=2\*ROMANII）因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，而，所以，即因此又因?yàn)榱顒t因?yàn)樗砸虼斯庶c(diǎn)評(píng)：切線方程的斜率與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)，建立了幾何圖形與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)。題型6：平面幾何問(wèn)題例11．已知三頂點(diǎn)是，求的平分線的長(zhǎng)。解析：第一步，簡(jiǎn)單數(shù)形結(jié)合，在直角坐標(biāo)系下，描出已知點(diǎn)，畫(huà)出的邊及其的平分線。（如圖） 第二步，觀察圖形，挖掘圖形的特性（一般性或特殊性），通過(guò)數(shù)量關(guān)系證明（肯定或否定）觀察、挖掘出來(lái)的特性。特性有：（1）；（2）；（3），（4）等等。證明：∵∴,∵ ∴（1），∵是的平分線；∴（2），∵(角平分線定理) ；∴（3），∵，∴（4）不正確， 第三步，充分利用圖形的屬性，創(chuàng)造性地?cái)?shù)形結(jié)合，完成解題。過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則有∽或等等。又在中，（可以口答出）。點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)是作圖要基本準(zhǔn)確，切忌隨手作圖！數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是挖掘圖形的幾何屬性，切忌只重?cái)?shù)量關(guān)系忽視位置關(guān)系！如果把本題的圖形隨手作成如下一般平面圖形，則失去了數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，很難挖掘出圖形的幾何屬性，是很失敗的。例12．已知A=｛(x,y)||x|≤1,|y|≤1｝,B=｛(x,y)|(x–)2+(y–)2≤1，∈R｝,若A∩B≠，則的取值范圍是。解析：如圖，集合A所表示的點(diǎn)為正方形PQRS的內(nèi)部及其邊界，集合B所表示的點(diǎn)為以C(,)為圓心，以1為半徑的圓的內(nèi)部及其邊界．而圓心C(,)在直線y=x上，故要使A∩B≠，則為所求。點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用幾何圖象解決問(wèn)題時(shí)，尤其要注意特殊點(diǎn)（或位置）的情況，本題就是按照這樣的思路直接求出實(shí)數(shù)的取值范圍?！痉椒记伞繑?shù)學(xué)前輩華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少知覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非.切莫忘幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離”.可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種智慧的數(shù)學(xué)方法，備考中要仔細(xì)體會(huì)，牢固掌握，熟練應(yīng)用.目前高考“注重通法，淡化特技”的命題原則來(lái)看，對(duì)于數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)將重點(diǎn)置于解析幾何中圖象的幾何意義的重視與挖掘以及函數(shù)圖象的充分利用之上即可。數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域，最值問(wèn)題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍?！緦?zhuān)題訓(xùn)練】一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)填在答題卡上．1．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A．2B．3C.eq\f(11,5) D.eq\f(37,16)2．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率的取值范圍是()A．(1,2] B．(1,2)C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)3．已知eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\r(2)cosα，eq\r(2)sinα)，則向量eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角的取值范圍為()A．[0，eq\f(π,4)] B．[eq\f(π,4)，eq\f(5,12)π]C．[eq\f(5,12)π，eq\f(π,2)] D．[eq\f(π,12)，eq\f(5,12)π]4．函數(shù)y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)≤x≤\f(π,3)))與y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(7,3)π))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)π≤x≤\f(5,3)π))的圖象和兩直線y＝±3所圍成的封閉區(qū)域的面積為()A．8π B．6πC．4π D．以上都不對(duì)5．設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,|x－2|)x≠2，,1x＝2.))若關(guān)于x的方程f2(x)＋af(x)＋b＝0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，且x1<x2<x3，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A．xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＝14 B．1＋a＋b＝0C．x1＋x3＝4 D．x1＋x3>2x26．若函數(shù)f(x)＝logax－x＋a(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．0<a<1 B．a(chǎn)>1C．a(chǎn)>0且a≠1 D．1<二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上．7．設(shè)有一組圓Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四個(gè)命題：A．存在一條定直線與所有的圓均相切B．存在一條定直線與所有的圓均相交C．存在一條定直線與所有的圓均不相交D．所有的圓不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)其中真命題的代號(hào)是________．(寫(xiě)出所有真命題的代號(hào))8．當(dāng)0≤x≤1時(shí)，不等式sineq\f(π,2)x≥kx，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．9．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2－bx在[－1,2]上是單調(diào)減函數(shù)，則a＋b的最小值為_(kāi)_______．10．用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)二元數(shù)組成區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<1，,－2<y<2.))對(duì)每個(gè)二元數(shù)組(x，y)，用計(jì)算機(jī)計(jì)算x2＋y2的值，記“(x，y)”滿足x2＋y2<1為事件A，則事件A發(fā)生的概率為_(kāi)_______．三、解答題：本大題共2小題，共25分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．11．(12分)若關(guān)于x的方程x2＋2kx＋3k＝0的兩根都在－1和3之間，求k的取值范圍．12．(13分)(四川)設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e＝eq\f(\r(2),2)，右準(zhǔn)線為l，M、N是l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2N,\s\up6(→))＝0.(1)若|eq\o(F1M,\s\up6(→))|＝|eq\o(F2N,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，求a、b的值；(2)求證：當(dāng)|MN|取最小值時(shí)，eq\o(F1M,\s\up6(→))＋eq\o(F2N,\s\up6(→))與eq\o(F1F2,\s\up6(→))共線．【參考答案】1．解析：設(shè)P到l1的距離為d1，P到l2的距離為d2，由拋物線的定義知d2＝|PF|，F(xiàn)(1,0)為拋物線焦點(diǎn)，所以d1＋d2＝d1＋|PF|.過(guò)F作FH⊥l1于H，設(shè)F到l1的距離為d3，則d1＋|PF|≥d3.當(dāng)且僅當(dāng)H，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，d1＋d2最小，由點(diǎn)到直線距離公式易得d3＝eq\f(10,5)＝2.答案：A2．解析：如圖所示，根據(jù)直線與漸近線斜率的大小關(guān)系：eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(e2－1)≥eq\r(3)，從而e≥2.答案：C3．解析：如圖，在以O(shè)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，B(2,0)，C(2,2)，A點(diǎn)軌跡是以eq\r(2)為半徑的圓C，OD，OE為⊙C的切線，易得∠COB＝eq\f(π,4)，∠COD＝∠COE＝eq\f(π,6)，當(dāng)A點(diǎn)位于D點(diǎn)時(shí)，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角最小為eq\f(π,12)，當(dāng)A點(diǎn)位于E點(diǎn)時(shí)，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角最大為eq\f(5,12)π，即夾角的取值范圍為[eq\f(π,12)，eq\f(5,12)π]．答案：D4．解析：∵函數(shù)y＝3cos(2x－eq\f(7,3)π)＝3coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)π))＋\f(π,3))).∴y＝3cos(2x－eq\f(7,3)π)的圖象是將函數(shù)y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象向右平移eq\f(4,3)π個(gè)單位得到的．由畫(huà)圖可知，所圍成的區(qū)域的面積為eq\f(4,3)π×6＝8π.答案：A5．解析：作出f(x)的圖象，圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱(chēng)，且x＝2時(shí)，f(x)＝1，故f(x)＝1有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根x，除此之外，只有兩個(gè)根或無(wú)根．又f2(x)＋af(x)＋b＝0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1<x2<x3，x2＝2，而x1＋x3＝2x2＝4.又f(x)＝1，eq\f(1,|x－2|)＝1，x1＝1，x3＝3，故A，B，C正確．答案：D6．解析：設(shè)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)和函數(shù)y＝x－a，則函數(shù)f(x)＝logax－x＋a有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)與函數(shù)y＝x－a有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知當(dāng)0<a<1時(shí)，兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝logax圖象過(guò)點(diǎn)(1,0)，而直線y＝x－a與x軸交點(diǎn)(a,0)在點(diǎn)(1,0)右側(cè)，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)，故a>1.答案：B二、7．解析：假設(shè)圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則有(0－k＋1)2＋(0－3k)2＝2k4，即2k4－10k2＝－2k＋1，而上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故矛盾，所以D正確．而所有圓的圓心軌跡為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝k－1，,y＝3k，))即y＝3x＋3.此直線與所有圓都相交，故B正確．由于圓的半徑在變化，故A，C不正確．答案：BD8．解析：在同一坐標(biāo)系下，作出y1＝sineq\f(π,2)x與y2＝kx的圖象，要使不等式sineq\f(π,2)x≥kπ成立，由圖可知需k≤1.答案：k≤19．解析：∵y＝f(x)在區(qū)間[－1,2]上是單調(diào)減函數(shù)，∴f′(x)＝x2＋2ax－b≤0在區(qū)間[－1,2]上恒成立．結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知f′(－1)≤0且f′(2)≤0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a－b≤0，,4＋4a－b≤0))也即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b－1≥0，,4a－b＋4≤0.))作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖：當(dāng)直線z＝a＋b經(jīng)過(guò)交點(diǎn)P(－eq\f(1,2)，2)時(shí)，z＝a＋b取得最小值，且zmin＝－eq\f(1,2)＋2＝eq\f(3,2).∴z＝a＋b取得最小值eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)點(diǎn)評(píng)：由f′(x)≤0在[－1,2]上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的二元一次不等式組，再借助線性規(guī)劃問(wèn)題，采用圖解法求a＋b的最小值．10