酒泉市普通高中2024屆高三第三次診斷考試

數(shù)學(xué)試題

考生注意：

1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2,答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.

3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)

應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,設(shè)集合&=回=炮(1)},八出＜—2},則A一做可=()

A.(-2,1)B.[-2,1)C.[—2,+oo)D.(1,+oo)

2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2),則z?N=()

A.-3B.3C.4D.5

3.已知點(diǎn)M在拋物線V=4y上，若點(diǎn)M到點(diǎn)(0,1)距離為3,則點(diǎn)M到無軸的距離為()

A.4B.3C.2D.1

5.有甲、乙兩臺(tái)車床加工同一種零件，且甲、乙兩臺(tái)車床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的70%,30%,甲、乙兩臺(tái)

車床的正品率分別為94%,92%.現(xiàn)從一批零件中任取一件，則取到正品的概率為()

A.0.93B.0.934C.0.94D.0.945

6.記；ABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為b,c,設(shè)向量加=(b,sinB),〃=(sin2A,-〃)，若

M_L〃，則A=()

兀712兀5兀

A—B.-C.—D.——

3636

7.函數(shù)/（x）=Asin（〃zr+0）（A>O,G>O,—兀<0<0）,其部分圖象如圖所示，則①0=（）

5兀1071_5兀

A.——B.-------C.---------D.——

2336

8.在底面是邊長(zhǎng)為4的正方形的四棱錐尸-A5CD中，點(diǎn)P在底面的射影”為正方形A5CD的中心，異

3

面直線PB與所成角的正切值為一，則四棱錐P-A5CD的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（）

2

6547

A.—B.—C.—D.—

17161318

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

22

9.已知橢圓=+3=1伽〉5〉0）上存在點(diǎn)P,使得|P周=4歸耳］,其中耳，鳥分別為橢圓的左、右焦

a"b~

點(diǎn)，則該橢圓的離心率可能為（）

135I—

A.5B.-C.-D.V3-1

“56

io.如圖，在正方體ABC?！狝q中，p為線段4G的中點(diǎn)，。為線段BG上的動(dòng)點(diǎn).則下列結(jié)論

A.若。為BG中點(diǎn)，則P。//平面

B.若。為BG中點(diǎn)，則PQ1平面A4G。

C.不存在點(diǎn)Q,使得PQJ_AC

D.P。與平面5CG與所成角的正弦值最小為會(huì)

11.已知函數(shù)八%)為定義在(―8,o)u(o,y)上的奇函數(shù)，若當(dāng)x<0時(shí)，靖⑴―〃6<0,且

/(1)=0,則()

A.2/(e)〉W⑵B.當(dāng)機(jī)<2時(shí)，/(加)>時(shí)⑴

C.3/(―兀)+W(3)<0D.不等式/(%)>0解集為(-1,0)o(l,+^)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若(?-1)6展開式中x的系數(shù)與爐的系數(shù)之和為.

13.若圓”的圓心在無軸上，且與直線丁=%相切，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為.(寫出滿足條

件的一個(gè)答案即可)

14.對(duì)于數(shù)列｛4｝，定義Hn=%+2。2+…+2"%為｛4｝的，，優(yōu)值，，，現(xiàn)已知某數(shù)列｛4｝的“優(yōu)值”

n

H?=2n,記數(shù)列1—1—1的前〃項(xiàng)和為S“，則§202，=__________.

[a.y+J

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)八》)=Y土+2丁.

e

(1)求函數(shù)/(丈)的極值；

(2)若對(duì)任意xe[0,+s),都有a—%成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

16.為促進(jìn)全面閱讀，建設(shè)書香校園，鼓勵(lì)學(xué)生參加閱讀活動(dòng)，某校隨機(jī)抽查了男、女生各200名，統(tǒng)計(jì)

他們?cè)谑罴倨陂g每天閱讀時(shí)長(zhǎng)，并把每天閱讀時(shí)長(zhǎng)超過1小時(shí)的記為“閱讀達(dá)標(biāo)”，時(shí)長(zhǎng)不超過1小時(shí)的記

為“閱讀不達(dá)標(biāo)”，閱讀達(dá)標(biāo)與閱讀不達(dá)標(biāo)的人數(shù)比為1:1,閱讀達(dá)標(biāo)的女生與男生的人數(shù)比為3:2.

(1)完成下面的2x2列聯(lián)表：

閱讀達(dá)標(biāo)情況

性別合計(jì)

閱讀達(dá)標(biāo)閱讀不達(dá)標(biāo)

男生

女生

合計(jì)

（2）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值1=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“閱讀達(dá)標(biāo)情況”與“性別”有關(guān)聯(lián)？

（3）從閱讀達(dá)標(biāo)的學(xué)生中按男、女生人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人進(jìn)行座談，再從這5人中任

選2人，記這2人中男生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：/=(a+6)(c+d)(a+c)("d)'"5+…+/

a0.100.050010.001

Xa27063.8416.63510.828

17.如圖，在三棱柱ABC-4與G中，底面三角形ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面ACG4是菱形，

且平面ACG4，平面A8CE,尸分別是棱AGIC的中點(diǎn)，Cfi=2GC.

（1）證明：EF平面ABB{\；

（2）若①三棱錐￡—ABC的體積為8；②G。與底面A3。所成角為60；③異面直線8內(nèi)與人石所成

的角的大小為30.請(qǐng)選擇一個(gè)條件求平面E尸G與平面ABB14所成角（銳角）的余弦值.

22

18.已知雙曲線C:「-當(dāng)=1(。＞03＞0)的一條漸近線方程為x+2y=0,且焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.

ab

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若雙曲線C的右頂點(diǎn)為A,3(0,-與，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線/與。交于E,F兩點(diǎn),與直線AB交于點(diǎn)

M,且點(diǎn)E,M都在第一象限，的面積是△AEM面積的5倍，求直線/的斜率.

19.十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只

需數(shù)字0和1,對(duì)于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)一，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為(1)2,2表示為(10)2,3

表示為(11)2,5表示為(101)2，發(fā)現(xiàn)若可表示為二進(jìn)制表達(dá)式1以)2,貝I

1

〃=4?2/+q?2J-I---Fak_t-2+ak,其中q=1,q=0或=1,2,…,女).

(1)記S(〃)=〃o+qH----＞求證：S(16n+3)=S(4n+3)；

(2)記/(〃)為整數(shù)〃的二進(jìn)制表達(dá)式中的0的個(gè)數(shù)，如/⑵=1,7(3)=0.

(i)求/(80)；

255

(ii)求￡2"")(用數(shù)字作答).

n=l

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,設(shè)集合4=｛中=坨(/1)｝,八｛上＜一4，則A(M=()

A.(—2,1)B.[-2,1)C.[-2,+oo)D.(1,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域得到A=(1,a)，根據(jù)補(bǔ)集和并集概念求出答案.

【詳解】由題意得解得%＞1,故4=(1,茁)，

A_=2,-Ko)=[―2,+oo).

故選：C

2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2),則z-5=()

A.-3B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可知：z=l-2z,根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的概念以及乘法運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知：z=l—2九所以z-5=(l-2z)(l+2z)=5.

故選：D

3.已知點(diǎn)M在拋物線Y=4y上，若點(diǎn)M到點(diǎn)(0,1)的距離為3,則點(diǎn)M到x軸的距離為()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的定義分析可知點(diǎn)M到直線y=-l的距離為3,即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知：拋物線爐=4〉的焦點(diǎn)為(0,1),準(zhǔn)線為y=-1,

若點(diǎn)/到點(diǎn)(0,1)的距離為3,即點(diǎn)M到直線y=-l的距離為3,

所以點(diǎn)M到x軸的距離為3—1=2.

故選：C.

(3八2,.<d3兀)=()

4.右cos1cc——1=——,則sin1-2a—

,11C.昱D.

A.--B.一

993

【答案】B

【解析】

2

【分析】利用誘導(dǎo)公式可知可得sina=—：，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解.

3

【詳解】因?yàn)閏os［a—技］=_sina=—:>2

-,即sina=一,

!3

所以sin,2a-技］=cos2a=l-2sin2(1

%=一.

9

故選：B.

5.有甲、乙兩臺(tái)車床加工同一種零件，且甲、乙兩臺(tái)車床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的70%,30%,甲、乙兩臺(tái)

車床的正品率分別為94%,92%.現(xiàn)從一批零件中任取一件，則取到正品的概率為（）

A.0.93B.0.934C.0.94D,0.945

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)概率與條件概率的定義，結(jié)合全概率公式，可得答案.

【詳解】設(shè)事件A表示為“任選一件零件為甲車床生產(chǎn)的”，

事件B表示為“任選一件零件為乙車床生產(chǎn)的”，事件C表示為“任選一件零件為正品”，

則P（A）=70%,尸（3）=30%,P（C|A）=94%,P（C|fi）=92%,

所以尸（C=P（C|A）P（A）+P（C⑻尸（5）=0.934.

故選：B.

6.記"WC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為b,c,設(shè)向量根=S,sinB）,〃=（sin2A,—〃），若

相_L〃，則A=（）

兀兀2兀5兀

A.—B.—C.—D.—

3636

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可得26sinAcosA-asinB=0,再結(jié)合倍角公式以及正弦定理運(yùn)算求

解.

【詳解】因?yàn)閙貝!lbsin2A-asin3=0,即26sinAcosA-asin3=0,

由正弦定理可得2sin3sinAcosA-sinAsin3=0,

又因?yàn)?,3?0,兀），貝！12cos4-1=0,

1兀

即cosA=—,所以A=2

23

故選：A.

7.函數(shù)/（x）=Asin（cM+0）（A>O,0>O,—兀<0<0）,其部分圖象如圖所示，則”如=（）

5兀10兀_5九

A.——B.------C.--------D.——

2336

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)最值可得A=l,最小正周期可得。=2,分析可知尤=^為了（司的最大值點(diǎn)，進(jìn)而可得

571

(p=——,即可得結(jié)果.

6

【詳解】設(shè)/（%）的最小正周期為T，

由題意可知：A=l,-=-即7=兀，

212122

2兀

且①＞0,則①=—=2,

可得/（x）=sin（2x+0）,

5兀11兀

由圖象可知：丫_石+正_2兀為了（X）最大值點(diǎn)，

X―2--T

4冗71SjT

則---l-（z?=2kn+—,左eZ,解得m=2kli----，左eZ,

326

且一兀＜。＜0,可知左=0,夕=—2,所以=一況.

63

故選：B.

8.在底面是邊長(zhǎng)為4的正方形的四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)尸在底面的射影H為正方形A3CD的中心，異

3

面直線PB與AD所成角的正切值為一，則四棱錐P-A6CD的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（）

2

,6547

A.—B.—C.—D.—

17161318

【答案】C

【解析】

【分析】依題意可得P-ABCD為正四棱錐，由可得異面直線PB與A。所成的角為NP3C,取

中點(diǎn)E,連接PE、HE,即可求出PE、HP,再求出四棱錐的表面積與體積，從而求出內(nèi)切球的半

徑，再由勾股定理求出外接球的半徑，即可得解.

【詳解】由題可得四棱錐P—ABCD為正四棱錐，即有P4=PB=PC=P￡>.

因?yàn)樗援惷嬷本€PB與所成的角為NPBC,

PE3

取BC中點(diǎn)E，連接PE、HE,則尸ELBC,所以tan/P3C=—=-

BE2

所以PE=3,HP=y/PE2-HE-=75-

1,

從而可以求得四棱錐P—ABCD的表面積和體積分別為S=—x4義3義4+4~=40,

2

1..二16^5

V=—x4x4x，5=----

33

所以內(nèi)切球的半徑為r=史=2叵

S5

設(shè)四棱錐P-ABCD外接球的球心為。，外接球的半徑為A,則OP=QA,

解得R=受叵，所以二=二

10R13

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

22

9.已知橢圓工+二=1（?！?〉0）上存在點(diǎn)「，使得|P周=4歸耳其中耳，鳥分別為橢圓的左、右焦

ab~

點(diǎn)，則該橢圓的離心率可能為（）

135I—

A.5B.-C.-D.V3-1

z56

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的定義得至“尸耳|,歸閭，再由I班;忸耳目大閭即可求出離心率的取值范圍，即可判

斷.

【詳解】因\PF^+\PF^=2a,又|「耳|=4|尸用,所以|「制|尸閭=網(wǎng),

55

又伊國一|尸耳區(qū)國局，即o<g-gw2c,

所以史<2c,則6=工2士，又e<l,所以=We<l,故符合題意的有BCD.

5a55

故選：BCD

10.如圖，在正方體ABC?！狝4G2中，P為線段AC的中點(diǎn)，Q為線段BG上的動(dòng)點(diǎn).則下列結(jié)論

正確的是（）

A.若。為BG中點(diǎn)，則P。//平面

B.若。為BC中點(diǎn)，則PQ1平面A4G。

C.不存在點(diǎn)。，使得PQ_LAC

D.PQ與平面BCC[B]所成角的正弦值最小為害

【答案】AB

【解析】

【分析】對(duì)于A,。為BG中點(diǎn)，可證出PQ//4B,進(jìn)而可證出PQ//平面ABBiA；對(duì)于B,先證明

45,平面AB]G。，再由PQ//AB,所以PQ//平面A4G。；對(duì)于C,只需說明當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合

時(shí)，P。，AC即可；對(duì)于D,求得尸。與平面5CC1與所成角的最小正弦值與答案比對(duì)即可.

【詳解】對(duì)于A,連結(jié)A3,由P為線段4G的中點(diǎn)，Q為8G中點(diǎn),

在△GAB中，尸。為△GA3的中位線，所以PQ//AB,

PQZ平面AB31A，45U平面A3B]A，所以P。//平面AB與A,

故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,連結(jié)A5j,DC，由。為BG中點(diǎn)，由A的證明可知尸。//45,

由ABC。—44Goi為正方體，所以四邊形A41AB為正方形，

所以48，A用,又4G1平面ABBX\,A{Bu平面ABBX\,

所以43,與G，由4用門用弓=耳，所以平面A4G

再由PQ//43,所以PQ,平面做。]。，所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,由ABC。-44。]已為正方體，設(shè)棱長(zhǎng)為2”，

所以AG=A5=5G=2缶，尸為線段4G的中點(diǎn)，

所以3P，AG，又因?yàn)锳A//C]C且4A=C]C,

所以四邊形AACC1為平行四邊形，故AC//AC,

所以所以當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，PQVAC,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,取B|G中點(diǎn)"，連結(jié)PB，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2a,

3Cl

A

則在△4片。1中，p為線段AC的中點(diǎn)，H為4G中點(diǎn),

所以PH為中位線，所以PH//AB-

又因?yàn)?4，平面5CGB],所以平面5。。1片，

、

兀\PH\

P0與平面3CG與所成角為。,則tan”呵

由|P"|=；|44|=a,即tan8=a

所以欲使尸。與平面3CG與所成角的正弦值最小，即tan8最小,

可知當(dāng)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，|。口|最大，tan。最小，可知sin。最小,

此時(shí)，|?；?扃療。|=瘋,

所以（sin。）.=%=旦,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

'7min向6

故選：AB.

11.已知函數(shù)八％）為定義在（―8,0）U（0,y）上的奇函數(shù)，若當(dāng)x＜0時(shí)，靖⑴―〃x）＜0,且

/（1）=0,則（）

A.2f(e)〉叭2)B.當(dāng)機(jī)＜2時(shí)，

C.3/(—兀)+*3)＜。D.不等式/（力＞0解集為（―1,O）D（L+?0

【答案】ACD

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=/3結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，再結(jié)合奇偶性，分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/fct其中XWO,

因?yàn)楹瘮?shù)“X)為定義在(r40)D(0,+8)上的奇函數(shù)，則/(-X)=-/(%),

所以g(-x)=/tD=J3=g(x),故函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

—XX

當(dāng)尤<0時(shí)，g，(x)W(x)；〃x)<0,

X

所以函數(shù)g(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?(1)=0,則g(l)=半=0,則g(_l)=g(l)=O.

因e>2,所以g(e)>g(2),即2/(e)>ef(2),故A正確；

e2

不妨取m=1,則/(1)=0,〃礦(1)=0,B錯(cuò)誤；

因?yàn)榕己瘮?shù)g(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則g(-兀)=g(兀)>g⑶，

即/(-兀)〉小1,整理可得3/(—兀)+W⑶<0,c正確；

-713

當(dāng)為<o時(shí)，由y(x)>?？傻胓(x)="^<o=g(—i),解得一i<%<o,

當(dāng)尤>()時(shí)，由/(力>0可得g(x)=n^〉o=g(i),解得龍〉i.

X

綜上所述，不等式/(x)>0解集為(―l,0)u(l,+8),D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性判斷不等關(guān)系

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若(?-的展開式中尤的系數(shù)與必的系數(shù)之和為.

【答案】30

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可得展開式通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)求相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，即可得結(jié)果.

3

【詳解】因?yàn)椋?-1）6的展開式通項(xiàng)為1M=膜（五=（_］），=（_］），c^-f,廠=0,1,2,…,6，

令3—；=1,解得廠=4,可得x的系數(shù)為（—1）4仁=15；

令3-事=2,解得廠=2,可得x的系數(shù)為（—1『廢=15；

所以x的系數(shù)與/的系數(shù)之和為15+15=30.

故答案為：30.

13.若圓M的圓心在無軸上，且與直線丁=%相切，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為.（寫出滿足條

件的一個(gè)答案即可）

91

【答案】（x—1）一+'2=］（答案不唯一）

【解析】

【分析】不妨設(shè)圓心為（1,0）,利用點(diǎn)到直線距離得到半徑，得到圓的方程.

【詳解】不妨設(shè)圓心為（1,0）,貝"（1,0）到直線丁=%的距離［=^^=交,

V1+12

1

故圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）9~+丁=5.

91

故答案為：（%-1）+/=-（答案不唯一）

14.對(duì)于數(shù)列｛%｝,定義Hn=%+2%+…+2"%為｛4｝的“優(yōu)值,,，現(xiàn)己知某數(shù)列｛4｝的“優(yōu)直，

n

n

Hn=2,記數(shù)列一—的前幾項(xiàng)和為5“，則S，o,2=

1011

【答案】

2024

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得％+24+…+2"-""="-2",結(jié)合通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和之間的關(guān)系可得q=〃+1,再

利用裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)?=?+2.+…+2"&=2",貝|q+2a2+…+2?)“=加2”,

n

若〃=1,則％=2；

若2,則用+2t72H-----F2"=(〃—1)?2〃1,

可得2〃T/=幾?2"_(幾_1)2〃T=(〃+1)2"T,即2=〃+1；

可知4=2也滿足%=〃+1,所以％=〃+1.

1111

-pT得-------=----------r------------

an,an+\(〃+1)(〃+2)〃+1〃+2

__1____1_I__1111111011

所以$2022-4+"

-233,20232024220242024

100

故答案為:

2024.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于q+2g+…+2"一%"="-2",應(yīng)理解為數(shù)列｛2"-)"｝的前”項(xiàng)和為“.2",結(jié)

合通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系分析求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

Y+2

15.已知函數(shù)f(x)=二丁.

,e

(1)求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若對(duì)任意xe[0,+oo),都有—%成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)y(x)極大值=e,無極小值.

(2)(-8,2]

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值；

x+2x+2

(2)參變分離可得。<一1+%對(duì)任意％6[0,+8)恒成立，令g(x)=——+x,xe[0,+oo),利用導(dǎo)

ev7e

數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出g(尤)抽，即可求出參數(shù)的取值范圍.

【小問1詳解】

函數(shù)/'(%)=」丁的定義域?yàn)镽，且/''(x)=--

CC

所以當(dāng)x<—1時(shí)/Xx)>0,當(dāng)x>—1時(shí)/'(x)<0,

所以了(%)在(-8,-1)上單調(diào)遞增，在(一L+8)上單調(diào)遞減,

所以了(%)在x=—1處取得極大值，即/(九)極大值=/(—l)=e,無極小值.

【小問2詳解】

若對(duì)任意xe[O,+s),都有成立，

龍+2

即a<----+x對(duì)任意xe[0,+oo)恒成立，

e*

4g(x)=~^+x,xe[0,+oo),

則g，(x)=e~：+l),

'7e

令/z(x)=e"-(x+1),xG[0,+oo),則=e"-1N〃(O)=0,

所以力⑺在[0,+oo)上單調(diào)遞增，所以/I(x)2/I(O)=0,即y—(x+1)20在[0,+oo)上恒成立,

所以g\x)20在[0,+8)上恒成立，

所以g(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x"g(O)=2,所以a?2,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(f,2].

16.為促進(jìn)全面閱讀，建設(shè)書香校園，鼓勵(lì)學(xué)生參加閱讀活動(dòng)，某校隨機(jī)抽查了男、女生各200名，統(tǒng)計(jì)

他們?cè)谑罴倨陂g每天閱讀時(shí)長(zhǎng)，并把每天閱讀時(shí)長(zhǎng)超過1小時(shí)的記為“閱讀達(dá)標(biāo)”，時(shí)長(zhǎng)不超過1小時(shí)的記

為“閱讀不達(dá)標(biāo)”，閱讀達(dá)標(biāo)與閱讀不達(dá)標(biāo)的人數(shù)比為1:1,閱讀達(dá)標(biāo)的女生與男生的人數(shù)比為3:2.

(1)完成下面的2x2列聯(lián)表：

閱讀達(dá)標(biāo)情況

性別合計(jì)

閱讀達(dá)標(biāo)閱讀不達(dá)標(biāo)

男生

女生

合計(jì)

（2）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值cr=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“閱讀達(dá)標(biāo)情況”與“性別”有關(guān)聯(lián)？

（3）從閱讀達(dá)標(biāo)的學(xué)生中按男、女生人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人進(jìn)行座談，再從這5人中任

選2人，記這2人中男生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：Z=（a+?（c+d）（a+c）3+d）'Hd.

a0.100.050.010.001

%2.7063.8416.63510.828

【答案】（1）列聯(lián)表見詳解

（2）“閱讀達(dá)標(biāo)情況”與“性別”有關(guān)聯(lián)

4

（3）分布列見詳解，E（X）=-

【解析】

【分析】（1）根據(jù)分析閱讀達(dá)標(biāo)與閱讀不達(dá)標(biāo)的人數(shù)，以及閱讀達(dá)標(biāo)的女生與男生的人數(shù)，進(jìn)而可得列聯(lián)表;

（2）根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算并與臨界值對(duì)比分析，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)分析說明；

（3）由題意可知：X的可能取值為0,1,2,結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.

【小問1詳解】

由題意可知：閱讀達(dá)標(biāo)與閱讀不達(dá)標(biāo)的人數(shù)分別為200,200,

32

閱讀達(dá)標(biāo)的女生與男生的人數(shù)比為——x200=120,——x200=80,

3+23+2

據(jù)此可得2x2列聯(lián)表：

閱讀達(dá)標(biāo)情況

性別合計(jì)

閱讀達(dá)標(biāo)閱讀不達(dá)標(biāo)

男生80120200

女生12080200

合計(jì)200200400

【小問2詳解】

零假設(shè)Ho：“閱讀達(dá)標(biāo)情況”與“性別”沒有關(guān)聯(lián)，

由⑴可得：400（80x80-120x120）-=16>1（）828=

200x200x200x2000

依據(jù)小概率值&=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可知零假設(shè)Ho不成立，

所以“閱讀達(dá)標(biāo)情況”與“性別”有關(guān)聯(lián).

【小問3詳解】

32

因?yàn)槌槿?人中男、女生人數(shù)分別為——x5=3,——x5=2,

3+23+2

由題意可知：X的可能取值為0,1,2,則有：

p（X=O）=^=—,P（X=1）=^=-,P（X=2）=^=—,

[7C|10v，戢5'7Cf10

所以X的分布列為

X012

331

P

W5W

3314

=0x—+lx-+2x—=-.

105105

17.如圖，在三棱柱ABC-4與G中，底面三角形ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面是菱形,

且平面ACGA，平面A8C,E,下分別是棱的中點(diǎn)，C.G=2GC.

（1）證明：EP"平面ABBiA；

（2）若①三棱錐￡-ABC的體積為8；②C。與底面ABC所成角為60;③異面直線與5與人石所成

的角的大小為30.請(qǐng)選擇一個(gè)條件求平面跳。與平面ABBJA所成角（銳角）的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

力7回

、乙)-------

265

【解析】

【分析】(1)取4月的中點(diǎn)。，連接OE，DB,易證四邊形DEEB為平行四邊形，仄而有EF//DB,故

而得證；

(2)取AC中點(diǎn)。，以。3為x軸，OC為V軸，0C]為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

/\u>v

依次得平面ACC0和平面呼G的法向量。與v，再由COS(M,V)=E，得解；

選擇條件②：易知，從而得，接下來同①；選擇條件③：易知，從而有，接下來同②中.

【小問1詳解】

取4月中點(diǎn)。連接,則DE//月G〃BC,DE=：BC=BF,

所以四邊形。EEB為平行四邊形，敬EF〃DB,

又?"二平面平面445耳，所以.平面A3耳A.

【小問2詳解】

選①，V=—x4^/3義h=8,:.h=2y/3,

3

取AC中點(diǎn)。，以。3為x軸，OC為y軸，。。為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

（42

則A（0,-2,0）,網(wǎng)2白,0,0），4（0,-4,26）,￡（0,-2,2也）1（6』,0）,6。，子；

I33J

45=（262,0）,相=僅—2,2月,跖=（瘋3,—2@,EG=0,?—理.

設(shè)平面ABB]A法向量為三=(七,%,zj,

u?AB-0,V3xi+y=0,令玉=1,則沅=卜,一君,一1),

則,即r

u-AA]=0,—yx+\3zl=0,

設(shè)平面EFG的法向量為v=(x2,y2,z2),

v?EF=0,

則《即《

v￡G=0,10%-4昌=0,V2；

.?.3。=3僅同=但.、

1'71265

選擇條件②：：GC與底面A5c所成的角為60°，60°,

；.OC=2,.?.點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，/.OBLAC,

取AC中點(diǎn)。，以。8為了軸，0c為y軸，。。1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,-2,0）,8（2"0,0），4（0,-4,2@,以0,-2,2@/（61,0）,6。，1，平

I33,

C104百]

AB=（26,2,0）,M=（0,-2,2塔,EF=出3,-2EG=[°亍一句

設(shè)平面ABB^的法向量為3=(玉,y,zj,

u-AB—0,

則《即＜::鼠令則"2T

u?AA^=0,

設(shè)平面EFG的法向量為V=(%，%，Z2)，

v?EF=0,々+展片2=。Q則.七五二

則《即《

v￡G=0,10y2-4V3z2=0,I2J

77265

cos6=|cos^w,V

265

選擇條件③：片//A&,.?.NAAE即為異面直線8片與AE所成的角,

即幺AE=30°,,/A4j=2,AE=1,/.ZAA^E^6Q°,

即NGCO=60。，取AC中點(diǎn)。，以O(shè)B為x軸，OC為y軸，OQ為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

（42O

則4（0,-2,0）,網(wǎng)2點(diǎn)0,0）,A僅,-4,2⑹，40,-2,2石）尸（后1,0）,G。，不；

I33J

45=（26,2,0）,相=（0,-2,26）,跖=（后3,-2@,而=[0,5,-華

I33J

設(shè)平面ABB]A的法向量為三=（七,如馬），

u-AB-0,二『。令則〃…,—1）

則即＜

u-AAX—0,

設(shè)平面石尸G的法向量為”=（%2，%/2），

v?EF-0,

則即《

v?EG=0,

，COS八|8S（『）|=5.

1'71265

18.已知雙曲線C:三一與=1（。>0,6>0）的一條漸近線方程為x+2y=0,且焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.

a'b

（1）求雙曲線。的方程;

（2）若雙曲線C的右頂點(diǎn)為A,B（0,-b）,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線/與。交于￡,尸兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)

M,且點(diǎn)E,M都在第一象限，八4?的面積是△AEM面積的5倍，求直線/的斜率.

尤2

【答案】（1）—-/=i

4-

【解析】

b1

【分析】（1）首先表示出雙曲線的漸近線方程，依題意可得一=彳，由點(diǎn)到直線的距離公式求出C,再由

a2

C=主求出"、"，即可得到雙曲線方程；

（2）設(shè)/:y=",M（x2,y2）,由題意可知0<A<g,0<%<9，聯(lián)立直線

3

/與A3的方程求出/，聯(lián)立直線/與雙曲線的方程求出均，依題意可得％=5%,即可求出左.

【小問1詳解】

無2v?b

雙曲線C