2022學(xué)年第二學(xué)期溫州十校聯(lián)合體期中聯(lián)考

高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題

考生須知：

1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.

3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分

一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若。2=/+c2+ac,則角B=()

兀3兀2兀

A.—B.-71C.—D.—

6343

復(fù)數(shù)三

2.的共規(guī)復(fù)數(shù)是()

1-2

A.2+iB.-2+iC.-2-iD.2-i

3.如圖，.A'3'C是斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的水平放置的AABC的A直觀圖，8是AC’的中點(diǎn)，且A'。'軸,

3'C'〃x'軸，A'D'=2,B'C'=2,那么（）

B.S"C=4

_Tt

C^AA'B'CD.ZABC=-

4

\a+2h\

4.已知兩個(gè)非零向量a,〃的夾角為60。，且a_L伍-26),則1]~~馬=(）

\a-b\

A.3B.77C.2D.75

5.羽毛球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)全民喜愛(ài)的體育運(yùn)動(dòng),標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測(cè)得每根羽毛在球

托之外的長(zhǎng)為8cm,球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面，測(cè)得頂璃所圍成圓的直徑是

6cm,底部所圍成圓的直徑是2cm,據(jù)此可估算球托之外羽毛球所在曲面的展開(kāi)圖的圓心角為()

2兀3兀Tt兀

A.——B.—C.一D.-

3423

6.將頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊為x軸非負(fù)半軸的銳角a的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)過(guò)后，交單位圓于點(diǎn)

3

3X

P（一,"，則sin（a+,的值為，）

5

4月-3R4肉3c4+36D3-—4

A.D.---------------------

10101010

7.已知向量Q,人均為單位向量，且，向量C滿足卜卜&，則（C—"）?（"〃）的最大值為（）

3V2

372-1R3

A.D.-----D.4

-222

已知a=sin,，Z?=-cos17

8.則()

22216

A.a>b>cB.c>a>b

a>c>bD.c>b>a

二、多項(xiàng)選擇題:本大題共4小題，每小題5分.共20分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)

是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

44

9.設(shè)數(shù)Q=cos—7i+isin—兀，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)。的說(shuō)法正確的是（）

33

萬(wàn)」+也

A.同=1B.

22

C1+69+69'=0D.\-co+ar=0

10.下列各式的值為1的是（)

Atan20+tan25

A.--------------B.sin72cos18-cos108sin18

tan20tan25-1

C.2cos222.5-1tan30+tan15+tan30-tan15

11.已知直線〃與人異面，則（)

A.存在無(wú)數(shù)個(gè)平面與。，〃都平行

B.存在唯一的平面“，使"，。與a都相交

C.存在唯一的平面a,使aua,且人〃a

D.存在平面a,使aua,bu/，且a〃尸

12.設(shè)函數(shù)/a)=sin(s+gJ?>0),已知/(x)在[0,2可有且僅有5個(gè)零點(diǎn).下述四個(gè)結(jié)論中正確

的是()

A./(%)在(0,2K)有且僅有3個(gè)最大值點(diǎn)

B.“X)在(0,2兀)有且僅有2個(gè)最小值點(diǎn)

C./(X)在(0,卡)單調(diào)遞增

「12291

D.0的取值范圍是y.—

非選擇題部分

三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.0,02是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，且。=烏+左e2，b-4ke1+e2,若ab,則實(shí)數(shù)％=.

14.已知點(diǎn)C(0,0),D(4,3),則向量AB在CO方向上的投影向量為.

15.已知a,6wR,復(fù)數(shù)馬=a(a-0)+i,z2-b(b-d)-\,且Z]+Z2=O,若2=。+例，則|z-2i|的最

小值為.

16.在中，若AC=3，」一+」一=—'一+」-+2,則的周長(zhǎng)的最大值為

sinBtan5sinAtanA

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知:復(fù)數(shù)z=(l—iY+￡-,其中i為虛數(shù)單位.

1+i

⑴求Z及同;

(2)若z2+a1+8=6+7i，求實(shí)數(shù)。，匕的值.

18.已知函數(shù)/(x)=Jisinxcosx+sin-x——.

2

⑴求了(x)最小正周期和對(duì)稱軸;

(2)當(dāng)xe0,-時(shí)，求函數(shù)的最小值和最大值.

19.如圖，直三棱柱ABC-ABC1的體積為4,ABC的面積為2月.

(1)求點(diǎn)4到面43。的距離；

(2)若一ABC為等腰直角三角形，且A8=AC=A41,求三棱錐A-A內(nèi)。內(nèi)切球表面積.

A

20.zXABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,Ac,已知一+sin(A-8)=sinC.

⑴求A；

(2)設(shè)a=2,當(dāng)后+2c的值最大時(shí)，求AABC的面積.

21.如圖，我市有一條從正南方向OA通過(guò)市中心。后向北偏東60的。8方向的公路，現(xiàn)要修建一條地鐵

L,在OA、08上各設(shè)一站A,B,地鐵線在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心。到AB的距離為6km,

(2)求A,B之間距離最小值.

22.如圖，在正六邊形ABC。七尸中，A3=2，H為DE上一點(diǎn)、,且

EH=AED（O<A<1）,BE,FH交于點(diǎn)G

(1)當(dāng)時(shí)，試用ADA尸表示A”：

⑵求AGCH取值范圍.

2022學(xué)年第二學(xué)期溫州十校聯(lián)合

體期中聯(lián)考

高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題

考生須知：

1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.

3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分

一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.在△然€■中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若"2="2+<?+。。，則角8=()

n7i37127t

A.-B.-C.—D.—

6343

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用余弦定理計(jì)算可得.

【詳解】由余弦定理〃=。2+02-26ZCCOS5，又=/+。2+ac,

所以-2accosB=?c,所以cos5=-1,

2

27r

因?yàn)?e(O,7i),所以5=

故選：D.

2.復(fù)數(shù)工的共桅復(fù)數(shù)是()

1-2

A.2+iB.-2+iC.-2-iD.2-i

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)三，根據(jù)共輒復(fù)數(shù)的概念可得答案.

1-2

55(-i-2)

【詳解】=-2-i,

三-―5-

故j的共軌復(fù)數(shù)為-2+i，

1-2

故選：B

3.如圖，.A'3'C'是斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的水平放置的“BC的A直觀圖，M是8'。'的中點(diǎn)，且A'。'〃了軸,

3'C'〃x'軸，A'D'=2,B'C'=2,那么()

A.AD>ACB?S/sc=4

~71

C^AA'B'C=2D.AABC=—

4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，然后逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，如圖所示：

其中AT>=2A'O'=4，BC=B'C'=2,

因?yàn)椤鰽OC是直角三角形，AD<AC,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

原平面圖形的面積為SBC=1BCAD=1x2x4=4,選項(xiàng)B正確;

泰S△…/X4=0,

選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

TT

「△ABQ中，AD=4BD,且AO_LB。，tanZABC=4>l,所以NA6C>一,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

4

故選：B.

\a+2h\

4.已知兩個(gè)非零向量a,b夾角為60。，且aJ_(a—2為，則^——f=()

\a-b\

A.3B.4C.2D.75

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可推得巧|=可.進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出

留=近同，卜叫=忖,即可得出答案.

【詳解】由已知可得a<a-2A)=(),即J—2a力=，1一2何忖0?60。=0,

所以，卜卜忖.

所以,

故選：B.

5.羽毛球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)全民喜愛(ài)的體育運(yùn)動(dòng)，標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測(cè)得每根羽毛在球

托之外的長(zhǎng)為8cm,球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面，測(cè)得頂璃所圍成圓的直徑是

6cm,底部所圍成圓的直徑是2cm,據(jù)此可估算球托之外羽毛球所在曲面的展開(kāi)圖的圓心角為()

2n3兀717T

A.—B.——c.一D.

3423

【答案】C

【解析】

【分析】由已知得出圓臺(tái)的半徑以及母線長(zhǎng)，將圓臺(tái)還原為圓錐，根據(jù)相似關(guān)系得出x=4.進(jìn)而根據(jù)圓錐

的側(cè)面展開(kāi)圖，即可求出答案.

【詳解】由已知可得，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為8,下底面圓的半徑為1,上底面圓的半徑為3,

將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，如圖1所示：

圖1

則羽毛所在曲面的面積為大、小圓錐的側(cè)面積之差,

設(shè)小圓錐母線長(zhǎng)x,則大圓錐母線長(zhǎng)為x+8,

由相似得上=',解得x=4.

x+86

圖2

則小圓錐的半徑。4=4,AB的長(zhǎng)為2兀x1=2兀，

27r7T

所以估算球托之外羽毛所在的曲面展開(kāi)圖圓心角為a=—=—.

42

故選：C.

6.將頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊為x軸非負(fù)半軸的銳角a的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)三后，交單位圓于點(diǎn)

3

。（一|，）j，則sin（a+與的值為，）

A辛口4月+34+3百

D.---------cD3垂>-4

101010

【答案】A

【解析】

44兀

【分析】由已知可得y=±g,根據(jù)角a的范圍，可知y=w.然后根據(jù)三角函數(shù)的定義得出角a+§的三

角函數(shù)值.進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式，以及兩角差的余弦公式，即可得出答案.

、2

【詳解】由已知可得I一3二+丁=1，解得y=±g.

5

/J71I\兀兀5無(wú)4

因?yàn)殇J角則a+§e,所以y=1

23,~6

3.I兀4

根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，cos?+=,sina+一

5I35

[兀717171.71).71473-3

所以sin(a+5=cosa=cosa+---=--c-osad■—cos—+sina+—sin—=

I33I3J3I3310

故選：A.

7.已知向量a,人均為單位向量，且,向量C滿足,卜立，則傳―/＞卜—的最大值為()

3V2

A?容R

D.-----------c|D.4

2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意可設(shè)之=(1,0),力=(0,1),1=(8以%6,血如8"€[0,2兀)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)

合輔助角公式運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄縌,〃均為單位向量，且〃J.b，可設(shè)￡=(1,0),%=(()4),

又因?yàn)閨c|=>/2,設(shè)c=(0cose,及sin8),eE[0,2兀),

則=(垃cos6-l,夜sin0^,c-b=(夜cosa0sin6—1),

r

可得仁一方)心一，)=血cos0(0cos6-1)+收sin6(gsin6-1

2(cos2Z?+sin20)-&(sin?+cose)=2—2sin0+；,

rrjrQirA

因?yàn)??！闧0,2兀)，則。+]￡—I,

當(dāng)且僅當(dāng)e+￡=g,即。=手。=(一1,—1)時(shí)，(c—a)(cT)的最大值為4.

故選：D.

1117

8.已知。=sin—,h——cos—,c——,則()

22216

A.a>b>cB.c>a>b

C.a>c>hD.c>b>a

【答案】A

【解析】

【分析】首先設(shè)〃x)=cosx+；x2-i,0<x<l,利用導(dǎo)數(shù)得至|J/(X)在(0,1)單調(diào)遞增，再根據(jù)

/即可得到cos」>N；設(shè)/z(x)=tanx—X,利用導(dǎo)數(shù)得到〃(x)在(0,1)單調(diào)遞增,得到

12J28

tan—>—,從而得到sin—>—cos—,即可得到答案.

22222

【詳解】設(shè)〃X)=COSX+；x2-1,()<%<1.

則/'(x)=x-sinx,設(shè)g(x)=x-sinx,0<x<l.

g,(x)=l-cosx>0,所以g(尤)在(0,1)單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0.

所以用勾>0,即〃x)在(0,1)單調(diào)遞增,

所以『信]>/(0),即cos,+1—l〉0,即cos4>2,則b>c.

2828

設(shè)〃(x)=tanx-x,0<x<l,1(x)=―——1=加「'>。,

cos-xcosx

所以/i(x)在(0,1)單調(diào)遞增，/i(x)>/z(O)=O,即tanx>x,

,1

]Isin—??jj

所以tan—>—，得---->一，即sin—>—cos—>即“>,

22cosl2222

2

所以a>〃>c.

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題:本大題共4小題，每小題5分.共20分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)

是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

44

9.設(shè)數(shù)3=cos—兀+isin—兀，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)。的說(shuō)法正確的是（）

33

A.|同=1B.5=，+@i

1122

C.l+（y+<y2=0D-1—=0

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)題意求得0=-,一3"結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及相關(guān)概念逐項(xiàng)分析判斷.

22

【詳解】因?yàn)閛=cos±?r+isin士兀=一4一避4，

3322

2

I=1,故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)A：0)\=I+

對(duì)于選項(xiàng)B：了=__1+且i，故B錯(cuò)誤;

22

對(duì)于選項(xiàng)C、D：因?yàn)?9?=----——i

2222

7

16]15]1技]16]

2

所以1+G+#=1++--------1---------1=0,1-69+69=1---------------14-——十——1=1+后,

22222222)

故C正確，D錯(cuò)誤；

故選：AC.

10.下列各式的值為1的是()

,tan20+tan25

A.----------------B.sin72cos18-cos108sin18

tan20tan25-1

C.2cos222.5-1D.tan30+tan15+tan30-tan15

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)兩角和的正切公式即可判斷AD；根據(jù)兩角差的正弦公式即可判斷B,根據(jù)二倍角的余弦公式

即可判斷C.

小工Atan20+tan25tan20+tan25..,“，.7FHH以

【詳解】對(duì)于A,---------------=-----------------=-tan45°co=-l，故A不符題懸;

tan20tan25-11-tan20tan25

對(duì)于B,sin72cos18-cos108sin18=sin108cos18-cos108sin18

=sin(108?！?8°)=sin90。=1,故B符合題意；

對(duì)于C,2cos222.5—l=cos45°=、一，故C不符題意;

2

tan30°+tan15°

對(duì)于D,因?yàn)閠an450=tan(30°+15°)==1,

1-tan30°tan15°

所以tan30°+tanl5°=l—tan30°-tanl5°,

所以tan30+tan15+tan3()-tan15=1-tan3()-tan15+tan3()-tan15=1>故D符合題意.

故選：BD.

11已知直線〃與匕異面，貝M)

A.存在無(wú)數(shù)個(gè)平面與“，人都平行

B.存在唯一的平面使。，6與。都相交

C.存在唯一的平面a,使aua,且人〃a

D.存在平面a,p,使aua,bu0,且a//p

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用直線與平面關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：將異面直線“，人通過(guò)平移到同一平面a內(nèi)，則存在無(wú)數(shù)個(gè)與平面a平行的平面與“，

從都平行，A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：必存在與兩異面直線”，。均相交的平面，而與此平面平行的平面有無(wú)窮多個(gè)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)樨笆钱惷嬷本€，平移直線〃與直線a相交，確定一個(gè)平面平行于直線6,所以過(guò)直線

a有且僅有一個(gè)平面a與直線8平行，C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：存在平面a,滿足aua,。//a,存在直線〃/a,通過(guò)平移直線/與直線，相交，l,bup,

所以由面面平行的判定定理可知a〃夕，D正確；

故選：ACD.

12.設(shè)函數(shù)/(x)=sin(0x+］J?>O),已知/(x)在［0,2TT］有且僅有5個(gè)零點(diǎn).下述四個(gè)結(jié)論中正確

的是()

A./(x)在(0,2兀)有且僅有3個(gè)最大值點(diǎn)

B./(%)在(0,2兀)有且僅有2個(gè)最小值點(diǎn)

C./(力在(0,^^單調(diào)遞增

,「1229、

D.8的取值范圍是—I

【答案】ACD

【解析】

(jrA24兀297r

【分析】作出〃x)=sinCDX+—3>0)的圖像，進(jìn)而得乙<2兀</，即——<2n<——，解得

kJJ5ct)5a)

I729

y<<y<—，進(jìn)而可判斷D選項(xiàng),A,B可結(jié)合圖像判斷.

【詳解】作出/(x)=sin(s+g)口〉0)的圖像，如圖，根據(jù)題意知，xA<2n<xB,

根據(jù)圖象可知函數(shù)/(x)在(0,2兀)有且僅有3個(gè)最大值點(diǎn)，所以A正確；

但可能會(huì)有3個(gè)最小值點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；

24n29n1229

根據(jù)W2兀<X",有----42兀<---->得—<(o<—,所以D正確；

5①5co510

,「八兀、，兀兀&)兀兀e、，12,29”一am兀49兀?！埃?，,?

當(dāng)xe|0,「|時(shí)，一<<yx+-<—+—,因?yàn)橐?lt;co<—,所以一+-<——<-,所以函數(shù)

I10J551055101051002

非選擇題部分

三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.斗色是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，且不二耳+人6，=4ke]+e2,若ah,則實(shí)數(shù)％=.

【答案】±y

【解析】

【分析】根據(jù)向量共線定理可知b=4a成立，列出方程組，即可得出答案.

【詳解】因?yàn)閍b>所以3/leR,使得6=Aa成立，即q+ke2=4攵幾烏+.

.1=AkA?

因002不共線，所以{人—彳，解得《=±4

故答案為:士:.

14.已知點(diǎn)A(l,—1),8(2,1),C(0,0),0(4,3),則向量.在co方向上的投影向量為.

…田J86}

【答案】

133)

【解析】

【分析】先求得向量A8、C。的坐標(biāo)，再根據(jù)投影向量的定義即可求得答案.

【詳解】A3=(l,2),CD=(4,3),所以AB8=10，|C￡>|=V42+32=5,

ABCDCD10CD2…(86、

所以向量AB在CD方向上的投影向量為一^^「,同=《*手=]。。=[='§J'

(86、

故答案為：—.

15.已知a,beR,復(fù)數(shù)4=a(a-R)+i,z2=b(h-a)-i,且Z]+Z2=0,^z=a+bi,則|z—2i|的最

小值為.

【答案】叵

【解析】

【分析】根據(jù)Z|+Z2=0得a=h,再利用配方法可得答案.

【詳解】復(fù)數(shù)4+z2=b(h—a)—i+a(a—b)+i=a?+力-2nZ7=0,所以a=b.

因?yàn)閍eR,所以當(dāng)a=l時(shí)，|z-2i|=^2（a-l）2+2>>/2.

故答案為：72.

16.在A4BC中，若AC=3,」一+」一=」一+—1—+2,則.力3c的周長(zhǎng)的最大值為

smBtanBsinAtanA

【答案】6+6A/2##6-72+6

【解析】

【分析】根據(jù)已知切化弦，整理可得sinA+sinC=sinB(l+2cosA+2sinA).由正弦定理角化邊，整理

可得a+c=31+20sin(4+：)].然后即可根據(jù)角的范圍得出答案.

■1111--加1COSB1COSA八

【詳解】由二一+-----=--+-----+2可得二一+--=--+--+2,

sinBtanBsinAtanAsinBsinBsinAsinA

兩邊同乘sinAsin5得，sinA+sinAcos3=sinB+sinBcosA+2sinAsin5.

兩邊同加sinBcosA得，sinA+sinAcosB+sinBcosA=sinB+2sinBcosA+2sinAsin3,

即sinA+sin(A+B)=sin8+2sinBcosA+2sinAsinB.

又sin(A+8)=sin(兀一C)=sinC,

則sinA+sinC=sin5(1+2cosA+2sinA).

設(shè)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為〃，b,c,且〃=3,

由正弦定理角化邊可得。+c=b(l+2cosA+2sinA)=3l+2j5sin(A+?).

所以，A=:時(shí)，a+c取得最大值3+6近，此時(shí)周長(zhǎng)最大值為3+3+6夜=6+6jL

故答案為：6+6人.

四、解答題:本題共6小題，共70分?解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知:復(fù)數(shù)z=(l—。？+旦，其中i為虛數(shù)單位.

1+1

⑴求z及目;

(2)若z?+az+6=6+7i，求實(shí)數(shù)匕的值.

【答案】(l)z=3+i,|z|=W

a=—\

b=l

【解析】

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)Z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式計(jì)算即可;

(2)先根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)左邊，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

261

z=(l-i)+—=-2i+?^~^-=-2i+3i(l-i)=3+i,

|z|=,32+f=V10；

【小問(wèn)2詳解】

z2+az+b-(3+iy+a(3-i)+b

=—9+6i—l+a(3-i)+/?=8+3a+〃+(6-a)i=6+7i,

8+3。+力=6a——\

得:,r，解得4

6—a=7b=l

3

18.已知函數(shù)/(%)=J^sinxcosx+sin。-/.

⑴求最小正周期和對(duì)稱軸;

(2)當(dāng)XG0,^時(shí)，求函數(shù)“X)的最小值和最大值.

【答案】(1)7=兀，x=-+—,^eZ

32

3

⑵小)2=0,/(x)min=-5

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等變換可得函數(shù)解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解;

(2)根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求給定區(qū)間的值域可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

.cl-cos2x3

j⑴二《-sm2x+----.....—

6.個(gè)1CI

二——sin2x——cos2x-1

22

71kit.?

=sin2x-\-\,令2x_￡=]+E（左eZ）,可得x——I--->k￡Z,

6232

.?.7=空=兀，對(duì)稱軸為*=四+@，攵eZ；

232

【小問(wèn)2詳解】

八兀，八兀兀571

X€0,一,貝。2元---€---,---

2666

-11

sin2x--G

I6j2''

3

/"Lax=0'"x）min=

2

19.如圖，直三棱柱ABC-4與。1的體積為4,ABC的面積為2G.

(1)求點(diǎn)人到面43。的距離；

(2)若一48。為等腰直角三角形，且AB=AC=AA，求三棱錐A-ABC內(nèi)切球的表面積.

【答案】(1)友

3

1兀

3

【解析】

【分析】(1)利用等體積法求解；

(2)設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,利用等體積法求解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)點(diǎn)A到面AABC的距離為h,

4411r-

1?VgX4BC-a4G匕-ABC=9-ABC=§=§〃,S^ABC=-X2A/3X/Z,

,VA-ABC3

.,273

??h=---?

3

【小問(wèn)2詳解】

2

設(shè)AB=AC=A4]=a,則V^BC_AB|C|=^-ax?=4,解得a=2,

?**AB=AC=A4,=2/3=4。=BC=2>/2,

?.?A4i_L平面4BC,AC,ABABC,：.AA,1ACfAA11AB,

設(shè)內(nèi)切球的半徑為廠，由體積關(guān)系可得：f^SAABC+SAABA[+SAACAf+5AAfiC)=,

即LjL2x2x3+2G]=±可得:「=3-6

312)33

所以三棱錐A—ABC內(nèi)切球的表面積S=4兀(三且)=16個(gè)吃

b

20.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,仇c,已知一+sin(A-8)=sinC.

a

⑴求A；

(2)設(shè)a=2,當(dāng)岳+2c的值最大時(shí)，求aABC的面積.

【答案】(1)A=；

⑵5上

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算；

(2)利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)得傷+2c=46sin(3+0),進(jìn)而分析最值，運(yùn)算求解

即可

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?sin(A_3)=sinC,即sin4+sinAsin(A-8)=sinAsinC,

sinA

可得sinsinA(sinAcosB-cosAsinB)=sinAsin(A+3)=sinA(sinAcosB+cosAsinB),

整理得sinB=2sinAcosAsinB=sin2AsinB,

且5?0㈤,則sinB/O,可得sin2A=1,

且Ae(o,7i),則2A€(0,7i),

所以2A='，解得A=^.

24

【小問(wèn)2詳解】

a=b=c=2=2、

由正弦定理可知：sinAsinBsinC夜，則8=2忘S也3,。=2&5由。，

V

可得\[lb+2c-4sinB+4V2sinC=4sinB+4夜sin(，—8j

=4sinB+4cosB+4sinS=8sinB+4cosB-475sin(+(p),

甘木2出門(mén)叫

其中sin°=——V5，cos°=----0,—,

5512,

jr

當(dāng)8+。=5時(shí)，yfzb+2c取得最大值,

geos8=cos

此時(shí)sin8=sin--(pj=cos(p=

5

則“醇2心半,sinC=sin[：+B=#(sin3+cos8)=

所以S.c=L加inC」x2x地x曲上

ABC225105

21.如圖，我市有一條從正南方向OA通過(guò)市中心。后向北偏東60的08方向的公路，現(xiàn)要修建一條地鐵

L,在04、0B上各設(shè)一站A,B,地鐵線在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心。到AB的距離為6km,

⑴若0A=10km,求0,B之間的距離;

(2)求A,B之間距離最小值.

【答案】⑴2。卜百+3)

13

⑵126km

【解析】

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)。作0E_LA5于點(diǎn)E,Rt^AOE中，求出sin/OAE,cosZOAE,再求得

sinNO84=sin（60-ZOAE）,由正弦定理得。8的值.

（2）設(shè)NAOE=a，A3=AE+8E=10tanc+10tan（120—由三角函數(shù)的性質(zhì)和恒等變換可得答

案.

【小問(wèn)1詳解】

過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)E,OE=6,04=10,AE=8,

43

cosZOAE=-,sinZOAE=-,ZOBA=60-ZOAE，

473-3

sinZOBA=sin(60-ZOAE^=sin60cosZOAE-cos6()sinZOA￡

10