微專題11導(dǎo)數(shù)解答題之極最值問題秒殺總結(jié)1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問題．解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極最值．只是對(duì)含有參數(shù)的極最值問題，需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次討論，對(duì)導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性及唯一性等，由于零點(diǎn)的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對(duì)函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求值、證明等操作．例1．（新疆克拉瑪依市2019屆高三三模數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，記的最小值為，求證：．例2．（河南省洛陽(yáng)市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）試卷）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).例3．（河北省張家口市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)若，討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).過關(guān)測(cè)試1．（江蘇省泰州市泰興中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，記的最大值為，求證：．2．（北京市海淀區(qū)2022屆高三上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題）函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；(3)直接寫出的一個(gè)值，使恒成立，并證明.3．（年四川省瀘州市2021-2022學(xué)高三第一次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，若x＝0為g（x）的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.4．（云南省昆明市2022屆高三“三診一?！笔薪y(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)，．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)的極小值點(diǎn)為，且，求的取值范圍．5．（重慶市主城區(qū)2022屆高三上學(xué)期一診學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中.(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且恒成立（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（第13講雙變量問題-2022年新高考數(shù)學(xué)二輪專題突破精練）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：7．（陜西省安康市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且這兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，若不等式恒成立，求的值.微專題11導(dǎo)數(shù)解答題之極最值問題秒殺總結(jié)1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問題．解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極最值．只是對(duì)含有參數(shù)的極最值問題，需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次討論，對(duì)導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性及唯一性等，由于零點(diǎn)的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對(duì)函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求值、證明等操作．例1．（新疆克拉瑪依市2019屆高三三模數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，記的最小值為，求證：．答案:(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)證明見解析解析：分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）函數(shù)定義域是，求得導(dǎo)函數(shù)，這里是正數(shù)，引入，利用它的單調(diào)性，得其有唯一零點(diǎn)，是的唯一極小值點(diǎn)，即，由把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)得新函數(shù)的最大值不大于1，證得結(jié)論成立．(1)當(dāng)時(shí)，，的定義域是，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)由（1）得的定義域是，，令，則，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，故存在，使得．?dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；故時(shí)，取得最小值，即，由，得，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，即時(shí)，取最大值1，．例2．（河南省洛陽(yáng)市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）試卷）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).答案:(1)；(2)答案見解析.解析：分析：（1）分別求出和，即可求出切線方程；（2）分、和三種情況，分別討論單調(diào)性，即可得到對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)的情況.(1)當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?因?yàn)椋?所以在點(diǎn)處的切線方程為：.(2)函數(shù)定義域?yàn)椋?令，.令，得；令，得；所以在上單增，在上單減.所以，所以①當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得；所以在上單增，在上單減.此時(shí)有且只有一個(gè)極值點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得；所以在上單減，在上單增.此時(shí)有且只有一個(gè)極值點(diǎn).③當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相異正根，不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；；當(dāng)時(shí)，有；；所以在上單減，在上單增，在上單減，在上單增，此時(shí)有三個(gè)極值點(diǎn).綜上所述：當(dāng)或時(shí)，有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn).【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.例3．（河北省張家口市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)若，討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).答案:(1)證明見解析(2)答案見解析解析：分析：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再二次求導(dǎo)，可求得導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而可得，進(jìn)而可證得結(jié)論，（2）當(dāng)時(shí)，可得單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，令，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間和極值，從而分，和求解即可(1)證明：當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)解：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，令，令，則，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，方程有唯一小于零的零點(diǎn)，故函數(shù)存在一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，為函數(shù)極小值，所以當(dāng)時(shí)，方程無解，函數(shù)無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解，但當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)無極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，方程有兩解，函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).過關(guān)測(cè)試1．（江蘇省泰州市泰興中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，記的最大值為，求證：．答案:(1)在上單調(diào)遞減．(2)證明見解析解析：分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）由題知，設(shè)，進(jìn)而得在存在唯一零點(diǎn)且的最大值，再結(jié)合可得.(1)當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減．(2)，設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，因?yàn)樗裕忠驗(yàn)榈膱D象是不間斷的，且在上單調(diào)遞減，所以在存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以的最大值由得，所以，從而原命題得證．2．（北京市海淀區(qū)2022屆高三上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題）函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；(3)直接寫出的一個(gè)值，使恒成立，并證明.答案:(1)(2)(3)，證明見解析解析：分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得最小值；（3）取，構(gòu)造函數(shù)，即證恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值即可證得結(jié)論.(1)由，知，切點(diǎn)為求導(dǎo)，則切線斜率所以切線方程為：，即(2)求導(dǎo)，，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即函數(shù)在上的最小值為.(3)取，下面證明恒成立，即證恒成立，令，即證恒成立求導(dǎo)，（i）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即成立（ii）當(dāng)時(shí)，令，，因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，綜上可知，恒成立，即恒成立3．（年四川省瀘州市2021-2022學(xué)高三第一次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，若x＝0為g（x）的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.答案:(1)答案見解析；(2).解析：分析：（1）先求導(dǎo)，再對(duì)利用導(dǎo)數(shù)分兩種情況求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出，令，則，令，再對(duì)分兩種情況討論分析得解.(1)解：，令，則，①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，；綜上，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；(2)解：，則，，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，，故，是減函數(shù)，所以.①當(dāng)，即時(shí)，，即在上是減函數(shù)，不符合是極小值，舍去；②當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)槭菧p函數(shù)，且，，所以，使得，當(dāng)時(shí)，，即是增函數(shù)，所以，即在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，使得，是減函數(shù)，故，從而是增函數(shù)，所以，即在上是減函數(shù).綜上，的取值范圍是.4．（云南省昆明市2022屆高三“三診一?！笔薪y(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)，．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)的極小值點(diǎn)為，且，求的取值范圍．答案:(1)(2)解析：分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程；（2）對(duì)的值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，再根據(jù)題意解不等式得出的取值范圍．(1)由可得，，由可得，即曲線在點(diǎn)處的切線方程為(2)若時(shí)，；即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值點(diǎn)為由，可得，解得.若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則極小值點(diǎn)為.由可得，，此時(shí)不等式組無解.若時(shí)，，函數(shù)無極值點(diǎn).若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的極小值點(diǎn)為，由，可得，解得.綜上，5．（重慶市主城區(qū)2022屆高三上學(xué)期一診學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中.(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且恒成立（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案:(1)答案見解析；(2)．解析：分析：（1）示出導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)分類討論確定的正負(fù)，得單調(diào)區(qū)間；（2）由有兩個(gè)不等實(shí)根得出的一個(gè)范圍，同時(shí)得出的關(guān)系，計(jì)算化為的函數(shù)，不等式變形后，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性后可得不等式的解，即得的范圍．(1)的定義域是，，時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，的減區(qū)間，增區(qū)間是；時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；時(shí)，恒成立，的增區(qū)間是，無減區(qū)間；時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；(2)，由題意有兩個(gè)不等正根，，，又，，所以，，，由題意，，設(shè)，則，在上遞減，又，所以由，得．綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查極值點(diǎn)有關(guān)的問題，解題方法由導(dǎo)函數(shù)為0得出極值點(diǎn)的性質(zhì)，同時(shí)得出參數(shù)的一個(gè)范圍，計(jì)算有關(guān)極值點(diǎn)的代數(shù)式，化簡(jiǎn)不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性得出不等式的解，從而得出結(jié)論，本題屬于較難題．6．（第13講雙變量問題-2022年新高考數(shù)學(xué)二輪專題突破精練）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：答案:(1)答案不唯一，具體見解析(2)證明見解析解析：分析：（1）函數(shù)求導(dǎo)后，分子為含參的二次三項(xiàng)式，結(jié)合，我們可以從和結(jié)合開口方向和兩根的大小來討論；（2），為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，我們可以通過結(jié)合韋達(dá)定理，找到，的關(guān)系，帶入到要證明的不等式中，然后通過整理，化簡(jiǎn)成一個(gè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再通過換元，構(gòu)造函數(shù)，通過求解函數(shù)的值域完成證明.(1)，設(shè)．，，①當(dāng)時(shí)，，，則，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，，的零點(diǎn)為，，且，令，得，或，令，得，在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，，的零點(diǎn)為，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．(2)證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，不妨設(shè)，則，要證：，只要證，只需要證，即證，設(shè)，，設(shè)函數(shù)，，，，，在上單調(diào)遞減，則，又，則，則，從而．【點(diǎn)睛】(1)含參的二次三項(xiàng)式再進(jìn)行分類討論的時(shí)候，如果二次項(xiàng)含參數(shù)，在討論有根無根的情況下要兼顧到開口方向以及兩根大小的比較；(2)如果函數(shù)在求導(dǎo)完以后，是一個(gè)分子上含有二次三項(xiàng)式，不含指數(shù)、對(duì)數(shù)的式子，那么函數(shù)的極值點(diǎn)關(guān)系，可以使用韋達(dá)定理來表示.7．（陜西省安康市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且這兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，若不等式恒成立，求的值.答案:(1)答案見解析(2)解析：分析：（1）求導(dǎo)，然后分，，，討論研究單調(diào)性；（2）由（1）兩個(gè)極值點(diǎn)分別是1和，不妨設(shè)，，代入，然后轉(zhuǎn)化