專題04基本不等式及其應(yīng)用

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.了解基本不等式的證明過程.

2.能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題.

3.掌握基本不等式在生活實(shí)際中的應(yīng)用.

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.基本不等式：正<號(hào)

(1)基本不等式成立的條件：a〉0,b>0.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).

(3)其中號(hào)叫做正數(shù)a,6的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

2.兩個(gè)重要的不等式

(1)6￡R),當(dāng)且僅當(dāng)3=6時(shí)取等號(hào).

2

(2)劭(a,6￡R),當(dāng)且僅當(dāng)己=6時(shí)取等號(hào).

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正數(shù)，如果積盯等于定值R那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+p有最小值久但

(2)已知x,y都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積燈有最大值，比

【常用結(jié)論】

11+齊2(a6同號(hào)),

當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).

2.abW

、2’

3.應(yīng)用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等"，忽略某個(gè)條件，就會(huì)出錯(cuò).

4.在利用不等式求最值時(shí)，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定

要保證它們等號(hào)成立的條件一致.

【方法技巧】

1.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.

2.常數(shù)代換法，主要解決形如“已知葉尸〃為常數(shù))，求計(jì)制最值”的問題,先將會(huì)

和化為"3千再用基本不等式求最值.

3.當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出

“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.

4.構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對(duì)和式或積式利用基本

不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.

5.當(dāng)基本不等式與其他知識(shí)相結(jié)合時(shí)，往往是提供一個(gè)應(yīng)用基本不等式的條件，然后利用常

數(shù)代換法求最值.

6.求參數(shù)的值或范圍時(shí)，要觀察題目的特點(diǎn)，利用基本不等式確定等號(hào)成立的條件，從而得

到參數(shù)的值或范圍.

7.根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

8.解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.

9.在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，若等號(hào)取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

二、【題型歸類】

【題型一】用配湊法求基本不等式的最值

【典例1】設(shè)0〈水亍則函數(shù)p=4x(3—2x)的最大值為()

9

A.-B.4

9

C.-D.9

2Q

【典例2】若則f(x)=3x+1+-^^有()

33才一2

A.最大值0B.最小值9

C.最大值一3D.最小值一3

(?+S)(?+J)

【典例3】函數(shù)尸TTi(x>—1)的最小值為.

【題型二】用常數(shù)代換法求基本不等式的最值

91

【典例1】已知首項(xiàng)與公比相等的等比數(shù)列｛品｝中，滿足3成=/(如N+),則-+-的最

mn

小值為()

39

A.1B.~C.2D.~

21

【典例2］已知乃>0,b>0,且3+6=2,貝卜+亞的最小值是()

a2Z?

A.1B.2

【典例3］已知x>0,y>0,且2x+8p—盯=0,求:

(1)盯的最小值；

(2)x+p的最小值.

【題型三】用消元法求基本不等式的最值

【典例1］已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為.

【典例2］若實(shí)數(shù)x>l,且x+2y=3,則二y+3」的最小值為

2X—1zy—1

【典例3］已知正實(shí)數(shù)a,6滿足——6+4W0,則〃=四量()

a-vb

A.有最大值3B.有最小值百

C.有最小值3D.有最大值3

【題型四】基本不等式的常見變形應(yīng)用

【典例11《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家

處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，

也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)C在直徑上，且蘇工/昆

設(shè)/C=a,BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為()

A.(a>0,6>0)

B.廿+匕》2屆(a>Q,6>0)

C.1^wV^(a>0，?0)

a-\-b.、

一^—(公0,力0)

【典例2】已知?！此?,力1,則下列不等式中成立的是()

,4ab

A.a+8〈;~7

a~\~b

I—2ab

B.7a欣—-r

Ya-\~b

C.y[2J+2p<2y[Ib

D.a+2才+26?

【典例3】若a,代R,且a6〉0,則下列不等式中，恒成立的是（）

A.吉+片>2ab

B.b^2yf-ab

1,12

C._+_7>_/=

ab7ab

b,a、

D.—+^22

ab

【題型五】利用基本不等式求參數(shù)范圍

【典例1］已知a>0,b>0,若不等式;7^一恒成立，則0的最大值為（）

6a~\-bab

A.4B.16C.9D.3

【典例2］已知函數(shù)f（x）="+0一,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若關(guān)于x的不等式MWe

一,+r一1在（0,+8）上恒成立，則實(shí)數(shù)力的取值范圍為.

【典例3】己知不等式5+力6+：）29對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為

（）

A.2B.4C.6D.8

【題型六】基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題

【典例1】在△/笈中，點(diǎn)P滿足麻三2的過點(diǎn)戶的直線與46,4C所在直線分別交于點(diǎn)〃,

N,若說=凝，木=氤5>0,〃>0）,則〃+2〃的最小值為（）

810

A.3B.4C.-D.—

JO

【典例2】如果函數(shù)/'（x）=<（勿-2）/+（〃-8）x+l（勿三0,刀20）在區(qū)間12上單調(diào)遞減,

乙_乙

那么曲的最大值為（）

81

A.16B.18C.25D.y

【典例3】在中，4=看，AABC的面積為2,則’十四1芻勺最小值為（）

6smc+2sinBsinc

J33A/335

A.B.-C.D.-

【題型七】基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

［典例1］某小區(qū)想利用一矩形空地必建市民健身廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)時(shí)決定保留空地邊上的一

水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個(gè)等腰直角三角形，其中4>=60m,/8=40m,

且△如'G中，ZEGF=90°,經(jīng)測(cè)量得到/￡=10m,EF=2Qm,為保證安全同時(shí)考慮美觀，

健身廣場(chǎng)周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個(gè)保護(hù)欄，設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)過點(diǎn)G作一直線分別交48,DF于M,N,從而

得到五邊形胴aw的市民健身廣場(chǎng)，設(shè)2yx(m).

⑴將五邊形如aw的面積y表示為X的函數(shù)；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，市民健身廣場(chǎng)的面積最大？并求出最大面積.

【典例2］如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬2m的無蓋長(zhǎng)方體的沉淀箱,

污水從/孔流入，經(jīng)沉淀后從8孔排出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為am,高度為6m,已知排出的水

中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a,6的乘積成反比.現(xiàn)有制箱材料60n?,問a,6各為多少m

時(shí)，經(jīng)沉淀后排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(46孔面積忽略不計(jì))？

【典例3】如圖，動(dòng)物園要圍成相同的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用

鋼筋網(wǎng)圍成.

(1)現(xiàn)有可圍36m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大?

(2)若使每間虎籠面積為24m?,則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的

鋼筋總長(zhǎng)度最?。?/p>

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】(多選)若a,b,ceR,且助+6c+ca=l,則下列不等式成立的是()

A.B.(H+6+C)223

C.L+J+,22mD.才

abcN

]]8

【訓(xùn)練二】已知a>0,b>0,且劭=1,求丁+777+丁7的最小值；

2aZba-vb

(2)若a,6GR,ab>0,求今邛,,的最小值.

ab

Y9V

【訓(xùn)練三】若x>0,y〉0且x+尸打，則一^十一7的最小值為

X—1y—1

【訓(xùn)練四】設(shè)a乂>0,則才+4+—三的最小值是________.

abaa-b一

【訓(xùn)練五】已知a>0,b>0,且2a+6=l,求5=2寸泰一4a°—6°的最大值.

9111R

【訓(xùn)練六】如圖所示，已知樹頂/離地面萬米，樹上另一點(diǎn)6離地面萬米，某人在離地面]米

的C處看此樹，則該人離此樹米時(shí)，看46的視角最大.

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

【單選題】

1.若x>0,y〉0,則“x+2y=25？’的一個(gè)充分不必要條件是()

A.x=yB.x=2y

C.x=2且y=lD.矛=了或尸1

x+4

2.函數(shù)?。┑淖钚≈禐椋ǎ?/p>

A.3B.4C.6D.8

3.若a>0,Z?>0,1ga+lg6=lg（a+6）,則d+6的最小值為（）

A.8B.6C.4D.2

41

4.已知正數(shù)a,6滿足a+6=l,貝卜+7的最小值為（）

ab

5

A.鼻B.3C.5D.9

o

5.已知函數(shù)f（x）=e'在點(diǎn)（0,『（0））處的切線為1,動(dòng)點(diǎn)（a,6）在直線/上，則2"+2T的

最小值是（）

A.4B.2C.2鏡D.72

6.若2'+2，=1,則x+y的取值范圍是（）

A.[0,2]B.[-2,0]

C.[-2,+°°）D.（-8,-2]

7.設(shè)a〉0,若關(guān)于x的不等式x+告》5在（1,+8）上恒成立，則a的最小值為（）

X—1

A.16B.9

C.4D.2

8.已知x>0,y>0,且-則x+y的最小值為（）

x十1y2

A.3B.5

C.7D.9

【多選題】

9.若a,力￡R,且a力0,則下列不等式中，恒成立的是（）

1,11

A.B.-+->-r=

ab7ab

b,a、

C?計(jì)后2D.3+6222a6

10.給出下面四個(gè)推斷,其中正確的為（）

L、b、a、

A.若a,bR(0,+°°)，則一十六2

ab

B.若x,(0,+°°),則1gx+lgy^2^/lgx?1gp

4

C.若居R,〃W0,則一+a24

a

,,xV

D.右x,p￡R,xy<0,貝卜十~W—2

yx

11.已知a>0,b>0,且z+Z?=l,則()

A.才+9》］B.2'一”>；

C.log21a+log2Z?^—2D.

12.設(shè)力0,b>0,則下列不等式中一定成立的是()

A.a+5+忘12/2abI—

B.——7>\/ab

a-x-bY

C.看"6D-(a+錯(cuò)+/4

7ab

【填空題】

9

13.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和為S,若S—反=3(a+戊)，貝!J4為+一的最小值為

白

2

14.設(shè)P(x,y)是函數(shù)y=;(x>0)圖象上的點(diǎn)，則x+p的最小值為.

15.函數(shù)y=F(x>—1)的最小值為______.

x十1

19

16.若分0,6>0,且8+23—4=0,則劫的最大值為，一+彳的最小值為