專題1：橢圓中焦點三角形的性質(zhì)及應(yīng)用性質(zhì)一：過橢圓焦點的所有弦中通徑(垂直于焦點的弦)最短，通徑為證明：性質(zhì)二：橢圓方程為兩焦點分別為設(shè)焦點三角形中那么.證明：性質(zhì)三：橢圓方程為兩焦點分別為設(shè)焦點三角形中那么假設(shè)P是橢圓上的一點，、是其焦點，且，求△的面積.例2.P是橢圓上的點，、分別是橢圓的左、右焦點，假設(shè)，那么△的面積為〔〕A.B.C.D.例3.橢圓的左、右焦點分別是、，點P在橢圓上.假設(shè)P、、是一個直角三角形的三個頂點，那么點P到軸的距離為〔〕A.B.C.D.或例4.、是橢圓的兩個焦點，橢圓上一點使，求橢圓離心率的取值范圍。練習(xí)題：1.橢圓上一點P與橢圓兩個焦點、的連線互相垂直，那么△的面積為〔〕A.20B.22C.28D.242.橢圓的左右焦點為、，P是橢圓上一點，當(dāng)△的面積為1時，的值為〔〕A.0B.1C.3D.63.橢圓的左右焦點為、，P是橢圓上一點，當(dāng)△的面積最大時，的值為〔〕A.0B.2C.4D.4．橢圓〔＞1〕的兩個焦點為、，P為橢圓上一點，且，那么的值為〔〕A．1 B．C．D．5.橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，、為焦點，點P在橢圓上，直線與傾斜角的差為，△的面積是20，離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.專題2：離心率求法：1．假設(shè)橢圓的兩個焦點與它的短軸的兩個端點是一個正方形的四個頂點，那么橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(\r(6),3)2．假設(shè)一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，那么該橢圓的離心率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)3．假設(shè)橢圓的短軸長為6，焦點到長軸的一個端點的最近距離是1，那么橢圓的離心率為________．4.A為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一個動點，直線AB、AC分別過焦點F1、F2，且與橢圓交于B、C兩點，假設(shè)當(dāng)AC垂直于x軸時，恰好有|AF1|∶|AF2|＝3∶1，求該橢圓的離心率．5．如下圖，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標(biāo)等于右焦點的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長的eq\f(2,3)，求橢圓的離心率．橢圓中焦點三角形的性質(zhì)及應(yīng)用〔答案〕yFyF1OF2xP證明：記，由橢圓的第一定義得在△中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面積公式得：.同理可證，在橢圓〔＞＞0〕中，公式仍然成立.性質(zhì)三證明：設(shè)那么在中，由余弦定理得：命題得證。例1．解法一：在橢圓中，而記點P在橢圓上，由橢圓的第一定義得：在△中，由余弦定理得：配方，得：從而解法二：在橢圓中，，而例2.解：設(shè)，那么，應(yīng)選答案A.例3.解：假設(shè)或是直角頂點，那么點P到軸的距離為半通徑的長；假設(shè)P是直角頂點，設(shè)點P到軸的距離為h，那么，又，故答案選D.思路一：由焦點三角形性質(zhì)二，≤＜思路二：利用焦點三角形性質(zhì)⑴，從面積角度考慮不妨設(shè)短軸一端點為那么≤≤≤≤≥，故≤＜練習(xí)題：1.解：，.故答案選D.2.解：設(shè)，，，.故答案選A.3.解：，設(shè)，，當(dāng)△的面積最大時，為最大，這時點P為橢圓短軸的端點，，.故答案選D.4．解：，，，又，，從而.故答案選C.5.解：設(shè)，那么.，又，，即.解得：.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.離心率求法：1.解析：選A.如下圖，四邊形B1F2B2F1為正方形，那么△B2OF∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).2.解析：選B.由題意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝eq\f(3,5)或e＝－1(舍去)．3.解析：依題意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，∴橢圓的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)4.解：設(shè)|AF2|＝m，那么|AF1|＝3m∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝4又在Rt△AF1F2|F1F2|＝eq\r(|AF1|2－|AF2|2)＝2eq\r(2)m.∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,2a)＝eq\f(2\r(2)m,4m)＝eq\f(\r(2),2).5.解：法一：設(shè)橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a、b、c.那么焦點為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，M點的坐標(biāo)為(c，eq\f(2,3)b)，那么△MF1F2在Rt△MF1F2|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2即4c2＋eq\f(4,9)b2＝|MF1|2.而|MF1|＋|MF2|＝eq\r(4c2＋\f(4,9)b2)＋eq\f(2,3)b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b所以3b＝2a.所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9).∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,9)，∴e＝eq\f(\r(5),3).法二：設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，那么