函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第1課時函數(shù)及其表示一、映射1．映射：設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做到的映射記作.2．象與原象：如果f:A→B是一個A到B的映射，那么和A中的元素a對應(yīng)的叫做象，叫做原象。二、函數(shù)1．定義：設(shè)A、B是，f:A→B是從A到B的一個映射，則映射f:A→B叫做A到B的，記作.函數(shù)的三要素為、、，兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)分別相同時，二者才能稱為同一函數(shù)。3．函數(shù)的表示法有、、。例1.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）.A.B.C. D.變式訓(xùn)練1：下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相同的函數(shù)是（）A.y=B.y=()2C.y=lg10xD.y=例2.給出下列兩個條件：f(+1)=x+2;(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.試分別求出f(x)的解析式.變式訓(xùn)練2：（1）已知f（）=lgx，求f（x）；（2）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；（3）已知f（x）滿足2f（x）+f（）=3x，求f（x）.第2課時函數(shù)的定義域和值域基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)一、定義域：1．函數(shù)的定義域就是使函數(shù)式的集合.2．常見的三種題型確定定義域：①已知函數(shù)的解析式，就是.②復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的有關(guān)定義域，就要保證內(nèi)函數(shù)g(x)的域是外函數(shù)f(x)的域.③實際應(yīng)用問題的定義域，就是要使得有意義的自變量的取值集合.二、值域：1．函數(shù)y＝f(x)中，與自變量x的值的集合.2．常見函數(shù)的值域求法，就是優(yōu)先考慮，取決于，常用的方法有：①觀察法；②配方法；③反函數(shù)法；④不等式法；⑤單調(diào)性法；⑥數(shù)形法；⑦判別式法；⑧有界性法；⑨換元法（又分為法和法）例如：①形如y＝，可采用法；②y＝，可采用法或法；③y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c，可采用法；④y＝x－，可采用法；⑤y＝x－，可采用法；⑥y＝可采用法等.例1.求下列函數(shù)的定義域：（1）y=;(2)y=;(3)y=.變式訓(xùn)練1：求下列函數(shù)的定義域：（1）y=+(x-1)0;(2)y=+(5x-4)0;(3)y=+lgcosx;例2.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為［0，1］，求下列函數(shù)的定義域.（1）y=f(3x);(2)y=f();(3)y=f(;(4)y=f(x+a)+f(x-a).變式訓(xùn)練2：若函數(shù)f(x)的定義域是［0，1］，則f(x+a)·f(x-a)（0＜a＜）的定義域是（）A.B.［a，1-a］C.［-a，1+a］D.［0，1］例3.求下列函數(shù)的值域：（1）y=(2)y=x-;(3)y=.變式訓(xùn)練3：求下列函數(shù)的值域：（1）y=;(2)y=|x|.例4．若函數(shù)f（x）=x2-x+a的定義域和值域均為［1，b］（b＞1），求a、b的值.變式訓(xùn)練4：已知函數(shù)f(x)=x2-4ax+2a+6(x∈R).（1）求函數(shù)的值域為［0，+∞)時的a的值；（2）若函數(shù)的值均為非負(fù)值，求函數(shù)f(a)=2-a|a+3|的值域.第3課時函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性定義：如果函數(shù)y＝f(x)對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、、x2，當(dāng)x1、<x2時，①都有，則稱f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個；②都有，則稱f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個.若函數(shù)f(x)在整個定義域l內(nèi)只有唯一的一個單調(diào)區(qū)間，則f(x)稱為.2．判斷單調(diào)性的方法：(1)定義法，其步驟為：①；②；③.導(dǎo)數(shù)法，若函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上可導(dǎo)，①若，則f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；②若，則f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論1．若f(x),g(x)均為增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)函數(shù)；2．若f(x)為增(減)函數(shù)，則－f(x)為；3．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有的單調(diào)性；復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)相同，則f[g(x)]為，若f(x),g(x)的單調(diào)性相反，則f[g(x)]為.奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性.例1.已知函數(shù)f(x)=ax+(a＞1)，證明：函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).變式訓(xùn)練1：討論函數(shù)f（x）=x+（a＞0）的單調(diào)性.例2.判斷函數(shù)f(x)=在定義域上的單調(diào)性.變式訓(xùn)練2：求函數(shù)y=（4x-x2）的單調(diào)區(qū)間.例3.求下列函數(shù)的最值與值域：（1）y=4-;(2)y=x+;第4課時函數(shù)的奇偶性1．奇偶性：①定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有，則稱f(x)為奇函數(shù)；若，則稱f(x)為偶函數(shù).如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x).②簡單性質(zhì)：圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于對稱.2）函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于對稱.2．與函數(shù)周期有關(guān)的結(jié)論：①已知條件中如果出現(xiàn)、或（、均為非零常數(shù)，），都可以得出的周期為；②的圖象關(guān)于點中心對稱或的圖象關(guān)于直線軸對稱，均可以得到周期例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+)(x∈R);(3)f(x)=lg|x-2|..變式訓(xùn)練1：判斷下列各函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=（x-2）；（2）f（x）=；（3）f（x）=例2已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求證：f(x)是奇函數(shù)；（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,試求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最值.變式訓(xùn)練2：已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(-∞,0)時，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式..第5課時指數(shù)函數(shù)1．根式：(1)定義：若，則稱為的次方根①當(dāng)為奇數(shù)時，次方根記作__________；②當(dāng)為偶數(shù)時，負(fù)數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個次方根且互為相反數(shù)，記作________(a>0).(2)性質(zhì)：①；②當(dāng)為奇數(shù)時，；③當(dāng)為偶數(shù)時，_______＝2．指數(shù)：(1)規(guī)定：①a0＝(a≠0)；②a-p＝；③.運算性質(zhì)：①(a>0,r、Q)②(a>0,r、Q)③(a>0,r、Q)注：上述性質(zhì)對r、R均適用.3．指數(shù)函數(shù)：①定義：函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，1)函數(shù)的定義域為；2)函數(shù)的值域為；3)當(dāng)________時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)_______時為增函數(shù).②函數(shù)圖像：過點，圖象在；指數(shù)函數(shù)以為漸近線(當(dāng)時，圖象向無限接近軸，當(dāng)時，圖象向無限接近x軸)；3)函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.③函數(shù)值的變化特征：①②③①②③例1.已知a=,b=9.求：（1）（2）.變式訓(xùn)練1：化簡下列各式（其中各字母均為正數(shù)）:（1）（2）例2.函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是（）A.f(bx)≤f(cx)B.f(bx)≥f(cx)C.f(bx)＞f(cx)D.大小關(guān)系隨x的不同而不同變式訓(xùn)練2：已知實數(shù)a、b滿足等式，下列五個關(guān)系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的關(guān)系式有（）A.1個B.2個C.3個D.4個例3．設(shè)a＞0,f(x)=是R上的偶函數(shù).（1）求a的值；（2）求證：f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù).第6課時對數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．對數(shù)：(1)定義：如果，那么稱為，記作，其中稱為對數(shù)的底，N稱為真數(shù).①以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，記作___________．②以無理數(shù)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，記作_________．(2)基本性質(zhì)：①真數(shù)N為(負(fù)數(shù)和零無對數(shù))；②；③；④對數(shù)恒等式：．(3)運算性質(zhì)：①loga(MN)＝___________________________；②loga＝____________________________；③logaMn＝(n∈R).④換底公式：logaN＝(a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)⑤.2．對數(shù)函數(shù)：①定義：函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，1)函數(shù)的定義域為(；2)函數(shù)的值域為；3)當(dāng)______時，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)______時為增函數(shù)；4)函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù).②1)圖象經(jīng)過點()，圖象在；2)對數(shù)函數(shù)以為漸近線(當(dāng)時，圖象向上無限接近y軸；當(dāng)時，圖象向下無限接近y軸)；4)函數(shù)y＝logax與的圖象關(guān)于x軸對稱．③函數(shù)值的變化特征：①②③①②③典型例題典型例題例1:已知函數(shù)f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果對于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，試求a的取值范圍.解：當(dāng)a＞1時，對于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上為增函數(shù)，∴對于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.因此，要使|f(x)|≥1對于任意x∈［3，+∞）都成立.只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.當(dāng)0＜a＜1時，對于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,∴|f(x)|=-f(x).∵f（x）=logax在［3，+∞）上為減函數(shù)，∴-f（x）在［3，+∞）上為增函數(shù).∴對于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.因此，要使|f(x)|≥1對于任意x∈［3，+∞）都成立，只要-loga3≥1成立即可，∴l(xiāng)oga3≤-1=loga,即≤3,∴≤a＜1.綜上，使|f(x)|≥1對任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范圍是：(1，3］∪［，1）.變式訓(xùn)練1：已知函數(shù)f（x）=log2(x2-ax-a)在區(qū)間（-∞,1-］上是單調(diào)遞減函數(shù).求實數(shù)a的取值范圍.解：令g(x)=x2-ax-a,則g(x)=（x-）2-a-,由以上知g(x）的圖象關(guān)于直線x=對稱且此拋物線開口向上.因為函數(shù)f(x)=log2g(x)的底數(shù)2＞1,在區(qū)間（-∞,1-］上是減函數(shù)，所以g(x)=x2-ax-a在區(qū)間（-∞,1-］上也是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)＞0.∴解得2-2≤a＜2.故a的取值范圍是{a|2-2≤a＜2}.第7課時函數(shù)的圖象基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)一、基本函數(shù)圖象特征（作出草圖）1．一次函數(shù)為；2．二次函數(shù)為；3．反比例函數(shù)為；4．指數(shù)函數(shù)為，對數(shù)函數(shù)為.二、函數(shù)圖象變換1．平移變換：①水平變換：y＝f(x)→y＝f(x－a)(a>0)y＝f(x)→y＝f(x＋a)(a>0)②豎直變換：y＝f(x)→y＝f(x)＋b(b>0)y＝f(x)→y＝f(x)－b(b>0)2．對稱變換：①y＝f(－x)與y＝f(x)關(guān)于對稱②y＝－f(x)與y＝f(x)關(guān)于對稱③y＝－f(－x)與y＝f(x)關(guān)于對稱④y＝f-1(x)與y＝f(x)關(guān)于對稱⑤y＝|f(x)|的圖象是將y＝f(x)圖象的⑥y＝f(|x|)的圖象是將y＝f(x)圖象的3．伸縮變換：①y＝Af(x)(A>0)的圖象是將y＝f(x)的圖象的.②y＝f(ax)(a>0)的圖象是將y＝f(x)的圖象的.若對于定義域內(nèi)的任意x，若f(a－x)＝f(a＋x)(或f(x)＝f(2a－x))，則f(x)關(guān)于對稱，若f(a－x)＋f(a＋x)＝2b(或f(x)＋f(2a－x)＝2b)，則f(x)關(guān)于對稱.典型例題典型例題例1作出下列函數(shù)的圖象.（1）y=(lgx+|lgx|);（2）y=;（3）y=|x|.解：（1）y=（2）由y=,得y=+2.作出y=的圖象，將y=的圖象向右平移一個單位，再向上平移2個單位得y=+2的圖象.（3）作出y=（）x的圖象，保留y=（）x圖象中x≥0的部分，加上y=（）x的圖象中x＞0的部分關(guān)于y軸的對稱部分，即得y=（）|x|的圖象.其圖象依次如下：變式訓(xùn)練1：作出下列各個函數(shù)的圖象：（1）y=2-2x；（2）y=|log（1-x）|；（3）y=.解：（1）由函數(shù)y=2x的圖象關(guān)于x軸對稱可得到y(tǒng)=-2x的圖象，再將圖象向上平移2個單位，可得y=2-2x的圖象.如圖甲.（2）由y=logx的圖象關(guān)于y軸對稱，可得y=log（-x）的圖象，再將圖象向右平移1個單位，即得到y(tǒng)=log(1-x).然后把x軸下方的部分翻折到x軸上方，可得到y(tǒng)=|log（1-x）|的圖象.如圖乙.（3）y=.先作出y=-的圖象，如圖丙中的虛線部分，然后將圖象向左平移1個單位，向上平移2個單位，即得到所求圖象.如圖丙所示的實線部分.例2函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象如圖,則函數(shù)y=f(x)·g(x)的圖象可能是（）解：A變式訓(xùn)練2：設(shè)a＞1,實數(shù)x,y滿足|x|-loga=0,則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象形狀大致是()解：B例3設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3).（1）證明：f(x)是偶函數(shù)；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)；（4）求函數(shù)的值域.（1）證明f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數(shù).（2）解：當(dāng)x≥0時，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,當(dāng)x＜0時，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)=根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如圖所示.（3）解：函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為［-3，-1），［-1，0），［0，1），［1，3］.f（x）在區(qū)間［-3，-1）和［0，1）上為減函數(shù)，在［-1，0），［1，3］上為增函數(shù).（4）解：當(dāng)x≥0時，函數(shù)f(x)=(x-1)2-2的最小值為-2,最大值為f(3)=2;當(dāng)x＜0時，函數(shù)f(x)=(x+1)2-2的最小值為-2,最大值為f(-3)=2;故函數(shù)f(x)的值域為［-2，2］.變式訓(xùn)練3：當(dāng)x∈(1,2)時,不等式(x-1)2＜logax恒成立,則a的取值范圍為.解：(1,2］第8課時冪函數(shù)基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)冪函數(shù)的概念：一般地，我們把形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)；注意：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別．2.冪函數(shù)的性質(zhì)：（1）冪函數(shù)的圖象都過點；（2）當(dāng)時，冪函數(shù)在上；當(dāng)時，冪函數(shù)在上；當(dāng)時，冪函數(shù)是；當(dāng)時，冪函數(shù)是．3．冪函數(shù)的性質(zhì)：（1）都過點；（2）任何冪函數(shù)都不過象限；（3）當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象過．4．冪函數(shù)的圖象在第一象限的分布規(guī)律：（1）在經(jīng)過點平行于軸的直線的右側(cè)，按冪指數(shù)由小到大的關(guān)系冪函數(shù)的圖象從到分布；（2）冪指數(shù)的分母為偶數(shù)時，圖象只在象限；冪指數(shù)的分子為偶數(shù)時，圖象在第一、第二象限關(guān)于軸對稱；冪指數(shù)的分子、分母都為奇數(shù)時，圖象在第一、第三象限關(guān)于對稱．典型例題典型例題例1.寫出下列函數(shù)的定義域，并指出它們的奇偶性：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）此函數(shù)的定義域為R，∴此函數(shù)為奇函數(shù)．（2）∴此函數(shù)的定義域為此函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱∴此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．（3）∴此函數(shù)的定義域為∴此函數(shù)為偶函數(shù)（4）∴此函數(shù)的定義域為∴此函數(shù)為偶函數(shù)（5）∴此函數(shù)的定義域為此函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱∴此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)（6）∴此函數(shù)的定義域為∴此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)變式訓(xùn)練1：討論下列函數(shù)的定義域、值域，奇偶性與單調(diào)性：（1）（2）（3）（4）（5）分析：要求冪函數(shù)的定義域和值域，可先將分?jǐn)?shù)指數(shù)式化為根式．解：（1）定義域R，值域R，奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增．（2）定義域，值域，偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（3）定義域，值域，偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增．（4）定義域，值域，奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．（5）定義域，值域，非奇非偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減．例2:已知冪函數(shù)（）的圖象與軸、軸都無交點，且關(guān)于原點對稱，求的值．分析：冪函數(shù)圖象與軸、軸都無交點，則指數(shù)小于或等于零；圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)．結(jié)合，便可逐步確定的值．解：∵冪函數(shù)（）的圖象與軸、軸都無交點，∴，∴；∵，∴，又函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，∴是奇數(shù)，∴或．變式訓(xùn)練2：證明冪函數(shù)在上是增函數(shù)．分析：直接根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義來證明．證明：設(shè)，則即此函數(shù)在上是增函數(shù)第9課時函數(shù)與方程基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．一元二次函數(shù)與一元二次方程一元二次函數(shù)與一元二次方程（以后還將學(xué)習(xí)一元二次不等式）的關(guān)系一直是高中數(shù)學(xué)函數(shù)這部分內(nèi)容中的重點，也是高考必考的知識點．我們要弄清楚它們之間的對應(yīng)關(guān)系：一元二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標(biāo)是對應(yīng)一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是對應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標(biāo)．2．函數(shù)與方程兩個函數(shù)與圖象交點的橫坐標(biāo)就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函數(shù)與圖象交點的橫坐標(biāo)．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的區(qū)間，則必有，再取區(qū)間的中點，再判斷的正負(fù)號，若，則根在區(qū)間中；若，則根在中；若，則即為方程的根．按照以上方法重復(fù)進(jìn)行下去，直到區(qū)間的兩個端點的近似值相同（且都符合精確度要求），即可得一個近似值．典型例題典型例題例1.（1）若，則方程的根是()A． B．－ C．2 D．－2解：A．設(shè)函數(shù)對都滿足,且方程恰有6個不同的實數(shù)根，則這6個實根的和為（）A．0B．9C．12D．18解：由知的圖象有對稱軸，方程的6個根在軸上對應(yīng)的點關(guān)于直線對稱，依次設(shè)