試卷類型：A

2024年深圳市高三年級第二次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

2024.4

本試卷共4頁，19小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生請務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形

碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂

黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按

以上要求作答的答案無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.已知〃為正整數(shù),且“2>2”,則

A.7i=lB.n=2C.〃=3D.〃三4

2.已知正方體ABC。-A4G。，過點(diǎn)A且以DB1為法向量的平面為a,則a截該正方體所得截面的形

狀為

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

3.對于任意集合7，N,下列關(guān)系正確的是

A.M\甌NN=M\NB.瘠N）=（〃"加兒（%NN）

C.MNN=M\ND.瘠N（/N）=（MM&NN）

4.已知a>0,且則函數(shù)y=log。1x+4］的圖象一定經(jīng)過

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象限

2-

5.已知z=----,其中i為虛數(shù)單位，則z?（z-l）=

1+i'7

A.1+iB.1—iC.—1+iD.—1—i

6、已知某六名同學(xué)在CMO競賽中獲得前六名（無并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這

六名同學(xué)獲得的名次情況可能有

A.72種B.96種C.144種D.288種

22

P是橢圓：+多=〃上一點(diǎn)，耳、工是的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在

7.C+1(>/?>0)CPFXPF2=0,0/々PB

ab

的平分線上，。為原點(diǎn)，OQ//PF.,且|OQ|=〃.則。的離心率為

￡A/6

A.2B.C.VD.

8.設(shè)函數(shù)/(x)=x+/,g(x)=x+lnx,若存在%，/，使得/(%)=8(兀2)，則上一百的最小值為

1

A.-B.1C.2D.e

e

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知加，〃是異面直線，mcza,nu§,那么

A.當(dāng)m_L/?,或〃_Le時(shí)，aVP

B.當(dāng)相〃/?,且〃〃a時(shí)，a//P

C.當(dāng)a_L/?時(shí)，m±/?,或〃J_a

D.當(dāng)a,夕不平行時(shí)，冽與夕不平行，且〃與a不平行

10,已知函數(shù)/(x)=sinG%+acosGX(xeR,ct)>0)的最大值為2,其部分圖象如圖所示，則

B.函數(shù)/I為偶函數(shù)

C.滿足條件的正實(shí)數(shù)0,存在且唯一D.了(%)是周期函數(shù)，且最小正周期為萬

11.設(shè)函數(shù)/(x)=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，則在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=/(x)的圖

象與圓(工一。2+(y+"2=2/2(.>0)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可以是

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.己知樣本X],x2,%3的平均數(shù)為2，方差為1，則X；,后，后的平均數(shù)為.

13.已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1,底面半徑為四，則該圓錐的表面積為.

注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的球，稱為圓錐的內(nèi)切球.

14.已知△ABC中，tan—=3tan—,雙曲線E以2,C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)4則E的兩條漸近線的夾角

22

AC

為；tan—+tan—的取值范圍為.

-------------22-------------

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

如圖，三棱柱ABC—a與G中，側(cè)面BB1GC_1_底面4BC,且AB=AC,.

(1)證明：_L平面/2C；

(2)若A4,=3C=2,ZBAC=90°,求平面與平面夾角的余弦值.

16.(15分)

已知函數(shù)〃%)=(依+1)/,/⑺是)(力的導(dǎo)函數(shù),且尸(x)—〃x)=2".

(1)若曲線y=/(x)在x=0處的切線為y=Ax+Z?,求左，6的值；

(2)在⑴的條件下，證明：f[x}^kx+b.

17.(15分)

某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn)：甲工

廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為98%；若將這兩批零件

混合放在一起，則合格品率為97%.

(1)從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取3個(gè)，用頻率估計(jì)概率，記這3個(gè)零件中來自甲工廠的個(gè)數(shù)為X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)為了爭取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo).已知在甲工廠提高質(zhì)量指標(biāo)

的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)

把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率.

設(shè)事件4="甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)”，事件8="該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”、已知

O<P(B)<1,證明：P(A⑻〉同.

18.(17分)

設(shè)拋物線C：x2^2py(p>0),直線/：y=而+2交C于/,8兩點(diǎn).過原點(diǎn)。作/的垂線，交直線

y=一2于點(diǎn)〃；對任意左eH,直線/M,AB,3M的斜率成等差數(shù)列.

(1)求C的方程；

(2)若直線且/'與C相切于點(diǎn)N,證明：的面積不小于20.

19.(17分)

無窮數(shù)列%,%,…，明，…的定義如下：如果〃是偶數(shù)，就對〃盡可能多次地除以2,直到得出一個(gè)奇

數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是生；如果"是奇數(shù)，就對3〃+1盡可能多次地除以2,直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是

(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)；

(2)如果q=加且。根=〃，求冽，〃的值；

(3)記為=/(〃)，neN*，求一個(gè)正整數(shù)幾，滿足幾))<</(/(/(n))).

20244/

2024年深圳市高三年級第二次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

本試卷共4頁，19小題，滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

題號12345678

答案CABDBCCB

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

題號91011

答案ABACDABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.513.8萬14.|芋，+8（注：第一空2分，第二空3分）

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

證明：

（1）取8c的中點(diǎn)連結(jié)MA].

因?yàn)锳B=AC,A1B=A1C,所以BCVA.M.

由于NM,AA/u平面A1A￡4,且4知「14〃=”，

因此平面4跖4.

因?yàn)锳Au平面4MA,所以

又因?yàn)锳A〃耳3,所以用BLBC,

因?yàn)槠矫?81cle_L平面48C,平面平面ABC=5C,

且ABu平面所以48,平面N8C.

因?yàn)锳A〃與5,所以A&J_平面48c.

解:

（2）（法一）因?yàn)镹R4c=90°,且3C=2,所以AB=AC=亞.

以AC,A4］所在直線分別為x軸，＞軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A（0,0,2），B（V2,0,0）,C（0,^,0）,G（O,0,2）.

所以A3=（"o,—2）,AC=（0,"—2）,AG=（0,0,0b

=°,可得!石-&

m-AXBZ]=0

設(shè)平面ABC的法向量為7”=（%,%,zj,貝卜

m-4C=o%_Si=0

令4=1,則機(jī)=（后,四,1）,

n?A】B二0光2-A/2Z2=0

設(shè)平面AjBC］的法向量為〃=（九2，%，z2），則,可得

n-AG二0[%=0

令Z2=l,則〃=（四,0,1）,

m-n3715

設(shè)平面A|BC與平面ABQ夾角為。，則cos￡=

m||n一&x石5

J15

所以平面ABC與平面AXBCX夾角的余弦值為?

（法二）將直三棱柱ABC-451cl補(bǔ)成長方體ABDC-4片口￡.

連接G。，過點(diǎn)C作CP，G。，垂足為P,再過尸作PQLAQ,垂足為0,連接C。.

Dx

因?yàn)閼?yīng))，平面CDDiG,且CPu平面CDD?,

所以BDLCP.

又因?yàn)镃P，G。，由于AD，GOu平面45￡>G，且BDiCQ=D,所以CP_L平面.

由于平面A5Z)G,所以45,CP.

因?yàn)镃。，PQu平面CPQ,且CQPQ=Q，

所以45,平面CPQ.

因?yàn)镃Qu平面CPQ,

所以CQ，45.

則NCQP為平面ABC與平面的夾角或補(bǔ)角，

在AA3C中，由等面積法可得。。=半.

因?yàn)椤！?401=拒，所以cos/CQP=^=半，

J15

因此平面\BC與平面A.BC,夾角的余弦值為二廠.

16.(15分)

解：

(1)因?yàn)?(￡)=(依+1)/,所以/'(x)=(izx+a+l)e"

貝U/'(x)-/(x)=ae".

因?yàn)槭?x)—/(x)=2e"所以a=2.

則曲線y=/(%)在點(diǎn)％=0處的切線斜率為/'(0)=3.

又因?yàn)閥(o)=i,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)x=0處的切線方程為y=3x+l,

即得左=3,b=l.

(2)證：設(shè)函數(shù)g(x)=(2x+l)e*-3x-l,XGR,

貝Ug'(x)=(2x+3)e*-3.

設(shè)g'(x)="(x),貝1J/z'(x)=e、"(2x+5),

所以，當(dāng)x〉—g時(shí)，"(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增.

又因?yàn)間'(O)=O，

所以，x>0時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

—g<x<0時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

又當(dāng)xW—g時(shí)，g'(x)=(2x+3)e*-3<0,

綜上g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,長。)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=0時(shí)，g(x)取得最小值g(0)=0,

即(2x+l)e*-3x-l20,所以,當(dāng)xeR時(shí)，/(x)23x+l.

17.(15分)

解：

(1)設(shè)甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有加件，乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有〃件，

事件〃="混合放在一起零件來自甲工廠"，事件N="混合放在一起零件來自乙工廠”，事件。="混

合放在一起的某一零件是合格品”，

則,P(N)=^—,

m+nm+n

P（C）=P（C|M）P（V）+P（qN）P（N）=94%x—^-+98%x^—=97%

計(jì)算得3根=幾.

所以P（M）="_

m+n4

X的可能取值為0,1,2,3,X~B[3^

E（X）=3x-^-,

V'44

尸用音…二叱間音

尸（X=2）=C；m號P”=3）臼拼|。專

所以,X的分布列為:

X0123

272791

p

64646464

證明：

（2）因?yàn)樵诩坠S提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提

高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，

所以P（8|A）〉尸（8區(qū)）.

P（明P（附

尸（⑷P（A）

因?yàn)镻（A）＞0,尸（A）〉0,

所以P（AB）P（A）＞P（AB）P（A）.

因?yàn)榫W(wǎng)可=1-P（A）,P（AB）=P（B）-P（AB）,

所以P（A0（1-P（A））＞（P（3）-P（AB））P（A）.

即得尸（AB）＞P（A）尸⑻,

所以P（AB）-P（AB）P（B）＞P（A）P（B）-P（AB）P（B）.

即P（AB）（1-P（B））＞P（B）（P（A）-P（AB））.

又因?yàn)?—P（B）=P（國,P（A）-P（AB）=P（AB）,

所以P（AB）P（B）>

因?yàn)镺<P（3）<1,O<P（B）<1,

所以

P（B）P⑻

即得證尸（A⑻〉「回回.

18.（17分）

解：

（1）設(shè)點(diǎn)B（x2,y2）,

由題可知，當(dāng)左二。時(shí)，顯然有左A/+%8M=0；

當(dāng)左力0時(shí)，直線（W的方程為y=—4》，點(diǎn)以（2匕一2）.

k

聯(lián)立直線AB與C的方程得x2-2pkx-4p=0,A=4p2/+I6p>0,

所以玉+%2=2p左，玉％2=—4p，

因?yàn)橹本€4",AB,3M的斜率成等差數(shù)列，

所以上2+上匕=2左.

xx-2kx2-2k

^+4kr2+4_（g+4）（々一2左）+（3+4）（/一2左）_

即十一乙K,,7~,r—乙K,

xx-2kx2-2k（%—2左—2人）

化簡得2（左2+2）（%+/-%=0.

將項(xiàng)+%2=2p左代入上式得2（左之+2）（2〃左一4左）=0,

則p=2,

所以曲線C的方程為12=4y.

（2）（法一）設(shè)直線/'：y=kx+n,聯(lián)立C的方程，得f一4日—4/2=0.

由A=0,得〃=一公，點(diǎn)N（2左左2）,

設(shè)N8的中點(diǎn)為E,

因?yàn)橛?%=2般"％=3+々）+4=

2k2+2,則點(diǎn)后（2匕2扇+2

…21+2_2,,

因?yàn)?---------=/，

2

所以點(diǎn)M,N,E三點(diǎn)共線，且點(diǎn)N為ME的中點(diǎn)，

所以面積為△4BM面積的’.

4

2k2+4

記△/〃可的面積為S,點(diǎn)/（2左2）到直線43區(qū)—y+2=0的距離d=:左之J

1]____,--------------------12k2+4）2

所以S='AB|xd=GJ1+左2XX+/）2-4卒2X'Q）=（左2+2）5三2后,

當(dāng)左=0時(shí)，等號成立.

所以命題得證.

（法二）設(shè)直線/'：y=kx+n,聯(lián)立C的方程，得d-4立—4〃=0.

由A=0,得〃=—公，點(diǎn)N（2猊左2）.

所以直線"N與x軸垂直.

分記△，九W的面積為S,

1%］一%21

所以S=—X\MN\x=-X|MN|x+%2)2—4演九2

224

=（左2+2產(chǎn)>20.

當(dāng)左=0時(shí)，等號成立.

所以命題得證.

19.（17分）

解：