題型八函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（復(fù)習(xí)講義）

【考點(diǎn)總結(jié)I典例分析】

3）要點(diǎn)打納

考點(diǎn)01一次函數(shù)

一、一次函數(shù)圖象與圖形面積

解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)解析式求出一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，或兩

條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成三角形的邊長(zhǎng)，或者三角形的高.如果圍成的三

角形沒有邊在坐標(biāo)軸上或者與坐標(biāo)軸平行，可以采用“割”或“補(bǔ)”的方法.

二、一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1.主要題型：（1）求相應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式；（2）結(jié)合一次函數(shù)圖象求相關(guān)量、求實(shí)際

問題的最值等.

2.用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟為：

（1）設(shè)定實(shí)際問題中的自變量與因變量；（2）通過列方程（組）與待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)

系式；（3）確定自變量的取值范圍；（4）利用函數(shù)性質(zhì)解決問題；（5）檢驗(yàn)所求解是否

符合實(shí)際意義；（6）答.

3.方案最值問題：

對(duì)于求方案問題，通常涉及兩個(gè)相關(guān)量，解題方法為根據(jù)題中所要滿足的關(guān)系式，通過列不

等式，求解出某一個(gè)事物的取值范圍，再根據(jù)另一個(gè)事物所要滿足的條件，即可確定出有多

少種方案.

4.方法技巧

求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：（1）可將所有求得的方案的值計(jì)算出來，再進(jìn)

行比較；

（2）直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直

接確定最優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計(jì)算出每個(gè)分段函數(shù)的取值，再

進(jìn)行比較.

顯然，第（2）種方法更簡(jiǎn)單快捷.

典例解析

1.（2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個(gè)相約登山，他們同時(shí)從入口處出發(fā)，甲步行

登山到山頂，乙先步行15分鐘到纜車站，再乘坐纜車到達(dá)山頂.甲、乙距山腳的垂直高度

y（米）與甲登山的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示.

（1）當(dāng)15（尤<40時(shí)，求乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時(shí)距山腳的垂直高度.

【答案】（l）y=12180；（2）180

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（2）求得甲距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=4x+60（254x460）,聯(lián)立

y-12x-180（15<x<40）,即可求角建

【詳解】（1）解：設(shè)乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為>=履+%，將（15,0）,

（40,300）代入得,

15左+6=0

40%+6=300

k=n

解得:

6=-180

Aj=12x-180（15<x<40）；

（2）設(shè)甲距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=Kx+4（25VxV60）

將點(diǎn)（25,160）,（60,300）代入得,

25%+4=160

60Z]+4=300

勺二4

解得:

4=60’

y=4x+60（25<x<60）；

y=12x-180

聯(lián)立

y=4x+60

x=30

解得:

y=180

，乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時(shí)距山腳的垂直高度為180米

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個(gè)工程組同時(shí)挖掘沈白高鐵某段隧道，兩組每天挖

掘長(zhǎng)度均保持不變,合作一段時(shí)間后，乙組因維修設(shè)備而停工，甲組單獨(dú)完成了剩下的任務(wù),

甲、乙兩組挖掘的長(zhǎng)度之和y（rn）與甲組挖掘時(shí)間X（天）之間的關(guān)系如圖所示.

（1）甲組比乙組多挖掘了天.

（2）求乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

（3）當(dāng)甲組挖掘的總長(zhǎng)度與乙組挖掘的總長(zhǎng)度相等時(shí)，直接寫出乙組己停工的天數(shù).

【答案】（1）30；（2）y=3x+120（30<x<60）；（3）10天

【分析】（1）由圖可知，前30天甲乙兩組合作，30天以后甲組單獨(dú)做，據(jù)此計(jì)算即可；

（2）設(shè)乙組停工后y關(guān)于尤的函數(shù)解析式為>用待定系數(shù)法求解，再結(jié)合圖象即

可得到自變量x的取值范圍；

（3）先計(jì)算甲乙兩組每天各挖掘多少千米，再計(jì)算乙組挖掘的總長(zhǎng)度，設(shè)乙組己停工的天

數(shù)為。，根據(jù)甲組挖掘的總長(zhǎng)度與乙組挖掘的總長(zhǎng)度相等列方程計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：由圖可知，前30天甲乙兩組合作，30天以后甲組單獨(dú)做，

甲組挖掘了60天，乙組挖掘了30天，

60-30=30（天）

甲組比乙組多挖掘了30天，

故答案為：30；

（2）解：設(shè)乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為>=區(qū)+》,

210=30左+6

將（30,210）和（60,300）兩個(gè)點(diǎn)代入，可得

300=60左+6

k=3

解得

5=120

y=3x+120（30<x<60）

（3）解：甲組每天挖吸誓=3（千米）

60-30

210

甲乙合作每天挖q=7（千米）

，乙組每天挖7-3=4（千米），乙組挖掘的總長(zhǎng)度為30x4=120（千米）

設(shè)乙組己停工的天數(shù)為。，

則3（30+a）=120,

解得a=10,

答：乙組己停工的天數(shù)為10天.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解題意觀察圖象得到

有用信息是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?浙江?統(tǒng)考中考真題）我市“共富工坊”問海借力,某公司產(chǎn)品銷售量得到大幅提升.為

促進(jìn)生產(chǎn)，公司提供了兩種付給員工月報(bào)酬的方案，如圖所示，員工可以任選一種方案與公

司簽訂合同.看圖解答下列問題：

（1）直接寫出員工生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，兩種方案付給的報(bào)酬一樣多；

（2）求方案二y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（3）如果你是勞務(wù)服務(wù)部門的工作人員，你如何指導(dǎo)員工根據(jù)自己的生產(chǎn)能力選擇方案.

【答案】（1）30件；（2）y=20x+600；（3）若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)不足30件，則選擇方案二；

若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)就是30件，兩種方案報(bào)酬相同，可以任選一種；若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)

超過30件，則選擇方案一

【分析】（1）由圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到解答；

（2）由圖象可得點(diǎn)（0,600）,（30,1200）,設(shè)方案二的函數(shù)表達(dá)式為y=版+》，利用待定系數(shù)

法即可得到方案二>關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（3）利用圖象的位置關(guān)系，結(jié)合交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：由圖象可知交點(diǎn)坐標(biāo)為（30,1200）,即員工生產(chǎn)30件產(chǎn)品時(shí)，兩種方案付

給的報(bào)酬一樣多；

（2）由圖象可得點(diǎn)（0,600）,（30,1200）,設(shè)方案二的函數(shù)表達(dá)式為y=履+》，

把（0,600）,（30,1200）代入上式,得

g[oA6+=66=001,200.解,得左=20,

6=600.

???方案二的函數(shù)表達(dá)式為V=20%+600.

（3）若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)不足30件，則選擇方案二；

若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)就是30件，兩種方案報(bào)酬相同，可以任選一種；

若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)超過30件，則選擇方案一.

【點(diǎn)睛】此題考查了從函數(shù)圖像獲取信息、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，從函數(shù)圖象獲取正確信

息和掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

4.如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，等腰AABC的底邊在x軸上，BC=8,頂點(diǎn)A在》

的正半軸上，OA=2,一動(dòng)點(diǎn)E從（3,0）出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向左運(yùn)動(dòng)，

到達(dá)03的中點(diǎn)停止.另一動(dòng)點(diǎn)歹從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度沿CB向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)。停

止.已知點(diǎn)E、尸同時(shí)出發(fā)，以跖為邊作正方形ER汨，使正方形跖GH和AA5C在

的同側(cè).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒CN0）.

圖1圖2

（1）當(dāng)點(diǎn)H落在AC邊上時(shí)，求才的值；（2）設(shè)正方形跳與AABC重疊面積為S,

91

請(qǐng)問是存在/值，使得5=0？若存在，求出/值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2,

取AC的中點(diǎn)。，連結(jié)8,當(dāng)點(diǎn)E、歹開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)般從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒26個(gè)

單位的速度沿。D-OC-CD-OO運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)。停止運(yùn)動(dòng).請(qǐng)問在點(diǎn)E的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過

程中，點(diǎn)M可能在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點(diǎn)M在正方形石EGH

內(nèi)（含邊界）的時(shí)長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說明理由.

1434,45,

【答案】（l）t=l；（2）存在，/=—,理由見解析；（3）可能，一W/W—或一WfW—或3<f<5

35533

理由見解析

【分析】（1）用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，根據(jù)題意用t表示出點(diǎn)H的坐標(biāo)，代入

求解即可；

（2）根據(jù)已知，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)前，重疊最大面積是邊長(zhǎng)為1的正方形的面積，

即不存在t,使重疊面積為S=—，故t>4,用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，求出點(diǎn)H

36

落在BC邊上時(shí)的t值，求出此時(shí)重疊面積為更〈見，進(jìn)一步求出重疊面積關(guān)于t的表達(dá)

936

式，代入解t的方程即可解得t值；

(3)由已知求得點(diǎn)D(2,1),AC=2非，OD=OC=OA=J^，結(jié)合圖形分情況討論即可得

出符合條件的時(shí)長(zhǎng).

【解析】(1)由題意，A(0,2),B(-4,0),C(4,0),設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b,

,『1

4左+/?=0k=—

將點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入，得：1c，解得：｛2,???直線AC的函數(shù)解析式為

b=27八

y=--x+2,

2

當(dāng)點(diǎn)〃落在AC邊上時(shí)，點(diǎn)E(3-t,0),點(diǎn)H(3-t,1),將點(diǎn)H代入y=—』x+2,得：

-2

1=-1(3-0+2,解得：t=l；

1491

(2)存在，t=—,使得5=0.

336

根據(jù)己知，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)前，重疊最大面積是邊長(zhǎng)為1的正方形的面積，即

91

不存在3使重疊面積為S=—，故t>4,設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為丫=業(yè)+!1,

36

一f1

—4m+n-Onm=—

將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入，得：｛「，解得：\2,J直線AC的函數(shù)解析式為

n=2c

i[n=2

1c

y--x+2,

2

當(dāng)t>4時(shí)，點(diǎn)E(3-t,0)點(diǎn)H(3-t,t-3),G(0,t-3),

1113

當(dāng)點(diǎn)H落在AB邊上時(shí)，將點(diǎn)H代入y=—%+2,得：1―3=—(3—。+2,解得：t=一；

223

此時(shí)重疊的面積為(53)2=(g—3)2=T，

A—<t<5,如圖1,設(shè)GH交AB于S,EH交AB于T,

9363

將y二t-3代入y=Q%+2得：/■—3=—x+2,解得：x=2t-10,???點(diǎn)S(2t-10,t-3),

將x=3-t代入y=gx+2得：y=；(3_/)+2=g(7_/),.?.點(diǎn)T(3—/,；(7_/)),

111,

.*.AG=5-t,SG=10-2t,BE=7-t,ET=-(7-Z),=--BE-ET=-(7-0,

1

92

SMSG=--AG.SG=(5-t)

iS27133

所以重疊面積S=%°B一一S^G=4-小7-/)2-(5-)2=-72+耳"丁’

452271339114.92―.14

由一一t+-t-----=一得ZB：t.=一L=yy>5(舍去)，..，=§

4243613

圖1

3

(3)可能，gWtWl或t=4.:點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，且OA=2,OC=4,

.?.點(diǎn)D(2,1),AC=26OD=OC=OA=&\

易知M點(diǎn)在水平方向以每秒是4個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)；

當(dāng)0<“工時(shí)，M在線段0D上，H未到達(dá)D點(diǎn)，所以M與正方形不相遇；

2

1113

當(dāng)一<t<l時(shí)，一+—+(1+4)=一秒，

2225

3134

???/=《時(shí)M與正方形相遇，經(jīng)過1+(1+4)=1秒后，M點(diǎn)不在正方行內(nèi)部，則二W二；

當(dāng)t=l時(shí)，由(1)知，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到原E點(diǎn)處，M點(diǎn)到達(dá)C處；

41

當(dāng)lWtW2時(shí)，當(dāng)仁1+1+(4-1)二一秒時(shí)，點(diǎn)M追上G點(diǎn)，經(jīng)過1+(4-1)二一秒，點(diǎn)M

33

45

都在正方形EFGH內(nèi)(含邊界)，-<t<-

33

當(dāng)仁2時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)返回到點(diǎn)O處停止運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)返回到點(diǎn)。處，當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)返回到點(diǎn)O處，

當(dāng)3</<5時(shí)，點(diǎn)M都在正方形石FGH內(nèi)(含邊界)，

3445

綜上，當(dāng)二V/V=或一V/V；；或3<，<5時(shí)，點(diǎn)M可能在正方形瓦內(nèi)(含邊界).

5533

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形的綜合，涉及求一次函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、

直角三角形的性質(zhì)、不規(guī)則圖形的面積、解一元二次方程等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題,

提取相關(guān)信息，利用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法確定解題思路，進(jìn)而推理、探究、

發(fā)現(xiàn)和計(jì)算.

5.為抗擊疫情，支持武漢，某物流公司的快遞車和貨車每天往返于物流公司、武漢兩地，快

遞車比貨車多往返一趟，如圖表示兩車離物流公司的距離y（單位：千米）與快遞車所用時(shí)

間X（單位：時(shí)）的函數(shù)圖象，已知貨車比快遞車早1小時(shí)出發(fā)，到達(dá)武漢后用2小時(shí)裝卸

貨物，按原速、原路返回，貨車比快遞車最后一次返回物流公司晚1小時(shí).

（1）求ME的函數(shù)解析式；（2）求快遞車第二次往返過程中，與貨車相遇的時(shí)間.（3）求

兩車最后一次相遇時(shí)離武漢的距離.（直接寫出答案）

17

【答案】（1）y=50x+50；（2）貨車返回時(shí)與快遞車途中相遇的時(shí)間與7/z：（3）100km

【分析】（1）由圖象可知點(diǎn)M和點(diǎn)E的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求ME的解析式即可；

（2）運(yùn)用待定系數(shù)法求出BC,CD,FG的解析式，分別聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可得

到結(jié)果；

（3）由（2）知兩車最后一次相遇時(shí)快遞車行駛1小時(shí)，根據(jù)路程=速度X時(shí)間可得結(jié)論.

【解析】解：（1）由圖象可知：M（0,50）,E（3,200）設(shè)ME的解析式＞=履+6（左。0）

把M（0,5。），E（3,200）代入得：kb+=5人02。。，解得[/?儲(chǔ)=550。

.?.腔的解析式為丁=50工+50(0<x<3)；

(2)由圖象知B(4,0),C(6,200)設(shè)的解析式V=m+〃，

4m+n=0m=100

把B(4,0),C(6,2。。)代入得'6加+〃=2。?！獾谩?/p>

n=-400

???BC的解析式為：y=100%-400由圖象知F(5,200),G(9,0)

5p+q=200

設(shè)尸G的解析式丁=加+4，把F(5,200),G(9,0)代入上式得，<

9p+q=0

p=-50

解得，1故bG的解析式為：y=-50x+450

4=450

y=100%-40017

聯(lián)立方程組得，<，解得x=—/z；由圖象得，C(6,200),D(8,0)

y=—50x+4503

6r+s=200

設(shè)CD的解析式為y=rx+s,把C(6,200),D(8,0)代入上式得，《，解得,

8r+s=0

r=-100

[s=800

故CD的解析式為尸1。。、+8。。,聯(lián)立方程組得]y==—-15000%/4+580。0‘解得＞7"

答：貨車返回時(shí)與快遞車途中相遇的時(shí)間一%,7/i

3

（3）由（2）知，最后一次相遇時(shí)快遞車行駛1小時(shí)，其速度為：200+2=100（km/h）

所以，兩車最后一次相遇時(shí)離武漢的距離為：100X1=100（km）

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相遇問題,

讀懂題目信息，理解兩車的運(yùn)動(dòng)過程是解題的關(guān)鍵

⑥要點(diǎn)歸納

考點(diǎn)02反比例函數(shù)

一、反比例函數(shù)中IA/的幾何意義

1.反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積

當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過面積作和或作差的形式來求解.

(1)正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，必咨桁|用；

(2)如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=公交于A6兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于

X

+

點(diǎn)C,則S^AOB^SAAOCS/^BOC^—0C'|yA|+—OC'|yB|=-OC,(Iy4I+1I)；

(3)如圖③，已知反比例函數(shù)y=七的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為(4,%)，(/，%)，

C為28延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)，則S△加尸叢AOC-SABOL^OC-\yA\~^OC-\yB\-

^OC-(\yA\-\yB\).

二、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合

1.涉及自變量取值范圍型

當(dāng)一次函數(shù)%=左述+人與反比例函數(shù)%=8相交時(shí)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，構(gòu)造方程組，然

X

后求出交點(diǎn)坐標(biāo).針對(duì)％＞為時(shí)自變量X的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比

例函數(shù)圖象的部分所對(duì)應(yīng)的X的范圍.例如，如下圖，當(dāng)為〉%時(shí)，X的取值范圍為%＞馬

或XB＜X＜0；同理，當(dāng)為＜%時(shí)，X的取值范圍為0＜%＜》4或

不。X

2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)

（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號(hào)來決定.

①A值同號(hào)，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)；②“值異號(hào)，兩個(gè)函數(shù)可無交點(diǎn)，可有一個(gè)交點(diǎn)，可

有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的

情況.

三、反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

解決反比例函數(shù)的實(shí)際問題時(shí)，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別

注意自變量的取值范圍.

6）典例解析

1”

6.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，正比例函數(shù)y=7%和反比例函數(shù)必=一（?！怠悖┑膱D像

2x

交于點(diǎn)4（九2）.

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

k

（2）將直線向上平移3個(gè)單位后，與y軸交于點(diǎn)8,與%=慢。＞0）的圖像交于點(diǎn)C,連

接AB,AC,求，ABC的面積.

Q

【答案】（1）%=—；（2）3

X

【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;

（2）根據(jù)平移的性質(zhì)求得平移后函數(shù)解析式，確定8點(diǎn)坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求直線A3的

解析式，從而利用三角形面積公式分析計(jì)算.

【詳解】（1）解：把A（辦2）代入中,-m=2,

2

解得m=4,

：.A（4,2）,

/\kk

把A（4,2）代入％=（（尤＞。）中，-=2,

解得左=8,

Q

反比例函數(shù)的解析式為%=2;

X

（2）解：將直線向上平移3個(gè)單位后，其函數(shù)解析式為y=；x+3,

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,

???點(diǎn)5的坐標(biāo)為（0,3）,

設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為為C=，"+九，

4m+〃=2

將A（4,2）,3（0,3）代入可得

〃二3

1

m=——

解得4,

n=3

直線A3的函數(shù)解析式為為c=x+3,

y=—x+3

2=-8x2=2

聯(lián)立方程組g，解得

%=j>2=4

y二一

X

；.C點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）,

過點(diǎn)。作CM%軸，交AB于點(diǎn)、N,

22

13

,?S"BC=5*5*4=3.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，運(yùn)用

數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

7.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)4（0,4）,3（2,0）,連接A8,過點(diǎn)B

k

作交反比例函數(shù)＞=￡在第一象限的圖象于點(diǎn)C（?！梗?

X

3

（2）將直線0c向上平移!■個(gè)單位，得到直線/,求直線/與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】（l）y=J＞=（2）（2,2）或（-8，-與

X4V

【分析】（1）如圖，過點(diǎn)C作CD^x軸于點(diǎn)O,證明利用相似三角形的性

k

質(zhì)得到比＞=2,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入y=人可得反比例函數(shù)解析式，設(shè)OC的表達(dá)式為

x

y=，將點(diǎn)c（4,1）代入即可得到直線oc的表達(dá)式；

（2）先求得直線/的解析式，聯(lián)立反比例函數(shù)的解析式即可求得交點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】(1)如圖，過點(diǎn)。作8口軸于點(diǎn)。,

BC.LAB,

：.ZABC=90°,

：.ZABO+ZCBD=9Q°,

???/CDB=90。,

：.ZBCD+ZCBD=90°,

：./BCD=ZABO,

：.ABO^BCD,

.OABD

??布—布’

VA（0,4）,B（2,0）,

/.0A=4,03=2,

.4_BD

??——，

21

/.BD=2,

???QD=2+2=4,

，點(diǎn)C（4』），

k

將點(diǎn)。代入y=*中，

X

可得左=4,

,_4

.?y=~9

X

設(shè)oc的表達(dá)式為y=1nx,

將點(diǎn)C（4,l）代入可得1=4M,

解得：”?=!,

4

二0C的表達(dá)式為y無；

4

13

（2）直線/的解析式為y=：x+=,

42

134

當(dāng)兩函數(shù)相交時(shí)，可得了尤+彳=—,

42x

解得％=2,x=-8,

代入反比例函數(shù)解析式,

直線/與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）或18,-g

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)與

一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，一次函數(shù)的平移問題，解一元二次方程等知識(shí).

8.南寧至玉林高速鐵路已于去年開工建設(shè)，玉林輛隧道是全線控制性隧道，首期打通共有土

石方總量600千立方米，總需要時(shí)間y天，且完成首期工程限定時(shí)間不超過600天.設(shè)每天

打通土石方x千立方米.（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）由于

工程進(jìn)度的需要，實(shí)際平均每天挖掘土石方比原計(jì)劃多0.2千立方米，工期比原計(jì)劃提前了

100天完成，求實(shí)際挖掘了多少天才能完成首期工程？

【答案】（1）y=?（0<x^600）；（2）實(shí)際挖掘了500天才能完成首期工程

x

【分析】（1）根據(jù)“工作時(shí)間=總工作量+每天工作量”，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）根據(jù)工期比原計(jì)劃提前了100天列方程求解即可.

【解析】解：（1）:共有土石方總量600千立方米，；.y=——（0<xW600）；

x

（2）由題意得幽——迎-=100,解得xl=l,x2=--（負(fù)值舍去），

xx+0.25

經(jīng)檢驗(yàn)x=l是原分式方程的解1+02=1.2千立方米，600+1.2=500天.

答：實(shí)際挖掘了500天才能完成首期工程.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)

量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)工期比原計(jì)劃提前了100天列出方程.

9.(2023?四川成都?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Qy中，直線V=-x+5與y軸

k

交于點(diǎn)4與反比例函數(shù)y=—的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為B(a,4),過點(diǎn)8作A8的垂線/.

x

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)C在直線/上，且ASC的面積為5,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)P是直線I上一點(diǎn)，連接B4,以P為位似中心畫APDE，使它與位似,相似比為m.若

點(diǎn)、D,E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及機(jī)的值.

【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,5),反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=?；(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,9)或

x

(-4,-1)；(3)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為山的值為3

【分析】(1)利用直線？=-尤+5解析式可的點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)8(。,4)代入y=-x+5可得。

的值，再將點(diǎn)8代入反比例函數(shù)解析式可得人的值，從而得解；

(2)設(shè)直線/于y軸交于點(diǎn)由點(diǎn)8的坐標(biāo)和直線/是A3的垂線先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，

再用待定系數(shù)法求直線/的解析式y(tǒng)=x+3,C點(diǎn)坐標(biāo)為。，?+3),根據(jù)

SAABC=無C|=5(%,%分別代表點(diǎn)3與點(diǎn)C的橫坐標(biāo))可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，從而

得解；

(3)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心三點(diǎn)共線可知點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在直線/上，不妨設(shè)為點(diǎn)

E,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)。，直線/與雙曲線的解析式聯(lián)立方程組得到E(T,-1),由

△PABS/\PDE得到AB//DE,繼而得到直線AB與直線DE的解析式中的一次項(xiàng)系數(shù)相等,

設(shè)直線的解析式是：y=-x+b2,將召(-4,-1)代入y=-x+%求得OE的解析式是：

y=-x-5,再將直線OE與雙曲線的解析式聯(lián)立求得。(T,Y),再用待定系數(shù)法求出AD的

解析式是y=9x+5,利用直線AD的解析式與直線I的解析式聯(lián)立求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為

再用兩點(diǎn)間的距離公式得到吁卡，砂三④從而求得心二=3.

【詳解】(1)解：令無=0,貝Ijy=-尤+5=5

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,5),

將點(diǎn)5(。,4)代入y=—x+5得：4=—a+5

解得：a=l

???8(1,4)

將點(diǎn)8(1,4)代入y=幺得：4=1

x1

解得：％=4

4

；?反比例函數(shù)的表達(dá)式為〉=一；

x

(2)解：設(shè)直線/于y軸交于點(diǎn)直線y=-尤+5與x軸得交點(diǎn)為N,

令y=-x+5=0解得：%=5

N(5,0),

：.OA=ON=5,

又?:ZAON=9Q°,

：.NOW=45°

VA(0,5),8(1,4)

AB=^/(1-0)2+(4-5)2=72

又：直線/是AB的垂線即NABM=90。，N0W=45。,

AB=BM=應(yīng),AM=\lAB2+BM2=2

M(0,3)

設(shè)直線/得解析式是：y=klx+b[,

勺+4=4

將點(diǎn)M(0,3)，點(diǎn)3(1,4)代入產(chǎn)匕尤+可得:

4=3

勺二1

解得:

4=3

???直線/的解析式是：產(chǎn)％+3,

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是伍t+3)

VSAABC=物尤/=；創(chuàng)2|1|=5,(/,％分別代表點(diǎn)B與點(diǎn)C的橫坐標(biāo))

解得：方=-4或6,

當(dāng)％=—4時(shí)，，+3=—1；

當(dāng)，=6時(shí)，/+3=9,

?,?點(diǎn)。的坐標(biāo)為(6,9)或(-4,-1)

(3)??,位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心三點(diǎn)共線，

???點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在直線/上，不妨設(shè)為點(diǎn)E,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)。，

???點(diǎn)E是直線/與雙曲線y=?的另一個(gè)交點(diǎn),

x

.4

y=——

將直線/與雙曲線的解析式聯(lián)立得：-尤

y=x+3

￡（-4,-1）

畫出圖形如下:

yi

A

X

又：APABS^PDE

ZPAB=ZPDE

：.AB//DE

，直線AB與直線DE的解析式中的一次項(xiàng)系數(shù)相等,

設(shè)直線的解析式是：y=-x+b2

將點(diǎn)E(T,-1)代入>=-x+4得：一1=—(T)+b2

解得：b2=-5

，直線DE的解析式是：y=-x-5

4

丁點(diǎn)。也在雙曲線y=—上，

4

???點(diǎn)D是直線與雙曲線y=2的另一個(gè)交點(diǎn)，

y=——

將直線OE與雙曲線的解析式聯(lián)立得：'x

y=-x-5

解得:

設(shè)直線AD的解析式是：y=k3x+b3

將點(diǎn)4(0,5),。(-1,-4)代入>=勺尤+4得:

解得:

直線AO的解析式是：y=9x+5,

y=9x+5

又將直線AD的解析式與直線I的解析式聯(lián)立得:

y=x+3

x=-

解得：

..?點(diǎn)P的坐標(biāo)為

【點(diǎn)睛】本題考查直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，

反比例函數(shù)綜合-幾何問題，三角形的面積公式，位似的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性大，利用聯(lián)立

方程組求交點(diǎn)和掌握位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

M要點(diǎn)歸腦

考點(diǎn)03二次函數(shù)

1、函數(shù)存在性問題:解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問題，一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線

或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)或其他

點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否

符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在.

2、函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題

（1）函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題；二是與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等

有關(guān)的二次函數(shù)綜合題.

（2）解答動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動(dòng)點(diǎn)在不同位置運(yùn)動(dòng)或不同時(shí)間段運(yùn)動(dòng)

時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題

小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案.

（3）解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多

少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)度，最后結(jié)合

題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算.

。典例解析

10.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，

球射向球門的路線呈拋物線.當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面

3m.已知球門高為2.44m,現(xiàn)以。為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）.

（2）對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向

正后方移動(dòng)多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處？

19

【答案】（1）＞=-3（》-2）-+3,球不能射進(jìn)球門；（2）當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射

門

【分析】（1）根據(jù)建立的平面直角三角坐標(biāo)系設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，代入A點(diǎn)坐標(biāo)求

出。的值即可得到函數(shù)表達(dá)式，再把x=0代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)值，與球門高度比較

即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律，設(shè)出平移后的解析式，然后將點(diǎn)（0,2.25）代入即可求解.

【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,3）,

設(shè)拋物線解析式為y=°（無-2）2+3,

把點(diǎn)4（8,0）代入,得36a+3=0,

解得—~~T?

12

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-，（x-2）2+3,

Q

當(dāng)x=0時(shí)，y=->2.44,

???球不能射進(jìn)球門；

（2）設(shè)小明帶球向正后方移動(dòng)加米，則移動(dòng)后的拋物線為y=-五（尤-2-優(yōu)）一+3,

ftL點(diǎn)（0,2.25）代入得2.25=—5（-2-mf+3,

解得叫=-5（舍去），m2=l,

...當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移等知

識(shí)，讀懂題意，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

11.2022年體育中考，增設(shè)了考生進(jìn)入考點(diǎn)需進(jìn)行體溫檢測(cè)的要求.防疫部門為了解學(xué)生錯(cuò)

峰進(jìn)入考點(diǎn)進(jìn)行體溫檢測(cè)的情況，調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)》（人）

與時(shí)間x（分鐘）的變化情況，數(shù)據(jù)如下表：（表中9T5表示9<%<15）

時(shí)間X（分鐘）01234567899~15

人數(shù)y（人）0170320450560650720770800810810

（1）根據(jù)這15分鐘內(nèi)考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)與時(shí)間的變化規(guī)律，利用初中所學(xué)函數(shù)知識(shí)

求出y與％之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果考生一進(jìn)考點(diǎn)就開始測(cè)量體溫，體溫檢測(cè)點(diǎn)有2

個(gè)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)每分鐘檢測(cè)20人，考生排隊(duì)測(cè)量體溫，求排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有多少人？全部

考生都完成體溫檢測(cè)需要多少時(shí)間？（3）在（2）的條件下，如果要在12分鐘內(nèi)讓全部考

生完成體溫檢測(cè)，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個(gè)檢測(cè)點(diǎn)？

-10x2+180%,0<x<9

【答案】（1）y=]；（2）隊(duì)人數(shù)最多時(shí)是490人，全部考生都完

[810,9<%<15

成體溫檢測(cè)需要20.25分鐘；（3）至少增加2個(gè)檢測(cè)點(diǎn)

【分析】（1）先根據(jù)表中數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)猜想：①當(dāng)0WxW9時(shí)，y是X的二次函數(shù).根

據(jù)提示設(shè)出拋物線的解析式y(tǒng)=再?gòu)谋碇羞x擇兩組對(duì)應(yīng)數(shù)值，利用待定系數(shù)法求

函數(shù)解析式，再檢驗(yàn)其它數(shù)據(jù)是否滿足解析式，從而可得答案；（2）設(shè)第x分鐘時(shí)的排隊(duì)

人數(shù)是W,列出W與第X分鐘的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求排隊(duì)的最多人數(shù)，利用

檢測(cè)點(diǎn)的檢測(cè)人數(shù)列方程求解檢測(cè)時(shí)間；

(3)設(shè)從一開始就應(yīng)該增加機(jī)個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，根據(jù)題意列出不等式，利用不等式在正整數(shù)解可

得答案.

【解析】解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)可知：

①當(dāng)時(shí)，y是X的二次函數(shù).：當(dāng)x=0時(shí)，y=o,...二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)

為y=ax1+bx.

當(dāng)x=l時(shí)，y=170；當(dāng)％=3時(shí)，y=450.

170=a+ba=—10

將它們分別代入關(guān)系式得《450=9a+3理得‘,，二次函數(shù)的關(guān)系式為

8=180

y=-10%2+180x.

將表格內(nèi)的其他各組對(duì)應(yīng)值代入此關(guān)系式，均滿足.

-10x2+180x,0<x<9

②當(dāng)9<x<15時(shí),y=810.》與x的關(guān)系式為y=<

810,9<x<15

(2)設(shè)第x分鐘時(shí)的排隊(duì)人數(shù)是W,根據(jù)題意，得

,八f-10x2+180x-40x,0<x<9,

W=y-40%=<

810-40%,9<x<15

①當(dāng)0WxW9時(shí)，W=—10x2+140x=—10(x—7)2+490..?.當(dāng)x=7時(shí)，%大=490.

②當(dāng)9<x<15時(shí)，W=810-40%,W隨x的增大而減小，，210WW<450.

排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)是490人.要全部考生都完成體溫檢測(cè)，根據(jù)題意，

得810—40x=0,解得x=20.25排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)是490人，全部考生都完成體溫檢測(cè)

需要20.25分鐘.

3

(3)設(shè)從一開始就應(yīng)該增加m個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，根據(jù)題意，得12x20(m+2)2810,解得m21§.

3

:機(jī)是整數(shù)，.?.機(jī)的最