山東省2024屆高三調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試題

說(shuō)明：本試卷滿分150分.試題答案請(qǐng)用2B鉛筆和0.5mm簽字筆填涂到答題卡規(guī)定位置

上，書(shū)寫在試題上的答案無(wú)效.考試時(shí)間120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的

1.設(shè)，={14,2“,3={1,犬},若8。&則x=()

A.0B.0或2C.0或—2D.2或-2

【答案】C

【解析】

分析】根據(jù)3。A,可得f=4或爐=2x，結(jié)合集合元素性質(zhì)分別求解即可.

【詳解】由得f=4或f=2x，即x=0或x=2或％=—2,

當(dāng)x=0時(shí)，A={l,4,0},B={l,0},符合題意;

當(dāng)x=2時(shí)，A={1,4,4},B={1,4},不符合元素的互異性，舍去；

當(dāng)x=—2時(shí)，A={1,4,M},B={1,4},符合題意；

綜上，工=0或1=一2

故選：C.

2.若+展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則”=()

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】

【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接求解即可.

【詳解】因?yàn)椋畚?2］的展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開(kāi)式一共有11項(xiàng)，即

〃=10.

故選：B

3.已知向量a=(1,3),b=(2,2),貝!Jcos(a+b,〃-Z?)=()

A±p拒「行口2行

JJ.---------c.—.--

171755

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)閍=(1,3)1=(2,2),

所以a+Z>=(3,5),a-=(-1,1),

/、(a+b｝(a-6)-3+5717

所以cos(a+A,a_》)=q-q-------------------I——.

'/卜+4卜-々"+52”—1)+12*

故選：B.

4.等差數(shù)列｛q,｝的首項(xiàng)為1,公差不為0,若%,生，4成等比數(shù)列，則｛%｝前6項(xiàng)的和為()

A.-24B.-3C.3D.8

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差d(dwO)，由%，％，1成等比數(shù)列求出d,代入可得答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差d(dwO)，

,/等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,%，%，%成等比數(shù)列，

?2_

??—〃2,"6，

(q+2d『=(4+4)(%+5d),且〃]=1,dwO,

解得d=—2,

6x56x5

???{%}前6項(xiàng)的和為§6=6%+三一〃=6xl+—^-x(-2)=-24.

故選：A.

5.要得到函數(shù)y=cos2x的圖象，只需將函數(shù)y=sin12x+q]的圖象沿x軸

A.向左平移二TT個(gè)單位B.向左平移72T個(gè)單位

126

7TTT

c.向右平移一個(gè)單位D.向右平移三個(gè)單位

612

【答案】A

【解析】

【分析】先用誘導(dǎo)公式把正弦型函數(shù)化為余弦型函數(shù)，然后根據(jù)圖象的平移變換的解析式的特征變化，得

到答案.

(jrA(jr7T\(71I71

【詳解】y=sin2x+—ksin2x+-kcos2x--=cos[2(x--)],因此該函數(shù)圖象向左平

移二個(gè)單位，得到函數(shù)丁=＜：052%的圖象，故本題選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了已知變化前后的函數(shù)解析式，求變換過(guò)程的問(wèn)題，考查了余弦函數(shù)圖象變換特點(diǎn).

6.在三棱錐P—ABC中，點(diǎn)MN分別在棱PC/B上，且PN=-PB,則三棱錐P-AMN

33

和三棱錐尸-ABC的體積之比為()

1214

A.-B.—C.一D.-

9939

【答案】B

【解析】

【分析】分別過(guò)帆C作MM'1PA,CC'1PA,垂足分別為Af',C'.過(guò)8作33'_L平面PAC，垂足為B，

連接Pfi',過(guò)N作NN'±PB'，垂足為M冼證MV'_L平面PAC,則可得到BB'//NN'，再證MM'HCC''

MM)1NN'2^P-AMN^N-PAMrm—T4工r",

由三角形相似得到一；一，-----=一，再由；;--------------即可求出體積比.

CC3BB'3Vp^ABCVB-PAC

【詳解】如圖，分別過(guò)作MMUPACCU"，垂足分別為?過(guò)B作班」平面PAC，垂

足為B'，連接PB',過(guò)N作NN'_LP*，垂足為N1

因?yàn)?3'，平面PAC，班'u平面PBB'，所以平面,平面總C-

又因?yàn)槠矫媸?|平面P4C=P8'，NN'±PB''NN'u平面PBB'，所以MV'J-平面PAC，且

BBr//NNf-

PMMM1

在△尸CC中，因?yàn)樗噪?，〃CC'，所以二二二-r

PCCC3

PNNN2

在中，因?yàn)锽￡HNN'，所以=S=

PBBB'3

故選：B

7.為研究某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積無(wú)(單位：dm2)與水生植物的株數(shù)V(單位：株)之間的

相關(guān)關(guān)系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型y=ceh(c>0)去擬合了與V的關(guān)系，設(shè)z=lny,x與z的數(shù)據(jù)如表

格所示：得到無(wú)與z的線性回歸方程2=1.2x+C,則c=()

X3467

Z22.54.57

-1

A.-2B.-1C.D.e

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，求得了=5,5=4,進(jìn)而代入回歸方程可求得4=—2,從而得出2=1.2x—2,

聯(lián)立z=lny,即可求得本題答案.

所以，有4=12x5+4,解得6=—2,

所以，2=1.2%—2,

由z=lny,得lny=1.2x-2,

122212

所以，y=e-"-=e--e-\則°=^2.

故選：C.

8.雙曲線M:二—2=l（a〉O力〉0）的左、右頂點(diǎn)分別為A3,曲線M上的一點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)

ab

9

為D,若直線AC的斜率為加，直線5。的斜率為〃，則當(dāng)加+—取到最小值時(shí)，雙曲線離心率為

mn

（）

A.3B.4C.73D.2

【答案】D

【解析】

9

【分析】由題意加〃+——利用均值定理可得司=3,再利用雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可.

mn

【詳解】設(shè)A(—a,0),B(a,0),C(x,y\D(x.-y),

y—y—7

n=

則根=￡c=----，-^BD------'所以加〃---7

4x+ax-ax-a

2_2

將曲線方程王三幺y_

代入得mn=——y

ab2a

9

又由均值定理得mn-\-----

mn

當(dāng)且僅當(dāng)1=2即MT=彳=3時(shí)等號(hào)成立,

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見(jiàn)有兩種方法：

①求出a，c,代入公式e=￡；

a

②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,4c的齊次式，結(jié)合82=/一C?轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后等式（不等

式）兩邊分別除以?；?轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z滿足z2+z+l=0,貝I()

A.z=」+四B.|z|=l

22

C.z2=zD.z+z2+z3++z2024=0

【答案】BC

【解析】

【分析】設(shè)2=。+歷（。力eR）,代入題干方程求解判斷A,求復(fù)數(shù)的模判斷B,根據(jù)復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算及共

輾復(fù)數(shù)的定義判斷C,利用復(fù)數(shù)的周期性求和判斷D.

【詳解】設(shè)2=。+歷（。,〃6區(qū)），由z?+z+l=O得（a+歷）2+（a+4）+1=0，

b~+a+1

即(礦—3+a+1)+(2aZ?+Z?)i=0,所以《，

'7v7[2ab+b=0

1f1

a=-a=—

22

解得廠或廠，

,V3,V3

b=-b=

[2〔2

所以Z=—,+蟲(chóng)4或2=—工―@i，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

2222

由"亨當(dāng)所叫』=$-1+閨=1,

由2=—；—#4,所以忖=j_￡|+(_曰]=1'故選項(xiàng)B正確;

當(dāng)2=_工+且i時(shí)，所以z2=[—,+立]」—旦,z=---

--i，所以z2=Z，

22[22)2222一

當(dāng)z=_4_^i時(shí)，所以z2=1_L_立i]=--+^i,z=--+

所以Z2=N，故選項(xiàng)c正

22[22)2222

確；

因?yàn)閦3—l=(z—l)(z2+Z+l)=0,所以z3=l，所以

21._2022、,._2024

z+z2+z3++z2024=(z+z2+z3)+(z4+z5+z6)++(z2020+z20+Z1+Z2023+Z

=(z+z2+l)+z，(z+z2+1)++z2017(z+z2+l)+z+z2=0+0++0+(-1)=-1,故選項(xiàng)D錯(cuò)

誤.

故選：BC

10.過(guò)線段x+y=4(0WxW4)上一點(diǎn)尸作圓0：犬+丁2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,直線A3

與羽y軸分別交于點(diǎn)M,N,則()

A.點(diǎn)。恒在以線段A5為直徑的圓上

B.四邊形B4OS面積的最小值為4

C.|A目的最小值為2夜

D.|OM|+|ON|的最小值為4

【答案】BCD

【解析】

【分析】設(shè)P(a,4—a),則可求A3的方程為成：+(4—a)y—4=0.結(jié)合O,A,P,3四點(diǎn)共圓可判斷A的

正誤，求出|。尸|的最小值后可判斷B的正誤，求出A3所過(guò)的定點(diǎn)后可判斷C的正誤，結(jié)合A3的方程可

求|OM|+|ON|,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求其最小值，故可判斷D的正誤.

設(shè)P(a,4-a),因?yàn)锳B與龍，V軸均相交，故0<a<4,

連接。AO3,設(shè)線段/：x+y=4(0<x<4),

則O,A,P,3四點(diǎn)共圓，且此圓以O(shè)P為直徑，

而以O(shè)P為直徑的圓的方程為：x(x—a)+y(y—4+。)=0,

整理得至ij：x?+y?—ax-(4-a)y=0,故AB的方程為：4-ax—(4—a)y=。,

整理得至(I：ax+(4-a)y-4=0.

對(duì)于A,若。在以線段A5為直徑的圓上，則NAOfi=90°,

由O,A,P,3四點(diǎn)共圓可得ZAPB=90°,而ZPAO=ZPBO=90°，

\AO\^\BO\=2,故四邊形Q4PB為正方形，故O尸=20，

但P為動(dòng)點(diǎn)且0P長(zhǎng)度變化，故。不恒在以線段A5為直徑的圓上，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,四邊形PAOB面積為S=2x|x|<9A|x|AP|=2^|OP|2-4,

*=20,當(dāng)且僅當(dāng)OPL即P(2,2)時(shí)等號(hào)成立,

而|尸。|2

故S的最小值為4，故B成立.

對(duì)于C,因?yàn)锳3的方程為：狽+(4-。)丁一4=0,

/、[x-y=0\x=l

整理得至(J：Q(X—y)+4y—4=0,令〈,得《,

[4y—4=0[y=l

故A5過(guò)定點(diǎn)。。,1),

設(shè)0到A3的距離為d,則

故|=2,4-儲(chǔ)>272,當(dāng)且僅當(dāng)d=形即OQ，AB時(shí)等號(hào)成立，

故的最小值為2&，故C成立.

對(duì)于D,由AB的方程為依+(4-a)y-4=0可得

故QM+|0N[，+^^=72，0<a<4,

a4-a-(a-2)+4

Kff0<-(a-2)2+4<4,iA\OM\+\ON\>4,當(dāng)且僅當(dāng)a=2等號(hào)成立,

故|OM|+|ON|的最小值為4,故D成立.

故選：BCD.

11.已知函數(shù)/(x)=ln(jx2+1-％+。,則()

A.“X)在其定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)

B.y=/(x)的圖象關(guān)于(0,1)對(duì)稱

C./(%)的值域是(0,+")

D.當(dāng)x>0時(shí)，/(*)一/(一工)2如恒成立，則加的最大值為-1

【答案】ACD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A,先求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再判斷其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可；選項(xiàng)B,取譬如“點(diǎn)(-和

點(diǎn)(L/Q))”的特殊值判斷即可；選項(xiàng)C,借助放縮Jx2+i>4F=|x|?x，得出&+—+1>1，進(jìn)

而判斷即可；選線D,先構(gòu)造函數(shù)/(X)=/(%)—/(—X)—儂:，將不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最

值，即可判斷.

【詳解】已知函數(shù)/(x)=ln(J%2+i—x+i,

由于《X2+1>4^'=|x|之無(wú)，即《X2+1-%>0,

故函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,

對(duì)于選項(xiàng)A,函數(shù)/(X)導(dǎo)函數(shù)為：f'(x)=—j==^~/:+1---------,

VX'+1-(VX2+1-x+1)

由于771-%>0,得r(H<。，

所以/(龍)在其定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)，

選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,取特值：/(l)=lnV2,/(-l)=ln(V2+2),

目/(I)+/(-I)lnV2+ln(V2+2)ln(2+2衣，

且---------------=----------------------=---------------W1,

222

即函數(shù)圖象上存在點(diǎn)(-1,/(-1))和點(diǎn)(1,/(1))不關(guān)于(0,1)對(duì)稱，

選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C，由于J%2+1一%>0,得，%2+]_工+1>],

得/(x)=ln(，%2+i_X+1)>Ini=0,

當(dāng)Xf+8時(shí)，X2+1-%+1=------F1—>1,

A/X2+1+x

當(dāng)Xf—8時(shí)，&+1—x+1.y，

同時(shí)了(力在其定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)，

故/(X)的值域是(。,+8)

選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,定義方(%)=〃％)-x>0,

貝ijF(x)=In+1-x+1-In+\+x+\\-mx,

(1、

F(x)=In+1-In+1+x+\\-mx,

、yjX~+1+X

J%、+1+X+1

F(x)=In-twc,

、yjx2+1+x/

故尸(x)=-In(，尤2+1+x)-mx,

x1

z--------+1

其導(dǎo)函數(shù)口”、6+i1

/(x)=一(------m=——/—m

x2+1+xVx2+1

若xe(0,+oo),/(x)-/(一力-皿恒成立,即函數(shù)/(x)20恒成立,

由于F(0)=0,則廣(0)20在xc(0,+<?)上恒成立,

即尸'(0)=—1—憶2。，得niW—1,

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，G(x)=-In+1+x)+x,xe(0,+oo)

%=--^^+1,

Vx+1

由于xe(0,+oo),則Jd+]>],<1,G'(x)=+l>0,

VJx2——+1

所以函數(shù)G(x)在區(qū)間(0,+co)上單調(diào)遞增，且G(0)=-Ini+0=0,

則xe(0,+oo)時(shí)，G(x)>。恒成立,

同時(shí)xc(0,+oo),由于mW—1,-rwc>x

則尸(無(wú))=-In+1+%-mx>-In+1+無(wú))+x=G(x)>0,

顯然/(x)>0恒成立,

xe(0,+oo)時(shí)，恒成立，則m的最大值為一1正確;

選項(xiàng)D正確;

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為k(0)2。在xe(O,+8)上恒成立，從而得到

m<-\,最后驗(yàn)證得到機(jī)=-1時(shí)符合題意即可.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B?(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,則P=.

【答案】-

3

【解析】

【詳解】試題分析：直接利用二項(xiàng)分布的期望與方差列出方程求解即可.

解：隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,

91

可得np=30,npq=20,q=—,則產(chǎn)三

故答案為

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的期望以及方差的求法，考查計(jì)算能力.

22

13.已知拋物線y2=2px(p〉0)的焦點(diǎn)尸為橢圓工+乙=1的右焦點(diǎn)，直線/過(guò)點(diǎn)口交拋物線于A3

43

兩點(diǎn)，且|A同=8.直線4分別過(guò)點(diǎn)A3且均與x軸平行，在直線4上分別取點(diǎn)均在

點(diǎn)A,B的右側(cè))，ZABN和ZBAM的角平分線相交于點(diǎn)P,則.PAB的面積為.

【答案】8A/2

【解析】

【分析】當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，寫出直線/的方程，求出|Afi|=4,不合題意；當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線/的方程為丁=左(%—1),4見(jiàn)，％),B(x2,y2),聯(lián)立拋物線的方程，由|48|=石+/+。=8,求

出左，根據(jù)銳角三角函數(shù)表達(dá)邊長(zhǎng)，再進(jìn)一步求出上鉆的面積.

22

【詳解】由Y+g=l的右焦點(diǎn)為(1,0),所以拋物線的焦點(diǎn)為尸(1,0),

故5=1,則p=2,因此拋物線y2=4x,

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=l,

代入拋物線的方程，得'=±2,

所以A(l,2),3(1,—2),所以|A31=4,不合題意，

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為丁=左(％-1),A(髭,%),B(x2,y2),

聯(lián)立D，得左V—（2/+4）x+左2=0,所以X]+/=2'：4,

所以|AB\=xi-\-—+x2+—=xi+x2+p="：f+2="：4=8,所以左=±1,

22kk

由對(duì)稱性不妨設(shè)左=1,則NA網(wǎng)=45。，

因?yàn)镹ABN和NE4M的平分線相交于點(diǎn)尸，AM//BN,

所以NABN=45。,ZABP=22.5°,

所以在Rt中，|M=|A^sin22.5°=8sin22.5°,

|BP|=|AB|cos22.5°=8cos22.5°,

所以S?=1-8sin22.5°-8cos22.5°

=32sin22.5°8cos22.5°=16sin45°=8點(diǎn)，

故答案為：8夜.

14.已知正方體ABC。-A4GR的棱長(zhǎng)為26,M,N為體對(duì)角線的三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在三角形

AC旦內(nèi)，且三角形PW的面積Sa.=孚，則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為.

2A/6

【答案】--------71

3

【解析】

【分析】由題意求出尸到MV的距離，又易證BA_L面陰C,進(jìn)而得到P點(diǎn)在VA與C所在平面的軌跡

是以寺為半徑的圓，因?yàn)閂AgC內(nèi)切圓的半徑為0〈半，所以該圓一部分位于三角形外，作出圖

形即可求解.

【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為26，所以*=J(2⑹2+僅可+(2南=6,

又4=gx2x2xsine=2sin6,S2=^AM-PQ=^x4x2x（l-cos^）=4（l-cos0）,

由題意邑=25「所以4（1—cosO）=4sin。，即sin8+cos8=l,所以sin[+：]=*,

因?yàn)椤！辏ā?兀），所以e+7￡（二，二r]，所以e+&二生，所以。=巴，

v74<44J442

7T

所以當(dāng)。=—時(shí)，使得aAPM的面積等于一AOP的面積的2倍.

2

J?

16.如圖，直三棱柱A3C-4與￡中，D,E分別是AB,8瓦的中點(diǎn)，^AC^CB^^AB.

（1）證明：BC"/平面a。；

（2）求二面角?！狝?！狤的正弦值.

【答案】（I）見(jiàn)解析（II）

3

【解析】

【分析】（I）利用三角形中位線定理可得DF//BC],由線面平行的判定定理可得結(jié)果；（II）由

AAl=AC=CB=^AB,可設(shè)：AB=2a,可得ACLBC,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線

C4,C5,CG為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程分別求出平

面ACD的法向量、平面ACE的一個(gè)法向量，再由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

【詳解】（I）如圖，連結(jié)AG，交4。于點(diǎn)R，連結(jié)。歹，

因?yàn)?。是AB的中點(diǎn)，

所以在一ABG中，”是中位線，

所以DF//BC「

因?yàn)?。尸u平面A。。，BGtZ平面4。。，

所以BC"/平面A。。；

（II）因?yàn)锳C=CB=^A3,

2

所以NAC5=90°，即ACIBC,

則以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C4,CB,CC；為蒼％z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

z

設(shè)AA]=AC=CB=2,

則C(0,0,0),0(1/,0),￡(0,2,1),A(2,0,2),

則CD=(l,l,0),CE=(0,2,1),期=(2,0,2),

設(shè)點(diǎn)=(%,%,zj是平面DA[C的一個(gè)法向量，

X+y,=0

則，即.；八，

2石+2Z]=0

取XI=1,則%=-1,4=-1,

則〃=(1,T,T)

同理可得平面EA】C的一個(gè)法向量,

則力=（2』,一2）,

Ix2-lxl+lx2

所以，cos(m,ri)==0

71+1+1x74+1+4-3，

所以sin〈m,n)=-,

即二面角O—AC—E的正弦值為.亞

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何

問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直

線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）

將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

17.盒中有大小顏色相同的6個(gè)乒乓球，其中4個(gè)未使用過(guò)（稱之為新球），2個(gè)使用過(guò)（稱之為舊球）.

每局比賽從盒中隨機(jī)取2個(gè)球作為比賽用球，比賽結(jié)束后放回盒中.使用過(guò)的球即成為舊球.

（1）求一局比賽后盒中恰有3個(gè)新球的概率；

（2）設(shè)兩局比賽后盒中新球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

Q

【答案】（1）A

（2）分布列見(jiàn)解析，y

【解析】

【分析】（1）根據(jù)超幾何分布概率公式求解即可；

（2）根據(jù)超幾何分布概率公式求得分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可知當(dāng)比賽使用1個(gè)新球，1個(gè)舊球時(shí)，盒中恰有3個(gè)新球，

使用一局比賽后盒中恰有3個(gè)新球的概率P=.

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知X的可能取值為0,1,2,3,4,

C2

尸(x=o)飛C1__6_

'c|-225)

C21

P(X=1)=臺(tái)Jc'Jc十Jc*cJ'ct_72

「2「2或~225)

Q2j「2+y5jc2c2_114

P(X=2)寶

'ci-cr'_cr或或-225,

211

CJc'Jc十Jc'Jc_32

尸（X=3）=芭

-225,

Q2Cl_1

P(X=4)=有

,cf-225)

所以X的分布列為

X01234

672114321

P

225225225225225

L/sc6,72cli4c32,116

￡(X)—Ox-----F1x------1-2x------1-3x------F4x-----=—.

、72252252252252259

18.已知函數(shù)〃%)=5%2一々1nxM是的導(dǎo)函數(shù)，g(%)=xe".

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若“X)有唯一零點(diǎn).

①求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

②當(dāng)a>0時(shí)，證明：g(x)>/'(%)+4.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)①(f,0)J{e}；②證明見(jiàn)解析

【解析】

2_

【分析】⑴對(duì)“％)求導(dǎo)得到/'(x)=土二處,根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，對(duì)a分類討論，即可

X

得出結(jié)果;

(2)①法一：直接對(duì)。進(jìn)行分類討論，利用(1)的結(jié)果，即可得出結(jié)果；法二：分離常量得到

丁1=In與i*，構(gòu)造函數(shù)夕(力=I—p，V將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)解決問(wèn)題；②構(gòu)造函數(shù)

乙axx

/z(x)=xe1-2e(x〉0),通過(guò)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到丸(%)的最小值，從

而得出g(x)=xe*>2ex,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明(2e—l)f—(e+4)x+e>0,即可證明結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

x_一a

“力的定義域?yàn)?0,+8)，f\x)=x--

X

當(dāng)aWO時(shí)，/'(%)>0恒成立，此時(shí)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+”),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間,

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(%)>0得x>筋；令/'(%)<0得0<x<6；

此時(shí)+oo\,

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，/（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,+"）,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，

當(dāng)a>0時(shí)，/（%）單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為（6,+e）.

【小問(wèn)2詳解】

①法一；

當(dāng)a=0時(shí)，"可沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)/（尤）（0,+"）單調(diào)遞增,

因?yàn)?(力=：%2-alnx<^x2-a(x

取=a+yjcr—2a>0，則

f(m)<—(a+Ja2_2a—a(a+Ja，-2a—1)=a(a+Ja--2a+3)<0,

又/(l)=g〉0,故存在唯一/e(根,1)，使得/(%)=0,符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，由⑴可知，“X)有唯一零點(diǎn)只需=

即4-色山口二。，解得a=e,

22

綜上，〃的取值范圍為（y,0）u{e}.

法二:

當(dāng)a=0時(shí)，”可沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意；

由/（力=0,得到二="，

2ax

令"（x）=與，則d（x）=l］皿,

當(dāng)龍式0,加）時(shí)，0'（力>0,則夕⑴在區(qū)間僅，血）單調(diào)遞增，

當(dāng)xe（加,+”）時(shí)，則9（x）在區(qū)間（五,+8）單調(diào)遞減,

又lim（p（x）=0,lim（p（x\=,

xf+oox->0+'

所以—<。或;=—，

la2a\）2e

即a<0或。=e,

綜上，a的取值范圍為（y,o）u{e}.

②由①得出a=e,

令/z(x)=xeX-2e(x-g](x〉0),則“(%)=(%+1戶一2e,

令g(x)=(x+l)e*—2e,則g'(x)=(x+2)e”>0恒成立，

所以〃(力單調(diào)遞增，又“⑴=0,

故當(dāng)龍e(0,1)時(shí)，//(x)<0,則人(%)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)XG(l,+oo)時(shí)，”(x)>0,則人(X)區(qū)間(1,+00)上單調(diào)遞增;

故人(%"/2⑴=0,所以g(x)=W>2e||,

e,

要證g(x)>/'(x)+4,只需證明2e1x-g)〉—(￡)+4=x-----1-4

x

即證(2e-1)%?—(e+4)x+e>0,

由A=12e+16-7e?=12e--e2+16--e2=e|12--e+16--e2

22I2J2

<e12-|x2.7+16-|x7.2<0,

所以(2e—l)f—(e+4)x+e>0成立，故不等式得證.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于第⑵問(wèn)中的②，構(gòu)造函數(shù)"(x)=xe=2e[x-；](x〉0),通

過(guò)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到〃(x)的最小值，從而得出g(x)=xe￡22e1x-J),通

過(guò)放縮，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明(2e—1)Y—(e+4)x+e>0,從而解決問(wèn)題.

19.已知有窮數(shù)列A:q,a2,,4("23)中的每一項(xiàng)都是不大于〃的正整數(shù).對(duì)于滿足的整數(shù)

加，令集合A(m)={《w=切，k=l,2,,〃}.記集合中