瓜何景值冏題候合

2

°機(jī)題型大集合

1、將軍飲馬類幾何最值

2、輔助圓類幾何最值

3、瓜豆原理類幾何最值

4、其他類幾何最值

籍優(yōu)色理一大一槎身

題型一:將軍飲馬類幾何最值

1.“兩定一動(dòng)”型將軍飲馬，

①異側(cè)型T直接連接,交點(diǎn)即為待求動(dòng)點(diǎn);后用勾股定理求最值

②同例型T對(duì)稱、連接;后續(xù)同上

2.“兩定兩動(dòng)”型：

①同HU型T先水平平移（往靠近對(duì)方的方向）、再對(duì)稱、最后連接;也可先對(duì)稱、再水平平移（往靠近

對(duì)方的方向）、最后連接;后續(xù)同上。

同m型異側(cè)型

②異便型T先水平平移（往靠近對(duì)方的方向）、再連接;后續(xù)同上。

【中考真題練】

、題目口（2023-瀘州）如圖，E,F是正方形ABCD的邊的三等分點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+

PF取得最小值時(shí)，霽■的值是1.

?M

【分析】找出點(diǎn)E關(guān)于？1C的對(duì)稱點(diǎn)E',連接FE'與AC的交點(diǎn)P'即為PE+PF取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的位

置，再設(shè)法求出照的值即可.

【解答】解:作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E',連接FE，交AC于點(diǎn)、P,連接PE',

:.PE=PE\

：.PE+PF=PE'+PF>E'F,

故當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，點(diǎn)P位于點(diǎn)P處，

當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，求名的值，只要求出誓二的值即可.

?.?正方形ABCD是關(guān)于所在直線軸對(duì)稱，

.?.點(diǎn)E關(guān)于AC所在直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)⑻在AD上，且A0=

過點(diǎn)F作FG_LAB交AC于點(diǎn)G,

則AGFA=90°,

四邊形ABCD是正方形，

ADAB=4B=90°,NCAB=AACB=45°,

FG//BC//AD,2AGF=4ACB=蛉,

：.GF=AF,

?：E,F是正方形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn),

：.AE'=AE=EF=FB,

GC=春4C,AE'_AE._1

oGFAF2，

AP_AE'_1

AG=

PCGF2

1192

AAP，=^AG=：xfAC=^-AC,

oooy

27

??.PfC=AC-APf=AC--^-AC=卷AC,

99

1AC

.AP=j2

.?p。一?！敢蝗f’

y

故答案為：

題目區(qū)（2023-德州）如圖，在四邊形ABCD中，/A=90°,AD〃BC,AB=3,BC=4,點(diǎn)E在AB上，且

AE^l.F,G為邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且FG=1.當(dāng)四邊形CGEE的周長(zhǎng)最小時(shí)，CG的長(zhǎng)為

15

4

【分析】先確定FG和EC的長(zhǎng)為確定的值，得到四邊形CGFE的周長(zhǎng)最小時(shí)，即為CG+EF最小時(shí)，平移

CG到CF，作點(diǎn)E關(guān)于AD對(duì)稱點(diǎn)E',連接E'C交AD于點(diǎn)G，,得到CG+EF最小時(shí)，點(diǎn)G與G，重合,

再利用平行線分線段成比例求出CG，長(zhǎng)即可.

【解答】解：ZA=90°,AD//BC,

：.ZB=90°,

；AB=3,BC=4,AE=1,

BE=AB—AE=3-1=2,

在Rt^EBC中，

由勾股定理，得EC=y/BE2+BC2=V22+42=2娓,

?：FG^1,

：.四邊形CGFE的周長(zhǎng)=CG+FG+EF+EC^CG+EF+1+275,

r.四邊形CGFE的周長(zhǎng)最小時(shí)，只要CG+EF最小即可.

過點(diǎn)F作FC//GC交BC于點(diǎn)。，延長(zhǎng)BA到￡7,使A?=AE=1,連接E'F,E'C，⑻。交AD于點(diǎn)G',

可得AD垂直平分0E,

E'F=EF,

?：AD//BC,

C'F=CG,CC'=FG=1,

：.CG+EF=C'F+E'F>E'C,

即CG+EF最小時(shí)，CG=C'G',

?：E'B=AB+AE'=3+1=4,BC'=BC-9=4—1=3,

由勾股定理,得EC=YEE+BC'2=A/42+32=5,

?/AG'IIBC,

.CG'AB即CG'3

E'CE'B'54'

解得。G=彗，

即四邊形CGFE的周長(zhǎng)最小時(shí)，CG的長(zhǎng)為-j-.

故答案為：絲.

4

題目回（2023?綏化）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)H為高BD上的動(dòng)點(diǎn).連接CE,將CE繞

點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF.連接則△CDF周長(zhǎng)的最小值是3+373.

A

F

B

【分析】分析已知，可證明ABCE篤AACF，得ACAF=NCBE=30°,可知點(diǎn)尸在△ABC外，使ACAF=

30°的射線4F上，根據(jù)將軍飲馬型，求得DF+CF的最小值便可求得本題結(jié)果.

【解答】解：???△ABC是等邊三角形，

AC=BC=6,NABC=NBCA=60°,

?：/ECF=60°,

AZBCE=60°-NECA=AACF,

；CE=CF,

：.△BCE篤△ACF(SAS),

/CAF=ACBE,

?：A4BC是等邊三角形，BD是高，

ACBE=^AABC=30°,CD=yAC=3,

過。點(diǎn)作GOLF,交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,延長(zhǎng)CG到H,使得GH=CG,連接AFI,DH,DH與AG交

于點(diǎn)/，連接CT,FH,

則2ACG=60°,CG=GH=^AC=3,

CH—AC—6,

：.△ACH為等邊三角形，

/.DH—CD,tan60°=3V3,

AG垂直平分CH,

：.CI=HI,CF=FH,

：.CI+DI=HI+DI=DH=3V3,

CF+DF^HF+DF>DH,

：.當(dāng)F與/重合時(shí)，即￡>、F、〃三點(diǎn)共線時(shí)，。歹+。F的值最小為：?！?。F=?！?3，9,

△CDF的周長(zhǎng)的最小值為3+3〃工

故答案為：3+33.

【中考模擬練】

題目?（2024?衡南縣模擬）己知:如圖，直線《=—2/+4分別與2軸，v軸交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)P（l,0）,若在

直線AB上取一點(diǎn)河，在V軸上取一點(diǎn)N,連接7WN、則MN+MP+NF的最小值是（）

2V5,V85C2底

BR1J++k+kc.kD.V10

【分析】作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E,點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F,連接EN,EM,EF,FM,FP,設(shè)FP交AB

于C,過點(diǎn)F作FDA_x軸于。,則EN=NP,FM=MP,FP±AB,OE=OP,FC=PC,MN+MP+

NP=MN+FM+EN,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得MN+FM+EN>EF,則MN+MP+NPAEF,因

此MN+MP+N尸的最小值為線段EF的長(zhǎng)；先求出點(diǎn)4(2,0),點(diǎn)B(0,4),則04=2,05=4,再由點(diǎn)P

(1,0)得OP=1,則OE=OP=1,PA=CM1—OP=1,再求出>18=2方,證4。力。-2\8?10得？。：

OB=PA:AB,由此得「。=35,則依=包5,再證△RFD?△A4O得如：OA^PD:OB=PF:

55

AB,由此可得FD=3，PD=±■，則ED=OE+OP+PD=￥■，然后在Rt/^FD中由勾股定理求出EF

555

即可得MN+MP+NP的最小值.

【解答】解:作點(diǎn)P關(guān)于沙軸的對(duì)稱點(diǎn)E,點(diǎn)、P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F,連接EN,EM,EF,FM,FP,設(shè)FP交

AB于。，過點(diǎn)F作FD±x軸于。，如圖所示：

則EN=NP,FM=MP,FP±AB,OE=OP,FC=PC,

：.MN+MP+NP^MN+FM+EN,

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得MN+FM+EN>EF,

：.MN+MP+NP^EF,

AW+MP+NP的最小值為線段EF的長(zhǎng)，

對(duì)于g——2x+4,當(dāng)rr=O時(shí)，沙=4,當(dāng)t=0時(shí)，c=2,

.?.點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(0,4),

/.OA—2,OB=4,

又?.?點(diǎn)P(1,0),

：.OP^1,

.?.OE=OP=1,PA=OA-OP=2—1=1,

在RtZXOAB中，OA=2,OB=4,

由勾股定理得：AB=VOA2+OB2=2V5,

???FP_LAB,FO_L/軸，ABOA=90°,

??.APCA=ABOA=ZPDF=90°,

又???APAC=ZBAO,

：./\PAC-/\BAO,

：.PC:OB=PA:AB,4Ape=AABO,

即PC:4=1:2a

：.PC=^~,

5

:.FC=PC=^^,

5

：.PF=FC+PC=^~,

5

???ZAPC=AABO,/.BOA=APDF=90°,

?:4PFD?叢BAO,

：.FD:OA=PD:OB=PF:AB9

即FD:2=PD:4=當(dāng)如函，

5

4s

:?FD=W，PD=亳,

.?.ED=OE+OP+PO=1+1+”學(xué),

55

在RiAEFD中，ED=當(dāng),FD=當(dāng),

55

由勾股定理得：EF=y/Elf+Flf="1.

5

故選：C.

題目回（2023?龍馬潭區(qū)二模）如圖，拋物線夕=—/_3c+4與，軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)人在點(diǎn)B的左側(cè)），與

y軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為一3,點(diǎn)E為沙軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，2為半

徑的圓上，則OE+EF的最小值體—2.

【分析】先求出點(diǎn)4一4,0）,點(diǎn)。（一3,4）,作點(diǎn)。關(guān)于9軸對(duì)稱的點(diǎn)T,則點(diǎn)T（3,4）,連接AE交與軸于7W,

交0A于N,過點(diǎn)T作TH_L2軸于H,連接AF,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)_M重合，點(diǎn)F與點(diǎn)N重合時(shí),DE+EF為最

小，最小值為線段TN的長(zhǎng)，然后可在Rt^ATH中由勾股定理求出TA,進(jìn)而可得TN,據(jù)此可得出答案.

【解答】解：對(duì)于9=—a?—3c+4,當(dāng)夕=0時(shí)，一/—3,+4=0,

解得:g=-4,◎=1,

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,0）,

對(duì)于g=-a?—3a;+4,當(dāng)rr=-3時(shí)，1y=4,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-3,4）,

作點(diǎn)。關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)T，則點(diǎn)T（3,4）,

連接AE交與軸于“，交0?1于N,過點(diǎn)T作TH_La;軸于H,連接

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)/■重合，點(diǎn)F與點(diǎn)N重合時(shí)，+EF為最小，最小值為線段TN的長(zhǎng).

理由如下：

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)加不重合，點(diǎn)?與點(diǎn)N不重合時(shí)，

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：DE=TE,

：.DE+EF—TE+EF,

根據(jù)''兩點(diǎn)之間線段最短”可知：TE+EF+AF>AT,

即：TE+EF+AF>TN+AN,

,/AF=AN=2,

：.TE+EF>TN,

即：DE+EF>TN,

：.當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)河重合，點(diǎn)F與點(diǎn)N重合時(shí)，DE+EF為最小.

?.?點(diǎn)7(3,4),4—4,0),

：.OH=3,TH=4,OA=4,

：.AH=OA+OH=7,

在Rt^ATH中，7,TH=4,

由勾股定理得：TA=y/AH2+TH2=V65,

TN=TA-AN=V65-2.

即DE+EF為最小值為A/65-2.

故答案為：，麗一2.

題目⑤（2024?碑林區(qū)校級(jí)一模）⑴如圖①，在放A4BC中，/ABC=90°,=6,BC=8,點(diǎn)。是邊AC

的中點(diǎn).以點(diǎn)A為圓心，2為半徑在△4BC內(nèi)部畫弧，若點(diǎn)P是上述弧上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),

求PQ+QO的最小值；

（2）如圖②，矩形ABCD是某在建的公園示意圖，其中AB=2006米，BC=400米.根據(jù)實(shí)際情況，需要

在邊DC的中點(diǎn)E處開一個(gè)東門，同時(shí)根據(jù)設(shè)計(jì)要求，要在以點(diǎn)力為圓心，在公園內(nèi)以10米為半徑的圓弧

上選一處點(diǎn)P開一個(gè)西北門，還要在邊上選一處點(diǎn)Q,在以Q為圓心，在公園內(nèi)以10米為半徑的半圓

的三等分點(diǎn)的A1、N處開兩個(gè)南門.線段是要修的兩條道路.為了節(jié)約成本，希望PA/+NE最

小.試求PN+NE最小值及此時(shí)BQ的長(zhǎng).

【分析】⑴作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),連接。’。、4P,過點(diǎn)。'作D'E_LAB交AB的延長(zhǎng)線于E,則QD

=QD',DK=D'K,當(dāng)A、P、Q、。在同一條直線上時(shí)，PQ+QD=AD'-AP取得最小值，由DK//AB,

可得△CDK?△CAB,運(yùn)用相似三角形性質(zhì)可得DK=3,CK=4,再由勾股定理即可求得答案；

⑵連接MQ,NQ,過點(diǎn)Q作。K_LAW于K,作點(diǎn)人關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)4,將E向左平移10米得到

點(diǎn)E',過點(diǎn)?作E'L〃AB,過點(diǎn)A'作A'L_LE'L于L,連接A'M,A'E'、E'M，由題意得隨著圓心Q在

BC上運(yùn)動(dòng)，AW在平行于BO且到距離為5g的直線上運(yùn)動(dòng)，再運(yùn)用勾股定理可得JW+NE最小值

=A'E-AP=（20V10ff-10）米；設(shè)E工與GH的交點(diǎn)、為T,過點(diǎn)Q作QK_LMN于K,由E'L//AAr,可

得AE'MT?△4MG，即可求得BQ的值.

7

【解答】解：⑴如圖①,作點(diǎn)、D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D',連接D'Q、AP,過點(diǎn)。作D'E_LAB交AB的延長(zhǎng)線

于E,

則QD=QD,DK=UK,

：.PQ+QD^PQ+QD'AQ-AP+QD',

當(dāng)4、0、。、。在同一條直線上時(shí)，。0+(2。=4。一4。取得最小值,

?/NABC=90°,AB=6,BC=8,

AC=y/AB2+BC2=V62+82=10,

?.?點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn)，

.-.CD=yAC=5,

?：DKHAB,

：.△CDK?△CAB,

.DKCKCD由DKCK5

"ABBCAC6810'

；.DK=3,CK=4,

DK=3,BK=4,

?：NE=4EBK=ABKD'=90°,

四邊形BEZ7K是矩形，

D'E=BK=4,BE=DK=3,

AE=AB+BE=6+3=9,

AD'=NAE=DE2=V92+42=V97,

?/AP=2,

?。+(2。的最小值=，”一2;

⑵如圖②，連接MQ,NQ,過點(diǎn)Q作QK，7W于K,作點(diǎn)A關(guān)于直線上W的對(duì)稱點(diǎn)4,將E向左平移10

米得到點(diǎn)E'，過點(diǎn)￡7作E'L//AB,過點(diǎn)4作A'L_LE'L于L,連接A'M,A'E'、E'M,

.?M、N是半圓。的三等分點(diǎn)，且半徑為10,

二△QMV為等邊三角形，且兒W〃BC,10,

?/QK±MN,QM=10米，

.?.QK=54米，

隨著圓心Q在BC上運(yùn)動(dòng)，上W在平行于且到BC距離為5〃^的直

線上運(yùn)動(dòng)，

?/EE'//MN且EE'=MN=10米,

四邊形碰力WN是平行四邊形，

：.NE=ME',

：.PM+NE=PM+ME'>AM-AP+ME'=AM+ME'-10,

是CD的中點(diǎn)，

：.DE^^-CD^W0V3,

■.E'L=AA'-DE=2(AB-QK)-DE=2x(200V3-5A/3)-10073=2906(米)，

A'L=BC-E'E=400-10=390(米)，

在Rt^A'E'L中,AE=y/Al}+E'I?=V3902+(290V3)2=20V10TT,

PM+NE最小值=A'E-AP=(20V101T-10)米；

此時(shí)4MNQ在如圖③的^M'N'Q位置,

設(shè)E工與GH的交點(diǎn)、為T,過點(diǎn)。作心長(zhǎng),人亞于K,

?/NCBG=ZBGK=AGKQ=90°,

.?.四邊形BGKQ是矩形，

ABQ=GK,

■：E'L//AA',

：.WMT?AA'MG,

.MT=E'T

’.礪一而

?/MT=390-MG,E'T=EH=100V3-573=956（米），A'G=AG=

200V3-5V3=195V3?）,GT=390米,

?390-MG=95V3

"MG—195V3，

...板=1|副米），

GK=GM+MK=胃*+5=與熱（米）,

2929

...BQ=GK=喀米,

當(dāng)PA/+NE取最小值時(shí)，BQ的長(zhǎng)為焉2米.

題目⑦（2023-臥龍區(qū)二模）綜合與實(shí)踐

問題提出

（1）如圖①，請(qǐng)你在直線I上找一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)力和B的距離之和最小，即P4+PB的和最小

（保留作圖痕跡,不寫作法）；

思維轉(zhuǎn)換

（2）如圖②，已知點(diǎn)E是直線Z外一定點(diǎn)，且到直線I的距離為4,是直線Z上的動(dòng)線段，MV=6,連接

ME,NE,求A1E+NE的最小值.小敏在解題過程中發(fā)現(xiàn):“借助物理學(xué)科的相對(duì)運(yùn)動(dòng)思維，若將線段7WN

看作靜線段，則點(diǎn)E在平行于直線I的直線上運(yùn)動(dòng)”，請(qǐng)你參考小敏的思路求ME+NE的最小值；

拓展應(yīng)用

（3）如圖③，在矩形ABCD中，AO=2AB=2^/5,連接BD,點(diǎn)、E、F分別是邊BC、AO上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=

AF,分別過點(diǎn)E、F作EM±BD,FN±BD,垂足分別為M、N,連接、AN,請(qǐng)直接寫出△AMN周長(zhǎng)

的最小值.

B

A.

圖①

BEC

圖③

【分析】（1）作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短解題即可；

（2）＜M、N看作定點(diǎn)，E看作動(dòng)點(diǎn)，由⑴作法可解：

（3）由相似得出兒W為定值，再根據(jù)（2）作法求出AW+AN的最值，即可解答.

【解答】解：⑴如圖①，則點(diǎn)P為所求.

做法：作點(diǎn)A關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)4,

連接4B交，于點(diǎn)P,由對(duì)稱得AP=A'P,

：.AP+BP^ArP+BP,

?.?兩點(diǎn)之間線段最短，

A,P+BP最短，即PA+PB的和最小.A'

圖①

⑵如圖②，過點(diǎn)E作直線卬7Z,作點(diǎn)N關(guān)于Zi的對(duì)稱點(diǎn)N',連接MN「交卜于點(diǎn)、P,

則PA/+PN的值即是EM+EN的最小值，

?.?點(diǎn)E到直線，的距離為4,

NN'=8,

,:MN=6,

：.MN'=-Je2+82=10,

.?.PA1+PN=1O,即ME+NE的最小值為10.

⑶如圖③，過A作/〃BD,Aff_LBD于點(diǎn)H,作點(diǎn)Al關(guān)于Z的對(duì)稱點(diǎn)W,連接M'N,

由（2）得ATN為力A1+AN的最小值，

10

Mf

BD=V(V5)2+(2V5)2:5,

...AH=娓*邛=2,

5

??.MM，=4,

設(shè)ME=x,

由dABD?/\BME得，BM=2x,BE=,

AF=A/5X,

：.DF=2A/5—V5x,

由/\DNF?/\ABD得，DN=4—2%,

MN—5—2x—(4—2劣)=1,

?：l//BD,MMf_Ll,

：.MMf.LBD,

??.MW=V42+12=V17,

???ZVIMN周長(zhǎng)的最小值為，17+1.

題型二:輔助圓類幾何最值

動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為輔助19的三種形式：

1、定義法一一若一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離恒等于固定長(zhǎng),則該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的

圓（或圓?。?/p>

2、定邊對(duì)直角一一若一條定邊所對(duì)的“動(dòng)角”始終為直角，則直角頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以該定邊為直徑的圓

（或圓?。?/p>

3.定邊對(duì)定角一一若一條定邊所對(duì)的“動(dòng)角”始終為定角，則該定角頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以該定角為圓周

角，該定邊為弦的圓（或圓弧）

【中考真題練】

版目叵〕（2023?黑龍江）如圖，在Rt/\ACB中，ABAC=30°,CB=2,點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn),把Rt/\ABC

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得Rt/XAFD，點(diǎn)。，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D,點(diǎn)、F,連接CF,EF,CE,在旋轉(zhuǎn)

的過程中，△CEF面積的最大值是4+V3.

【分析】線段CE為定值，點(diǎn)F到CE距離最大時(shí)，△CEF的面積最大，畫出圖形，即可求出答案.

【解答】解：；線段CE為定值，

.?.點(diǎn)尸到CE的距離最大時(shí)，△CEF的面積有最大值.

在Rt^ACB中，ZBAC=30°,E是AB的中點(diǎn)，

...AB=2BC=4,CE=AE=^-AB=2,AC=AB?cos30°=2^/3,

A/ECA=/BAC=30°,

過點(diǎn)力作AG_LCE交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

AG=^-AC=V3,

?.?點(diǎn)F在以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓上，

AF-AB—4,

.?.點(diǎn)F到CE的距離最大值為4+四，

SACEF---CE'(4+V3)=4+V3,

故答案為：4+遍.

【中考模擬練】

題目?（2023?永壽縣二模）如圖，在正方形ABCD中，AB=4,M■是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)P是。。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

【分析】因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓外角小于圓周角，因此過點(diǎn)A、”作◎O與CD相切于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P'

處時(shí)，AAP'M的度數(shù)最大，記4M■的中點(diǎn)為N,可以證出四邊形OPDN是矩形,在RtAMON中，利用勾

股定理求出ON,從而得出DP的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CP的長(zhǎng).

【解答】解:過點(diǎn)4M■作?O與CD相切于點(diǎn)P,記與OO交于點(diǎn)Q,連接AP,W,OM,OP',

AQ,

則NAP，M=AAQM>AAPM,/OPO=90°,

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí),乙4PM最大,

作ON_LAD于點(diǎn)、N,

則

-.?四邊形ABCD是正方形，

/。=90°,

四邊形OP'DN是矩形,

?：AB-4,M是AD的中點(diǎn)，

AM=DM=2,MN=1,

：.OM=OP'=DN=DM+MN=3,

在Rt/\MON中,

ON=-JOM'2-MN2=V32-l2=2V2,

：.DP'=ON=2V2,

CP，=DC-DP=4-20

：.當(dāng)/APA/的度數(shù)最大時(shí)，CP的長(zhǎng)為4-2V2.

故答案為：4一22.

題目①（2023?營(yíng)口一模）如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形ADE,點(diǎn)N,點(diǎn)〃■分別為反7,OE的中點(diǎn),

AB=6,AO=4,4ADE繞點(diǎn)人旋轉(zhuǎn)過程中，的最大值為5上.

A

BNC

【分析】分析題意可知，點(diǎn)M是在以AW為半徑，點(diǎn)A為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，連接4V,以AW為半徑，點(diǎn)

A為圓心作圓，反向延長(zhǎng)AN與圓交于點(diǎn)心，以此得到M、4N三點(diǎn)共線時(shí)，上W的值最大，再根據(jù)勾股定

理分別算出AM,AN的值，則MN的最大值上TN=AN+AM'AN+AM.

【解答】解:連接AN,AM,以AM為半徑，點(diǎn)A為圓心作圓，反向延長(zhǎng)AN與圓交于點(diǎn)如圖，

?.?△ADE繞點(diǎn)人旋轉(zhuǎn)，

???點(diǎn)M是在以AW為半徑，點(diǎn)人為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，

VAM+AN>MN,;''、

二當(dāng)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到即三點(diǎn)共線時(shí)，上W的值最大，最大為W,：.'、、

?.?△ABC和△ADE都是等邊三角形，；A.；

點(diǎn)N,點(diǎn)M■分別為的中點(diǎn)，AB=6,AD=4,\>

：.AN±BC,AM±DE,BN=3,DM=2,//：\\/^

在RtAABN中，由勾股定理得AN=dA將—BN?=33,/

D

在RtdADM中，由勾股定理得=YAEP—DM11=2瓜,/y\

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，4^=4^=2，，BNC

：.M'N=AN+AAT=5g,即ACV的最大值為573.

故答案為：5遍.

題目①（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）如圖，半徑為4的。。中，CD為直徑,^AB±CD且過半徑QD的中點(diǎn),

點(diǎn)E為。。上一動(dòng)點(diǎn)，CF，AE于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)

D

【分析】由ZAFC=90°,得點(diǎn)F在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)、E與B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與G重合，當(dāng)點(diǎn)

E與。重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與A重合，則點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為AG

的長(zhǎng)，然后根據(jù)條件求出念所在圓的半徑和圓心南，從而解決問題.

【解答】解：-：CF±AE,

：./AFU=90°,

.?.點(diǎn)F在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

以AC為直徑畫半圓AC,連接OA,

c

當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)尸與G重合，

當(dāng)點(diǎn)E與。重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與人重合，

.?.點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)?所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為念的長(zhǎng),

?.?點(diǎn)G為。。的中點(diǎn)，

0G=]0D=]a4=2,

OG±AB,

：.AAOG=60°,AG=26，

■：OA=OC,

：./ACG=30°,

AC=2AG=4通，

念所在圓的半徑為2盜，圓心角為60°,

.../的長(zhǎng)為60萬>26=可配

1803，

故答案為：苦工.

O

題目電（2024?蘭州模擬）綜合與實(shí)踐

【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，“希望小組”的同學(xué)們以三角形為背景，探究圖形變化過程中的幾何問

題，如圖，在△ABC中，AB=AC,/B4C=90°,點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)三點(diǎn)不共線），AE為

△4BD的中線.

【初步嘗試】⑴如圖1,小林同學(xué)發(fā)現(xiàn):延長(zhǎng)AE至點(diǎn)使得ME=4E,連接DM.始終存在以下兩個(gè)結(jié)

論，請(qǐng)你在①，②中挑選一個(gè)進(jìn)行證明：

①DM=力。；②ZMDA+NDAB=180°；

【類比探究】（2）如圖2,將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AF,連接CF.小斌同學(xué)沿著小林同學(xué)的思考進(jìn)

一步探究后發(fā)現(xiàn):請(qǐng)你幫他證明；

【拓展延伸】（3）如圖3,在（2）的條件下，王老師提出新的探究方向：點(diǎn)。在以點(diǎn)人為圓心，AD為半徑的圓

上運(yùn)動(dòng)（AD>AB）,直線AE與直線CF相交于點(diǎn)G,連接BG,在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中BG存在最大值.若

AB=4,請(qǐng)直接寫出BG的最大值.

圖1圖2圖3

【分析】（1）利用SAS證明AABE空AMDE,可得AB=DM，再結(jié)合48=A。，即可證得DM=AC;由全

等三角形性質(zhì)可得=/DME,再運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)即可證得ZMDA+ZDAB=180°;

（2）延長(zhǎng)AE至點(diǎn)”,使得ME=AE,連接DM.利用SAS證得A4CFn4DMA，可得CF=AM,再由

AE=^-AM，可證得AE=^-CF;

14

⑶延長(zhǎng)DA至7W,使AM^AO,設(shè)AM■交CF于N,連接BM文CF于K,取AC中點(diǎn)P,連接GP,可證得

△ACFAABM(SAS)，利用三角形中位線定理可得AB〃,即AG〃國(guó)Vf,利用直角三角形性質(zhì)可得

GP=]AC=34B=2,得出點(diǎn)G在以P為圓心，2為半徑的0P上運(yùn)動(dòng)，連接BF并延長(zhǎng)交?P于G，,

可得的長(zhǎng)為BG的最大值，再運(yùn)用勾股定理即可求得答案.

【解答】(1)證明：①：AE為△ABD的中線，

:?BE=DE,

BE=DE

在AABE和/\MDE中，(AAEB=/.MED,

、AE=ME

：./\ABE空/XMDE(SAS),

??.AB=DM,

???AB=ACf

：.DM=AC;

②由①次口4ABE卷/XMDE,

???/BAE=/DME,

??.AB//DM,

??.AMDA+/DAB=180°;

⑵證明：延長(zhǎng)AE至點(diǎn)M,使得ME=AE,連接DM.

由旋轉(zhuǎn)得：AF=AD,ADAF=9Q°,

???ZBAC=90°,ADAF+ZBAC+ABAD+ZCAF=360°,

??.ABAD^rACAF=180°,

由⑴②得：AMDA+ADAB=180°,DM=AB=AC,

：.ACAF=AMDA,

AF=AD

在ZVICF和ADMA中,ACAF=AMDA,

圖2

AC=DM

4ACF型^DMA(SAS),

：.CF^AM,

■：AE^^AM,

AB制CF;

⑶如圖3,延長(zhǎng)D4至Al,使⑷設(shè)力Al交CF于N,連接交OF于K,取力。中點(diǎn)P,連接GP,

由旋轉(zhuǎn)得：4F=AD,ADAF=90°,

AF^AM,ZAMF=180°-90°=90°,

/BAG=90°,

AAMAF+NCAM=ABAC+ACAM,

即/CAF=/BAM,

'AC=AB

在ZVICF和/\ABM中，，ZCAF=ABAM,

.AF^AM

：.A4CF空AABM(SAS),

ANAFC=NAMB,即NAFN=ZKMN,

?/NANF=NKNM,

：.ZFAN=4MKN=90°,

：.BM±CF,

?：E、A分別是DB、DM的中點(diǎn),

AE是ABDM的中位線，

：.AE//BMAG//BM,

：.AG±CF,

：./AGO=90°,

?.?點(diǎn)尸是AC的中點(diǎn),

GP=yAB=2,

.?.點(diǎn)G在以P為圓心，2為半徑的?P上運(yùn)動(dòng)，

連接BP并延長(zhǎng)交OP于G，

的長(zhǎng)為BG的最大值，

在Rt/\ABP中，BP=y/AB2+AP2=V42+22=275,

：.BG=BP+PG=2弱+2,

：.BG的最大值為2V5+2.

題型三:瓜豆原理類幾何最值

大概動(dòng)點(diǎn)問題符合瓜豆原理的模型時(shí)，也可以和幾何最值結(jié)合

【中考真題練】

題目H（2022?沈陽）【特例感知】

（1）如圖1,/\AOB和ACOD是等腰直角三角形，AAOB=ZCOD=90°,點(diǎn)。在OA上，點(diǎn)。在30的延

長(zhǎng)線上，連接線段AD與BC的數(shù)量關(guān)系是AD=BC；

［類比遷移］

（2）如圖2,將圖1中的△8D繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?（0°<?<90°），那么第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？

如果成立，證明你的結(jié)論;如果不成立，說明理由.

【方法運(yùn)用】

（3）如圖3,若AB=8,點(diǎn)C是線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，AC=3一,連接

①若將CB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD,連接AD,則AD的最大值是8+3—；

②若以BC為斜邊作放△58（5,C,。三點(diǎn)按順時(shí)針排列），/。￡歸=90°,連接AD,當(dāng)=

=30°時(shí),直接寫出AD的值.

【分析】（1）證明△AOD空4BOC（SAS），即可得出結(jié)論;

16

（2）利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可證得ABOC=/AQD,再證明AAODgABOC（SAS），即可得出結(jié)論；

（3）①過點(diǎn)A作AT_LAB,使AT=AB,連接BT,AD,OT,BD,先證得/\ABC?△TBD，得出DT=

36，即點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是以T為圓心，3函為半徑的圓，當(dāng)。在4r的延長(zhǎng)線上時(shí)，AO的值最大，最大值

為8+3函；

②如圖4,在上方作NABT=30°，過點(diǎn)A作AT_L于點(diǎn)T,連接AD、BD、DT,過點(diǎn)T作TH_L

AD于點(diǎn)H,可證得ABAC-/\BTD，得出。T=乎人。=笄x3g="|■，再求出DH、,即可求得

AD;如圖5,在AB下方作/ABE=30°,過點(diǎn)A作AE_LBE于點(diǎn)E,連接DE，可證得ABAC?/\BTD,得

出OE="|■，再由勾股定理即可求得AD.

【解答】解：(1)4D=BC.理由如下：

如圖1,△AQB和△COD是等腰直角三角形，AAOB=ZCOD=90°,

：.OA=OB,OD=OC,

在AA。。和中，

rOA=OB

-ZAOD=ZBOC=90°

OD=OC,

AAOD篤ABOC(SAS),

：.AD=BC,

故答案為：AD=BC;

(2)AD=BC仍然成立.

證明：如圖2,?.?乙4QB=/CQD=90°,

AAAOB+/AOC=AAOC+2cOD=90°+a,

即NBOC=ZAOD,

在AAOD和9。。中，

'OA=OB

<ZA0D=ZB0C

OD=OC,

AAOD空ABOC(SAS),

AD=BC;

(3)①過點(diǎn)A作4T_L4B,使4T=AB,連接BT,AD,DT,BD,

?：&4BT和ACBD都是等腰直角三角形，

BT=42AB,BD=V2BC,NABT=ACBD=45°,

二墨=器=①"BC=Z.TBD,

4ABC?4TBD,

.DT=BT=^

"ACABV，

DT=V2AC=V2X3V3=3V6,

?/AT=AB=8,DT=3捉,

.?.點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以T為圓心，3函為半徑的圓，

當(dāng)。在AT的延長(zhǎng)線上時(shí)，4D的值最大，最大值為8+30，

故答案為：8+3，機(jī)

②如圖4,在上方作ZABT=30°,過點(diǎn)A作AT_L于點(diǎn)T,連接AD、BD、DT,過點(diǎn)T作TH_L

???

AD于點(diǎn)H,

粵=需=cos30°=率,/ABC=Z.TBD=30°+ATBC,

AB2

.?.△BAG?ABTD,

.DT_BD_聰

：.DT=^-AC=^-

在Rt/\ABT中，AT=AB-sin/ABT=8sin30°=4,

?/ABAT=90°-30°=60°,

NTAH=ZBAT-NDAB=60°-30°=30°,

?：TH±AD,

TH=AT?sinATAH=4sin30°=2,AH=AT*cosZTAH=4cos30°=2V3,

在Rt/\DTH中，DA=VDT2-TH2

AAD=AH+DH^2V3+;

如圖5,在AB上方作/ABE=30°,過點(diǎn)人作AE_LBE于點(diǎn)E,連接DE,

廟］BEBDo

則衣=^=c°s3Q0n=

?/NEBD=ZABC=/ABD+30°,

:.ABDE?ABCA,

.DE=BE=V3

,?密―布一丁

...。豆=卓人。=乎x3/=今，

NBAE=90°-30°=60°,AE=AB-sin30°=8x9=4,

/DAE=NDAB+/BAE=30°+60°=90°,

AD=VDE2-AE2=)2-『=呼；

綜上所述，AD的值為20+呼或呼.

【中考模擬練】

題目口。（2023?金平區(qū)三模）如圖,長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6,BC=詈，￡為3。上一點(diǎn)，且

為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EF,將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置,連接FG和CG，則CG的

最小值為y+3A/2.

D

【分析】如圖，將線段BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得至I線段ET,連接DE交CG于J.首先證明AETG=

90°,推出點(diǎn)G的在射線TG上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)CGJ_TG時(shí)，CG的值最小.

【解答】解:如圖，將線段BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段ET,連接DE交CG于J.

?.?四邊形ABCD是矩形，

"B=CD=6,2B=ZBCD=90°,

?：/BET="EG=45°,

NBEF=Z.TEG,

,:EB=ET,EF=EG,

：.^EBFWAETG(SAS),

NB=NETG=90°,

.?.點(diǎn)G在射線TG上運(yùn)動(dòng)，

A當(dāng)CG_LTG時(shí)，CG的值最小,

■：BC=^-,BE=^,CD=&,

:.CE=CD=6,

:.NCED=/BET=45°,

：.ZTEJ=90°=ZETG=AJGT=90°,

r.四邊形ETGJ是矩形，

：.DE//GT,GJ=TE=BE=^-,

：.CJ±DE,

：.JE=JD,

:.CJ=%DE=3版,

：.CG=CJ+GJ=y+3A/2,

CG的最小值為+3A/2^,

故答案為：+3^/2^.

目（2023?