學(xué)習(xí)任務(wù)3水文統(tǒng)計(jì)的基本方法

§3-1概述§3-2概率的基本概念與定理§3-3隨機(jī)變量的概率分布及其統(tǒng)計(jì)參數(shù)3.1概述3.1.1水文現(xiàn)象的隨機(jī)性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律

水文現(xiàn)象是自然現(xiàn)象的一種，在其發(fā)生和演變過程中，包含著必然性的一面，也包著偶然性的一面。

必然現(xiàn)象是在一定條件下，必然出現(xiàn)或不出現(xiàn)的現(xiàn)象。偶然現(xiàn)象是在一定條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，也稱隨機(jī)現(xiàn)象。3.1.2水文統(tǒng)計(jì)及其任務(wù)隨機(jī)現(xiàn)象所遵循的規(guī)律稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律，研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)科稱為概率論，而由隨機(jī)現(xiàn)象的一部分試驗(yàn)資料去研究全體現(xiàn)象的數(shù)量特征和規(guī)律的學(xué)科稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)。

一些水文現(xiàn)象具有一定的隨機(jī)性，用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來分析研究這些現(xiàn)象稱為水文統(tǒng)計(jì)學(xué)。水文統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù)

利用所獲得的水文、氣象資料，研究和分析隨機(jī)水文現(xiàn)象（如河川徑流）的統(tǒng)計(jì)變化規(guī)律，并以此為基礎(chǔ)，對其未來的長期變化作出概率意義下的定量預(yù)估，為水利工程的規(guī)劃、設(shè)計(jì)、施工和運(yùn)行管理提供水文依據(jù)。譬如：某流域修建一個(gè)水庫，其規(guī)模取決于水庫運(yùn)行期間(未來100年)的徑流和洪水的大小。但是，未來100年的徑流和洪水有多大？必須做出估計(jì)。水文統(tǒng)計(jì)的基本方法和內(nèi)容

根據(jù)已有的資料（樣本），進(jìn)行頻率計(jì)算，推求指定頻率的水文特征值；

研究水文現(xiàn)象之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，應(yīng)用這種關(guān)系延長、插補(bǔ)水文特征值和作水文預(yù)報(bào)。水文統(tǒng)計(jì)對水文資料的要求：1.可靠性以實(shí)測水文數(shù)據(jù)為資料，一般可直接應(yīng)用。2.一致性指同一系列水文資料屬于同一類型、同一條件下產(chǎn)生的。如：日平均流量和月平均流量。3.代表性水文統(tǒng)計(jì)分析是利用已知水文資料推求可能水文情勢，資料實(shí)測系列越長，代表性越好。3.2.1事件隨機(jī)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)或不可能出現(xiàn)的事情，稱之為事件。3.2概率的基本概念與定理事件按照其發(fā)生的可能性大小分為三類：（1）必然事件。即在一定條件下肯定會(huì)發(fā)生的事件。（2）不可能事件。即在一定條件下肯定不會(huì)發(fā)生的事件。（3）隨機(jī)事件。即在一定的條件情況下有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的事件。3.2.2概率1、定義：概率就是用來描述某一隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)。2、隨機(jī)事件的概率計(jì)算公式式中P（A）—在一定條件下隨機(jī)事件A發(fā)生的概率；

n—在試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；

K—在試驗(yàn)中屬于事件A的結(jié)果數(shù)?！?/p>

0≤K≤n∴0≤P（A）≤1P（A）=0；P（A）=1（3-1）不可能事件必然事件例：箱子里有黃球4個(gè)，白球1個(gè)，每次摸到白球的概率為

…

3…2…

…5…0…

…0…5…例：某條河流某斷面的流量出現(xiàn)大于等于20m3/s的概率為

n=？簡單隨機(jī)事件復(fù)雜隨機(jī)事件不知道1/52/5013.2.3頻率1、頻率計(jì)算公式：設(shè)隨機(jī)事件A在n次隨機(jī)試驗(yàn)中，實(shí)際出現(xiàn)了m次，則稱為隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。例：隨機(jī)事件A：某條河流某斷面出現(xiàn)大于等于20m3/s的流量。（1）做隨機(jī)實(shí)驗(yàn)兩次，分別測得流量為5.1m3/s、16m3/s。

（2）做隨機(jī)實(shí)驗(yàn)三次，分別測得流量為5.1m3/s、16m3/s、21m3/s。2、頻率和概率的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：概率是抽象數(shù)．是個(gè)理論值；頻率是具體數(shù)，是個(gè)經(jīng)驗(yàn)值。聯(lián)系：頻率隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多而逐漸穩(wěn)定．并趨近于概率。實(shí)驗(yàn)者擲硬幣次數(shù)正面出現(xiàn)的次數(shù)正面出現(xiàn)的頻率

蒲豐（Buffon)404020480.5069

皮爾遜（K.Pearson)1200060190.5016

皮爾遜（K.Pearson）24000120140.5005頻率越接近概率0.5表3-1擲幣實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)正面的頻率3.累積頻率：等量或超量值隨機(jī)變量頻率的累積值4.重現(xiàn)期定義：所謂重現(xiàn)期，是指某隨機(jī)事件在長期過程中平均是多少年比現(xiàn)一次，稱為“多少年一遇”，用字母T表示。根據(jù)研究問題的性質(zhì)不同，頻率P與重現(xiàn)期T的關(guān)系有兩種表示方法：（1）在研究暴雨洪水問題時(shí)，一般設(shè)計(jì)頻率P＜50％，則:

式中：T——重現(xiàn)期，年；

P——頻率，％。

（年）例：P=0.1%則

P=5%則

T=20年二十年一遇的洪水（2）在研究枯水問題時(shí)，一般設(shè)計(jì)頻率P＞50％，則例：P=75%

則

P=80%

則

P=20%

則

T=1000年千年一遇的洪水

T=5年五年一遇的洪水T=4年四年一遇的枯水T=5年五年一遇的枯水3.3.1隨機(jī)變量1、定義：（1）隨機(jī)變量：將隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果用一個(gè)變量表示，其取值隨每一次實(shí)驗(yàn)不同而不同，且每一個(gè)取值都對應(yīng)一定的可能性，這種變量就稱為隨機(jī)變量。（2）總體：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把隨機(jī)變量所取數(shù)值的全體稱為總體。（3）樣本：從總體中任意抽取的一部分稱為樣本。（4）樣本容量：樣本的項(xiàng)數(shù)稱為樣本容量。3.3隨機(jī)變量的概率分布及其統(tǒng)計(jì)參數(shù)3.3.2隨機(jī)變量的概率分布1、離散型隨機(jī)變量的概率分布

隨機(jī)變量各個(gè)取值與其概率之間的一一對應(yīng)關(guān)系，稱為隨機(jī)變量概率分布或分布律。

離散型隨機(jī)變量X的概率分布可表示為

P（X=xi)=pi(

i=1,2…)也可用表格或圖來表示。離散型隨機(jī)變量及其概率分布表Xx1x2……xi

……P(X=xi)p1p2……pi……2、連續(xù)型隨機(jī)變量的頻率分布

對于連續(xù)型隨機(jī)變量，無法研究個(gè)別值的概率，只能研究某個(gè)區(qū)間的概率，或是研究隨機(jī)變量X取值大于或等于某一數(shù)值的概率分布，即P（X≥xi）。有時(shí)也研究X的取值小于等于某值的概率，即P（X≤xi）。后面二者可以相互轉(zhuǎn)換，水文統(tǒng)計(jì)中常用X≥xi

的概率及其分布。另外，在水文上遇到的都是樣本資料，通常要用樣本的頻率分布規(guī)律去估計(jì)總體的概率分布規(guī)律，所以重點(diǎn)研究隨機(jī)變量X≥xi的頻率分布。【例3-1】已知某雨量站1935～1998年共64年的年降水量，如表3-2所示，試分析該樣本系列的頻率分布規(guī)律。表3-2某站年降水量（單位：mm）年份年降水量年份年降水量年份年降水量年份年降水量年份年降水量1935476194828519615491974841198755619364861949528196270219753861988526193790519505831963563197656519895481938207195161819646121977623199062719394721952388196576019785581991672194051319536091966658197958519925141941598195481719675281980784199334619425801955464196880219815611994530194343619566261969554198248819954911944229195744619706431983543199651219453281958457197159219846291997726194633119596411972586198541019985451947430196048119737451986663

表3-3某站年降水量分組統(tǒng)計(jì)

序號年降水量(組距⊿x=100mm)各組出現(xiàn)次數(shù)(次)累積出現(xiàn)次數(shù)(次)各組出現(xiàn)頻率pi(%)累積頻率p(%)組內(nèi)平均頻率密度pi/⊿x(10-4/mm)①②③④⑤⑥⑦1900~999111.61.61.62800~899344.76.34.73700~799597.814.17.84600~699122118.732.818.75500~59923443668.8366400~499125618.787.518.77300~3995617.895.37.88200~2993644.71004.7總計(jì)641004/64+0.047/100圖3-1某站年降水量頻率分布直方圖（頻率密度圖）年降雨量x(mm)頻率密度pi/△x（10-4/mm)根據(jù)表3-3中②欄和⑦欄繪成累積頻率p(%)年降雨量x(mm)圖3-2

某站年降水量累積頻率分布圖根據(jù)表3-3中②、⑥欄繪成，簡稱頻率曲線。3.3.3隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)1.樣本均值（算術(shù)平均數(shù)）表示樣本系列的平均情況，反映系列總體水平的高低。2.均方差和變差系數(shù)（1）均方差均方差則表示系列中各個(gè)值相對于均值的離散程度。例：甲系列：10、30、50

乙系列：1、30、59均方差的計(jì)算公式為代入以上公式得例：甲1系列5、20、35

乙1系列1985、2000、2015說明該兩系列各值相對均值的離散程度相同嗎？（2）變差系數(shù)CV（離差系數(shù)）可比較均值不等的系列的離散程度，計(jì)算公式為式中，ki為模比系數(shù)，。代入以上公式得3.偏差系數(shù)Cs（偏態(tài)系數(shù)）反映系列中各值在均值兩側(cè)分布是否對稱或不對稱（偏態(tài)）程度的一個(gè)參數(shù)，計(jì)算式為:

Cs=0，正態(tài)分布；隨機(jī)變量在均值兩邊對稱分布。Cs>0，正偏分布；取值大于均值的機(jī)會(huì)比取值小于均值的機(jī)會(huì)少。Cs<0，負(fù)偏分布。取值大于均值的機(jī)會(huì)比取值小于均值的機(jī)會(huì)多。愈大，隨機(jī)系列不對稱的程度愈大。Cs

＞

0Cs＝0Cs

＜

0Cs對密度曲線的影響

例：甲21、2、10、18、19

乙21、10、12、13、14

丙26、7、8、10、19正態(tài)分布負(fù)偏正偏例題1：兩系列：甲---5，10，15；

乙---1，10，19。比較其離散程度。解：

表明：乙系列的離散程度大于甲系列

均值相同時(shí)，均方差可以反映其離散程度；但均值不同時(shí)，卻無法比較-----因此，引入離差系數(shù)（變差系數(shù)）解：

表明：甲系列的離散程度大于乙系列

我國降水量與徑流量的變差系數(shù)，一般是南方小，北方大；沿海小，內(nèi)陸大；平原小，山區(qū)大。在0.2～1.5之間變差系數(shù)

例題2：比較兩系列的離散程度：

甲---5，10，15；乙---995，1000，1005?！纠?-2】某站有1957~1980年共24年的年降水量資料如表3-4中①、②欄，經(jīng)審查其代表性較好，試計(jì)算該樣本資料的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。年份Xi(mm)序號Xi(mm)ki-1(ki-1)2(ki-1)3+-①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩195774518411.470.470.22090.10384195884127841.370.370.13690.05078195938637451.310.310.09610.029812196056546721.180.180.03240.005816196162356631.160.160.02560.004120196255866291.10.10.010.00124196358576271.10.10.010.00128196478486231.090.090.00810.000732196556195851.020.020.00040361966488105650.990.010