2.4

正態(tài)分布1.正態(tài)曲線

(2)如圖,隨機(jī)變量X落在區(qū)間(a,b]的概率為

2.正態(tài)分布一般地,如果對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)μ,σ確定,因此正態(tài)分布常記作

N(μ,σ2).如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,那么記為

X~N(μ,σ2).其中μ是隨機(jī)變量X的均值,σ是隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.【思考1】

參數(shù)μ,σ在正態(tài)分布中的實際意義是什么?提示:參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù),可以用樣本的均值去估計;σ是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù),可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計.【思考2】

對于固定的μ,σ的變化對隨機(jī)變量取值在(μ-σ,μ+σ)上取值的概率有何影響?提示:從正態(tài)曲線可以看出,對于固定的μ和σ而言,隨機(jī)變量取值在(μ-σ,μ+σ)上取值的概率隨著σ的減小而增大.這說明σ越小,X取值落在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)的概率越大,即X集中在μ周圍的概率越大.答案:D3.正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方,與x軸不相交;(2)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱;(4)曲線與x軸之間的面積為1;(5)當(dāng)σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖①;(6)當(dāng)μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,如圖②.【思考3】

如果X1~N(μ,0.52),X2~N(μ,12),X3~N(μ,22),那么P(-1≤X1≤1)、P(-1≤X2≤1)、P(-1≤X3≤1)的大小如何?提示:因σ1=0.5<σ2=1<σ3=2,那么,X1的分布最集中,X3的分布最分散.∴P(-1≤X1≤1)>P(-1≤X2≤1)>P(-1≤X3≤1).【做一做2】

若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),且P(X≤a)=P(X>a),則a的值為(

)A.0 B.μ

C.-μ D.σ解析:隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),∵P(X≤a)=P(X>a),P(X≤a)+P(X>a)=1,∴x=a為相應(yīng)正態(tài)曲線的對稱軸.∴a=μ.答案:B4.正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率若X~N(μ,σ2),則對于任何實數(shù)a>0,概率特別有P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,

P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,

P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.

【做一做3】

已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,1),則P(X≤1)=

.

解析:∵μ=2,σ=1,∴P(1<X≤3)≈0.682

7,答案:0.158655.在實際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之間的值,并簡稱之3σ原則.探究一探究二探究三思維辨析正態(tài)曲線的應(yīng)用例1

如圖是一個正態(tài)曲線,試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式,求出隨機(jī)變量的均值和方差.思路分析:給出一個正態(tài)曲線就給出了該曲線的對稱軸和最大值,從而就能求出隨機(jī)變量的均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析解:從給出的正態(tài)曲線可知該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=20對稱,反思感悟利用正態(tài)曲線的特點(diǎn)求參數(shù)μ,σ(1)正態(tài)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱,由此特點(diǎn)結(jié)合圖象求出μ.(2)正態(tài)曲線在x=μ處達(dá)到峰值

,由此特點(diǎn)結(jié)合圖象可求出σ.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練1若一個正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù),且該函數(shù)的最大值為,則該正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式為

.

解析:由于該正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù),所以正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱,即μ=0,當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析正態(tài)分布下的概率計算例2設(shè)X~N(1,22),試求:(1)P(-1<X≤3);(2)P(3<X≤5).思路點(diǎn)撥:首先確定μ=1,σ=2,然后根據(jù)三個特殊區(qū)間上的概率值及正態(tài)曲線的特點(diǎn)求解.解:因為X~N(1,22),所以μ=1,σ=2.(1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682

7.(2)因為P(3<X≤5)=P(-3≤X<-1),所以P(3<X≤5)當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析反思感悟解決求某區(qū)間的概率問題,可以利用正態(tài)曲線的對稱性,畫出相應(yīng)的正態(tài)曲線圖象,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合把“求某一區(qū)間內(nèi)的概率”問題轉(zhuǎn)化為求“陰影部分面積”問題.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練2若在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)為X,且X~N(110,202),滿分為150分,這個班的學(xué)生共有54人,求這個班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不小于90分)的人數(shù)和130分以上(不包括130分)的人數(shù).解:∵X~N(110,202),∴μ=110,σ=20.P(110-20<X≤110+20)=0.682

7.∴X>130的概率為

×(1-0.682

7)≈0.158

7.∴X≥90的概率為0.682

7+0.158

7=0.841

4.∴及格的人數(shù)為54×0.841

4≈45(人),130分以上的人數(shù)為54×0.158

7≈9(人).當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析正態(tài)分布的應(yīng)用例3某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外徑尺寸X~N(4,0.25).質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽查一件,測得它的外徑為5.7cm.試問該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格?思路分析:判斷某批產(chǎn)品是否合格,主要運(yùn)用統(tǒng)計中假設(shè)檢驗的基本思想.欲判定這批零件是否合格,關(guān)鍵是看隨機(jī)抽查的一件產(chǎn)品的外徑尺寸是在(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi)還是在(μ-3σ,μ+3σ)之外.解:由于圓柱形零件的外徑尺寸X~N(4,0.25),由正態(tài)分布的特征可知,X在區(qū)間(4-3×0.5,4+3×0.5)(即(2.5,5.5))之外取值的概率約為0.002

7.而5.7?(2.5,5.5),這說明在一次試驗中,出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件,根據(jù)統(tǒng)計中假設(shè)檢驗的基本思想,認(rèn)為該廠生產(chǎn)的這批產(chǎn)品是不合格的.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析反思感悟在解決有關(guān)問題時,通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之間的值.如果服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的某些取值超出了這個范圍就說明出現(xiàn)了意外情況.求正態(tài)變量X在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法:(1)根據(jù)題目中給出的條件確定μ與σ的值.(2)將待求問題向(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]這三個區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(3)利用X在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析因?qū)φ龖B(tài)曲線的對稱性認(rèn)識不夠而致錯典例

已知X~N(μ,σ2),且P(X>0)+P(X≥-4)=1,則μ=

.

易錯分析:對正態(tài)分布的正態(tài)曲線的對稱性理解不到位而致誤,充分認(rèn)識P(X<a)+P(X≥a)=1這一結(jié)論.解析:因為P(X>0)+P(X≥-4)=1,又P(X<-4)+P(X≥-4)=1.所以P(X>0)=P(X<-4).因此正態(tài)曲線的對稱軸為x=-2.所以μ=-2.答案:-2糾錯心得錯解的原因在于對正態(tài)曲線的對稱性沒有充分的認(rèn)識,無法將所給條件進(jìn)一步轉(zhuǎn)化,找不清解題的思路.本題的關(guān)鍵在于P(X<-4)+P(X≥-4)=1的運(yùn)用,由此得到解題的突破口.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析跟蹤訓(xùn)練已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,則P(-2≤ξ≤2)=(

)....977解析:畫出正態(tài)曲線如圖所示,結(jié)合圖象知,P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=1-2×0.023=0.954.答案:B當(dāng)堂檢測1.下列函數(shù)可以作為正態(tài)分布密度函數(shù)的是(

)答案:A探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測..73% .55% .27%∴P(-3.5<X≤-0.5)=P(-2-3×0.5<X≤-2+3×0.5)≈0.997

3.答案:B探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測3.在某項測量中,測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0),若X在(0,1]內(nèi)取值的概率為0.4,則X在(0,2]內(nèi)取值的概率為

.

解析:∵X~N(1,σ2),且P(0<X≤1)=0.4,∴P(0<X≤2)=2P(0<X≤1)=0.8.答案:0.84.在某項測量中,測量結(jié)果ξ~N(2,σ2)(σ>0).若ξ在(-∞,1)內(nèi)取值的概率為0.1,則ξ在(2,3)內(nèi)取值的概率為

.

解析:根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可知,ξ在(2,3)內(nèi)取值的