專(zhuān)題14函數(shù)模型及其應(yīng)用

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增

長(zhǎng)”“直線(xiàn)上升”等術(shù)語(yǔ)的含義.

2.通過(guò)收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際等數(shù)學(xué)模型，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)

題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.指數(shù)、對(duì)數(shù)、累函數(shù)模型性質(zhì)比較

函數(shù)y=ay=logaXy=x

性Q〉l）（M）（n〉0）

在(0,+°°)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)

隨〃值

圖象隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨X的增大逐漸表現(xiàn)

變化而

的變化為與y軸平行為與X軸平行

各有不同

值的比較存在一個(gè)苞，當(dāng)x>xo時(shí)，有\(zhòng)ogax<x<a

2.幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f{x}=ax+b{a,6為常數(shù)，石70）

二次函數(shù)模型f{x}=ax+bx+c（a,b,c為常數(shù)，EWO）

與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f{x}=ba+c（a,b,c為常數(shù),a>0且aWL6r0）

與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f（x）=Z?logax+c（5,b,c為常數(shù),a>0且aWl,6W0）

與募函數(shù)相關(guān)的模型f（x）=ax+b（a,b,刀為常數(shù)，aWO）

【常用結(jié)論】

1.“直線(xiàn)上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；“指數(shù)增長(zhǎng)”先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增

加，常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容；“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”先快后慢，其增長(zhǎng)量越來(lái)越小.

2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見(jiàn)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.易忽視實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)

際問(wèn)題的合理性.

【方法技巧】

1.判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.

(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻

合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選出符合實(shí)際的情況.

2.求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn).

(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；

(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

3.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

4.在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)需注意以下四個(gè)步驟：

①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.

②建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相

應(yīng)的函數(shù)模型.

③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.

④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問(wèn)題.

5.通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法構(gòu)建函數(shù)模型解

決問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

二、【題型歸類(lèi)】

【題型一】用函數(shù)圖象刻畫(huà)變化過(guò)程

【典例1］如圖，一高為〃且裝滿(mǎn)水的魚(yú)缸，其底部有一排水小孔，當(dāng)小孔打開(kāi)時(shí)，水從孔

中勻速流出，水流完所用時(shí)間為T(mén).若魚(yú)缸水深為人時(shí)，水流出所用時(shí)間為t,則函數(shù)h=以。

的圖象大致是()

【典例2】中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種

綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.為分析泡

制一杯最佳口感茶水所需時(shí)間，某研究人員每隔1min測(cè)量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)

做出如圖所示的散點(diǎn)圖.觀(guān)察散點(diǎn)圖的分布情況，下列哪個(gè)函數(shù)模型可以近似地刻畫(huà)茶水溫

度y隨時(shí)間x變化的規(guī)律()

y(t)

90

A.mx+n（山〉0）

B.尸ma'+n（ni>0,0<a<l）

C.尸mf+n（ni>Q,a>l）

D.尸血ogax+〃E>0,a>0,aWl）

【典例3］已知正方形40的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)戶(hù)從6點(diǎn)開(kāi)始沿折線(xiàn)式物向力點(diǎn)運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)

戶(hù)運(yùn)動(dòng)的路程為x,△膠的面積為S,則函數(shù)S=f（x）的圖象是（）

【題型二】幕型函數(shù)模型

【典例1］為迎接2016年“雙十一網(wǎng)購(gòu)狂歡節(jié)”，某廠(chǎng)家擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對(duì)網(wǎng)上所

售某產(chǎn)品進(jìn)行促銷(xiāo).經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該促銷(xiāo)產(chǎn)品在“雙十一”的銷(xiāo)售量p萬(wàn)件與促銷(xiāo)費(fèi)用x

2

萬(wàn)元滿(mǎn)足：尸3一工（其中OWxWa,a為正常數(shù)）.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本（10+2。）

XI1

萬(wàn)元（不含促銷(xiāo)費(fèi)用），產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為（4+與1元/件，假定廠(chǎng)家的生產(chǎn)能力完全能滿(mǎn)足

市場(chǎng)的銷(xiāo)售需求.

（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；

（2）促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠(chǎng)家的利潤(rùn)最大？

【典例2】某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷(xiāo)售量y（單位：千克）與銷(xiāo)售價(jià)

格x（單位：元/千克）滿(mǎn)足關(guān)系式尸六+105—6廣其中3〈x〈6,a為常數(shù).已知銷(xiāo)售價(jià)

格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克.

⑴求a的值；

(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的

利潤(rùn)最大.

【題型三】指數(shù)型函數(shù)模型

【典例1】有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為Km3,每天流出湖泊的水量等于流入湖

泊的水量，都為rm3.現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合.用式力)

表示經(jīng)過(guò)時(shí)間乂天)后每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱(chēng)其為經(jīng)過(guò)時(shí)間乂天)后的湖

水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù).已知目前污染源以每天?？说奈廴疚镔|(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿(mǎn)足關(guān)系

式鼠。=/+g(o)(pzo),其中g(shù)(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).

(1)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù);

(2)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過(guò)多少天才能使湖水的

污染水平下降到開(kāi)始時(shí)污染水平的5%?

[典例2]某種樹(shù)苗栽種時(shí)高度為A(A為常數(shù))米，栽種n年后的高度記為f{n).經(jīng)研究發(fā)

QA

現(xiàn)，/1(〃)近似地滿(mǎn)足/1(〃)=//,其中t=2~la,6為常數(shù)，〃GN,f(0)=4已知栽種

3年后該樹(shù)木的高度為栽種時(shí)高度的3倍.問(wèn)：栽種多少年后，該樹(shù)木的高度是栽種時(shí)高度

的8倍.

【題型四】對(duì)數(shù)型函數(shù)模型

【典例1]某公司對(duì)營(yíng)銷(xiāo)人員有如下規(guī)定：①年銷(xiāo)售額x(萬(wàn)元)在8萬(wàn)元以下，沒(méi)有獎(jiǎng)金；

②年銷(xiāo)售額x(萬(wàn)元)，xe[8,64]時(shí)，獎(jiǎng)金為y萬(wàn)元，且y=logaX,ye[3,6],且年銷(xiāo)售

額越大，獎(jiǎng)金越多；③年銷(xiāo)售額超過(guò)64萬(wàn)元，按年銷(xiāo)售額的10%發(fā)獎(jiǎng)金.

(1)求獎(jiǎng)金y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)某營(yíng)銷(xiāo)人員爭(zhēng)取年獎(jiǎng)金ye[4,10](萬(wàn)元)，年銷(xiāo)售額x(萬(wàn)元)在什么范圍內(nèi).

【典例2】某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開(kāi)發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得投資收益的范圍是［10,

100］（單位：萬(wàn)元）.現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資

收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%.

（1）若建立函數(shù)模型y=f（x）制定獎(jiǎng)勵(lì)方案，請(qǐng)你根據(jù)題意，寫(xiě)出獎(jiǎng)勵(lì)模型函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條

件；

（2）現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：（I）y=5x+1；（II）尸logzx—2.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否

符合公司要求.

【題型五】分段函數(shù)模型

【典例1】為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈

化劑，空氣中釋放的凈化劑濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)

系式近似為尸j1

5—~x,4<xW10.

若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次噴灑的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度

之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到凈化空氣

的作用.

（1）若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天？

（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再?lài)姙（lWaW4）個(gè)單位的凈化劑，要使接下

來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：/取1.4）.

【典例2】為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國(guó)家科研部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，

新上了一種把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為可利用化工產(chǎn)品的項(xiàng)目.經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本y(元)

與月處理量x(t)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=

fl

-/-80/+5040x,xe[120,144),

<且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品

9V—200x+80000,xe[144,500),

價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，國(guó)家將給予補(bǔ)償.

⑴當(dāng)[200,300]時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利.如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，

則國(guó)家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損？

(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少?lài)崟r(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

【題型六】尸x+；（a>0）型函數(shù)模型

【典例1】某汽車(chē)運(yùn)輸公司購(gòu)買(mǎi)了一批豪華大客車(chē)投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)的

總利潤(rùn)了（萬(wàn)元）與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x的關(guān)系如圖所示（拋物線(xiàn)的一段），則為使其營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)最

大，每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)年數(shù)為.

【典例2】某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°（如圖），

考慮防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為4平方米，且高度不低

于十米.記防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為x米，外周長(zhǎng)（梯形的上底線(xiàn)段6,與兩腰長(zhǎng)的和）為y

米.要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省（即橫斷面的外周長(zhǎng)最小），則防洪堤的腰長(zhǎng)

X—米.

AD

【題型七］已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

【典例1】隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)、人們健康觀(guān)念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程

加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來(lái)一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì).某醫(yī)療器械公司為了

進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300

萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為100臺(tái).每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本G（x）萬(wàn)元，且G（x）=

'2￡+80X,0<xW40,

,3600一由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬(wàn)元,

2Qlx+------2100,40<xW100,

x

且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完.

(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)/(X)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)解析式(利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入一成本)；

(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【典例2】“百日沖刺”是各個(gè)學(xué)校針對(duì)高三學(xué)生進(jìn)行的高考前的激情教育，它能在短時(shí)間

內(nèi)最大限度激發(fā)一個(gè)人的潛能，使成績(jī)?cè)谠瓉?lái)的基礎(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考中取

得令人滿(mǎn)意的成績(jī)，特別對(duì)于成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生來(lái)講，其增加分?jǐn)?shù)的空間尤其大.現(xiàn)有

某班主任老師根據(jù)歷年成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績(jī)變化，構(gòu)造了一

個(gè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t(30WtW100)(單位：天)，增加總分?jǐn)?shù)(單位：分)的函數(shù)模型：f(t)=

kP1

，A為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，戶(hù)為“百日沖刺”前的最后一次模考總分，且A60)

…1+lg…(t+1、)6

現(xiàn)有某學(xué)生在高考前100天的最后一次模考總分為400分,依據(jù)此模型估計(jì)此學(xué)生在高考中

可能取得的總分約為(1g61^1.79)()

A.440分B.460分

C.480分D.500分

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】(多選)甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一方向運(yùn)動(dòng)，它們的路程

￡(x)(/=1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x20)的函數(shù)關(guān)系式分別為f(x)=2，—1,f(x)=f,6(x)

X,%（x）=log2（x+l）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)x>l時(shí)，甲走在最前面

B.當(dāng)x>l時(shí)，乙走在最前面

C.當(dāng)0<x〈l時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)入>1時(shí)，丁走在最后面

D.如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲

【訓(xùn)練二】某公司為調(diào)動(dòng)員工工作積極性擬制定以下獎(jiǎng)勵(lì)方案，要求獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨

投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，獎(jiǎng)金不超過(guò)90萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的

20%,即假定獎(jiǎng)勵(lì)方案模擬函數(shù)為尸廠(chǎng)（x）時(shí)，該公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：當(dāng)x￡[25,l

V

600]時(shí)，①Hx）是增函數(shù)；②F（x）W90恒成立；③恒成立.

5

⑴現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：⑴F（X）=B+1°；（11）廣（王）=25一6.試分析這兩個(gè)函數(shù)模

型是否符合公司要求？

（2）已知函數(shù)f（x）=3-10（a22）符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型要求,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【訓(xùn)練三】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)

度為1千米.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程白（1+藺/（"〉0）

表示的曲線(xiàn)上，其中人與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).

y（千米）

（千米）

（1）求炮的最大射程;

（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不

超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【訓(xùn)練四】物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來(lái)描述：設(shè)物體的初始溫度是小

經(jīng)過(guò)一定時(shí)間大（單位：min）后的溫度是7,則7—0=（乙一北）（3：其中北稱(chēng)為環(huán)境溫度,

人稱(chēng)為半衰期.現(xiàn)有一杯用85°C熱水沖的速溶咖啡，放在21°。的房間中，如果咖啡降到

37℃需要16min,那么這杯咖啡要從37℃降到29℃,還需要min.

【訓(xùn)練五】某禁毒機(jī)構(gòu)測(cè)定，某種毒品服用后每毫升血液中的含毒量y（微克）與時(shí)間乂小時(shí)）

之間近似滿(mǎn)足如圖所示的曲線(xiàn).

（1）寫(xiě)出服用毒品后了與力之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克時(shí)會(huì)有重度躁動(dòng)狀態(tài)，求服用毒品

后重度躁動(dòng)狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間.

【訓(xùn)練六】近年來(lái)，“共享單車(chē)”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單

車(chē)公司計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資240萬(wàn)元.根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個(gè)城市至少要投資80萬(wàn)元,

由前期市場(chǎng)調(diào)研可知：甲城市收益戶(hù)與投入a（單位：萬(wàn)元）滿(mǎn)足片4叵一6,乙城市收益0

ya+2,80WaW120,

與投入a（單位：萬(wàn)元）滿(mǎn)足0=儼設(shè)甲城市的投入為x（單位：萬(wàn)元），

.32,120〈aW160,

兩個(gè)城市的總收益為F（x）（單位：萬(wàn)元）.

⑴當(dāng)投資甲城市128萬(wàn)元時(shí)，求此時(shí)公司的總收益；

（2）試問(wèn)：如何安排甲、乙兩個(gè)城市的投資，才能使公司總收益最大？

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

【單選題】

1.有一商家從石塘沿水路順?biāo)叫?，前往河口，途中因故障停留一段時(shí)間，到達(dá)河口后逆

水航行返回石塘，假設(shè)貨船在靜水中的速度不變，水流速度不變，若該船從石塘出發(fā)后所用

的時(shí)間為x（小時(shí)），貨船距石塘的距離為y（千米），則下列各圖中，能反映y與x之間函數(shù)

關(guān)系的大致圖象是（）

2.在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)

中的一個(gè)近似表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

A.y—2x~2B.（y-1）

y=logix

C.尸logzxD.

3.某位股民購(gòu)進(jìn)某支股票，在接下來(lái)的交易時(shí)間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了〃次漲停（每次

上漲10%）,又經(jīng)歷了〃次跌停（每次下跌10%）,則該股民這支股票的盈虧情況（不考慮其他

費(fèi)用）為（）

A.略有盈利B.略有虧損

C.沒(méi)有盈利也沒(méi)有虧損D.無(wú)法判斷盈虧情況

4.長(zhǎng)征五號(hào)遙五運(yùn)載火箭創(chuàng)下了我國(guó)運(yùn)載火箭的最快速度，2020年11月24日，它成功將

嫦娥五號(hào)探測(cè)器送入預(yù)定軌道，在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度■（單位:km/s）

和燃料的質(zhì)量〃（單位：kg）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量〃（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系是廠(chǎng)

=20001{1+詈.若火箭的最大速度為11.2km/s,則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比

值約為（參考數(shù)據(jù)：/頌6^1.oo56）（）

A.1.0056B.0.5028C.0.0056D.0.0028

5.成都市某物流公司為了配合“北改”項(xiàng)目順利進(jìn)行，決定把三環(huán)內(nèi)的租用倉(cāng)庫(kù)搬遷到北

三環(huán)外重新租地建設(shè).已知倉(cāng)庫(kù)每月占用費(fèi)為與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比，而每月車(chē)載貨

物的運(yùn)費(fèi)乃與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成正比.據(jù)測(cè)算，如果在距離車(chē)站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩

項(xiàng)費(fèi)用K，乃分別是2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站

（）

A.5千米處B.4千米處

C.3千米處D.2千米處

6.某高校為提升科研能力，計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入.若該高校2017年全年投入科研經(jīng)

費(fèi)1300萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長(zhǎng)12%,則該高校全年投入的

科研經(jīng)費(fèi)開(kāi)始超過(guò)2000萬(wàn)元的年份是（參考數(shù)據(jù)：1g1.12心0.05,1g1.3^0.11,1g2

^0.30）（）

A.2020年B.2021年

C.2022年D.2023年

7.某電視新產(chǎn)品投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷(xiāo)售100臺(tái)，第二個(gè)月銷(xiāo)售200臺(tái)，第三個(gè)月銷(xiāo)售400

臺(tái)，第四個(gè)月銷(xiāo)售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷(xiāo)量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x之間

關(guān)系的是（）

A.y=100xB.y=50_/—50x+100

C.尸50X2'D.尸1001og2x+100

8.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿(mǎn)足血一

以=51gi，其中星等為◎的星的亮度為瓦（4=1，2）.已知太陽(yáng)的星等是一26.7,天狼星的

星等是一1.45,則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為（）

A.IO101B.10.1

C.1g10.1D.1O-10-1

【多選題】

9.某工廠(chǎng)生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不得超過(guò)0.1%,而這種溶液最初的雜質(zhì)含量

為2%,現(xiàn)進(jìn)行過(guò)濾，已知每過(guò)濾一次雜質(zhì)含量減少;，則使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求的過(guò)濾次數(shù)可

以為(參考數(shù)據(jù)：1g2-0.301,1g3-0.477)()

A.6B.9C.8D.7

10.小菲在學(xué)校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線(xiàn)，為了解自己記憶一組單詞的情況，她記

錄了隨后一個(gè)月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量/與時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)

［記憶保持量

（一9+1,0<*￡1ask

系%+?,l<x<30ol24681012—?jiǎng)t下列說(shuō)法正確的是（）

A.隨著時(shí)間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低

B.第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多

C.9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%

D.26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%

11.在一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)調(diào)研小組根據(jù)車(chē)間持續(xù)5個(gè)小時(shí)的生產(chǎn)情況畫(huà)出了某種

產(chǎn)品的總產(chǎn)量y（單位：kg）與時(shí)間x（單位：h）的函數(shù)圖象，則以下關(guān)于該產(chǎn)品生產(chǎn)狀況的正

確判斷是（）

A.在前三小時(shí)內(nèi)，每小時(shí)的產(chǎn)量逐步增加

B.在前三小時(shí)內(nèi)，每小時(shí)的產(chǎn)量逐步減少

C.最后一小時(shí)內(nèi)的產(chǎn)量與第三小時(shí)內(nèi)的產(chǎn)量相同

D.最后兩小時(shí)內(nèi)，該車(chē)間沒(méi)有生產(chǎn)該產(chǎn)品

12.小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步，他從點(diǎn)/出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過(guò)點(diǎn)6跑到點(diǎn)G

共用時(shí)30s,他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀(guān)察小明跑步的過(guò)程，設(shè)小明跑步的時(shí)間為

t（s）,他與教練間的距離為y（m）,表示y與力的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這個(gè)

固定位置不可能是圖1中的（）

NM/\

OJ-o\30t/a

圖1圖2

A.點(diǎn)〃B.點(diǎn)”

C.點(diǎn)PD.點(diǎn)0

【填空題】

13.某購(gòu)物網(wǎng)站在11月份開(kāi)展“全部6折”促銷(xiāo)活動(dòng)，在11日當(dāng)天購(gòu)物還可以再享受“每

張訂單金額（6折后）滿(mǎn)300元時(shí)可減免100元”.某人在11日當(dāng)天欲購(gòu)入原價(jià)48元（單價(jià)）

的商品共42件，為使花錢(qián)總數(shù)最少，他最少需要下的訂單張數(shù)為.

14.某市用37輛汽車(chē)往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資，假設(shè)以/km/h的速度直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知某

市到災(zāi)區(qū)公路線(xiàn)長(zhǎng)400km,為了安全起見(jiàn)，兩輛汽車(chē)的間距不得小于囿2km,那么這批

物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最少時(shí)間是h_（車(chē)身長(zhǎng)度不計(jì)）

15.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑，據(jù)實(shí)驗(yàn)表明，該藥物釋放

r1

kt,0<t<-,

量yGng/n?）與時(shí)間Mh）的函數(shù)關(guān)系為］（如圖所示）實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)藥物釋放

量j<0.75（mg/m3）時(shí)對(duì)人體無(wú)害.

（1）A=；

（2）為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對(duì)房間進(jìn)行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過(guò)

分鐘人方可進(jìn)入房間.

y（mg/m3）

2

16.某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示.。為圓孔及輪廓圓弧

所在圓的圓心是圓弧46與直線(xiàn)AG的切點(diǎn),人是圓弧46與直線(xiàn)正的切點(diǎn)，四邊形DEFG

3

為矩形，BCLDG,垂足為C,tanNODC=F，BH//DG,EF=\2cm,DE=2cm,A到直線(xiàn)DE

5

和環(huán)的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

【解答題】

17.某企業(yè)自主開(kāi)發(fā)出一款新產(chǎn)品4計(jì)劃在2022年正式投入生產(chǎn)，已知/產(chǎn)品的前期研

發(fā)總花費(fèi)為50000元，該企業(yè)每年最多可生產(chǎn)4萬(wàn)件/產(chǎn)品.通過(guò)市場(chǎng)分析知，在2022

年該企業(yè)每生產(chǎn)x（千件）/產(chǎn)品，需另投入生產(chǎn)成本以x）（千元），

ri,

-x+60x,0〈xW10,

J!L7?(x)=《

1800

70x+-------230,10<^40.

Ix

（1）求該企業(yè)生產(chǎn)一件/產(chǎn)品的平均成本0（元）關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并求平均成本p的最

小值（總成本=研發(fā)成本+生產(chǎn)成本）；

（2）該企業(yè)欲使生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成