2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一學(xué)月考試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）

ai-1

1.復(fù)數(shù),在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第一象限，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-oo,-l)B.(-00,0)C.(0,+<?)D.(L+8)

【答案】C

【解析】

【分析】化簡復(fù)數(shù)即可判斷.

【詳解】上!=（l）z=±i=a+i

ii2-1

因為對應(yīng)的點位于第一象限，所以。＞0

故選：C.

2.某小區(qū)有500人自愿接種新冠疫苗，其中49~59歲的有140人，18~20歲的有40人，其余為符合接種條

件的其他年齡段的居民.在一項接種疫苗的追蹤調(diào)查中，要用分層抽樣的方法從該小區(qū)18~20歲的接種疫

苗的人群中抽取4人，則樣本容量為（）

A.14B.18C.32D.50

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣的概念求解.

n4

【詳解】設(shè)樣本容量為"，由題意得——=一,解得〃=50.

50040

故選：D.

3.已知尸8（3,1,0）、A（0,1,3）,則向量耳后與64的夾角是（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】D

【解析】

UUUUUU

【分析】設(shè)向量與《鳥的夾角為8,計算出向量與《鳥的坐標(biāo)，然后由cos'=

叫?的

1

算出cos。的值，可得出。的值.

UULUUUUU

【詳解】設(shè)向量與的夾角為e,

PXP2PXP3

UUUUU11

=(3,1,0)-(1,-1,2)=(2,2-2),RR=(0,1,3)-(1,-1,2)=(-1,2,1),

UUUULM

則cos0==°,所以，0=9Q,故選D.

【點睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運算，考查利用向量的坐標(biāo)計算向量的夾角，考查計算能力，屬于中等

4.兩平行直線3無+4y—3=0與6x+8y+l=0之間的距離為()

9

D.

10

【答案】B

【解析】

【分析】利用兩平行線間距離公式即得.

【詳解】由3x+4y-3=0,可得6x+8y-6=。,

所以兩平行直線的距離為“「(—6)1=1_.

V62+8210

故選：B.

5.已知C,￡為兩個不同平面，m,“為兩條不同直線，則下列說法不正確的是()

A.若n±a,則機〃"B.若加_La,m±n,貝

C.若加_La,則(z///7D.若7〃_La,且。_L/?,則帆

【答案】B

【解析】

【分析】

利用線線，線面以及面面的位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，對每個選項進行逐一判斷，即可得解.

【詳解】對于A,m1a,〃_Ler,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，垂直于

同一平面的兩直線平行，選項A正確；

對于B,ml.a,m±n,根據(jù)線面垂直的定義以及線面平行

的判定定理可知“ua或〃//。，故選項B錯誤；

2

對于C,m1a,根，尸，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理以及面面平行

的判定定理可得。//月，故選項C正確；

對于D,由mJ_a和可知m//分或mu耳，又“」萬，則由線面

平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理可知，m±n,故選項D正確.

故選：B.

【點睛】本題考查了線面垂直的性質(zhì)定理，線面平行的性質(zhì)定理，面面平行的性質(zhì)定理，屬于基礎(chǔ)題.

6.平面e過棱長為1的正方體ABC?！?4G2的面對角線AB1，且C平面QB。，?平面

點S在直線AA上，則A5的長度為

A.75B.72C.去D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題意得到上平面AAC和BG，平面AAC,從而得到AC，3D,AC1BCX,即AC,

平面GB。.再以AA1為側(cè)棱補作一個正方體AEFG-\PQR,使得平面AGRA,與平面ADD.A,共面.因

為AQ///C,所以AQL平面GB。，即平面AQ片就是平面a,再計算AS即可.

在正方體ABCD—AMG2中，

BDLAC

<BDLAA,05。，平面4人。04。，5。.

AAi\'AC=A

BQ1B】C

<BCX_L4片=>BC{_L平面A{B{CnA{C_LBC「

B?AXBX=B]

3

又因為3。BC1=B,所以ACJ_平面GBD.

如圖，以A4為側(cè)棱補作一個正方體AEFG-A.PQR,

使得平面AGRA,與平面ADDX\共面.

因為AQ//4。，所以平面GBD.

連接。片，交AR于S,S為4氏的中點.

所以平面AQ3］為平面a,

所以As=7M2+A^2=^i2+(1)2=岑.

故選：C

【點睛】本題主要以正方體為載體，考查了線面垂直和線線平行的判定，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬

于難題.

7.已知圓C：(x—4尸+⑶―2戶=，截y軸所得的弦長為2加，過點(0,4)且斜率為左的直線/與圓C

交于A,3兩點，若|AB|=2夜，則左的值為

1133

A.一一B.-C.一一D.-

4444

【答案】D

【解析】

分析】

由y軸和直線/被圓截得的弦長相等，所以圓心。到y(tǒng)軸和到直線/的距離相等，然后結(jié)合點到直線/的距

離公式求解即可.

【詳解】解：因為y軸和直線/被圓截得的弦長相等，

所以圓心c到y(tǒng)軸和到直線i的距離相等，

又直線l：y=kx+4,

即日_y+4=0,

」|4左一2+4||4左+2|)

所以圓心C(4,2)到直線I的距離d=—,=,=4,

收+1"2+1

3

解得k=:，

4

4

故選：D.

【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查考生對基礎(chǔ)知的掌握情況，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算、直

觀想象.

8.直三棱柱ABC-A31cl如圖所示，A8=4,3C=3,AC=5,。為棱A3的中點，三棱柱的各頂點在同

一球面上，且球的表面積為61兀，則異面直線4。和片C所成的角的余弦值為（）

「4V21672

-

525

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)已知條件求出側(cè)棱長，然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線4。和用C的方向向量，從而

可求解.

【詳解】因為在直三棱柱ABC-AgG中，所以球心到底面的距離1=一，

又因為=4,3。=3,AC=5,所以AB2十=人。2,所以人與工8。，所以底面外接圓半徑r=』,

2

又因為球的表面積為61兀，所以R=?

2

而收=/+屋，所以BB、=6,

5,

以耳為原點，耳a為X軸，44為y軸，旦3為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

5

4（0,0,0）,A（0,4,0），C（3,o,6）,D（0,2,6）,

BXC=（3,0,6）,=（0,-2,6）,

.-.|JB]C|=3A/5,|4D|=2A/10,JBIC.71,D=36,

設(shè)直線4。和BC所成的角為e,則

.Ii|B.C.A.D363&

cose=lcos<B1C4功卜=~T?

故選：A.

二、多選題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分)

9.為落實黨中央的“三農(nóng)”政策，某市組織該市所有鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部進行了一期“三農(nóng)”政策專題培訓(xùn)，并在培

訓(xùn)結(jié)束時進行了結(jié)業(yè)考試.如圖是該次考試成績隨機抽樣樣本的頻率分布直方圖.則下列關(guān)于這次考試成

績的估計正確的是()

A.眾數(shù)為82.5B.80百分位數(shù)為91.7

C.平均數(shù)為88D.沒有一半以上干部的成績在80?90分之間

【答案】AB

【解析】

【分析】A根據(jù)直方圖判斷眾數(shù)的位置即可；B利用百分位數(shù)的運算方法求出80百分位數(shù)即可；C利用直方

圖求出平均數(shù)即可；D求出80~90分之間的頻率，與0.5比較大小即可

【詳解】由圖知：眾數(shù)出現(xiàn)在［80,85)之間，故眾數(shù)為82.5,故A正確;

由圖可得該次考試成績在90分以下所占比例為5x(0.01+0.03+0.06+0.05)=0.75,

在95分以下所占比例為5x(0.01+0.03+0.06+0.05+0.03)=0.9,

因此，第80百分位數(shù)一定位于［90,95)內(nèi)，

6

QQ_A75

所以第80百分位數(shù)為90+5x二———?91.7,故B正確；

0.9-0.75

由（0.01x72.5+0.03x77.5+0.06x82.5+0.05x87.5+0.03x92.5+0.02x97.5）x5=85.5,C錯誤；

由（0.06+0.05）x5=0.55>0.5,有一半以上干部的成績在80~90分之間，D錯誤.

故選：AB

10.下列結(jié)論錯誤的是。

A.過點A（l,3）,鞏―3,1）的直線的傾斜角為30。

3

B.若直線2%-3y+6=。與直線以+y+2=0垂直，則〃=萬

C.直線x+2y—4=0與直線2x+4y+l=0之間的距離是好

2

D.已知A（2,3）,3（-U）,點尸在x軸上,則|PA|+|P@的最小值是6

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出斜率判斷A；利用兩直線垂直關(guān)系求出a判斷B；求出平行線間距離判斷C；利用對稱思想求

出最小值判斷D作答.

1-31

【詳解】對于A,直線A5的斜率Z=——=；；,其傾斜角小于30。，A錯誤；

-3-12

3

對于B,由直線2x—3y+6=。與直線依+y+2=0垂直，得2a—3=0,解得〃=萬，B正確；

對于C,直線x+2y—4=0化為2x+4y—8=0,因此兩平行直線的距離d=了』=Wl,c錯誤;

io

對于D,點關(guān)于X軸的對稱點為連接AE交X軸于點■，點尸是X軸上任意一點，

連接3片,AP,5Hp3',于是1PAi+|「例=|24|+|尸8'閆AB'|=|A《|+|B￡|=|A1|+|31|,

22

當(dāng)且僅當(dāng)點P與兄重合時取等號，因此(|R4|+|P@)min=1A?l=V3+4=5,D錯誤.

故選：ACD

7

11.已知圓/+/=4上有且僅有三個點到直線/的距離為1,則直線/的方程可以是()

A.x-y+l=OB.6x-y+yfyi=0

C.x-y-y/2=0D.x=-l

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)點到直線距離公式，結(jié)合圓的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】因為圓x2+r=4的半徑為2,圓心為0(0,0),圓/+/=4上有且僅有三個點到直線I的距離

為1，

所以圓心到直線/的距離為1.

|1|五,

A：圓心0(0,0)到直線x—y+l=0的距離為一=不-<1,不符合題意；

#+(-1)22

L廊

B：圓心0(0,0)到直線6x—y+后=0的距離為J1==1,符合題意；

舟+(―—

廠卜閩

C：圓心0(0,0)到直線X—y—亞=0的距離為JI=1,符合題意；

D：圓心0(0,0)到直線x=—1的距離為1，符合題意，

故選：BCD

12.如圖，在長方體ABC。—A4G，中，AD=1,43=百,朋=3,點E是棱。上的一個動點，給

出下列命題，其中真命題的是()

A.不存在點E，使得BRLAE

B.三棱錐R-AEG的體積恒為定值

8

C.存在唯一的點E，過A瓦￡三點作長方體的截面，使得截面的周長有最小值

D.G為棱上一點，若點E滿足CE=2ED,且AG//平面AEG，則G為。A中點

【答案】BCD

【解析】

【分析】選項A.先證明存在點E使得AE1,平面從而可判斷；選項B.由SVDGE為定值，根據(jù)

VDi_AEC{=VA_DiAEq=|SYD、C、Ex可判斷;選項C.先作出截面,然后將側(cè)面CDD?展開,使得面CDD6

與面A3CD在同一平面內(nèi)，從而可判斷；選項D.在梯形。QGE中，兩腰GE,2。延長必相交，設(shè)交

點為尸，連接針，從而可得AG//AP,從而可判斷.

【詳解】選項A.在底面矩形A3CD中，連接AC8。交于點。，由AD=1,A5=G，則AC=3D=2

所以NC4Z)=60°,所以AO=QD=4D=1,AADO為等邊三角形

取0。的中點S,連接AS并延長交C￡>于點E'，則AE'LBD

又在長方體中，平面A3CD,且A￡'=平面A3CD,則AE'_L?？?/p>

又BD。，所以AE，平面BDDX，又BD[三平面BDDX

所以AE'LB。]，所以存在點E，使得故選項A不正確.

選項B.Sv℃E=義xCC,=里

在長方體中，A￡>J_平面CDRG,所以%xAD=-x—xl=—

￡/|一—jLDqA/iZEivCj3VL]LL322

所以三棱錐Dx-AEG的體積恒為定值，故選項B正確.

選項C.在4用上取/點，使得A]F=CE,連接A￡BC]

則四邊形ACC.F為平行四邊形,所以過A,E,G三點作長方體的截面為面ACC.F

9

將側(cè)面CDDG展開，使得面CDDG與面ABCD在同一平面內(nèi)，

連接，交CD于點E，此時AE+ECl最小，即截面ACC.F的周長最小

所以存在唯一的點E，使得截面ACGb的周長有最小值，故選項C正確.

選項D.在梯形。。中，兩腰￡及2。延長必相交，設(shè)交點為P,連接好

由DE/ADCi，CE=2ED,即ED=gQG，

13

所以DP=-PD,,即DD=2PD,則PD=-

3y2

AGu平面ADD^,面ADD^n平面AECX=AP

由AG//平面AEC],則AG//AP

31

又A&//PG,所以為AAPG平行四邊形，則PG=A4,則￡>6=5=5。。]

所以G為。2的中點.故選項D正確.

故選：BCD

10

第2卷非選擇題（90分）

三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）

13.用一平面去截球所得截面的面積為371cm）已知球心到該截面的距離為1cm,則該球的體積是

【答案】—兀

3

【解析】

【分析】由截面的面積為371cm2,可得截面的半徑r=3,進而可得球半徑R=2,再由球的體積公式計

算即可.

【詳解】解：設(shè)截面圓半徑為「，則兀/=3兀，/=3，

球半徑為則尺2=/+/=3+1=4，所以R=2,

4.32

所以V=—RR=—7t（cm3）.

33

32

故答案為：—兀

3

14.甲、乙兩人約定進行乒乓球比賽，采取三局兩勝制（在三局比賽中，優(yōu)先取得兩局勝利的一方獲勝，

無平局），乙每局比賽獲勝的概率都為則最后甲獲勝的概率是

3―

【答案】—

27

【解析】

【分析】判斷甲獲勝的情況為前兩局勝或第一局勝第二局輸?shù)谌謩倩虻谝痪州數(shù)诙謩俚谌謩伲鶕?jù)

互斥事件的概率加法公式即可求得答案.

2

【詳解】因為乒乓球比賽的規(guī)則是三局兩勝制（無平局），由題意知甲每局比賽獲勝的概率都為

因此甲獲勝的情況為前兩局勝或第一局勝第二局輸?shù)谌謩倩虻谝痪州數(shù)诙謩俚谌謩伲?/p>

2221212220

所以最后甲獲勝的概率P=—x1X—X1X—X—=,

3333333327

故答案為：7^

27

15.在y軸上有一點“。力），使得以A（l,2）,5（3,4）和戶為頂點的三角形面積為6,則6的值為

【答案】-5或7##7或-5

11

【解析】

【分析】首先求出點尸（0力）到直線A5的距離，然后根據(jù)兩點間的距離求出|AB|,從而可表示出三角形

的面積，根據(jù)三角形的面積為6即可求出b的值.

4-2

【詳解】易知左AB=Q=1，所以直線AB方程為y—2=x—1,即x—y+l=0,

—i|_ii

點尸（0力）到直線A3的距離

J?+(-1)2^2

又\AB\^3)2+(2_盯=2血,

所以工|AB|xd=Lx2&xt^d=6,解得6=—5或力=7.

2112V2

故答案為：-5或7.

16.已知eq:V+（y-2）2=1,eQ：（龍—3了+（y-6）~=9,過x軸上一點尸分別作兩圓的切線，切

點分別是〃，N,當(dāng)|PM|+|PN|取到最小值時，點尸坐標(biāo)為.

【答案】[|,0)

【解析】

【分析】尸?,0),則

\PM\+|PN|=V?2+3+7(?-3)2+27=7(?-0)2+[0-(-73)]2+7(?-3)2+(0-373)2，可看成點P

到兩定點A(0,-指)，3(3,3如)的距離和，而A3兩點在x軸的兩側(cè)，所以A,6連線與x軸的交點就是

所求點P.

【詳解】ea：V+(y—2)2=1的圓心為a(0,2),半徑4=1,

eQ:(x—3)2+(y—6)2=9的圓心為。2(3,6),半徑4=3,

設(shè)P(t,0),則|="+4-1="+3，

\PN\=J|PQ「-32="—3)2+62—9=“TN7

所以1PM+1PN卜J/+3+“—3)2+27=7(?-0)2+[0-(-A/3)]2+7(?-3)2+(0-3A/3)2，

取A(0,—6),8(3,3月)

12

則|PM|+|PN|=\PA\+\PB\>\AB

當(dāng)P,A,8三點共線時取等號,

此時AB直線：'+百=苧(%—0)

令y=0,則x=|

故答案為：f-,0

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查距離公式的應(yīng)用，解

題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為點尸到兩定點A(0,-G),3(3,3如)的距離和的最小值，結(jié)合圖形求解，考查數(shù)

形結(jié)合的思想，屬于較難題.

三、解答題(本大題共6個大題，共70分)

17.已知復(fù)平面內(nèi)的點48對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是4=cose-sin〃+i(cose+sing),Z2=夜.

(1)當(dāng)夕為何值時，Z=Z1+Z2的模取得最大值，并求此最大值;

(2)若6e(0,2〃)，設(shè)AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z'，若復(fù)數(shù)z'對應(yīng)的點戶在直線丁=%，求。的值.

【答案】(1)0=2k7r--(keZ),最大值為2萬

/、八57r八771

(2)0=—或。=—

44

【解析】

=2/1+cosf夕+?

【分析】(1)由復(fù)數(shù)模的定義可得：|z|=^4+272(cos6-sin0),利用三角函數(shù)求最

值;

13

(2)表示出點戶的坐標(biāo)(、&-85，+5111，,-(：05，一5111，)，代入y=%,求出。=7-或9=7.

【小問1詳解】

由復(fù)數(shù)模的定義可得：

|z|=^/(cos0-sinO+^2)2+(cos0+sinO')1=(4+20(cos0-sin6)=2,l+c°s]1+力,

顯然當(dāng)8516+:]=1時最大，即8=2左左—?(左eZ),故最大值為2血.

【小問2詳解】

由(1)知點戶的坐標(biāo)是(0-cos，+sin，,-cos，-sin，)，代入丁=%，

r—/oSTT7TC

得一cos8-sine=J^-cose+sin。，即sin6=------，又因為°e(0,2?),所以夕或￡=—

244

18.某中學(xué)為研究本校高三學(xué)生在市聯(lián)考中的語文成績，隨機抽取了100位同學(xué)的語文成績作為樣本，得

到以[80,90),[90,100),[100,110),[no,120),[120,130),[130,140),[140,150]分組的樣本頻率分布直方

(2)請估計本次聯(lián)考該校語文成績的眾數(shù)、中位數(shù)；

(3)樣本內(nèi)語文分數(shù)在[130,140),[140,150]的兩組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5

名學(xué)生中隨機選出2人，求選出的兩名學(xué)生中恰有一人成績在[130,140)中的概率.

【答案】(1)0.01

(2)105；105.7

⑶-

5

【解析】

【分析】(1)利用頻率之和為1可求x；

14

(2)眾數(shù)取出現(xiàn)分數(shù)頻率最多的分數(shù)段，取橫坐標(biāo)中間值即可，當(dāng)頻率值和累計到0.5時的橫坐標(biāo)值可求

中位數(shù)；

(3)結(jié)合古典概型概率公式即可求解.

【小問1詳解】

由頻率分布直方圖可知(0.012+0.022+0.028+0.018+X+0.008+0.002)x10=1,解得x=0.01

【小問2詳解】

由圖可知，語文成績的眾數(shù)為10°上11°=105；

2

語文成績在［80,90)的頻率為7?=0.12,在［90,100)的頻率為P2=0.22,在［100,110)的頻率為0.28,

弓+8=0.34/+￡+舄=0.62,故語文成績的中位數(shù)落在［100,110),設(shè)為加，貝IJ滿足

0.5-0.34=(m-100)x0.028,解得加。105.7,故語文成績的中位數(shù)為105.7；

【小問3詳解】

由圖可知，按分層抽樣法，5名學(xué)生中分數(shù)在［130,140)的學(xué)生應(yīng)抽4名，設(shè)為AB,。,。，在［140,150］的

學(xué)生應(yīng)抽1名，設(shè)為e,則所有抽取情況有筋,47,相>,9,3。,8￡>,灰,。,。自球共10種，符合題意的有

Ae,Be,Ce,De共4種，則這5名學(xué)生中隨機選出2人，恰有一人成績在［130,140)中的概率為。=歷=弓.

19.如圖直線/過點尸(0,1),且與直線4：x-3y+10=0和/2：2x+”8=0分別相交于A,B兩點.

(1)求過乙與4交點C，且與直線CP垂直的直線方程；

(2)若線段A3恰被點P平分，求直線/的方程.

【答案】⑴2x+3y—16=0；(2)x+4y—4=0.

【解析】

【分析】本題考查直線方程的基本求法：垂直直線的求法、點關(guān)于點對稱、點在直線上的待定系數(shù)法.

【詳解】(1)由題可得交點。(2,4),

。1A

所以所求直線方程為y=—§%+不，即2%+3y—16=0；

15

(2)設(shè)直線/與直線I：%—3y+10=0相交于點

因為線段A3恰被點尸(0,1)平分,

所以直線/與直線4：2x+y—8=0的交點8的坐標(biāo)為3(—%,2—%).

將點A(4X),8(—和2—%)的坐標(biāo)分別代入4的方程，

%1-3^+10=0

得方程組＜

2(-xJ+(2-yj-8=0

x1=-4

解得＜

」=2

由點P(0,l)和點A(T,2)及兩點式，得直線/的方程為土2=匕1

—4—02—1

即x+4y-4=0.

【點睛】直線的考法主要以點的對稱和直線的平行與垂直為主.點關(guān)于點的對稱，點關(guān)于直線的對稱，直

線關(guān)于直線的對稱，是重點考察內(nèi)容.

20.已知圓C:(x—3)2+(y—4)2=4.

(1)若直線/：(m—2)x+(l—m)y+m+l=0(meR),證明：無論加為何值，直線/都與圓C相交;

(2)若過點P(L0)的直線加與圓C相交于A,3兩點，求A3C的面積的最大值，并求此時直線血的方

程.

【答案】(1)見詳解；

(2)ABC的面積的最大值為2,此時直線方程為x—y—1=。或7x—y—7=0.

【解析】

【分析】(1)只要證明直線/過圓內(nèi)一點即可；

(2)根據(jù)題意，故設(shè)直線方程x=/?y+l(m/0),可得圓心到直線的距離4=餐一，又

yjm2+1

|AB|=2介"2=24(4m~2＞,代入S2-(如斗療,利用函數(shù)求最值即可得解.

Vm2+12

【小問1詳解】

轉(zhuǎn)化/的方程(6-2)%+(1-根)y+根+1=0

可得：m(x->+1)-2x+y+l=0,

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[x-y+l=O

由V解得x=2,y=3,

[-2x+y+l=0

所以直線/恒過點(2,3),

由(2—3)2+(3—W=2<4,

故點(2,3)在圓內(nèi)，

即直線/恒過圓內(nèi)一點，

所以無論加為何值，直線/都與圓C相交;

【小問2詳解】

由。的圓心為(3,4),半徑廠=2,

易知此時直線/斜率存在且不為0,

故設(shè)直線方程x=my+l(m#O),

一般方程為my-x+1^0,

|4m-3+1||4m-2|

圓心到直線的距離d=

Qm2+(-I)?[m2+1

所以|=2介一屋=2](4m-2工

V"+1

所以F")斗，(4/n-2)2

m2+1

(4*2)2

令，=

m2+1

可得S2=45/，當(dāng)/=2時S2a=4,

所以ABC的面積的最大值為2,

(4m-2十

此時由2=^~,解得7m2—8相+1=0，

"+1

解得m=1或根=’，符合題意，

7

此時直線方程x-y-l=0^7x-y-7=0.

21.如圖，等腰梯形/a7?中，AD//BC,AB=BC=CD=^ADf現(xiàn)以/。為折痕把一A3c折起，使點8

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到達點尸的位置，且P4LCD.

(2)若〃為加上一點，且三棱錐D—AQ0的體積是三棱錐P-ACM體積的2倍，求二面角P-AC-M

的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵—

2

【解析】

【分析】(1)在梯形A3CD中，取的中點E，證明四邊形8。區(qū)為平行四邊形，再根據(jù)圓的性質(zhì)得

出ACJ_CD,利用面面垂直的判定定理證明即可；

uuun1air

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由VP_ACM：VD_ACM=1:2得出PM=-PD,利用向量法即可得出二面角

尸―AC—河的余弦值.

【小問1詳解】

在梯形46切中取4?中點兒連接加

則由8C平行且等于的知為平行四邊形，所以。V=A3,

由CN=LA。知C點在以為直徑的圓上，所以ACLCD.

2

又APoAC^A,AP,ACu平面PAC

\CDA平面PAC

又CDu平面