第10講不等式與不等式組1．不等式的概念及性質(zhì)考試內(nèi)容考試要求不等式的有關(guān)概念用不等號(hào)連接起來(lái)的式子叫做不等式，使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍叫做不等式的解集．a(chǎn)不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1若a<b，則a±c<b±c；c性質(zhì)2若a<b且c>0，則ac____________________bc(或eq\f(a,c)____________________eq\f(b,c))；性質(zhì)3若a<b且c<0，則acbc(或eq\f(a,c)eq\f(b,c))．2.一元一次不等式(組)的解法及應(yīng)用考試內(nèi)容考試要求一元一次不等式的解法(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)合并同類(lèi)項(xiàng)；(5)系數(shù)化為1.c不等式組的解法一般先分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集，并表示在數(shù)軸上，再求出它們的公共部分，就得到不等式組的解集．不等式組的解集情況(假設(shè)b<a)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>ax≥b)),x≥bx>a同大取大beq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<ax≤b))，x≤bx≤b同小取小eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<ax≥b))，x≥bb≤x<a大小小大中間找eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>ax≤b))，x≤b無(wú)解大大小小無(wú)處找考試內(nèi)容考試要求基本思想1.類(lèi)比思想，解一元一次不等式的全部過(guò)程，與解一元一次方程相比，只是最后一個(gè)步驟上有所變化．c2.數(shù)形結(jié)合思想，本講中在數(shù)軸上表示不等式的解集是典型的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，它可以形象、直觀地看到不等式有無(wú)數(shù)多個(gè)解，尤其是根據(jù)不等式的解集確定字母的取值范圍時(shí)，借助數(shù)形結(jié)合思想效果更明顯．3.分類(lèi)思想，分類(lèi)討論思想在不等式中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在求含有字母系數(shù)的不等式的解集．將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)不確定的數(shù)，則需要進(jìn)行分類(lèi)討論．基本方法已知不等式(組)的解集確定不等式(組)中字母的取值范圍有以下四種方法：(1)逆用不等式(組)解集確定；(2)分類(lèi)討論確定；(3)從反面求解確定；(4)借助數(shù)軸確定．1．(2015·嘉興)一元一次不等式2(x＋1)≥4的解在數(shù)軸上表示為()2．(2015·麗水)如圖，數(shù)軸上所表示關(guān)于x的不等式組的解集是()A．x≥2B．x>2C．x>－1D．－1<x≤23．(2017·湖州)一元一次不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x>x－1，,\f(1,2)x≤1))的解集是()A．x＞－1B．x≤2C．－1＜x≤2D．x＞－1或x≤24．(2016·金華)不等式3x＋1＜－2的解集是____________________．5．(2017·衢州)解下列一元一次不等式組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x≤2，,3x＋2＞x.))【問(wèn)題】給出以下不等式：①2x＋5<4(x＋2)，②x－1<eq\f(2,3)x，③eq\f(1,x)－1>0，④x－1≤8－4x.(1)上述不等式是一元一次不等式的是________；(2)上述不等式中，選取其中二個(gè)一元一次不等式，并求其公共解．(3)選取其中一個(gè)一元一次不等式，使其只有一個(gè)正整數(shù)解．(4)通過(guò)以上問(wèn)題解答的體會(huì)，解一元一次不等式(組)要注意哪些問(wèn)題？【歸納】通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題，歸納、疏理解一元一次不等式(組)的一般步驟及注意的問(wèn)題．類(lèi)型一不等式的基本性質(zhì)eq\a\vs4\al(例1)(1)若x＞y，則下列式子中錯(cuò)誤的是()A．x－3＞y－3B.eq\f(x,3)＞eq\f(y,3)C．x＋3＞y＋3D．－3x＞－3y(2)若實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)c＞bcB．a(chǎn)b＞cbC．a(chǎn)＋c＞b＋cD．a(chǎn)＋b＞c＋b(3)設(shè)a、b、c表示三種不同物體的質(zhì)量，用天平稱(chēng)兩次，情況如圖所示，則這三種物體的質(zhì)量從小到大排序正確的是()A．c＜b＜aB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c【解后感悟】將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向肯定不變；將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)不確定的數(shù)，則需要進(jìn)行分類(lèi)討論．對(duì)于第(2)、(3)題滲透了數(shù)形結(jié)合的思想．1．(2016·大慶)當(dāng)0<x<1時(shí)，x2、x、eq\f(1,x)的大小順序是()A．x2<x<eq\f(1,x)B.eq\f(1,x)<x<x2C.eq\f(1,x)<x2<xD．x<x2<eq\f(1,x)類(lèi)型二一元一次不等式的解法eq\a\vs4\al(例2)解不等式：eq\f(x＋1,2)＋eq\f(x－1,3)≤1.【解后感悟】解答這類(lèi)題學(xué)生往往在解題時(shí)不注意，在去分母時(shí)漏乘沒(méi)有分母的項(xiàng)．移項(xiàng)時(shí)不改變符號(hào)而出錯(cuò)；解一元一次不等式的過(guò)程與解一元一次方程極為相似，只是最后一步把系數(shù)化為1時(shí)，需要看清未知數(shù)的系數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)．如果是正數(shù)，不等號(hào)方向不變；如果是負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變．2．(1)(2016·紹興)不等式eq\f(3x＋13,4)>eq\f(x,3)＋2的解是____________________．(2)(2015·南京)解不等式2(x＋1)－1≥3x＋2，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．類(lèi)型三一元一次不等式組的解法eq\a\vs4\al(例3)解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5≤3（x＋2），,2x－\f(1＋3x,2)<1，))把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，并寫(xiě)出不等式組的非負(fù)整數(shù)解．【解后感悟】求不等式組的解集，不管組成這個(gè)不等式組的不等式有幾個(gè)，都要先分別求解每一個(gè)不等式，再利用口訣“大大取大，小小取小，大小小大中間找，大大小小找不到(無(wú)解)”或利用數(shù)軸求出它們的公共解集，還要確定其中的特殊解．注意不等式中整數(shù)解問(wèn)題．3．解不等式組：(1)(2015·泰州)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1>2x，,\f(1,2)x＋3<－1；))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（x＋2）＞x＋8，,\f(x,4)≥\f(x－1,3)，))并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．類(lèi)型四不等式的解的應(yīng)用eq\a\vs4\al(例4)(1)(2017·麗水)若關(guān)于x的一元一次方程x－m＋2＝0的解是負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是()A．m≥2B．m＞2C．m＜2D．m≤2(2)若關(guān)于x的一元一次不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2m＜0，,x＋m＞2))有解，則m的取值范圍為()A．m＞－eq\f(2,3)B．m≤eq\f(2,3)C．m＞eq\f(2,3)D．m≤－eq\f(2,3)【解后感悟】(1)列出不等式是解題的關(guān)鍵；(2)本題是已知不等式組的解集求字母系數(shù)，是逆向思維問(wèn)題，故先求出不等式組的解集，再根據(jù)已知解集，列關(guān)系式求字母系數(shù)．4．(1)(2016·通州模擬)如果不等式(a－3)x>a－3的解集是x>1，那么a的取值范圍是()A．a(chǎn)<3B．a(chǎn)>3C．a(chǎn)<0D．a(chǎn)>0(2)(2017·金華)若關(guān)于x的一元一次不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1>3（x－2），,x<m))的解是x＜5，則m的取值范圍是()A．m≥5B．m＞5C．m≤5D．m＜5【閱讀理解題】(2017·湖州)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義關(guān)于“?”的一種運(yùn)算如下：a?b＝2a－b.例如：5?2＝2×5－2＝8，(－3)?4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3?x＝－2011，求x的值；(2)若x?3＜5，求x的取值范圍．【方法與對(duì)策】解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀材料，理解例題的解題過(guò)程．這類(lèi)題型復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意給出方法和過(guò)程．【求不等式組中字母系數(shù)范圍出錯(cuò)】如果一元一次不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>3，,x<a))關(guān)于x的整數(shù)解為4，5，6，7，則a的取值范圍是()A．7<a≤8B．7≤a<8C．a(chǎn)≤7D．a(chǎn)≤8參考答案第10講不等式與不等式組【考點(diǎn)概要】1．<<>>【考題體驗(yàn)】1．A2.A3.C4.x＜－15.－1＜x≤4.【知識(shí)引擎】【解析】(1)①②④(2)不唯一．選②和④，公共解為x≤eq\f(9,5)(3)④(4)解一元一次不等式(組)，注意去分母時(shí)，不要漏乘沒(méi)有分母的項(xiàng)；移項(xiàng)時(shí)要改變符號(hào)；最后一步把系數(shù)化為1時(shí)，需要看清未知數(shù)的系數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)．如果是正數(shù)，不等號(hào)方向不變；如果是負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變．【例題精析】例1(1)D；(2)B；(3)A例2去分母得：3(x＋1)＋2(x－1)≤6，去括號(hào)得：3x＋3＋2x－2≤6，解得：x≤1.例3eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5≤3（x＋2）①，,2x－\f(1＋3x,2)＜1②，))由①得：x≥－1，由②得：x＜3,不等式組的解集為：－1≤x＜3.在數(shù)軸上表示為：.不等式組的非負(fù)整數(shù)解為2，1，0.例4(1)C；(2)解不等式①得，x＜2m，解不等