石嘴山三中2024屆高三年級(jí)第三次模擬考試

文科教學(xué)試題

考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將

自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第H卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（1-i）2=（）

A.-2iB.2-2iC.-2-2iD.2i

2.集合A={x|x=3〃,"eN*}，8={6,8,10,12,14）,則集合NAB中元

素的個(gè)數(shù)為（）

A.5B.4C.3D.2

3.如圖所示，太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)紋組成的圖案。定義：能夠?qū)A。的周長(zhǎng)

和面積同時(shí)等分成兩部分的函數(shù)稱(chēng)為圓。的一個(gè)“太極函數(shù)”，則下列說(shuō)法錯(cuò)

誤的是（）___

A.對(duì)于任意一個(gè)圓。，其“太極函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)

B,函數(shù)=3%可以是某個(gè)圓的“太極函數(shù)”y

C.正弦函數(shù)＞=51僦可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”

D.y=/（x）是“太極函數(shù)”的充要條件為“y=/（x）的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖

形”

4.已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，且的%%=64,則log2%的值為（）

A.1B.2C.3D.4

5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》將兩底面為直角三角

形的直三棱柱稱(chēng)為塹堵，如圖，已知直三棱柱

ABC-4耳G是塹堵，其中ZBAC=90。，則下列說(shuō)法中錯(cuò)

誤的是（）

A.BC〃平面%cB.平面平面AC。

C.AB1B.CD.M8C為銳角三角形

6.將函數(shù)/（x）=sin2x的圖像向左平移;個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2

倍，得到g（x）的圖像，則g（x）=（）

A.cos4xB.—cos4x

C.cosxD.-cosx

7.一個(gè)體積為126的正三棱柱的三視圖如圖所示，

則這個(gè)三棱柱的側(cè)視圖的面積為（）

正視圖側(cè)視圖

A.60B.8

C.843D.12

俯視圖

8.在［-2,3］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)人,則“直線y=Ax+3與圓/+（y+2）2=9無(wú)公

共點(diǎn)”的概率為（）

9.如圖，過(guò)拋物線y?=2px（p＞。）的焦點(diǎn)F的直線-----------------5c

/交拋物線于兩點(diǎn)A、B,交其準(zhǔn)線于C,A%與

準(zhǔn)線垂直且垂足為A1，若BC=2|BF|,|AA/=3,則此°拋物線

的方程為（）

A.y2=^B.y2=9x

2

C.丫2=把D.y=3x

2

%2+x,—一1

10.已知函數(shù)〃x）=<]4,若/（X）的值域是[-2,2]，則。的值

log]x,—<x<c

.24

為（）

A.2B.2A/2C.4D.8

22

11.已知雙曲線石*暇=1（〃>0,6>0）的上、下焦點(diǎn)分別為"，工，直線

y=依化wO）與E的上、下支分別交于點(diǎn)A,B,若以線段A3為直徑的圓恰

好過(guò)點(diǎn)打，且忸國(guó)=；阿|,則E的離心率為（）

A.73B.2C.75D.2^/3

的大小關(guān)系為（）

A.小3>/討］>?B.小￡］〉》〉(；

C/卜捫小D./f-|V/(e-2)>/fln|

第口卷（非選擇題）

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知向量。=（-2,利）/=（1,2）,若向量〃在向量6方向上的投影為2,則實(shí)數(shù)機(jī)=

14.設(shè)S"是數(shù)列也｝（九eN+）的前〃項(xiàng)和，當(dāng)〃22時(shí)點(diǎn)（4T，2%）在直線y=2x+l上,

且4=2,則Sg的值為

15.已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球的半徑相等，則圓錐的體積與球

的體積的比值為.

16.已知函數(shù)〃司=3尤2-21nr+（a-1）尤+3在區(qū)間（1,2）上有最小值，則整數(shù)。的一

個(gè)取值可以是______________

三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?

21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要

求作答.）

（-）必考題：（共60分）

17.為了慶祝黨的二十大勝利召開(kāi)，培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興的時(shí)代新人，某高中在

全校三個(gè)年級(jí)開(kāi)展了一次“不負(fù)時(shí)代，不負(fù)韶華，做好社會(huì)主義接班人”演

講比賽.共1500名學(xué)生參與比賽，現(xiàn)從各年級(jí)參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)

生，并按成績(jī)分為五組：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得至I」

如下頻率分布直方圖，且第五組中高三學(xué)生占最

（1）求抽取的200名學(xué)生的平均成績(jī)1（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；

⑵若在第五組中，按照各年級(jí)人數(shù)比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取7人，再

從中選取2人組成宣講組，在校內(nèi)進(jìn)行義務(wù)宣講，求這2人都是高三學(xué)生的

概率；

⑶若比賽成績(jī)x>79+s（s為樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差），則認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀，試估計(jì)

參賽的1500名學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù).

參考公式：s=（力是第i組的頻率），

參考數(shù)據(jù)：730^5.5

18.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A5CD是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面

ABCD,PD=ZCD,點(diǎn)E在棱PC上，叢//平面E3Z).

⑴試確定點(diǎn)E的位置，并說(shuō)明理由；

⑵是否存在實(shí)數(shù)X,使三棱錐E-出＞。的體積為：，

若存在，請(qǐng)求出具體值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.在AABC中，角4,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,在下面三個(gè)條件中任選

一個(gè)作為條件，解答下列問(wèn)題，三個(gè)條件為：

①TbcosA=ccosA+acosC；②asinB=y/3bcosA；③cosC+(cosB-底inB)cosA=0.

(1)求角A的大??；

⑵若a=2V7,b+c=6,求AABC的面積.

20.已知函數(shù)"x)=e*-efinx,(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

⑴求曲線y=在x=0處的切線方程

⑵若不等式寸任意恒成立，求實(shí)數(shù)a-6的最大值；

22i

21.已知橢圓C的方程下方=l（a>b>0）,右焦點(diǎn)為尸。,0）,且離心率為:

（1）求橢圓C的方程；

⑵設(shè)A,B是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過(guò)尸的直線/交C于O,E兩點(diǎn)（其中。點(diǎn)在x

軸上方），求ABZ*與AAEF的面積之比的取值范圍.

（二）選考題（10分）

請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答.考生只能做所選定的題目.如果多做，

則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分.

22.【選修4-4,坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

x=2+2cosa

{，.'（a為參數(shù)），曲

線G是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l,0）且傾斜角為:的直線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸

為極軸，并取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系.

⑴求G的直角坐標(biāo)方程和C2的極坐標(biāo)方程；

（2）若曲線G的極坐標(biāo)方程為。=^（peR,且0WO）,設(shè)a與G和g的交點(diǎn)分

別為M,N,求的值.

23.【選修4-5,坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

已知函數(shù)〃X）=|2X-4|+|X-1].

⑴求不等式的解集；

⑵若函數(shù)/（X）的最小值為加，且正數(shù)。，包。滿足。+6+c="?,求證：^-+—+—>1.

bca

石嘴山三中2024屆高三三模考試數(shù)學(xué)(文科)試題

考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分

一、單選題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)

1.(1-i)2=

A.-2iB.2-2iC.-2-2iD.2i

【答案】A

2.集合A={x|x=3〃,"eN*}，8={6,8,10,12,14),則集合106中元素的個(gè)數(shù)為()

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

3.如圖所示，太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)紋組成的圖案。定義：能夠?qū)A。的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等

分成兩部分的函數(shù)稱(chēng)為圓。的一個(gè)“太極函數(shù)”，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.對(duì)于任意一個(gè)圓。，其“太極函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)

B.函數(shù)=3x可以是某個(gè)圓的“太極函數(shù)”

C.正弦函數(shù)丫=$12可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”

D.y=/(x)是“太極函數(shù)”的充要條件為“y=/(x)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形”

【答案】D

【分析】根據(jù)太極函數(shù)的定義，結(jié)合圓的對(duì)稱(chēng)性、奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性逐一判斷即可.

【詳解】任意一個(gè)圓。是關(guān)于圓心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，其“太極函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)，故A正確;

函數(shù)/(x)=x3-3x是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，將圓的圓心放在坐標(biāo)原點(diǎn)上，

則〃x)=x3-3x是該圓的“太極函數(shù)”，故B正確;

將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱(chēng)中心上，則正弦函數(shù)y=sinx

是該圓的“太極函數(shù)”，故有無(wú)數(shù)個(gè)圓成立，故c正確；

函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，則是“太極函數(shù)”，

但函數(shù)是“太極函數(shù)”時(shí)，圖象不一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形，如

圖，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

4.已知數(shù)列｛6｝等比數(shù)列，且4%%=64,則log2%的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》將兩底面為直角三角形的直三棱柱稱(chēng)為塹堵，如圖，已知

直三棱ABC-42G是塹堵，其中4AC=90。，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

4C,

B

A.8c〃平面3CB.平面480，平面AJC

C.D.48c為銳角三角形

【答案】C

【分析】利用線面平行判定定理直接證明可判斷A；證明耳，平面AGC,然后由線面垂直

的性質(zhì)可判斷B；假設(shè)A3,耳C,然后可證AB15C,即可判斷C；設(shè)=AC=j,e=z,

利用Y+y=BC2證明AB2+A,C2>BC2即可得ZBA.C為銳角，同理即可證明一ABC為銳角三角形,

可判斷D

【詳解】選項(xiàng)A：易知4G〃BC,又BCU平面BA。，平面BAC,

所以4G〃平面54C,故A正確.

選項(xiàng)B：因?yàn)?a4c=90。，所以

由直棱柱性質(zhì)可知與A，cq,

又cqcAG=G，cq，AGu平面4QC,所以用A，平面aqc,

而4Au平面44c,所以平面A4c，平面ace,故B正確.

選項(xiàng)C:假設(shè)AB'gC,因?yàn)锳B,g5,42cge=4,用氏用Cu平面qBC,

所以4?工平面旦BC,

又BCu平面qBC,所以AB/3C,這與/BAC=90。矛盾，所以C錯(cuò)誤.

選項(xiàng)D：設(shè)AB=x,AC=y,AA1=z,

則AB2+=(f+z?)+(丁+z?)>f+/=Be?,所以Ngc為銳角.

同理可得N4BC,/4CB均為銳角，故D正確.

故選：C

6.將函數(shù)/(x)=sin2x的圖像向左平移;個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到g(x)的圖像,

則g(x)=()

A.cos4xB.—cos4xC.cosxD.一cosx

【答案】C

7.一個(gè)體積為12g的正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱住的側(cè)視圖的面積為()

俯視圖

A.6A/3B.8C.D.12

【答案】A

【詳解】試題分析：依題意可得三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4正三角形.又由體積為12VL所以可

得三棱柱的高為3.所以側(cè)視圖面積為6百.故選A.

考點(diǎn)：1.三視圖的知識(shí).2.棱柱的體積公式.3.空間想象力.

8.在［-2,3］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)左，則事件“直線尸質(zhì)+3與圓必+（尹2）、9無(wú)公共點(diǎn)”發(fā)生的概

率為（）

A.工B.&C.2D.之

151555

【答案】B

【分析】根據(jù)直線與圓有公共點(diǎn)，求出左的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算即可.

【詳解】若直線>=依+3,即67+3=0與圓f+（y+2）2=9有公共點(diǎn),

則圓心到直線距離故3卡<5解得或4,4,

d=.>3--V/C<——

ViTF33

由幾何概型的概率公式，得事件“直線>=&+3與圓/+0+2>=9公共點(diǎn)”發(fā)生的概率為

8.

P_3_8

515

故選：B.

9.如圖，過(guò)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F的直線/交拋物線于兩點(diǎn)A、B,交其準(zhǔn)線于C,若

|BC|=2|BF|,|AAJ=3,則此拋物線的方程為（

A.y2=—xB.y2=9x

2

29o

C.D.y=3x

【答案】D

口解:如圖分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)

線于點(diǎn)E,D,設(shè)|BF|=a，則由已知得:|BC|=2a,由定

義得:|BD|=a，故4BCD=30°,

在直角三角形ACE中,；|A日=3,|AC|=3+3a,

???2|AE|=|AC|

3+3a=6,

從而得a=1,

?-BD〃FG,

qq求得p號(hào)

因此拋物線方程為y2=3x.

故選C

1

x9+x,-2WxW一

4

10.已知函數(shù)〃尤）=<,若若工）的值域是[-2,2],則C的值為（)

\ogix,—<x<c

24

A.2B.2近C.4D.8

【答案】C

【詳解】當(dāng)一時(shí)，/（x）=x2+x=fx+^->|一：￡一!，2,

4'，I2J44_

因?yàn)椤癤）的值域是[-2,2],又/（x）=log：在%c上單調(diào)遞減，

所以10gle=-2,;.c=4.

20

故選：C.

22

11.已知雙曲線E:當(dāng)-3=l（a>0,6>0）的上、下焦點(diǎn)分別為耳，％,直線尸丘（心0）與E的

上、下支分別交于點(diǎn)A,B,若以線段A3為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)耳，且忸用=:忸團(tuán)，則E的離

心率為（）

A.V3B.2C.y/5D.2白

【答案】C

【分析】由題意可知四邊形甲汽工是矩形，設(shè)怛閶=太忸胤=2左，所以山閭=限，再由雙曲線

的定義結(jié)合離心率的計(jì)算公式即可得出答案.

【詳解】如下圖，已知四邊形KAgB是平行四邊形,

又因?yàn)橐跃€段AB為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)耳，所以/圻;&=鳥(niǎo)=5,

又因?yàn)殁钜?；忸團(tuán)，設(shè)忸閶=■附=2左，所以閨閭

貝1J*3E的離心率為e=￡=，==^~=非.

a2a伊耳|一伊為k

12.若定義在R上的偶函數(shù)小)在曲+s)上單調(diào)遞增，則《百一劍卜”勺大小關(guān)系為

()

A.小升2)B.小,>/")>/卜

C-dT>"ln￡|>/(e-2)

D?/㈢>/")>小

【答案】A【詳解】因?yàn)?(X)是定義在R上偶函數(shù)，所以

J.Q13

因?yàn)閑3<上=所以O(shè)ve」v—vln工

232

因?yàn)椤ㄓ?在［0,+8)上單調(diào)遞增，所以故選：A.

〃十)

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知向量。=(-2,%),6=(1,2),若向量a在向量〃方向上的投影為2,則實(shí)數(shù)7”=________

【答案】m=y/5+l

【分析】利用向量的投影公式即可得解.

【詳解】因?yàn)椤?(-2,㈤出=(1,2),所以〃.0=-2+2小

所以向量a在向量b方向上的投影為Ia|cos6=^=多學(xué)=2,則〃?=行+1.

\b\V1+4

14.設(shè)S”是數(shù)列{q}(〃￡N+)的前〃項(xiàng)和，時(shí)點(diǎn)(％―1,24)在直線y=2x+l上，且4=2,則S9的

值為—

A.6B.7C.36D.32

【詳解】試題分析：由已知，皿=2-7,即4-4_】=(，可知數(shù)列為等差數(shù)列，且

公差為!，又函數(shù)y=v-2尤+3的最小值為2,即％=2,故$=9x2+竽X(M36

15.已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球的半徑相等，則圓錐的體積與球的體積的比值

為.

【答案】'

【分析】由軸截面為正三角形求出圓錐底面半徑與圓錐高的關(guān)系，求出圓錐的體積、球的體

積即可得解.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r,球的半徑為尼

因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高九=6廠，

由題可知：h=R=6r,

所以圓錐的體積為h=gx(兀xr2)xV3r=^-7ir3,

球的體積、=gnN=g兀x(&)3=4扃/,

63

所以乂=1，

V24K短12

故答案為：g.

16.已知函數(shù)〃司=3--21nx+(a-l)x+3在區(qū)間(1,2)上有最小值，則整數(shù)。的一個(gè)取值可以

是_______.

【答案】-4(答案不唯一，ow{aeZ|T0<a<-3}中的任意整數(shù)均可)

【分析】將問(wèn)題“了⑺在(L2)上有最小值"轉(zhuǎn)化為了‘(X)在(L2)上有變號(hào)零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的

函數(shù)值左負(fù)右正，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布求解即可.

【詳解】由/。)=3*-2111苫+(。-1)》+3可知，/'(x)=6%-2+4_]=6%+(。D”2,

尤x

又/(》)=3/-21nx+(a-l)x+3在(1,2)上有最小值，

所以廣⑴在(L2)上有變號(hào)零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，

令心)=6/+(a-l)x-2,則〃(x)在(1,2)上有變號(hào)零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，

'A=(a-l)2+4x6x2>0

所以/z(l)=6+a-l-2<0,解得—10<。<一3,

/?⑵=6x4+2(a-l)-2>0

又因?yàn)閍eZ,所以ae{aeZ|-10<a<-3}.

故答案為：-4(答案不唯一，ae{oeZ|-10<o<-3}中的任意整數(shù)均可).

三、解答題.(共70分)解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.為了慶祝黨的二十大勝利召開(kāi)，培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興的時(shí)代新人，某高中在全校三個(gè)年級(jí)

開(kāi)展了一次“不負(fù)時(shí)代，不負(fù)韶華，做好社會(huì)主義接班人”演講比賽.共1500名學(xué)生參與比

賽,現(xiàn)從各年級(jí)參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生,并按成績(jī)分為五組：[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100],得到如下頻率分布直方圖，且第五組中高三學(xué)生占。.

⑴求抽取的200名學(xué)生的平均成績(jī)7(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)；

⑵若在第五組中，按照各年級(jí)人數(shù)比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取7人，再?gòu)闹羞x取2人

組成宣講組，在校內(nèi)進(jìn)行義務(wù)宣講，求這2人都是高三學(xué)生的概率；

⑶若比賽成績(jī)x>79+s(s為樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差)，則認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀，試估計(jì)參賽的1500名

學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù).

參考公式：S=粒［一和力,（工是第i組的頻率），參考數(shù)據(jù)：聞。5.5

【答案】⑴75

⑵；

（3）105

【分析】（1）利用頻率分布直方圖中的平均數(shù)計(jì)算方法計(jì)算即可；

（2）先由題意求得抽到的高三學(xué)生人數(shù)，再利用古典概型與組合數(shù)即可求得所求概率；

（3）先利用題目所求標(biāo)準(zhǔn)差公式求得，，再求得優(yōu)秀成績(jī)所在區(qū)間的頻率，從而可估算得成

績(jī)優(yōu)秀的人數(shù).

【詳解】（1）依題意，得

還（55X0.0n+65X0.02+75X0.034+85X0.028+95X0.007）X10=75,

所以抽取的200名學(xué)生的平均成績(jī)1=75.

（2）由于第五組總共要抽取7人，高三學(xué)生占：，所以抽到的高三學(xué)生應(yīng)該有7x^=3人，

所以由古典概型可得這2人都是高三學(xué)生的概率為31.

21-7

（3）依題意，得

5=^（55-75）2X0.11+（65-75）2x0.2+（75-75）2x0.34+（85-75）2x0.28+（95-75）2x0.07

=J44+20+0+28+28=7120=2屈?11,

所以?xún)?yōu)秀的比賽成績(jī)應(yīng)該X>79+S=79+11=90，

而比賽成績(jī)?cè)冢?0,100］的頻率為：0.007xlO=0.07，

而1500x0.07=105，

故參賽的1500名學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為105人.

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面ABC。，PD=ACD,

點(diǎn)E在棱PC上，B4//平面EB"

p

⑴試確定點(diǎn)石的位置，并說(shuō)明理由；

⑵是否存在實(shí)數(shù)3使三棱錐E-3PD體積為;若存在，請(qǐng)求出具體值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【答案】(1)點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析

4

⑵存在4=2,使三棱錐E-3PD體積為§

【分析】

(1)連接AC,交BD于點(diǎn)0,連結(jié)0E,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，證出尸再結(jié)合。是

AC的中點(diǎn)，判斷出點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，可得答案；(2)若三棱錐E-9明體積為：，則可推出

三棱錐尸-3DC的體積為g,進(jìn)而利用棱錐的體積公式與底面A5CD,列式算出實(shí)數(shù)2的

值，即可得到答案.

【詳解】(1)點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，理由如下：

連接AC,交BD于點(diǎn)、0,連結(jié)0E,

底面ABCD是正方形，AC、相交于點(diǎn)0,

是AC的中點(diǎn)，

PA〃平面EBO,含于平面PAC,平面PAC平面=

■.PA//OE,APC中，。是AC的中點(diǎn)，

E是尸C的中點(diǎn).

(2)E為PC中點(diǎn)，

=

..VE—BPD5Vc—BPD=5Vp—DBC?

42

右VE—BPD=§，貝tlVp—DBC=§

PD_L底面ABC。，PD=ACD=2A,

SRCn=—2x2x2=2

11Q

-2A=-X2X2A=~,2=2.

.-.VP_DBC=--SBCD解得

4

，存在4=2,使三棱錐E-BPD體積為

19.在ASC中，角N,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件,

解答下列問(wèn)題，三個(gè)條件為：

①2ZJCOSA=ccosA+ocosC；②asinB=拒bcosA；③cosC+(cosB-yf^sinB^cosA=0.

(1)求角/的大??；

⑵若(2=25/7,6+c=6,求ABC的面積.

【答案】⑴:

⑵述

3

【分析】(1)根據(jù)正弦定理、三角恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解；

(2)由b+c=6可得。2+/=36-由(1),根據(jù)余弦定理和三角形面積公式計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)若選①：2bcosA=ccosA+acosC,

由正弦定理得2sinJ5cosA=sinCeosA+sinAcosC=sin(A+C),

又sin(A+C)=sinB,所以2sinBcosA=sinB,

XsinB>0,所以2cosA=l,即cosA=；,

又OVAVTI,所以A4；

若選②：asinB=y/3：bcosA,

由正弦定理得sinAsinB=\/^sin3cosA,

又sinB>0,所以sinA=V3COSA,即tanA=百，

又OVAVTI,所以A4；

若選③：cosC+(cosB-A/3sinB)cosA=0,

—cos(A+B)+(cosB-GsinB)cosA=0,

sinAsinB-cosAcosB+cosAcos3一括sinBcosA=0,

即sinAsinB-A/3sinBcosA=0,

又sinB>0,所以sinA—百cosA=0,即tanA=百，

又OVAVTI,所以A=g；

(2)由(1)知，A=g,

所以cosA，'/即Liz”，

2bc22bc

又6+c=6,所以+2Z?c+c?=36,得Z?2+c?=36—2￡>c,

所以5=36募；28,解得小g,

故s,ABC=-bcsinA=-x-x^-=^-.

ABC22323

20.已知函數(shù)/⑺=e，-e'sinx,(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

⑴求曲線y=/(x)在x=0處的切線方程

⑵若不等式人對(duì)任意xe[o,0恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值;

【答案】⑴y=i

⑵T

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求曲線在切點(diǎn)處的切線方程；

(2)求出函數(shù)〃x)在xe[o,3時(shí)的值域，可求實(shí)數(shù)。-6的最大值；

【詳解】(1)函數(shù)〃x)=e=e*sinx,xjog],“0)=e°-e°sin0=l,

/'(%)=e'-ex(sinx+cosx),/,(0)=e°-e°(sin0+cos0)=0,

所以曲線y=/(x)在x=o處的切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),切線斜率為o,

切線方程為y=i.

(2)/r(x)=ex-ex(sinx+cosx)=ex(1-sinx-cosx)

=ex1-V2sin[x+弓]=一虛e”sin(x+:_也

一了

因?yàn)閤e0,^,所以x+：e:空，

則sin］x+￡（N等，f,M<0,所以函數(shù)〃尤）在?上單調(diào)遞減.

/（"max=/（。）=e。-e。Sin0=1'/（x）mm=/0=/一e"嗚=。,

所以函數(shù)〃x）的值域?yàn)椋?』.

若不等式a<f（x）<b對(duì)任意xe［。,即亙成立，

則實(shí)數(shù)A-a的最小值為1-0=1,所以實(shí)數(shù)。-匕的最大值為-L

22

21.已知橢圓C的方程方方=l（a>6>0）,右焦點(diǎn)為尸（1,0）,且離心率為！

⑴求橢圓C的方程；

⑵設(shè)A3是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過(guò)尸的直線/交C于D,E兩點(diǎn)（其中。點(diǎn)在x軸上方），求

DBF與AAEF的面積之比的取值范圍.

【詳解】（1）設(shè)橢圓焦距為2c,

c1________

由題意可得c=l,e=‘=5，.?.々=2,6='片_。2=石，.............................3分

22

故橢圓方程為^+3=1................................................................4分

（2）當(dāng)/斜率不存在時(shí)，易知產(chǎn)=器...........................

5分

②當(dāng)/斜率存在時(shí)，設(shè)/：%="+1?。0),。(須，乂)(%>0),石(%2,%)(%V。)，

x=ty+l

由Ify2,得(3〃+4)V+6沙_9=。，顯然△=36/+36(3/+4)>0,

—+—=1

143

所以為+為=^,月％=一二’.........................................

7分

1a11

因?yàn)镾血=孝4用.也上王一為)，SBDF=-\BF\-\yi\=--yi,

1

二=：1%

所以產(chǎn)9分

，㈠2)3%

產(chǎn)

--4----=----4--->---4

3r+4343

4(%+%了

所以丁<0,

又（X+%丁=寸+2%