專題11對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).

2.通過實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理

解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).

3.了解指數(shù)函數(shù)尸a，與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a=l)互為反函數(shù).

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.對(duì)數(shù)的概念

如果/=Ma〉O,且aWl),那么數(shù)x叫做以a為底”的對(duì)數(shù)，記作x=log而其中a叫做

對(duì)數(shù)的底數(shù)，”叫做真數(shù).

2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式

(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì):①臚/=怨②logaa"=6(a>0,且aWl).

(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a>0且aWl,M>0,N>Q,那么

①log式磔—logaAH-loga7V；

②log歹logj/—loga小

③log/=0qg；幽(〃GR).

(3)換底公式：loga6=：°g''(a〉0,且aWl,b>0,c>0,且cWl).

log°a

3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y=logax(a>0,且a=l)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0,+

8).

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l0<a<l

[7=1產(chǎn)log/y%=1

U(LO).

圖象

0^(1,0)~x0

1尸

定義域：(0，+8)

值域：R

性質(zhì)當(dāng)x=l時(shí)，y=0,即過定點(diǎn)(1,0)

當(dāng)x>l時(shí)，y>0；當(dāng)x>l時(shí)，y<0；

當(dāng)0<Xl時(shí)，水0當(dāng)0<x<l時(shí)，y>0

在（0,+8）上是增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

4.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=a'（a>0,且a#l）與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log.（a>0,且aWl）互為反函數(shù)，它們的圖象

關(guān)于直線y=x對(duì)稱.它們的定義域和值域正好互換.

【常用結(jié)論】

1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論

⑴1小仁心?。，且后1；b〉。,且"1）.

（2）log拓=，log/（a〉0,且aWl；6〉0；m,aGR,且/WO）.

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較

如圖，作直線尸1,則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)葉—logd

的底數(shù).-—:->=1

故0<c<d<1<a<6.^-log,^

由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.?,

【方法技巧】

L在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用幕的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，使幕的

底數(shù)最簡(jiǎn)，然后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.

2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底

對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、暴再運(yùn)算.

3.a"=g6=log/（a>0,且a=l）是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意

互化.

4.在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)（與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、

最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等）排除不符合要求的選項(xiàng).

5.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

6.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清

三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；

三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)

合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.

二、【題型歸類】

【題型一】對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與求值

【典例1]（1）計(jì)算log535+21ogl添一logs需一log514的值.

2

(2)計(jì)算(Iog2125+log425+log85)(Iogi258+log254+log52)的值.

⑶設(shè)x,y,z均為大于1的實(shí)數(shù),且z為x和P的等比中項(xiàng),則*+E的最小值為.

41gxIgy一

【典例2](1)計(jì)算(Ig2￥+lg2?lg50+lg25的值；

(2)ifM(log32+log92)(log43+log83)的值；

⑶設(shè)函數(shù)f(x)=x,分(x)=log20i5X,=2,…，2015),記4=匕(功)一以2)|

ZU_L3

+I方(&)一以〃2)IH----H笈(〃2015)一右％2014)I,k=lf2,則()

A.71〈心

B.71=72

C.

D./i與心的大小關(guān)系無法確定

【典例3】設(shè)2'=5"=0,且,+)=2,則〃等于()

ab

A.V10B.10C.20D.100

【題型二】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【典例1】已知函數(shù)/'(x)=loga(2"+6—1)(a>0,且aWl)的圖象如圖所示，則a,6滿足的

關(guān)系是()

A.0<a-1<ZXlB.0<Z?<a-1<l

C.0<Z)-1<a<lD.0<a-1<A-1<l

【典例2】若方程4'=log"在(0,；上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【典例3]已知xi,劉分別是函數(shù)f(x)=e*+x—2,g(x)=lnx+x—2的零點(diǎn)，則e*+lnx2

的值為()

A.e2+ln2B.e+ln2

C.2D.4

【題型三】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的綜合問題

【典例1】已知函數(shù)f(x)=logl(/-2a^+3).

2

(1)若f(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)/<x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)f(x)在[―1,+8)內(nèi)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(4)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)?-8,-1],求實(shí)數(shù)a的值.

【典例2】已知函數(shù)f(x)=log4(ax2+2x+3).

(1)若/"(1)=1,求F(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使/>(X)的最小值為0?若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

1—mv

【典例3］已知函數(shù)F(x)=loga---^是奇函數(shù)(a>0,aWl).

X-L

(1)求力的值；

(2)判斷f(x)在區(qū)間(1,+8)上的單調(diào)性；

⑶當(dāng)a=1時(shí)，若對(duì)于［3,4］上的每一個(gè)x的值，不等式F(x)>|Jf+力恒成立，求實(shí)數(shù)6

的取值范圍.

【題型四】比較指數(shù)式、對(duì)數(shù)式大小

【典例1】設(shè)d=log3e,b=Q'\c=logj,則()

34

A.從a<cB.c〈a<b

C.c〈欣aD.a〈c〈b

【典例2】設(shè)z=log63,力=logi26,c=log2412,貝!J()

A.欣c<aB.a^c<b

C.水伙cD.c<Xa

【典例3】設(shè)a=logJ2,Z?=log515,c=log618,則()

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>b>a

【題型五】解對(duì)數(shù)方程、不等式

【典例1】方程log2（x-1）=2—log2（x+l）的解為.

【典例2】已知不等式logi.（2/+l）<log,（3x）<0成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

【典例3】若logaQ+l）〈logK2/）〈0（a〉0,aWl）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【題型六】對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【典例1】設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+l|—ln|2x—11,則f(x)()

A.是偶函數(shù)，且在七，+8）上單調(diào)遞增

是奇函數(shù)，且在卜am上單調(diào)遞減

B.

c.是偶函數(shù)，且在（一8,一，上單調(diào)遞增

D.是奇函數(shù)，且在（一8,一0上單調(diào)遞減

【典例2】若『（x）=lg（x2—2ax+l+a）在區(qū)間（一8,1］上單調(diào)遞減，貝|a的取值范圍為

A.[1,2)B.[1,2]

C.[1,+8)D.[2,+°0)

{(a—l)x+4—2a,KI,

【典例3]已知函數(shù)/"(x)=「、若f(x)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取

11+logzX,61,

值范圍是____________

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】已知loga(a+l)<log(a+i)a(a>0且aWl),則a的取值范圍是.

【訓(xùn)練二】已知函數(shù)f(x)=log2(2"+4)知WR).

(1)當(dāng)A=—4時(shí)，解不等式/>(X)>2；

(2)若函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)尸(0,1),且關(guān)于x的方程f(x)=x—20有實(shí)根，求實(shí)數(shù)〃的取值

范圍.

【訓(xùn)練三】已知函數(shù)/1(x)=1%萬.

⑴計(jì)算:A2020)+f(-2020)；

(2)對(duì)于xe[2,6],f(x)<lg,4K—；恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(x+l)(7—x)

【訓(xùn)練四】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椤ㄈ魸M足：①f(x)在。內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②存在[見

〃]=〃(〃>勿)，使得/1(X)在[如加上的值域?yàn)閇m，n\,那么就稱y=『(x)是定義域?yàn)?，的“?/p>

功函數(shù)”.若函數(shù)€5)=10“/+力(a>0且a=l)是定義域?yàn)镽的“成功函數(shù)”，則t的取

值范圍是()

A.0,I)B.0,1

C.1_8,力D.6,+8)

【訓(xùn)練五】已知/U)=|lg-kx-2,給出下列四個(gè)結(jié)論：

(1)若A=0,則/1(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)3A<0,使得f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；

(3以衣0,使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；

(4)三"〉0,使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn).

以上正確結(jié)論的序號(hào)是.

【訓(xùn)練六】已知函數(shù)1X)=3—21og2X,g(x)=log2X.

⑴當(dāng)x￡[l,4]時(shí),求函數(shù)力(x)="(x)+1]?g(x)的值域；

(2)如果對(duì)任意的xe[l,4],不等式人力?『(/)>#?g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

【單選題】

1.已知a=log2().2,6=2°\c=0.203,貝!!()

A.水伙cB.水c〈b

C.c^a〈bD.叢c<a

2.若函數(shù)尸F(xiàn)(x)是函數(shù)尸d(a>0,且aWl)的反函數(shù)且F(2)=1,則f(x)等于()

A.log2jrB.-pC.logjxD.2T

-2

3.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足施一

如=(lg/其中星等為隊(duì)的星的亮度為瓦(A=l,2).已知太陽(yáng)的星等是一26.7,天狼星的

星等是一1.45,則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為()

A.IO101B.10.1C.1g10.1D.1O-101

4.若函數(shù)f(x)=loga(x+6)的圖象如圖所示，其中a,6為常數(shù)，則函數(shù)g(x)=a*+6的圖

象大致是()

5.設(shè)函數(shù)f(x)=log/x|在(一8,0)上單調(diào)遞增，則F(a+1)與『(2)的大小關(guān)系是()

A.f(a+l)>F(2)B.f(a+l)〈f(2)

C.f(a+l)=f(2)D.不能確定

6.若函數(shù)尸logKx?—ax+1)有最小值，則a的取值范圍是()

A.0<a<lB.0<a<2,a#l

C.l<a<2D.a22

7.已知函數(shù)『5)=1。83(9'+1)+”是偶函數(shù)，則不等式/1(x)+4x<log32的解集為()

A.(0,+8)B.(1,+8)

C.(一8,o)D.(―0°,1)

”xWl,

8.設(shè)函數(shù)/U)=,,「則滿足F(x)W2的x的取值范圍是()

[1logzX,Az1f

A.[-1,2]B.[0,2]

C.[1,+°°)D.[0,+°°)

【多選題】

9.已知a,6〉0且aWl,若log/>l,貝U()

A.(a—1)(a—6)<0B.(a—1)(a—1>)>0

C.(b—1)(6—a)<0D.(b—1)(6—a)>0

10.已知函數(shù)/"(x)=log2(l—|x|),則關(guān)于函數(shù)/'(x)有下列說法，其中正確的說法為()

A.f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B./<x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

C./<x)的最大值為0

D.『5)在區(qū)間(—1,1)上單調(diào)遞增

11.已知函數(shù)y(x)=ln(x—2)+ln(6—x),貝!]()

A./U)在(2,6)上單調(diào)遞增

B.『(x)在(2,6)上的最大值為21n2

C.f(x)在(2,6)上單調(diào)遞減

D.尸/'(x)的圖象關(guān)于直線x=4對(duì)稱

12.在同一直角坐標(biāo)系中，『(1)=履+6與雇工)=108第的圖象如圖，則下列關(guān)系不正確的

是()

k<0,O<Z?<1

A>0,b>l

g⑴>0(x>0)

D.T>1時(shí),f(x)—g(x)>0

【填空題】

13.設(shè)2'=5'=%，且!+)=2,則勿=.

ab

14.已知函數(shù)p=loga(x+3)—1(a>0,aWl)的圖象恒過定點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為；

若點(diǎn)/也在函數(shù)ax)=3'+6的圖象上，則F(log32)=.

[Inx-\-b,x>l,

15.已知函數(shù)F(x)={*若F(e)=-3H0),貝!J8=，函數(shù)F(x)的