江蘇省南通市2024屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：考號：

一'選擇題

1.已知單位向量6，02的夾角為120。,則（29—62）芻=（）

A.-2B.OC.lD.2

2.在正方體ABC。-AgGR中，下列關(guān)系正確的是（）

A.AD±B{CC.ACXL\CD.AC,1CDY

3.一組樣本數(shù)據(jù)刪除一個(gè)數(shù)后，得到一組新數(shù)據(jù):10,21,25,35,36,40.若這兩組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)相等，則刪除的數(shù)為（）

A.25B.30C.35D.40

'2x+2-x,x<3

4.已知函數(shù)〃x）=/x、，/（log,9）=（）

/⑸,x〉3

AqB.WC圖

339

5.設(shè)％>0,y>0」+2y=2,則x+，的最小值為（）

xy

A.gB.2^/2+夜D.3

6.若函數(shù)/（x）=*+2x有大于零的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.a>—2B.。>—C.a<—2D.。<—

22

7.設(shè)拋物線C：/=?的焦點(diǎn)為F,C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A,過A的直線與C在第一象

限的交點(diǎn)為M,N,^.\FM|=3|7W|，則直線MN的斜率為（）

正立

A.B.lC.D._

2233

8.若cosa,cos(a-W[,cos]?+三j成等比數(shù)列，則sin2a=（

)

A,走B._走C.lD.-l

4634

二、多項(xiàng)選擇題

22

9.已知雙曲線c=1(6〉0)的右焦點(diǎn)為直線/：x+加=0是C的一條漸近線,P

4b2

是/上一點(diǎn)，則()

AC的虛軸長為20BC的離心率為指

C.IPFl的最小值為2D.直線PR的斜率不等于一也

2

10.已知2(4)=；2網(wǎng)4)=:若隨機(jī)事件4,3相互獨(dú)立,則()

11—4—4

A.P(B)=-B.P(AB)=—C.P(A|B)=JD.P(A+B)=-

11.已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對

稱,g(0)=g⑵=1,gO+y)+g(x—y)=g(x)/(y)，則()

A./(x)為偶函數(shù)B.g(x)為偶函數(shù)C.g(-l-x)=-g(-l+x)

D.g(l—x)=g(l+x)

三、填空題

12.設(shè)meR,i為虛數(shù)單位.若集合A={l,2m+(m-l)i},B={-2i,l,2},且A口B，則

m=.

13.在△ABC中,AB=S',A。=1,〃為3C的中點(diǎn),NM4c=60。,則AM=-

14.若正四棱錐的棱長均為2,則以所有棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的十面體的體積為，該

十面體的外接球的表面積為.

四、解答題

15.甲公司推出一種新產(chǎn)品，為了解某地區(qū)消費(fèi)者對新產(chǎn)品滿意度，從中隨機(jī)調(diào)查了

1000名消費(fèi)者，得到下表：

滿意不滿意

男44060

女46040

(1)能否有95%的把握認(rèn)為消費(fèi)者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)；

(2)若用頻率估計(jì)概率,從該地區(qū)消費(fèi)者中隨機(jī)選取3人，用X表示不滿意的人數(shù)，求X

的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附:片=————

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.10.050.01

k2.7063.8416.635

16.設(shè)函數(shù)/（%）=sin（公T+0）（G>O,O<0<兀）.已知的圖象的兩條相鄰對稱軸間的

距離為方且

（1）若“X）在區(qū)間（0,上有最大值無最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）設(shè)/為曲線丁=/（乃在％=-四處的切線，證明:/與曲線y=/（x）有唯一的公共點(diǎn).

6

17.如圖，邊長為4的兩個(gè)正三角形ABC,BCD所在平面相互垂直，E,R分別為

BC,CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AD上，AG^2GD,直線A3與平面ERG相交于點(diǎn)

A

（1）從下面兩個(gè)結(jié)論中選一個(gè)證明：

①BDHGH；②直線HE,GF,AC相交于一點(diǎn).

（2）求直線3。到平面ERG的距離.

18.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為Sn,S"=a0-4%,q=-1.

（1）證明:數(shù)列｛2“用-a“｝為等比數(shù)列；

（2）設(shè)勿=，^,求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和；

n（n+l）

（3）是否存在正整數(shù)p,q（p<6<4）,使得S.,臬,可成等差數(shù)列?若存在，求p,q;若不存在,

說明理由.

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓「：二+亡=1(?！?〉0)的離心率為逅，直線I

a2b②3

與r相切，與圓O:爐+y2=3a2相交于A,B兩點(diǎn).當(dāng)I垂直于x軸時(shí)AB卜2巫)■

(1)求F的方程；

(2)對于給定的點(diǎn)集M,N,若M中的每個(gè)點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn),且所有最小距

離的最大值存在，則記此最大值為d(M,N).

⑴若M,N分別為線段A3與圓。上任意一點(diǎn),為圓。上一點(diǎn)，當(dāng)鉆的面積最大時(shí)，求

d(M,N)；

(ii)若d(M,N),d(N,M)均存在，記兩者中的較大者為H(M,N).已知

H(X,y),H(Y,Z),"(X,Z)均存在，證明:H(X,Z)+H(Y,Z)>H(X,Y).

參考答案

1.答案：A

=—=—

解析：(2q—e?)■e?=2e1.e2—e?=2卜小e?卜。sl20—1^212x,

故選:A.

2.答案：D

解析：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1,

所以4(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),4(h0,1),(0,0,1),男(1,1,1),Q(0,1,1),

AD=(-l,0,0),BjC=(-1,0,-1),AD=(-1,0,-1),BD=(-1,-1,0),

AQ=(-1,1,1),AC=(-1,1,-1)，^=(O,-l,l)

對于A,AD-4C=-=故A錯誤；

對于B，4O.皮)=-Lx(-=故B錯誤；

對于C,AGTC=-1x(-l)+lxl+lx(-=故C錯誤；

對于D,AQ-CD[=-Lx0+lx(-l)+lxl=0,故D正確.

3.答案：B

解析：依題意，新數(shù)據(jù)組有6個(gè)數(shù)，其中位數(shù)是史至=30,

2

顯然原數(shù)據(jù)組有7個(gè)數(shù)，因此刪除的數(shù)是中位數(shù)30.

故選:B

4.答案：B

2、+2]<3

解析：因?yàn)?(%)=<x

,x>3

lo3

由于log29〉3,則/(log29)=/(|log29)=/(log23)=2^++=3+g=?.

故選:B

5.答案：C

解析：因?yàn)?+2y=2,所以,+y=1,

x2x

因x>O,y>0,所以％+，=x+—'\—+y\=—+xy+-^—+l

yIy八2x)22xy

=3+孫+，星+2>=+2><變\+萬

22孫2V2盯222

1

xy=---[_1+V2

當(dāng)且僅當(dāng)2孫即X=^~時(shí)取等.

—+y=1y=2—y/2

故選:C.

6.答案：C

解析：函數(shù)/(幻=6山+2%,

可得了'(%)=配加+2,

若a20"'(x)>0,此時(shí)f,(x)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，

故"0,令/'("=恁曲+2=0,解得》=：1111—：],

當(dāng)x〉』ln[—2]時(shí),/，(x)>0,當(dāng)x<，ln[—2]時(shí),/，(x)<0,

故x=，ln[-2]是/(x)=y+2%的極值點(diǎn)

aVa)

由于函數(shù)/(x)=e這+2%有大于零的極值點(diǎn)，

—Inf-->0nInf--<0=>0<<1，解得av-2.

a\a)Ia)a

故選:C.

7.答案：A

解析：根據(jù)題意可得拋物線C：/=?的焦點(diǎn)b(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=-l,

則有A(-l,0),設(shè)MN直線方程為y=%(x+l),%＞0,

聯(lián)立.，,：十°，可得心+(2左2-4卜+/=o,

則A=(28—4『一4左2.左2=一16仕—1)(左+1)＞0,得—1＜左＜1,故0(左＜1,

4-2k2

設(shè)〃(%,%),"(九2，%)，0＜々＜為，占+%2=-----------,X.X,=1,

k-一

M到準(zhǔn)線距離為,N到準(zhǔn)線距離為|MV[,

又|枚|二3|印|,有|W|二3|MV%即1+玉=3(1+%卜得玉=2+3々，

XyX2=(2+3%2)%2=1，又0<%2<七,解得％2=3,

解得左噂

xx+x2

故選:A

8.答案：B

解析：由cosa,cos[or-，cos，+成等比數(shù)列，得cos2ftz=cosacosftz+-1-

即斗l+cos(2"0]=cosatcosa-走sin)」』也-￡in2a,

2[I3〃I22J224

百.C11c^-sin2a，所以sin2a=

—I—cos2。+—sin2。——i—cos2。一

2444446

故選:B

9.答案：AD

221L.

解析：雙曲線c：工—匕=1的漸近線方程為桁±2y=0,依題意,'=-色解得人后,

4b'b2

對于A,C的虛軸長2/,=2也,A正確；

對于BC的離心率e=&+/=逅,B錯誤;

a2

對于C,點(diǎn)F（屈,0）到直線/：x+0y=0的距離I~~巴l=6'，即|P同的最小值為

/2+（42）2

血。錯誤；

對于D,直線/i0i的斜率為一字而點(diǎn)"在，上，點(diǎn)P在,上，則直線W的斜率

不等于_亞,D正確.

2

故選:AD

10.答案：BCD

解析：對B,。（劇A）=B^P(A3)J1

一1一—4，,P(AB)=—,B正確;

720

對A,P(AB)=P(A)P(B)=-P(B)P(B)=-,A錯誤;

54

]_

對C,P(AB)=P(A)P(B)=-x-=-,P(A|B)=)=[=±C正確;

545P(B)J_5

4

對D,p(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

__13134

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=-+---x-=-,D正確.

故選:BCD.

11.答案：ACD

解析：令y=—>,貝1Jg(x—y)+g(x+y)=g(x)/(—y),注意至Ug(x)不恒0,

故/(9)=/(-力故A正確;

因?yàn)?(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，所以/(2)=0,

令％=0,y=2,得g⑵+g(-2)=g(0)f(2)=0,

故g(—2)=—1wg(2)，故B錯誤；

令x=y=—1,得g(—2)+g(0)=g(—1)/(—1)=o,

令x=y=1,得g(2)+g(0)=g⑴”1)=2,故g⑴J⑴手0,

從而/(—l)w0,故g(—l)=0,

令x=—1,得g(-l+y)+g(-l-y)=0,化簡得g(—1-y)=-g(-l+y)，故C正確；

令y=2,得8(％+2)+8(％-2)=0,而g(l-x)=-g(x-3)=g(l+x)，故D正確.

故選:ACD.

12.答案：1

解析：集合A={1,2B+(L—l)i},5={—2i,l,2},且

則有2m+(“z-l)i=-2］或2〃2+(〃2-1萬=2,解得m=l

故答案為：1

13.答案：A

2

解析：在△ABC中，取AC的中點(diǎn)N,連接MN,由“為3C的中點(diǎn)，得MN，AB=立,

22

在△4VW中，由余弦定理得政V?=AM?+⑷y2_2AM.⑷VcosNCAM，

7iii33

則一=AM2+---AM,即AM2——AM——=0,而AM>0,所以AM=—.

442222

故答案為：3

2

14.答案：逆或兀

66

解析：正四棱錐p-ABCD的所有棱長為2,點(diǎn)A，8'，C，D',E,F,M,N是所在棱的中點(diǎn)，如

圖，

p

22

PB+PD=8=皮>2,即有PB_LPD，則正四棱錐P-ABCD的高為血,

干早1/I￡74A/21A/2A/2

^^VP_ABCD=-x4xV2=^-，VP_Ara=-xlx—=—,

SAAMN=L1X1=LA到平面的距離△=也，匕,杵=\\正=走,

△AMN222A332212

所以所求十面體的體積為V=%sf_s-4K?=華-24x落平;

3o126

令A(yù)C3￡>=a以直線。4,。氏。尸分別為X,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖，

則4夜,0,0），尸（0,0,夜），3（0,夜,0），。（0,-夜,0），則4冬。,孝，B'0,當(dāng)華

噌*。［

-—,0，設(shè)外接球球心O'（x,y,z）,半徑氏

7

O'A=Rx=0

O'B'=Ry=Q

則

O'M=Rz=0

O'N=RR-=1

所以十面體的外接球的表面積為S=4兀.

故答案為:還；4兀

6

15.答案：（1）有95%的把握認(rèn)為消費(fèi)者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)

（2）分布列見解析，期望E（X）=\

解析：（1）補(bǔ)全2x2列聯(lián)表如圖所示：

滿意不滿意總計(jì)

男44060500

女46040500

總計(jì)9001001000

/_1000x（440x40-460x60）2_40

?4.444>3.84b

—500x500x900x100—9

故有95%的把握認(rèn)為消費(fèi)者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān).

（2）由題知，從該地區(qū)的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取1人，不滿意的概率為L，x的所有可能取

10

值為0,1,2,3,

且p（x=o）/2]=理，P（X=I）=C12TX，=^.

UoJwoo3uoJiolooo

P（X=2）=C|x—xf—=^L,p（x=3）=d=-^—，

310uoj1000UoJ1000

所以X的分布列為：

X0123

72924327]

p

1000100010001000

訴「]…、n7291243c27°13

所以E（X）-0x+1x+2x+3x—.

100010001000100010

16.答案：（1）—<<—

12m12

（2）證明見解析

解析：（1）由題意可得周期T=0=2XH,故0=2,

CD2

11

=-COS夕=一/=>COS"=5,

由于9￡（0,冷，故"=],

故/(x)=sin+三J,

當(dāng)x￡(0,冽)時(shí),2x+方￡,2加+,

由于“X）在區(qū)間（。,加）上有最大值無最小值，故巴＜2根+巴《包，解得

312112

故臥空

(2)尸(x)=2cos[2x+]

故直線/方程為y=21x+f,

令g(x)=2]x+t]-sin[2x+1],則g'(x)=2-2cos[2x+1]>0,

故g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又g1-力=0'

因此g（x）有唯一的的零點(diǎn)-;，

故/與曲線y=/（X）有唯一的交點(diǎn)，得證.

17.答案：（1）證明見解析

⑵—

2

解析：（1）證明：若選①.

因?yàn)镋,R分別為BC,CD的中點(diǎn)，所以EF//BD.

又3￡＞仁平面EFG,EFu平面ERG,

所以8?！ㄆ矫鍱RG.

又5Du平面A3D,平面AB￡T'平面EFG=G?/,

所以BD//GH.

若選②.

在△ACD中，AG=2GD,歹為CD的中點(diǎn)，

所以GR與AC不平行.

如圖，延長GR,AC交于點(diǎn)K,則KeAC,KwGF.

又ACu平面ABC,尸Gu平面ERG,所以Kw平面ABC,Ke平面ERG.

又平面ABC平面EFG=HE,所以KGHE,所以HE,GF,AC相交于一點(diǎn).

（2）若第（1）問中選①.

由（1）知，平面ERG.

所以點(diǎn)3到平面EFG的距離即為BD到平面EFG的距離.

若第（1）問中選②.

因?yàn)镋,R分別為BC,CD的中點(diǎn)，

所以EF//BD.

又BDU平面EFG,EFu平面ERG,

所以8。〃平面ERG.

所以點(diǎn)B到平面EFG的距離即為BD到平面EFG的距離.

如圖，連接E4,ED.

因?yàn)椤鰽BC,△BCD均為正三角形，E為3c的中點(diǎn)，

所以EA上BC,EDLBC.

又平面ABC，平面BCD,平面ABC平面38=5。，E4u平面ABC,

所以EAL平面BCD,

又EDu平面BCD,所以石4J.ED.

以E為原點(diǎn)，EB,ED,EA所在直線分別為關(guān)軸、y軸、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)

系，

則E(0,0,0),5(2,0,0),F(-l,A0),G,乎乎

I丁0J

￡8=(2,0,0),Ek=(—l,Q,0),EG=/0,—,2^、

33J

設(shè)平面EFG的法向量為n=(x,y,z),

T+百y=0,

EF?〃二(),

則叫4百2百

EGn=0,------yH----------z=0.

I33

令y=1,得x=A/3,2=—2,則〃=(A/3,1,—2).

設(shè)點(diǎn)3到平面ERG的距離為d,則1=毆可273_V6

瓜一2

所以直線BD到平面EFG的距離為正

2

18.答案：(1)證明見解析;

(2)-_____i____?

82'+3(〃+I)'

C3)存在,p=5,q=8.

解析：⑴〃eN*，S,=4—4aa+i，當(dāng)〃22時(shí),S,i=q_1-4。"，

兩式相減得a“=a“一a”』一4a”+i+4a“，即4am=4a“-

則有2(2a“+i-%)=2an一,當(dāng)〃=1時(shí),句=a,-4a2，則a2=O,BP2a2-ax=1*0,

所以數(shù)列｛2a.-4｝是以1為首項(xiàng),;為公比的等比數(shù)歹U.

(2)由(1)得,24+]-4=*,則2"4+]-2"%〃=1,數(shù)列｛2"”“｝是等差數(shù)列,

nx"+2=：'1_1，]

于是2-an=n-2，解得an=9，則bn=

2n+3n(n+l)W2f2"(n+l)

所以也｝的前〃項(xiàng)和

-<_J_LfJ__O+p____11

r2+,,+3

"8[(2x2J[2x22X3J(2%2"(n+l)?82(n+l)

(3)由(1)知,S=匕_4XB=_2L

n2〃—i2〃2〃一i

由E小成等差數(shù)列，得點(diǎn)=一,$,整理彳號

由二+且=』，得工<』,又1Wp<6,peN*,L=§>W>3>白，P=5不等式成立,

2P2q162Pl6222232416

因止匕卷+著=11'即/=令’則%+

從而4=%>%>4〉。5〉，顯然4=■，即q=8,

所以存在2=5,4=8,使得3,56,517成等差數(shù)列.

2

19.答案：(1)工+,=1；

3-

⑵⑴鄉(xiāng)；

2

(ii)證明見解析.

解析：⑴因?yàn)楫?dāng)/垂直于x軸時(shí),|的=26,而直線/:尤=±a與F相切，則

2,3a2—a2=2屈，解得a="，

又橢圓F的離心率為日廁橢圓「的半焦距0=亞/=必二7=