2024年河南省周口市九年級中考一模數(shù)學(xué)試題（原卷版）

注意事項：

1.本試卷共4頁，三個大題，滿分120分，考試時間100分鐘.

2.本試卷上不要答題，請按答題卡上注意事項的要求直接把答案填寫在答題卡上.答在試卷上

的答案無效.

一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的.

1.下列是我國幾個軌道交通的Log。圖案，其中是中心對稱圖形的是（）

覆E2&

2.2024年元旦假期，哈爾濱旅游業(yè)火爆出圈！據(jù)哈爾濱文旅局測算，元旦假期三天哈爾濱旅游總收入約

59.14億元，達到歷史峰值.數(shù)據(jù)“59.14億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.59.14x1()8B.5.914x1()9C.5.914x10'°D.0.5914x10'°

3.如圖是由一個底面是正方形的長方體和一個圓柱組成的幾何體（圓柱底面圓心與正方形中心重合），關(guān)于

主視方向

A,主視圖與俯視圖相同B.左視圖與俯視圖相同

C.主視圖與左視圖相同D.三種視圖都相同

4.下列式子運算正確的是（）

A.(_a]=_ciB.2a（a-2Z?）=la2-lab

廣a八2ci5_—a7D.2/+3加=5//

5.如圖，將VADE沿直線DE折疊，使點4落在5C邊上的點尸處，。￡〃,若NC=70°,則ZFEC=

（）

BFC

A.50°B,40°C.30°D.20°

6.關(guān)于x的一元二次方程x2+fcc-2=0的根的情況是()

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

7.下圖是關(guān)于某市某天7時?16時這10個整點時刻的氣溫折線統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是()

A.7時?16時氣溫的極差是8。?B.7時?16時氣溫的眾數(shù)是9℃

C.7時?16時氣溫的中位數(shù)是6.5°CD.7時?16時氣溫的平均數(shù)是5.6℃

8.國產(chǎn)動畫電影《舒克貝塔?五角飛碟》于2024年元旦檔上映.電影的點映及預(yù)售總票房突破400萬元，

若以后每天票房按相同的增長率增長，兩天后累計票房收入達4000萬元.設(shè)票房收入的日均增長率為x,

則可列方程為()

A400+400x+400x2=4000B.400(1+x)2=4000

C.400+400(1+x)+400(l+x『=4000D.400+400(1+=4000

9.如圖，在Y/BCD中，NA4。與NCDZ的平分線相交于點O,且分別交5c于點￡,F.OP為OEF

的中線.已知毋^=3,OP=2,則Y45CD的周長為()

A.12B.17C.28D.34

10.如圖1,在。中，圓心角405=60°.點P從點8出發(fā)，繞著點。以每秒30°的速度在圓周上逆時

針旋轉(zhuǎn)到點4在旋轉(zhuǎn)過程中，線段NP的長度＞(cm)與旋轉(zhuǎn)時間f(s)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則下列說

法正確的是（）

A.e=8B.c-b=4C.a+d=6D.C（3,4）

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.汴繡是流傳于河南省開封市的傳統(tǒng)美術(shù),也是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.《東京夢華錄》中有“金碧

相射，錦繡交輝”之譽.某店以加元/個的價格售賣繡有不同圖案的香包，小磊購買了3個，共需支付

兀.

12.請寫出一個過點（1,1）的函數(shù)表達式：—.

13.斯蒂芬?庫里是美國職業(yè)籃球運動員，司職控球后衛(wèi)，效力于NBA金州勇士隊，下表是庫里一段時間

內(nèi)在罰球線上訓(xùn)練投籃的結(jié)果記錄：

罰球

4001000160020002887

總數(shù)

命中

348893143218022617

次數(shù)

罰球

命中0.870.8930.8950.9010.906

率

根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以估計，庫里在罰球線上投籃一次，投中的概率為（精確到0.1）

14.如圖，將等邊三角形4SC沿方向平移，使點3移動到的中點夕處，得到A'B'C.與

/C相交于點。，以O(shè)為圓心，長為半徑作/夕.若48=4,則陰影部分的面積為.

AA'

15.如圖，在矩形48CD中，AB=473.=4,取40的中點E,將線段4E繞點/旋轉(zhuǎn)得到線段/￡',

在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，BE'=.

三、解答題(本大題共8個小題，共75分)

16.(1)計算：|1—tan60°|—A/27+31；

a—2。+1

(2)化簡:

a+3<7+3

17.2023年8月24日中午12點，日本福島第一核電站啟動核污染水排海，預(yù)估排放時間將長達30年.某

學(xué)校為了解該校學(xué)生對此事件的關(guān)注與了解程度，對全校學(xué)生進行問卷測試，得分采用百分制，得分越高,

則對事件的關(guān)注與了解程度就越高.現(xiàn)從七、八年級學(xué)生中各隨機抽取20名學(xué)生的測試得分進行整理和分

析(得分用x表示，單位：分，且得分為整數(shù)，共分為5組，/組：0<x<60,2組：60<x<70,C組:

70<x<80,。組：80<x<90,￡組：90<x<100),下面給出了部分信息：

七年級被抽取的學(xué)生測試得分的所有數(shù)據(jù)為：48,62,79,95,88,70,88,55,74,87,88,93,66,

90,74,86,63,68,84,82；

八年級被抽取的學(xué)生測試得分中，。組包含的所有數(shù)據(jù)為：72,77,78,79,75.

七、八年級被抽取的學(xué)生測試得分統(tǒng)計表

平均眾中位

數(shù)數(shù)數(shù)

七年

77a80.5

級

八年

778977.5

級

八年級被抽取的學(xué)生測試得分扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）上述圖表中：a=,b=；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級學(xué)生在關(guān)注與了解日本核污染水排海事件上，哪個年級的學(xué)生

對事件的關(guān)注與了解程度更高？請說明理由（一條理由即可）；

（3）若該校七年級有學(xué)生900人，八年級有學(xué)生800人，估計該校這兩個年級的學(xué)生測試得分在C組的人

數(shù)一共有多少人？

18.如圖所示，直線歹=—』x+4與雙曲線y=4（x〉0）交于4（2,〃），3兩點，與y軸交于點D

2x

（1）求左,n的值；

（2）在y軸上有一點C,滿足％如=$△*?，求點C的坐標(biāo)；

（3）請直接寫出9+：x〉4（x〉0）的解集.

19.快舟湖北交廣號火箭發(fā)射成功（如圖1）,實現(xiàn)了2024年中國航天發(fā)射“開門紅”.其發(fā)射過程示意圖

如圖2.火箭從地面4處發(fā)射，前10s以44m/s的平均速度豎直上升到達點2.此時在雷達站尸處測得的火

箭仰角為6°.火箭再繼續(xù)上升10s后到達C處，此時在雷達站P處測得的火箭仰角為51°.求火箭在段

的平均速度.（參考數(shù)據(jù)：sin6°?0.10,cos6°?0.99,tan6°?0.11,sin51°?0.78,cos51°?0.63,

tan51°?1.235)

mi圖2

20.學(xué)生社團作為校園文化的重要載體，是培養(yǎng)學(xué)生興趣愛好，擴大求知領(lǐng)域，陶冶思想情操，展示才華智

慧的舞臺.某中學(xué)社團聯(lián)合舉辦了“青春匯聚迎盛會，百團奮進正當(dāng)時”的主題活動，鼓勵學(xué)生積極參與

社團活動.與此同時，學(xué)校計劃為參加活動的同學(xué)購買一批獎品.經(jīng)了解，購買2個/種獎品和1個2種

獎品需花費64元，購買1個N種獎品和4個8種獎品需花費88元.

(1)求/,2兩種獎品的單價；

(2)學(xué)校需采購兩種獎品共60個，且N種獎品的數(shù)量大于3種獎品數(shù)量的2倍.設(shè)購買/種獎品。個，

那么如何購買才能使花費最少？最少花費多少元？

21.在。中，AB=AC,連接5C.

(1)尺規(guī)作圖：過點/作交5。的延長線于點D(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)求證：AD為。的切線；

(3)若40=2,ZDBC=2ZABD,貝I。的半徑為.

22.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，二次函數(shù)3；="2+辦-4與y軸交于點/.已知拋物線頂點的縱坐標(biāo)為

-|.點P(加,")在此拋物線上.

(1)求出此拋物線的對稱軸和解析式；

3

(2)當(dāng)——V加＜1時，求"的取值范圍;

2

(3)若此拋物線在點尸右側(cè)的部分(不含點尸)上，恰好有三個點到x軸的距離為2,請直接寫出加的取

值范圍.

23.【特例感知】

(1)如圖1,48c為等腰直角三角形.將45。繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△48'。'，過C'作

交直線于點R直線班’與直線CR交于點G.則△C'8'G的形狀為三角形；

【類比探究】

(2)如圖2,將背景圖形”等腰直角三角形48C”換成“矩形/BCD”，其余條件均不變，(1)中的結(jié)

論是否成立，請說明理由；

【拓展應(yīng)用】

(3)在⑵的條件下，將“旋轉(zhuǎn)60°”換成“旋轉(zhuǎn)a(60°<a<360°)”.請直接寫出當(dāng)△C'8'G是等

腰三角形時a的值.

BB

圖I圖2

2024年河南省周口市九年級中考一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

注意事項：

1.本試卷共4頁，三個大題，滿分120分，考試時間100分鐘.

2.本試卷上不要答題，請按答題卡上注意事項的要求直接把答案填寫在答題卡上.答在試卷上

的答案無效.

一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的.

1.下列是我國幾個軌道交通的Log°圖案，其中是中心對稱圖形的是（）

B^^3CD

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的定義判斷即可，解題的關(guān)鍵是正確理解中心

對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖

形就叫做中心對稱圖形可得答案.

【詳解】A、圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形不重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；

B、圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形不重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形不重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，符合題意；

故選：D.

2.2024年元旦假期，哈爾濱旅游業(yè)火爆出圈！據(jù)哈爾濱文旅局測算，元旦假期三天哈爾濱旅游總收入約

59.14億元，達到歷史峰值.數(shù)據(jù)“59.14億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.59.14x108B.5.914xl09C.5.914xlO10D.O.5914xlO10

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為axlO",其中〃可以用整數(shù)位數(shù)

減去1來確定.用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意。的形式，以及指數(shù)〃的確定方法.

【詳解】解：59.14億用科學(xué)記數(shù)法表示為5.914x1（）9.

故選：B.

3.如圖是由一個底面是正方形的長方體和一個圓柱組成的幾何體（圓柱底面圓心與正方形中心重合），關(guān)于

主視圖，下列說法正確的是（）

A,主視圖與俯視圖相同B.左視圖與俯視圖相同

C.主視圖與左視圖相同D.三種視圖都相同

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了簡單的三視圖，根據(jù)三視圖方法分別找到主視圖、左視圖和俯視圖的形狀，然后

判斷即可.

【詳解】解：主視圖：是兩層，上面一個矩形，下面一個長方形，

左視圖：是兩層，上面一個矩形，下面一個長方形，

俯視圖是：底面是正方形，正方形表面中間是一個圓，

則主視圖和左視圖相同，

故選：C.

4.下列式子運算正確的是（）

A.（一a）~=—ciB.2o(a-26)=2a2-lab

C.=a7D.2a2+3ab3=5aV

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了合并同類項，積的乘方，同底數(shù)幕的乘法，單項式乘多項式，熟練掌握以上的知識點

是解題的關(guān)鍵；根據(jù)合并同類項，積的乘方，同底數(shù)幕的乘法，單項式乘多項式的計算方法，逐項計算即

可；

【詳解】解：A、（―°）2=。2,故本選項不符合題意；

B、2a^a-2b^=2a2-4ab,故本選項不符合題意；

C、故本選項符合題意；

D、2/與不是同類項，無法合并，故本選項不符合題意；

故選：C.

5.如圖，將V4DE沿直線DE折疊，使點/落在5C邊上的點尸處，￡>￡〃,若NC=70°,則NFEC=

)

A.50°B,40°C.30°D.20°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)；

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得//￡。=/。=70。，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出/?！晔?，進而可計算/在C的度數(shù).

【詳解】解：；￡>￡〃5C，ZC=70°,

ZAED=NC=70°，

由折疊得：ZDEF=ZAED=70°,

...ZFEC=180°-ZAED—ZDEF=180°-70°-70°=40°,

故選：B.

6.關(guān)于x的一元二次方程x2+kx-2=0的根的情況是（）

A,有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程。/+6x+c=0（。/0）中，當(dāng)△>0時,

方程有兩個不相等的實數(shù)根是解題的關(guān)鍵.根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可.

【詳解】解：△=產(chǎn)-4x1x（-2）=左2+8>0,

???方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：A.

7.下圖是關(guān)于某市某天7時?16時這10個整點時刻的氣溫折線統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（)

A溫度/℃

A.7時?16時氣溫的極差是8°CB.7時?16時氣溫的眾數(shù)是9℃

C.7時?16時氣溫的中位數(shù)是6.5℃D.7時?16時氣溫的平均數(shù)是5.6℃

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)以及極差的定義，直接利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)以及極差的

定義分別分析得出答案.

【詳解】解：A.極差是9-1=8(℃),故此選項正確，不符合題意；

B.3℃,1℃,2℃,4℃,6℃,7℃,8℃,9℃,9℃,7℃,眾數(shù)是7℃,9℃,故此選項不正確，符合題意；

C.氣溫按從低到高順序排列為1℃,2℃,3℃,4℃,6℃,7℃,7℃,8℃,9℃,9℃,故中位數(shù)是1=6.5(℃),

故此選項正確，不符合題意；

D,平均數(shù)為℃+2℃+3℃+4℃+6℃+7℃+7℃+8℃+9℃+9℃)=5.6(℃),故此選項正確，不符合

題意；

故選：B.

8.國產(chǎn)動畫電影《舒克貝塔?五角飛碟》于2024年元旦檔上映.電影的點映及預(yù)售總票房突破400萬元，

若以后每天票房按相同的增長率增長，兩天后累計票房收入達4000萬元.設(shè)票房收入的日均增長率為x,

則可列方程為()

A.400+400x+400x2=4000B.400(1+x)2=4000

C.400+400(l+x)+400(l+x)2=4000D.400+400(1+x)2=4000

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)增長率記作X,分別求得三天的收入，根據(jù)三天累計票房收入

達4000萬元，列方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)票房收入的日均增長率為x,根據(jù)題意得：

400+400(l+x)+400(l+x)2=4000,

故選：C.

9.如圖，在Y48CD中，NA4D與NCDZ的平分線相交于點。，且分別交于點E,F.OP為OEF

的中線.己知毋^=3,OP=2,則Y/BCD的周長為()

A.12B.17C.28D.34

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上

的中線等于斜邊的一半等知識，根據(jù)45〃。。，AE平分/BAD,DF平分NADC,得

ZAOD=ZEOF=90°,根據(jù)OP是Rtz\O斯的中線，得OP=EP=FP,根據(jù)4E平分NBND,

AD//BC,得AB=BE，根據(jù)DE平分NZDC,AD//BC,得CD=CF,即可求得5C,即可求

/BCD的周長.

【詳解】解：平行四邊形48CO,

AB//DC,AD//BC,

ZBAD+ZADC=13Q°,

AE平分/BAD,DF平分NADC,

:.ZOAD+ZODA=90°,

ZAOD=/EOF=90°,

O尸是RtzXOEF的中線，

OP=LEF,

2

OP=EP=FP,

BF=3,OP=2,

:.BE=BF+EP+FP=3+2+2=l,

4E平分/BAD,

NDAE=ZBAE,

AD//BC,

/DAE=ZAEB,

ZBAE=/BEA，

AB=BE，

BE=7,

AB=CD=BE=1,

DF平分/4DC,

：.ZADF=ZCDF,

AD//BC,

NADF=ZCFD,

ZCDF=ZCFD,

CD=CF,

CD=AB=7,BF=3,

:.BC=CF+BF=1+3=10,

A5C。的周長為=2（A8+BC）=2X（7+10）=34,

故選：D.

10.如圖1,在。中，圓心角N/OB=60。.點P從點5出發(fā)，繞著點。以每秒30°的速度在圓周上逆時

針旋轉(zhuǎn)到點4在旋轉(zhuǎn)過程中，線段4P的長度y（cm）與旋轉(zhuǎn)時間，（s）的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則下列說

圖1圖2

A.e=8B.c-b=4C.a+d=6D.C（3,4）

【答案】B

【解析】

【分析】此題考查了動點的的函數(shù)圖象、垂徑定理、解直角三角形等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的

關(guān)鍵.根據(jù)點尸的位置和NP的長度，分別畫出圖形，結(jié)合函數(shù)圖象給出的信息，逐項進行求解即可作出判

斷.

360°—60°

【詳解】解：當(dāng)/=----------=10時，點尸與點N重合，此時4P=0,

30°

由圖象可知，e=10,故選項A錯誤，不符合題意；

由圖象可知，當(dāng)，=0時，y=2cm,此時點尸與點3重合，即4P=48=2cm,

如圖,

?：ZAOB=60°,OA=OB,

408是等邊三角形，

OA=OB=2cm,即O的半徑為2cm,

當(dāng)y=2小時，即鋁=伍=2V3cm,

過點。作ODLZR于點。，則七=，2已=?cm,如圖,

2

ZAOD=NDOR=60°,

即NAOP,=120°,

同理可得，ZAOP3=120°,

360°-120°-60°1200-60°

此時t=6或/==2,

30°30°

由圖象可知，b=2,c=6,

：.c-b=4,故選B正確;

當(dāng)y=2J5時，即APt=AP2=2J5cm,如圖,

?：AO2+OP,2=AO2+OP/=22+22=8=^2=AP/,

：.ZAOP,=ZAOP2=90°,

?,90°-60°—、180°+90°-60°〃

此時/=---------=］或/=---------------=7,

30°30°

由圖象可知，a==7,

a+d=8,故選選項C錯誤，

當(dāng)點尸旋轉(zhuǎn)到4P=4cm,即4P是直徑，y取最大值時，如圖,

則由圖象可知，點。的坐標(biāo)為（4,4）,故選項D錯誤,

故選：B.

二、填空題（每小題3分，共15分）

II.汴繡是流傳于河南省開封市的傳統(tǒng)美術(shù)，也是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.《東京夢華錄》中有金碧

相射，錦繡交輝”之譽.某店以加元/個的價格售賣繡有不同圖案的香包，小磊購買了3個，共需支付

兀.

【答案】3m

【解析】

【分析】本題考查了列代數(shù)式，根據(jù)總價=單價x數(shù)量，解題的關(guān)鍵是找出題目中的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】解：根據(jù)題意，小磊購買了3個香包共需支付：

掰x3=3加（元），

故答案為：3m.

12.請寫出一個過點（1,1）的函數(shù)表達式：—.

【答案】y=x或y=，或y=x2（答案不唯一）.

x

【解析】

【分析】由函數(shù)圖象過點（1,1）,設(shè)該函數(shù)的表達式為＞=h或y=?或y=ax2,將點的坐標(biāo)代入求函數(shù)的

X

表達式.

【詳解】解：設(shè)該函數(shù)的表達式為夕=依或y=?或產(chǎn)依2,

把點（1,1）代入，

可分別求出表達式為：y=x或y=，或y=x2,

x

故答案為：y=x或y=L或y=x2（答案不唯一）.

x

【點睛】本題考查了反比例（一次、正比例或二次）函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)

表達式是解題的關(guān)鍵.

13.斯蒂芬?庫里是美國職業(yè)籃球運動員，司職控球后衛(wèi)，效力于NBA金州勇士隊，下表是庫里一段時間

內(nèi)在罰球線上訓(xùn)練投籃的結(jié)果記錄：

罰球

4001000160020002887

總數(shù)

命中

348893143218022617

次數(shù)

罰球

命中0.870.8930.8950.9010.906

率

根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以估計，庫里在罰球線上投籃一次，投中的概率為（精確到0.1）

【答案】0.9

【解析】

【分析】本題考查利用頻率估計概率.根據(jù)大量重復(fù)試驗，某事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在一個數(shù)值附近，這個

數(shù)值即為該事件發(fā)生的概率，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握概率的求法和正確分析表中數(shù)據(jù).根據(jù)大量重復(fù)

試驗，某事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在一個數(shù)值附近，這個數(shù)值即為該事件發(fā)生的概率，結(jié)合表格，即可得出結(jié)

果.

【詳解】解：由頻率分布表可知，隨著投籃次數(shù)越來越大時，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)0.87-0.906之間附近,

且精確到0.1,

，這名球員在罰球線上投籃一次，投中的概率為0.9,

故答案為：0.9.

14.如圖，將等邊三角形45。沿方向平移，使點3移動到的中點夕處，得到A'B'C.4B'與

/C相交于點。，以。為圓心，長為半徑作4g，.若48=4,則陰影部分的面積為.

【答案】2^3——

3

【解析】

【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定以及性質(zhì)，平移的性質(zhì)，扇形的面積計算，連接過。點

分別作0?！繠C與點、D,設(shè)AB與4B'交與點、E，連接利用等邊三角形的性質(zhì)先證明△08'C和

△4EO是等邊三角形，然后根據(jù)S陰=5ABC一$AEO-SOB'C~S扇￡0*計算即可.

【詳解】解：連接48',過。點分別作0。1BC與點、D,設(shè)AB與4B'交與點、&連接

如下圖：

BB'DcC

==點"為的中點，

AB'1.BC,BB'=B'C=-BC=2,

2

AB'=^AB2-BB'2=V42-22=2G，

S=—xBCxAB'=—x4x2S'=4-V3,

ABrtCr22

..?等邊三角形48C沿BC方向平移得到A'B'C',

NAB'C=NB=NC=60°,

：.ZB'OC=6Q°,

：.△08'。是等邊三角形，

OB'=OC=B'C=2,

OD1BC,

B'D=—B'C=—x2=1

22

OD=OB2-B'D2=A/22-12=拒，

SOB,C=5'ODxB'C=—xV3x2=y/3,

：4S，是以。為圓心，C%長為半徑，

，AO=OE=OB',

又NZ=60°,

/\AEO是等邊三角形，且S4E0=SOB'C=G，

ZEOB'=1800-ZAOE-ZB'OC=60°,

.6Q07TX222

,?扇EOB-360。-3n'

SW=SABC~SAEO~SOB'C—S扇EOB'='6一~~=26一~7T

故答案為：2-\/3-----.

3

15.如圖，在矩形48CD中，AB=473.=4,取4D的中點E,將線段4E繞點/旋轉(zhuǎn)得到線段/￡',

在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，BE'=

【答案】或2M

【解析】

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形.

由旋轉(zhuǎn)可得=又ZAE'D=90。,可得ND4￡'=60°.分兩種情況討論：①若點￡'在矩

2

形ABCD的內(nèi)部，過點E'作E'F_L于點凡根據(jù)矩形的性質(zhì)可求得ZE'AB=ZDAB-ZDAE'=30°,

從而在Rt/￡戶中，通過解直角三角形得到4F=G，進而得到8尸=36，因此根據(jù)勾股定理在

RtBE空中,即可求解BE'.②若點￡'在矩形48CD的外部，同①即可求解.

【詳解】：點E是4D的中點，

AE=—AD=—x4=2,

22

由旋轉(zhuǎn)可得=AE=2

,/AE'1DE',

ZAE'D=90°,

?/AE'=2,AD=4,

.eAE'21

..cosND4E-----——=—,

AD42

/DAE'=60°,

ZE'AB=/DAB-ZDAE'=90°-60°=30°,

過點￡'作E'F±AB于點F,

：.ZE'FA=ZE'FB=90°,

E'F=~AE'=-x2=\,

22

AF=AE'-cosZE'AF=2-cos300=6，

,/AB=4日

BF=AB-AF=4G=36,

=^（3V3）2+12=277.

...在RtBE'F中,BE'=yjBF2+E'F2

②如圖，若點E'在矩形48CO的外部,

過點E'作E'F1AB于點F,

，ZF=90°,

:在矩形48C。中，ZDAB=90°,

ZE'AF=180°-ZDAB-ZDAE'=1300-90°-60°=30°,

E'F=~AE'=-x2=l,

22

AF=AE'-cosZE'AF=2-cos3Q°=^3，

,/AB=45

：.BF=AB+AF=4布+6=5后，

在RtBE'F中，BE'=^BF2+E'F2=《5⑹2+I2=2M.

綜上所述，BE'=25或2M.

三、解答題（本大題共8個小題，共75分）

16.（1）計算：|1—tan60°|—A/27+31；

」a2-2a+1

(2)化簡:1

。+3a+3

【答案】（1）—2A/^—；（2）-----

3a-1

【解析】

【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)混合運算以及分式化簡等內(nèi)容，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的

關(guān)鍵.

(1)先把特殊角的三角函數(shù)值化簡以及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，再化簡絕對值以及求一個數(shù)的立方根，即可作答.

(2)先在括號內(nèi)通分，再運算除法，即可作答.

【詳解】(1)原式=卜——+；

=73-1-373+-

3

a+3—4a+3

(2)原式—

a+3("if

a-1

(a—以

1

(7-1

17.2023年8月24日中午12點，日本福島第一核電站啟動核污染水排海，預(yù)估排放時間將長達30年.某

學(xué)校為了解該校學(xué)生對此事件的關(guān)注與了解程度，對全校學(xué)生進行問卷測試，得分采用百分制，得分越高,

則對事件的關(guān)注與了解程度就越高.現(xiàn)從七、八年級學(xué)生中各隨機抽取20名學(xué)生的測試得分進行整理和分

析(得分用x表示，單位：分，且得分為整數(shù)，共分為5組，/組：0<x<60,8組：60<x<70,CM：

70<x<80,。組：80<x<90,￡■組：90<x<100下面給出了部分信息：

七年級被抽取的學(xué)生測試得分的所有數(shù)據(jù)為：48,62,79,95,88,70,88,55,74,87,88,93,66,

90,74,86,63,68,84,82；

八年級被抽取的學(xué)生測試得分中，C組包含的所有數(shù)據(jù)為：72,77,78,79,75.

七、八年級被抽取的學(xué)生測試得分統(tǒng)計表

平均眾中位

數(shù)數(shù)數(shù)

七年

77a80.5

級

八年

778977.5

級

八年級被抽取的學(xué)生測試得分扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）上述圖表中：a=,b=；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級學(xué)生在關(guān)注與了解日本核污染水排海事件上，哪個年級的學(xué)生

對事件的關(guān)注與了解程度更高？請說明理由（一條理由即可）；

（3）若該校七年級有學(xué)生900人，八年級有學(xué)生800人，估計該校這兩個年級的學(xué)生測試得分在C組的人

數(shù)一共有多少人？

【答案】（1）88；25

（2）七年級更高（答案不唯一）

（3）估計該校這兩個年級的學(xué)生測試得分在。組的人數(shù)一共有380人.

【解析】

【分析】本題考查了中位數(shù)，眾數(shù)，扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，掌握題意讀懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵.

（1）根眾數(shù)的定義及根據(jù)C等級包含的數(shù)據(jù)有5個，且共20個數(shù)據(jù)，計算即可；

（2）可從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等角度分析求解；

（3）用樣本估計總體解答即可.

【小問1詳解】

解：由題意得，七年級被抽取的學(xué)生測試得分中88分，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

七年級的眾數(shù)a=88；

八年級被抽取的學(xué)生測試得分中C等級包含的數(shù)據(jù)有5個，

八年級被抽取的學(xué)生測試得分中。等級的百分比為：—X100%=25%,

20

.-.6=25,

故答案為：88,25；

【小問2詳解】

解：七年級學(xué)生對事件關(guān)注與了解程度更高.理由如下：

七年級測試得分的中位數(shù)80.5分大于八年級測試得分的中位數(shù)77.5分;

【小問3詳解】

45

解：900x—+800x—=380（人）,

2020

答：兩個年級測試得分在C組的人數(shù)一共有380人.

1k

18.如圖所示，直線歹=—一X+4與雙曲線y=—（x>0）交于，3兩點，與y軸交于點D

2x

（2）在V軸上有一點C,滿足%/oc=Sao，求點。的坐標(biāo);

（3）請直接寫出9+4工〉4（》〉0）的解集.

x2

【答案】（1）左=6,n=3

（2）點C的坐標(biāo)為（0,8）或（0,—8）

（3）0<x<2或x>6

【分析】此題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，求函數(shù)解析式，利用圖象交點求不等式的解集:

（1）利用y=-gx+4求出點N的坐標(biāo)，再將點/的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出人即可;

（2）先求出點。和3的坐標(biāo)，根據(jù)5~"=5"98=%。m-工血）得到54"=8,設(shè)C（0,加），列得

—x2|m|=8,求出冽即可；

（3）將9+1x〉4（x〉0）變形為,>-Jx+4,根據(jù)圖象直接解答.

x2xz

【小問1詳解】

將點/（2,〃）代入y=—；x+4,得〃=—；x2+4=3,

4（2,3）,

將/（2,3）代入y=±（x〉0）,

X

???左=2x3=6；

【小問2詳解】

令歹=—gx+4中x=0,得y=4,

.-.￡>(0,4),

1,

y=——x+4

解方程組《2

6

y=-

X

x=6x=2

得片1或

J=3

.-.5(6,1),

?,$AAOC=S/\AOB=SAOBD—SMOD=I*6—,x4x2=8,

設(shè)C（0,加），

1.；x2同=8,

"7=±8,

...點C的坐標(biāo)為（0,8）或（0,—8）；

【小問3詳解】

9+^x〉4即為白>-[x+4,

x2x2

根據(jù)圖象得0<x<2或x>6.

19.快舟湖北交廣號火箭發(fā)射成功（如圖1）,實現(xiàn)了2024年中國航天發(fā)射“開門紅”.其發(fā)射過程示意圖

如圖2.火箭從地面N處發(fā)射，前10s以44m/s的平均速度豎直上升到達點8.此時在雷達站尸處測得的火

箭仰角為6。.火箭再繼續(xù)上升10s后到達C處，此時在雷達站尸處測得的火箭仰角為51°.求火箭在段

的平均速度.(參考數(shù)據(jù)：sin6°土0.10,cos6°土0.99,tan6020.11,sin51°?0.78,cos51°?0.63,

tan51°?1.235)

【答案】火箭在段的平均速度為450m/s

【解析】

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義，根據(jù)三角函數(shù)定

義求出4P=—―一?—=4000（m）,AC=tan51°?4000x1.235=4940（m）,根據(jù)速度公

tanZBPA0.11'）'）

4940-440

式求出v=OC=450（m/s）.

1010

【詳解】解：由題可知48=44x10=440.

設(shè)火箭在段的平均速度為v,則8C=10v,

在RtZ8P中，ZBPA=6°,

VtanZBPA=——,

AP

：.AP=———工型=4000（m）,

tanZBPA0.11'）

在Rt/CP中，ZCPA=51°,

Ar

Vtan^——

AP

：.AC=AP-tan51°?4000x1.235=4940（m）,

BC4940-440

.?V-----=450（m/s）.

1010

答:火箭在BC段的平均速度為450m/s.

20.學(xué)生社團作為校園文化的重要載體，是培養(yǎng)學(xué)生興趣愛好，擴大求知領(lǐng)域，陶冶思想情操，展示才華智

慧的舞臺.某中學(xué)社團聯(lián)合舉辦了“青春匯聚迎盛會，百團奮進正當(dāng)時”的主題活動，鼓勵學(xué)生積極參與

社團活動.與此同時，學(xué)校計劃為參加活動的同學(xué)購買一批獎品.經(jīng)了解，購買2個/種獎品和1個2種

獎品需花費64元，購買1個N種獎品和4個8種獎品需花費88元.

(1)求/,2兩種獎品的單價；

(2)學(xué)校需采購兩種獎品共60個，且N種獎品的數(shù)量大于8種獎品數(shù)量的2倍.設(shè)購買4種獎品。個，

那么如何購買才能使花費最少？最少花費多少元？

【答案】(1)/種獎品的單價為24元，8種獎品的單價為16元

(2)購買4種獎品41個、3種獎品19個時花費最少，最少為1288元

【解析】

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的性質(zhì)

(1)設(shè)/種獎品的單價為x元，8種獎品的單價為y元.根據(jù)題意，列出方程組求解即可；

(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，先求出。的取值范圍，在列出w關(guān)于。的一次函數(shù)關(guān)系式.根據(jù)一次函數(shù)的

增減性即可求解.

【小問1詳解】

解：設(shè)/種獎品的單價為X元，3種獎品的單價為了元.

2x+y=64

則有《

x+4y=88

x=24

解得《

J=16

答：N種獎品的單價為24元，8種獎品的單價為16元.

【小問2詳解】

設(shè)花費w元，購買B種獎品（60-a）個.

a>2（60-。）,

?>40.

w=24（7+16（60-?）=8a+960.

?/8>0,

...卬隨。的增大而增大.

由題知.為正整數(shù)，

取最小值41時，1V有最小值，TV的最小值為8x41+960=1288（元）.

60-<7=19.

答:購買/種獎品41個、5種獎品19個時花費最少，最少為1288元.

21.在。中，AB=AC,連接

（1）尺規(guī)作圖：過點N作4D〃BC,交5。的延長線于點。（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）求證：AD為。的切線；

（3）若/￡>=2,ZDBC=2ZABD,貝！IO的半徑為.

【答案】（1）圖見解析

（2）證明見解析（3）2

【解析】

【分析】本題考查了圓的綜合，熟悉相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵，（1）以4為圓心，長為半徑畫弧,

以C為圓心N8長為半徑畫弧交于點P,連接NP,延長80交工尸于點。即可；（2）連接N0并延長交6。

于點"，證明是線段5C的垂直平分線即可；（3）證明N4DO=//（?￡）=45°即可.

【小問1詳解】

如圖所示:

【小問2詳解】

如圖連接A0并延長交BC于點M,

；?AM是線段的垂直平分線;

，AMLBC

AD//BC；

...OA^AD.

:.AD為。的切線.

【小問3詳解】

^ZABD=x°,Z￡）BC=（2x）0；

,/OA=OB；

；./OAB=NABD=x。；

'：AD〃BC；

???ZBAD+ABC=ISO°；

即2x+x+x+90=180；

解得：x=22.5；

???ZADB=NDBC=45。；

：.ZAOD=ZADO=45°；

AO-AD-2；

故答案為：2.

22.在平面直角坐標(biāo)系直方中，二次函數(shù)3；=。必+4%-4與y軸交于點已知拋物線頂點的縱坐標(biāo)為

?點P（加，耳在此拋物線上.

（1）求出此拋物線的對稱軸和解析式；

3

（2）當(dāng)一一《加＜1時，求〃的取值范圍；

2

（3）若此拋物線在點P右側(cè)的部分（不含點尸）上，恰好有三個點到x軸的距離為2,請直接寫出加的取

值范圍.

【答案】（1）拋物線的對稱軸為直線x=-拋物線的解析式為y=2x?+2x-4

9

（2）n的取值范圍為一一＜n＜Q

2

-1-V13-1-6

(3)-----------<m<----------

【解析】

【分析】此題重點考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解一元二次方程等知識與方法.

（1）由y=ox?+ax-4=+-;a-4得出拋物線的頂點坐標(biāo)為［-5,，從而得到

19

—a—4=—，得出〃=2,即可得解；

42

（2）由點P在此拋物線上，其坐標(biāo)為（加，〃），得出〃=2加2+2加—4,當(dāng)能=—53時，〃=—5S,當(dāng)加=1

時，"=0,由（1）得拋物線的頂點坐標(biāo)為（當(dāng)點尸與拋物線的頂點重合時，則〃=-,，由

k22）2

此即可得出答案；

（3）當(dāng)點P（加，，）到工軸的距禺為2時，〃=2或〃=—2,當(dāng)，=2時，則2加？+2加—4=2，得出

叫=-1^,%=T丁,當(dāng)〃=—2時，則2/+2加一4=一2,得出叫=甘巨，%=4衿

再結(jié)合圖象即可得出答案.

【小問1詳解】

解：y=ax2+<2x-4=aX+———a-4,

I24

拋物線的頂點坐標(biāo)為（一；，—：°—4：

9

拋物線頂點縱坐標(biāo)為-務(wù)，

1,9

——a-4=,

42

.?.Q=2,

拋物線的解析式為：y=2x2+2x-4；

???拋物線的對稱軸為直線x=--.

2

【小問2詳解】

解：點P在此拋物線上，其坐標(biāo)為（加，n）,

n=2m2+2加一4,

當(dāng)加=_g時，n=2x^-^+2x]_g]_4=_g,

當(dāng)初=1時，〃=2xl2+2xl—4=0，

由（1）得拋物線的頂點坐標(biāo)為g1,

9

???當(dāng)點尸與拋物線的頂點重合時，則〃二-一，

2

39

???當(dāng)——《加<1時，n的最大值和最小值分別為0和二，

22

9八

〃的取值范圍是—