2、5平面向量應(yīng)用舉例

一、教材分析

向量概念有明確得物理背景與幾何背景，物理背景就是力、速度、加速度等，幾何背景就

是有向線段,可以說向量概念就是從物理背景、幾何背景中抽象而來得，正因?yàn)槿绱?運(yùn)用向

量可以解決一些物理與幾何問題，例如利用向量計(jì)算力沿某方向所做得功，利用向量解決平

面內(nèi)兩條直線平行、垂直位置關(guān)系得判定等問題。

二、教學(xué)目標(biāo)

1、通過應(yīng)用舉例，讓學(xué)生會(huì)用平面向量知識(shí)解決幾何問題得兩種方法---------向量法

與坐

標(biāo)法,可以用向量知識(shí)研究物理中得相關(guān)問題得“四環(huán)節(jié)”與生活中得實(shí)際問題

2、通過本節(jié)得學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)向量在解決幾何與物理問題中得工具作用，增強(qiáng)學(xué)生得

積極主動(dòng)得探究意識(shí),培養(yǎng)創(chuàng)新精神。

三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn):理解并能靈活運(yùn)用向量加減法與向量數(shù)量積得法則解決幾何與物理問題、

難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)梅椒ǎ瑢缀螁栴}或者物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題加以解決、

四、學(xué)情分析

在平面幾何中，平行四邊形就是學(xué)生熟悉得重要得幾何圖形,而在物理中，受力分析則就

是其中最基本得基礎(chǔ)知識(shí)，那么在本節(jié)得學(xué)習(xí)中，借助這些對(duì)于學(xué)生來說，非常熟悉得內(nèi)容

來講解向量在幾何與物理問題中得應(yīng)用。

五、教學(xué)方法

1、例題教學(xué)，要讓學(xué)生體會(huì)思路得形成過程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法得應(yīng)用.

2、學(xué)案導(dǎo)學(xué):見后面得學(xué)案

3、新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié):預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑一情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)一合作探究、精

講點(diǎn)撥一反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測(cè)一發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)

六、課前準(zhǔn)備

1、學(xué)生得學(xué)習(xí)準(zhǔn)備:預(yù)習(xí)本節(jié)課本上得基本內(nèi)容，初步理解向量在平面幾何與物理中得

應(yīng)用

2、教師得教學(xué)準(zhǔn)備:課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案,課后延伸拓展學(xué)案。

七、課時(shí)安排：1課時(shí)

八、教學(xué)過程

（-）預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑

檢查落實(shí)了學(xué)生得預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生得疑惑，使教學(xué)具有了針對(duì)性。

（二）情景導(dǎo)入、展示目標(biāo)

教師首先提問：（1）若0為重心，則++=

（2）水渠橫斷面就是四邊形,=,且I=I,則這個(gè)四邊形

為等腰梯形、類比幾何元素之間得關(guān)系，您會(huì)想到向量運(yùn)算之間都有什么關(guān)系？

（3）兩個(gè)人提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力、為什么？

教師:本節(jié)主要研究了用向量知識(shí)解決平面幾何與物理問題;掌握向量法與坐標(biāo)法，以及

用向量解決平面幾何與物理問題得步驟，已經(jīng)布置學(xué)生們課前預(yù)習(xí)了這部分，檢查學(xué)生預(yù)習(xí)

情況并讓學(xué)生把預(yù)習(xí)過程中得疑惑說出來.

（設(shè)計(jì)意圖:步步導(dǎo)入，吸引學(xué)生得注意力，明確學(xué)習(xí)目標(biāo).）

（三）合作探究、精講點(diǎn)撥.

探究一：（1）向量運(yùn)算與幾何中得結(jié)論"若,貝山且所在直線平行或重合"相類比，您有

什么體會(huì)？（2）由學(xué)生舉出幾個(gè)具有線性運(yùn)算得幾何實(shí)例.

教師:平移、全等、相似、長度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出

來：例如,向量數(shù)量積對(duì)應(yīng)著幾何中得長度、如圖：平行四邊行中，設(shè)=,=,則（平移）,,（長

度)。向量，得夾角為、因此，可用向量方法解決平面幾何中得一些問題。通過向量運(yùn)算研究

幾何運(yùn)算之間得關(guān)系，如距離、夾角等。把運(yùn)算結(jié)果"翻譯"成幾何關(guān)系。本節(jié)課，我們就

通過幾個(gè)具體實(shí)例，來說明向量方法在平面幾何中得運(yùn)用

例1。證明：平行四邊形兩條對(duì)角線得平方與等于四條邊得平方與.

已知：平行四邊形ABC，。

求證:.

分析：用向量方法解決涉及長度、夾角得問題時(shí)，我們常常要考慮向量得數(shù)量積?注意

到，，我們計(jì)算與。

證明：不妨設(shè)a,6,則

a+b,a-b,\a\2,Ib\\

得(a+b)-(a+b)

=aa+a-b-srba+bb=\aI~2a-b+IAI2o①

同理IaI2—20b+\bI2.②

①+②得2(IaI2+|*|2)=2().

所以，平行四邊形兩條對(duì)角線得平方與等于四條邊得平方與.

師:您能用幾何方法解決這個(gè)問題嗎？

讓學(xué)生體會(huì)幾何方法與向量方法得區(qū)別與難易情況。

師：由于向量能夠運(yùn)算,因此它在解決某些幾何問題時(shí)具有優(yōu)越性,她把一個(gè)思辨過程變

成了一個(gè)算法過程，可以按照一定得程序進(jìn)行運(yùn)算操作,從而降低了思考問題得難度、

用向量方法解決平面幾何問題,主要就是下面三個(gè)步驟，

⑴建立平面幾何與向量得聯(lián)系，用向量表示問題中涉及得幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)

化為向量問題；

⑵通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間得關(guān)系，如距離、夾角等問題；

⑶把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

變式訓(xùn)練:中，D、E、F分別就是AB、BC、CA得中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)0,設(shè)(1)證明

A、0、E三點(diǎn)共線;(2)用表示向量。

例2,如圖，平行四邊形中，點(diǎn)E、尸分別就是A。、0c邊得中點(diǎn)，BE、BF分

別與交于7?、T兩點(diǎn)，您能發(fā)現(xiàn)ARRT、7c之間得關(guān)系嗎？

分析：由于8、T就是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，所以要判斷AR、RT、TC之間得關(guān)系，只需要

分別判斷AR、RT、TC與A。之間得關(guān)系即可.

解:設(shè)a,仇則a+b.

由與共線，因此。存在實(shí)數(shù)小使得=m(a+6).

又由與共線

因此存在實(shí)數(shù)“，使得—n=n(Z>—a).

由=〃，得相(a+b')=a+n(b一a)o

整理得a+b=O.

由于向量a、b不共線，所以有，解得.

所以。

同理

于就是

所以AR=RT=TCO

說明:本例通過向量之間得關(guān)系闡述了平面幾何中得方法,待定系數(shù)法使

用向量方法證明平面幾何問題得常用方法.F

探究二：（1）兩個(gè)人提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力、，'：'、

（2）在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂夾角越小越省力、這些問題就是為，/：''

什么？

師：向量在物理中得應(yīng)用，實(shí)際上就就是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然\L/

后通過向量運(yùn)算解決向量問題，最后再用所獲得得結(jié)果解釋物理現(xiàn)象.

例3.在日常生活中，您就是否有這樣得經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，

G

夾角越大越費(fèi)力;在單杠上作引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂得夾角越小越省力.您能從

數(shù)學(xué)得角度解釋這種現(xiàn)象嗎？

分析：上面得問題可以抽象為如右圖所示得數(shù)學(xué)模型.只要分析清楚尸、,

G、三者之間得關(guān)系（其中歹為Fi、F2得合力），就得到了問題得數(shù)學(xué)解釋。

解:不妨設(shè)3/=I戶2I,由向量加法得平行四邊形法則，理得平衡原理以及直角三角

形得指示，可以得到

FiI=?

通過上面得式子我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)由逐漸變大時(shí)，由逐漸變大，得值由大逐漸變小，因此,|E|

有小逐漸變大，即戶I、F2之間得夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力。

師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才這個(gè)問題，思考下面得問題：

⑴為何值時(shí)，IFiI最小,最小值就是多少？

⑵|尸」能等于IG|嗎?為什么？

例4如圖，一條河得兩岸平行，河得寬度m,一艘船從B

A處出發(fā)到河對(duì)岸。已知船得速度IyJ=10km/h,水流得\'\

速度I以1=2km/h,問行駛航程最短時(shí)，所用得時(shí)間就是多\

少（精確到0、1min）?x.'、、

分析:如果水就是靜止得,則船只要取垂直于對(duì)岸得方\、'、、

向行駛，就能使行駛航程最短，所用時(shí)間最短。考慮到水A-----------------*

得流速，要使船得行駛航程最短,那么船得速度與水流速度得合速度v必須垂直于對(duì)岸.（用

《幾何畫板》演示水流速度對(duì)船得實(shí)際航行得影響）

解:=（km/h）,

所以，（min）0

答:行駛航程最短時(shí)，所用得時(shí)間就是3、imino

本例關(guān)鍵在于對(duì)“行駛最短航程”得意義得解釋，即“分析”中給出得穿必須垂直于河

岸行駛，這就是船得速度與水流速度得合速度應(yīng)當(dāng)垂直于河岸，分析清楚這種關(guān)系侯，本例

就容易解決了.

變式訓(xùn)練:兩個(gè)粒子A、B從同一源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們得位移分別為，（1）寫出

此時(shí)粒子B相對(duì)粒子A得位移s;(2)計(jì)算s在方向上得投影。

九、板書設(shè)計(jì)

§2、5平面向量應(yīng)用舉例

例L用向量法解平面幾何例2變式訓(xùn)練

問題得“三步曲”

例3、例4

變式訓(xùn)練

十、教學(xué)反思

本小節(jié)主要就是例題教學(xué)，要讓學(xué)生體會(huì)思路得形成過程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法得應(yīng)用。

教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)問題情境,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題方法,展示思路得形成過程，總結(jié)解題規(guī)律。指

導(dǎo)學(xué)生搞好解題后得反思,從而提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)分析與解決問題得能力、

十一、學(xué)案設(shè)計(jì)(見下頁)。

2、5平面向量應(yīng)用舉例

課前預(yù)習(xí)學(xué)案

一、預(yù)習(xí)目標(biāo)

預(yù)習(xí)《平面向量應(yīng)用舉例》，體會(huì)向量就是一種處理幾何問題、物理問題等得工具，建立

實(shí)際問題與向量得聯(lián)系。

二、預(yù)習(xí)內(nèi)容

閱讀課本內(nèi)容，整理例題，結(jié)合向量得運(yùn)算，解決實(shí)際得幾何問題、物理問題。另外，在思

考一下幾個(gè)問題：

1.例1如果不用向量得方法，還有其她證明方法嗎？

2.利用向量方法解決平面幾何問題得“三步曲”就是什么？

3o例3中，⑴為何值時(shí)，|Fi|最小，最小值就是多少？

(2)I尸"能等于|GI嗎?為什么?

三、提出疑惑

同學(xué)們，通過您得自主學(xué)習(xí)，您還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面得表格中

疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學(xué)案

一、學(xué)習(xí)內(nèi)容

1、運(yùn)用向量得有關(guān)知識(shí)(向量加減法與向量數(shù)量積得運(yùn)算法則等)解決平面幾何與解析

幾何中直線或線段得平行、垂直、相等、夾角與距離等問題、

2、運(yùn)用向量得有關(guān)知識(shí)解決簡單得物理問題、

二、學(xué)習(xí)過程

探究一：(1)向量運(yùn)算與幾何中得結(jié)論"若,貝且所在直線平行或重合"相類比，您有

什么體會(huì)？

(2)舉出幾個(gè)具有線性運(yùn)算得幾何實(shí)例.

例1.證明:平行四邊形兩條對(duì)角線得平方與等于四條邊得平方與。

已知：平行四邊形/ec。。

求證：。

試用幾何方法解決這個(gè)問題

利用向量得方法解決平面幾何問題得“三步曲”？

(1)建立平面幾何與向量得聯(lián)系，

(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間得關(guān)系，

(3)把運(yùn)算結(jié)果"翻譯"成幾何關(guān)系.

變式訓(xùn)練：中,D、E、F分別就是AB、BC、CA得中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)0,設(shè)

(1)證明A、。、E三點(diǎn)共線；

(2)用表示向量。

例2,如圖，平行四邊形AMCZ)中，點(diǎn)E、尸分別就是A。、OC邊得

中點(diǎn)，BE、B尸分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，您能發(fā)現(xiàn)AR、RT、之間得關(guān)系嗎？

探究二:兩個(gè)人提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力、在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂夾角越

小越省力、這些力得問題就是怎么回事？

例3。在日常生活中，您就是否有這樣得經(jīng)驗(yàn):兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，

夾角越大越費(fèi)力；在單杠上作引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂得夾角越小越省力。您能從

數(shù)學(xué)得角度解釋這種現(xiàn)象嗎？

請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才這個(gè)問題，思考下面得問題：

⑴為何值時(shí)，I尸J最小，最小值就是多少？

⑵I居I能等于|GI嗎？為什么？

例4如圖,一條河得兩岸平行，河得寬度口，一艘船從A

處出發(fā)到河對(duì)岸。已知船得速度|力I=10km/h,水流得速

度|兀I=2km/h,問行駛航程最短時(shí)，所用得時(shí)間就是多

少(精確到0、lmin)?

變式訓(xùn)練:兩個(gè)粒子A、B從同一源發(fā)射出來，在某一

時(shí)刻，它們得位移分別為

,(1)寫出此時(shí)粒子B相對(duì)粒子A得位移s;(2)計(jì)算s在方

向上得投影.

三、反思總結(jié)

結(jié)合圖形特點(diǎn)，選定正交基底，用坐標(biāo)表示向量進(jìn)行運(yùn)算解決幾何問題,體現(xiàn)幾何問題

代數(shù)化得特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)得淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運(yùn)算簡練標(biāo)致,

又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)得美。有關(guān)長方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問題常用此法.

本節(jié)主要研究了用向量知識(shí)解決平面幾何問題與物理問題;掌握向量法與坐標(biāo)法，以及

用向量解決實(shí)際問題得步驟.

四、當(dāng)堂檢測(cè)

1、已知，求邊長c.

2、在平行四邊形A