2025屆河南省洛陽(yáng)市第一中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知a，b，c為實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若ac＞bc＞0，則a＞b B．若a＞b＞0，則ac＞bcC．若ac2＞bc2，則a＞b D．若a＞b，則ac2＞bc22．如圖所示，垂直于以為直徑的圓所在的平面，為圓上異于的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系中不正確的是（）A． B．平面 C． D．3．函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為（）A． B． C． D．4．函數(shù)（且）的圖像是下列圖像中的（）A． B．C． D．5．用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是（）．A． B．C． D．6．若，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．7．如果成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，那么等于（）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列1,3,6,10，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A． B．C． D．9．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1500石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得250粒內(nèi)夾谷30粒，則這批米內(nèi)夾谷約為多少石？A．180 B．160 C．90 D．360二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等邊，為中點(diǎn)，若點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，且滿足，則__________.12．方程的解集是____________.13．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_______．14．如圖，在圓心角為，半徑為2的扇形AOB中任取一點(diǎn)P，則的概率為________.15．設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，所有項(xiàng)和為1，則首項(xiàng)的取值范圍是____________.16．已知向量，，且，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．在某單位的職工食堂中，食堂每天以3元/個(gè)的價(jià)格從面包店購(gòu)進(jìn)面包，然后以5元/個(gè)的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的面包以1元/個(gè)的價(jià)格全部賣給飼料加工廠.根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示.食堂某天購(gòu)進(jìn)了80個(gè)面包，以x（單位：個(gè)，）表示面包的需求量，T（單位：元）表示利潤(rùn).（1）求食堂面包需求量的平均數(shù)；（2）求T關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于100元的概率.18．某生產(chǎn)企業(yè)研發(fā)了一種新產(chǎn)品，該產(chǎn)品在試銷一個(gè)階段后得到銷售單價(jià)（單位：元）和銷售量（單位：萬(wàn)件）之間的一組數(shù)據(jù)，如下表所示：銷售單價(jià)/元銷售量/萬(wàn)件（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程；（2）從反饋的信息來(lái)看，消費(fèi)者對(duì)該產(chǎn)品的心理價(jià)（單位：元/件）在內(nèi)，已知該產(chǎn)品的成本是元，那么在消費(fèi)者對(duì)該產(chǎn)品的心理價(jià)的范圍內(nèi)，銷售單價(jià)定為多少時(shí)，企業(yè)才能獲得最大利潤(rùn)？（注：利潤(rùn)=銷售收入-成本）參考數(shù)據(jù)：參考公式：19．平面內(nèi)給定三個(gè)向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4,1)．(1)求滿足的實(shí)數(shù)m，n；(2)若，求實(shí)數(shù)k；20．已知為常數(shù)且均不為零，數(shù)列的通項(xiàng)公式為并且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的值；（2）設(shè)是數(shù)列前項(xiàng)的和，求使得不等式成立的最小正整數(shù).21．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

本題可根據(jù)不等式的性質(zhì)以及運(yùn)用特殊值法進(jìn)行代入排除即可得到正確結(jié)果．【詳解】由題意，可知：對(duì)于A中，可設(shè)，很明顯滿足，但，所以選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B中，因?yàn)椴恢赖恼?fù)情況，所以不能直接得出，所以選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C中，因?yàn)椋?，所以，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D中，若，則不能得到，所以選項(xiàng)D不正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用以及特殊值法的應(yīng)用，著重考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

由平面，得，再由，得到平面，進(jìn)而得到，即可判斷出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榇怪庇谝詾橹睆降膱A所在的平面，即平面，得，A正確；又為圓上異于的任一點(diǎn)，所以，平面，，B，D均正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直，熟記線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可，屬于?？碱}型.3、C【解析】

由題意，可知，即為奇函數(shù)，排除，，又時(shí)，，可排除D，即可選出正確答案.【詳解】由題意，函數(shù)定義域?yàn)?，且，即為奇函?shù)，排除，，當(dāng)時(shí)，，，即時(shí)，，可排除D，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，考查了函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，屬于中檔題.4、C【解析】

將函數(shù)表示為分段函數(shù)的形式，由此確定函數(shù)圖像.【詳解】依題意，.由此判斷出正確的選項(xiàng)為C.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像的識(shí)別，考查分段函數(shù)解析式的求法，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】試題分析：由斜二測(cè)畫法的規(guī)則知與x'軸平行或重合的線段與x’軸平行或重合，其長(zhǎng)度不變，與y軸平行或重合的線段與x’軸平行或重合，其長(zhǎng)度變成原來(lái)的一半，正方形的對(duì)角線在y'軸上，可求得其長(zhǎng)度為，故在平面圖中其在y軸上，且其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，長(zhǎng)度為2，觀察四個(gè)選項(xiàng)，A選項(xiàng)符合題意．故應(yīng)選A．考點(diǎn)：斜二測(cè)畫法．點(diǎn)評(píng)：注意斜二測(cè)畫法中線段長(zhǎng)度的變化．6、D【解析】

取特殊值檢驗(yàn)，利用排除法得答案。【詳解】因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)；因?yàn)榍?，所以故選D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題。7、D【解析】

因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,所以,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,因此.故選D8、C【解析】

試題分析：可采用排除法，令和，驗(yàn)證選項(xiàng)，只有，使得，故選C．考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式．9、C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合，由子集的定義可得結(jié)果.詳解：，，，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查解一元二次不等式，集合的子集的定義，屬于容易題，在解題過程中要注意考慮端點(diǎn)是否可以取到，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，同時(shí)將不等式與集合融合，體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)之間的交匯.10、A【解析】

根據(jù)數(shù)得250粒內(nèi)夾谷30粒，根據(jù)比例，即可求得結(jié)論?！驹斀狻吭O(shè)批米內(nèi)夾谷約為x石，則，解得：選A?！军c(diǎn)睛】此題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，根據(jù)部分的比重計(jì)算整體值。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、0【解析】

利用向量加、減法的幾何意義可得，再利用向量數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】根據(jù)向量減法的幾何意義可得：,即,所以.故答案為：0【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加、減法的幾何意義以及向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

由方程可得或，然后分別解出規(guī)定范圍內(nèi)的解即可.【詳解】因?yàn)樗曰蛴傻没蛞驗(yàn)?，所以由得因?yàn)?，所以綜上：解集是故答案為：【點(diǎn)睛】方程的等價(jià)轉(zhuǎn)化為或，不要把遺漏了.13、【解析】

實(shí)數(shù)滿足表示點(diǎn)在直線上，可以看作點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，最小值是原點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足＝1所以表示直線上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故的最小值為原點(diǎn)到直線的距離，即，故的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離公式，此題的關(guān)鍵在于的最小值所表示的幾何意義的識(shí)別.14、【解析】

根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，求出圓心角扇形區(qū)域的面積，進(jìn)而設(shè)，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得滿足的區(qū)域，求出其面積，代入幾何概率的計(jì)算公式即可求解．【詳解】根據(jù)題意，建立如圖的坐標(biāo)系，則則扇形的面積為設(shè)若，則有，即；則滿足的區(qū)域?yàn)槿鐖D的陰影區(qū)域，直線與弧的交點(diǎn)為，易得的坐標(biāo)為，則陰影區(qū)域的面積為故的概率故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，涉及數(shù)量積的計(jì)算，屬于綜合題．15、【解析】

由題意可得得且，可得首項(xiàng)的取值范圍.【詳解】解：由題意得：，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列前n項(xiàng)的和、數(shù)列極限的運(yùn)算，屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)的坐標(biāo)表示，即可得出，解出即可．【詳解】，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行向量的坐標(biāo)關(guān)系應(yīng)用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）84；（2）；（3）【解析】

（1）每個(gè)小矩形的面積乘以該組中間值，所得數(shù)據(jù)求和就是平均數(shù)；（2）根據(jù)需求量分段表示函數(shù)關(guān)系；（3）根據(jù)（1）利潤(rùn)T不少于100元時(shí)，即，即，求出其頻率，即可估計(jì)概率.【詳解】（1）估計(jì)食堂面包需求量的平均數(shù)為：（2）解：由題意，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)，即T關(guān)于x的函數(shù)解析式（3）解：由題意，設(shè)利潤(rùn)T不少于100元為事件A，由（1）知，利潤(rùn)T不少于100元時(shí)，即，即，由直方圖可知，當(dāng)時(shí)，所求概率為【點(diǎn)睛】此題考查頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)，計(jì)算頻率，以及建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題，綜合性比較強(qiáng).18、（1）；（2）8.75元.【解析】

(1)根據(jù)最小二乘法求線性回歸方程；(2)利用線性回歸方程建立利潤(rùn)的函數(shù)，再求此函數(shù)的最大值.【詳解】（1）關(guān)于的回歸方程為.（2）利潤(rùn)該函數(shù)的對(duì)稱軸方程是，故銷售單價(jià)定為元時(shí)，企業(yè)才能獲得最大利潤(rùn).【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程和求利潤(rùn)的最值，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解析】

(1)由及已知得,由此列方程組能求出實(shí)數(shù)；(2)由,可得，由此能求出的值.【詳解】(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以，解得；(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝.【點(diǎn)睛】本題主要考查相等向量與共線向量的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題.利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.20、(1);(2)【解析】

（1）由，可得，，，．根據(jù)、、成等差數(shù)列，、、成等比數(shù)列．可得，，代入解出即可得出．（2）由（1）可得：，可得，分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．【詳解】（1），，，，．，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列．，，，，，．聯(lián)立解得：，．（2）由（1）可得：，，由，解得．．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)、分類討論方法、不等式的解法，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而可得平面平面；（2）先取中點(diǎn)，連結(jié)，，證明平面平面，在平面內(nèi)作于點(diǎn)，則平面.以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出兩平面的法向量，求向量夾角余弦值，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以折起后，且，因?yàn)?，所以是正三角形，所?又