第七章隨機變量及其分布第7.5講正態(tài)分布班級_______姓名_______組號_______1．了解二項分布與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握正態(tài)曲線的定義、性質(zhì)；重點培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．2．掌握正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的意義，理解“3σ”原理，并能解決一些相關(guān)的實際問題；重點提升數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)．1、正態(tài)曲線的應(yīng)用2、與正態(tài)分布有關(guān)的概率計算3、正態(tài)分布的綜合應(yīng)用二項分布與正態(tài)曲線1．正態(tài)曲線函數(shù)φ(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(x－μ2,2σ2).φ(x)的解析式中含有μ和σ兩個參數(shù)，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝eq\r(DX)，即X的標(biāo)準(zhǔn)差．一般地，φ(x)對應(yīng)的圖像稱為正態(tài)曲線(也因形狀之故而被稱為“鐘形曲線”，φ(x)也常常記為φμ，σ(x))．2．正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對稱(即μ決定正態(tài)曲線對稱軸的位置)，具有中間高，兩邊低的特點；(2)正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1；(3)σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”：σ越大，說明標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以曲線越“胖”；σ越小，說明標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強，所以曲線越“瘦”．正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布1．正態(tài)分布一般地，如果隨機變量X落在區(qū)間[a，b]內(nèi)的概率，總是等于φμ，σ(x)對應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間[a，b]內(nèi)圍成的面積，則稱X服從參數(shù)為μ與σ的正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)，此時φμ，σ(x)稱為X的概率密度函數(shù)，此時μ是X的均值，而σ是X的標(biāo)準(zhǔn)差，σ2是X的方差．2．正態(tài)分布在四個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率若X～N(μ，σ2)則(1)P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝50%；(2)P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%；(3)P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%；(4)P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.3．“3σ原則”X約有99.7%的可能會落在距均值3個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)，也就是說只有約0.3%的可能落入這一范圍之外(這樣的事件可看成小概率事件)，這一結(jié)論通常稱為正態(tài)分布的“3σ原則”．4．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(1)μ＝0且σ＝1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其在正態(tài)分布中扮演著核心角色，這是因為如果Y～N(μ，σ2)，那么令X＝eq\f(Y－μ,σ)，則可以證明X～N(0,1)，即任意正態(tài)分布通過交換都可以化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．(2)①如果X～N(0,1)，那么對任意a，通常記Φ(a)＝P(X＜a)，也就是說Φ(a)表示N(0,1)對應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間(－∞，a)內(nèi)所圍成的面積，如圖：②Φ(a)具有的性質(zhì)：Φ(－a)＋Φ(a)＝1.題型1、正態(tài)曲線的應(yīng)用1．隨機變量服從正態(tài)分布，則標(biāo)準(zhǔn)差為（

）A．2 B．4 C．10 D．142．設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布，且相應(yīng)的概率密度函數(shù)為，則（

）A． B．C． D．3．已知隨機變量的正態(tài)密度函數(shù)為，則其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別是（

）A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和14．對甲，乙兩地小學(xué)生假期一天中讀書情況進行統(tǒng)計，已知小學(xué)生的讀書時間均符合正態(tài)分布，其中甲地小學(xué)生讀書的時間為（單位：小時），，對應(yīng)的曲線為，乙地小學(xué)生讀書的時間為（單位：小時），，對應(yīng)的曲線為，則下列圖象正確的是（

）A． B．C． D．5．阿鑫上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車.若阿鑫坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯誤的是（

）

A．Y的數(shù)據(jù)較X更集中B．若有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大C．若有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大D．要確定一個正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和函數(shù)的最大值有關(guān)．題型2、與正態(tài)分布有關(guān)的概率計算6．在某項測試中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.47．在如圖所示的正方形中隨機投擲20000個點,則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為（

）附:若X~N(μ,σ2),P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544．A．4772 B．6826 C．3413 D．95448．紅外線自動測溫門能有效避免測溫者與被測溫者的近距離接觸，降低潛在的病毒感染風(fēng)險，為防控新冠肺炎，某廠生產(chǎn)的紅外線自動測溫門，其測量體溫誤差服從正態(tài)分布，從已經(jīng)生產(chǎn)出的測溫門中隨機取出一件，則其測量體溫誤差在區(qū)間內(nèi)的概率為（

）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則）A．27.1% B．34.5% C．13.55% D．17.08%9．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則（

）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.210．某市高三年級男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布.現(xiàn)隨機選擇一名本市高三年級男生，則該男生身高不高于170cm的概率是（

）參考數(shù)據(jù)：A．0.6827 B．0.34135 C．0.3173 D．0.15865求解正態(tài)分布在等區(qū)間內(nèi)概率問題的思路利用正態(tài)曲線的對稱性求概率是正態(tài)分布的基本題型，也是高考考查的重點．解題的關(guān)鍵是利用對稱軸x＝μ確定所求概率對應(yīng)的隨機變量的區(qū)間與已知概率對應(yīng)的隨機變量的區(qū)間的關(guān)系，必要時，可借助圖形判斷．常用結(jié)論如下：(1)對于正態(tài)分布N(μ，σ2)，由直線x＝μ是正態(tài)曲線的對稱軸知：①對任意的實數(shù)a，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)；②P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；③P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．(2)對于μ＝0的正態(tài)分布，求X落在某區(qū)間的概率時常利用如下兩個公式：①P(X＜－x0)＝1－P(X≤x0)；②P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．題型3、正態(tài)分布的綜合應(yīng)用11．某市高三年級男生的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)在該市隨機選擇一名高三男生，則他的身高位于內(nèi)的概率（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）是（

）參考數(shù)據(jù)：，，．A． B． C． D．12．某區(qū)高三年級3200名學(xué)生參加了區(qū)統(tǒng)一考試.已知考試成績服從正態(tài)分布（試卷滿分為150分）.統(tǒng)計結(jié)果顯示，考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為（

）A．350 B．400 C．450 D．50013．某校高二數(shù)學(xué)期末考試成績近似服從正態(tài)分布，且，已知該校高二數(shù)學(xué)期末考試成績超過80分的人數(shù)有420人，則（

）A．估計該校高二學(xué)生人數(shù)為520.B．估計該校高二學(xué)生中成績不超過95分的人數(shù)為280.C．估計該校高二學(xué)生中成績介于80到95分之間的人數(shù)為170.D．在該校高二學(xué)生中任取1人，其成績低于70分的概率大于超過120分的概率.14．重慶市高考總成績由語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為共8個等級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到，八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績，如果某次高考模擬考試地理科目的原始成績，那么D等級的原始分最高大約為（

）附：①若，，則；②當(dāng)時，.A．23 B．29 C．26 D．4315．某市教育局為了解高三學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，組織了一次摸底考試，共有50000名考生參加這次考試，數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)為且，則該市這次考試數(shù)學(xué)成績超過110分的考生人數(shù)約為（

）A．2000 B．3000 C．4000 D．5000解答正態(tài)分布的實際應(yīng)用題，其關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時應(yīng)熟練掌握正態(tài)分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三個區(qū)間內(nèi)的概率，在此過程中用到歸納思想和數(shù)形結(jié)合思想．在解答題中注重對3σ原則的實際實用．一、單選題1．隨機變量服從正態(tài)分布．若，則（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.62．隨機變量服從正態(tài)分布，，，則（

）A． B． C．1 D．3．若隨機變量，且，則（

）A． B． C． D．4．棣莫弗拉普拉斯中心極限定理表明：若隨機變量，當(dāng)充分大時，可以用服從正態(tài)分布的隨機變量來近似，且的期望和方差與的期望和方差相同，已知某運動員每次投籃的命中率為，則他在1800次投籃中，超過1180次命中的概率約為（

）（參考數(shù)據(jù):若，則，，）A．0.65865 B．0.84135 C．0.97725 D．0.998655．已知正態(tài)分布的正態(tài)密度曲線如圖所示，，則下列選項中，不能表示圖中陰影部分面積的是（）

A． B．C． D．6．設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布且，則（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.97．青少年的身高一直是家長和社會關(guān)注的重點，它不僅關(guān)乎個體成長，也是社會健康素養(yǎng)發(fā)展水平的體現(xiàn).某市教育部門為了解本市高三學(xué)生的身高狀況，從本市全體高三學(xué)生中隨機抽查了1200人，經(jīng)統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)樣本的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，且身高在到之間的人數(shù)占樣本量的，則樣本中身高不低于的約有（

）A．150人 B．300人 C．600人 D．900人8．某校高二年級對物選組合學(xué)生進行物理學(xué)科抽測，總分100分，學(xué)生的抽測結(jié)果服從正態(tài)分布，其中60分為及格線，90分為優(yōu)秀線.若高二年級共有物選組合學(xué)生682人，則抽測結(jié)果在及格線與優(yōu)秀線之間的學(xué)生人數(shù)大約為（

）參考：A．456 B．558 C．584 D．6519．某校高二年級男生的身高（單位：cm）近似服從正態(tài)分布，若X的值在內(nèi)的概率約為0.84，則n的值約為（

）參考數(shù)據(jù)：①；②；③A．3 B．4 C．5 D．610．中心極限定理是概率論中的一個重要結(jié)論．根據(jù)該定理，若隨機變量，則當(dāng)且時，可以由服從正態(tài)分布的隨機變量近似替代，且的期望與方差分別與的均值與方差近似相等．現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻分布的骰子2500次，利用正態(tài)分布估算骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)少于1300的概率為（

）附：若：，則，，．A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773二、多選題11．隨機變量X，Y分別服從正態(tài)分布和二項分布，即，，則（

）A． B． C． D．12．設(shè)，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B．C．對任意正數(shù)， D．對任意正數(shù)，三、填空題13．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則.14．某中學(xué)1500名同學(xué)參加一分鐘跳繩測試，經(jīng)統(tǒng)計，成績X近似服從正態(tài)分布，已知成績大于170次的有300人，則可估計該校一分鐘跳繩成績X在130～150次之間的人數(shù)約為.四、解答題15．為促進物資流通，改善出行條件，駐某縣扶貧工作組引入資金新建了一條從該縣到市區(qū)的快速道路．該縣脫貧后，工作組為了解該快速道路的交通通行狀況，調(diào)查了行經(jīng)該道路的各種類別的機動車共1000輛，對行車速度進行統(tǒng)計后，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)試根據(jù)頻率分布直方圖，求的值以及樣本中的這1000輛機動車的平均車速（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；(2)設(shè)該公路上機動車的行車速度服從正態(tài)分布，其中分別取自該調(diào)查樣本中機動車的平均車速和車速的方差（經(jīng)計算）．（i）請估計該公路上10000輛機動車中車速不低于85千米/時的車輛數(shù)（精確到個位）；（ii）現(xiàn)從經(jīng)過該公路的機動車中隨機抽取10輛，設(shè)車速低于85千米/時的車輛數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．附注：若，則，．16．已知某公司生產(chǎn)的風(fēng)干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且.(1)若從公司銷售的牛肉干中隨機選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于的概率；(2)若從公司銷售的牛肉干中隨機選?。檎麛?shù)）包，記質(zhì)量在內(nèi)的包數(shù)為，且，求的最小值.17．新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是語文?數(shù)學(xué)?外語三門為必選科目，