2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征自

學(xué)

導(dǎo)

引

1.能根據(jù)實(shí)際問題的需要合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)?眾數(shù)、中位數(shù)),并做出合理的解釋.3.會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征.4.形成對數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評價(jià)的意識(shí).1.眾數(shù)?中位數(shù)?平均數(shù)眾數(shù):在樣本數(shù)據(jù)中,頻率分布最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù);中位數(shù):樣本數(shù)據(jù)中,累積頻率為0.5時(shí)所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)值(累積頻率:樣本數(shù)據(jù)小于某一數(shù)值的頻率叫做該數(shù)值點(diǎn)的累積頻率);或者定義為:將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).平均數(shù):樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即題型一眾數(shù)?中位數(shù)?平均數(shù)的應(yīng)用例1:某工廠人員及工資構(gòu)成如下:人員 經(jīng)理管理人員高級技工工人學(xué)徒合計(jì)周工資22002502202001002970人數(shù)16510 123合計(jì)22001500110020001006900典例剖析(1)指出這個(gè)問題中的眾數(shù)?中位數(shù)?平均數(shù);(2)這個(gè)問題中,平均數(shù)能客觀地反映該工廠的工資水平嗎?為什么?分析:本題著眼于眾數(shù)?中位數(shù)?平均數(shù)各自的特點(diǎn),以及其適應(yīng)對象.解:(1)由表格可知:眾數(shù)為200.∵2200+1500=3700>1100+2000+100=3200,∴中位數(shù)為220.平均數(shù)(2200+1500+1100+2000+100)÷23=6900÷23=300.(2)不能.雖然平均數(shù)為300元/周,但由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見,只有經(jīng)理在平均數(shù)以上,其余的人都在平均數(shù)以下,故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平.(2)三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)①眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn),但顯然它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得它無法客觀地反映總體特征.②中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線,它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響,這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn),但它對極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn).③由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)有關(guān),所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變,這是眾數(shù)?中位數(shù)都不具備的性質(zhì).也正因?yàn)檫@個(gè)原因,與眾數(shù)?中位數(shù)比較起來,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息.但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低.變式訓(xùn)練1:在一次歌手大獎(jiǎng)賽中,6位評委現(xiàn)場給每位歌手打分,然后去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分,其余分?jǐn)?shù)的平均數(shù)作為該歌手的成績,已知6位評委給某位歌手的打分是:9.2,9.5,9.4,9.6,9.8,9.5.求這位歌手的得分及6位評委評分的眾數(shù)和中位數(shù).解:(1)該歌手得分為:

(9.5+9.4+9.5+9.6)=9.5.(2)9.5在這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)2次,出現(xiàn)次數(shù)最多,故評分的眾數(shù)是9.5.(3)將這組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列后最中間的兩個(gè)數(shù)都是9.5,故中位數(shù)是9.5.(1)眾數(shù)?中位數(shù)?平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).在樣本中,有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù).因此,在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等,由此可以估計(jì)中位數(shù)的值.由于樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,只是直觀地表明分布的形狀,但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計(jì)值往往與樣本的實(shí)際中位數(shù)值不一致.平均數(shù)顯然是頻率分布直方圖的“重心”.在頻率分布直方圖中,平均數(shù)是直方圖的平衡點(diǎn).動(dòng)動(dòng)腦例2：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，你認(rèn)為眾數(shù)應(yīng)在哪個(gè)小矩形內(nèi)？由此估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)分別是什么？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O例3:高一(2)班有男生27名,女生21名,在一次物理測試中,男生的平均分82分,中位數(shù)是75分,女生的平均分是80分,中位數(shù)是80分.(1)求這次測試全班平均分(精確到0.01).(2)估計(jì)全班成績在80分以下(含80分)的學(xué)生至少有多少?(3)分析男生的平均分與中位數(shù)相差較大的主要原因是什么?分析:根據(jù)各種數(shù)的定義及意義解決問題.解:(1)由平均數(shù)公式得

(82×27+80×21)≈81.13(分).(2)∵男生的中位數(shù)是75,∴至少有14人得分不超過75分.又∵女生的中位數(shù)是80,∴至少有11人得分不超過80分.∴全班至少有25人得分低于80分.(3)男生的平均分與中位數(shù)的差別較大,說明男生中兩極分化現(xiàn)象嚴(yán)重,得分高的和低的相差較大.變式訓(xùn)練4:某高校有甲?乙兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣班,其中甲班40人,乙班50人,現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績,算得甲班的平均成績?yōu)?0分,乙班的平均成績?yōu)?1分,則該校數(shù)學(xué)興趣班的平均成績是________分.解析:平均成績?yōu)?90×40+81×50)×85基礎(chǔ)強(qiáng)化1.已知一組數(shù)據(jù)為20?30?40?50?50?60?70?80,其中平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是()A.平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù) B.平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)C.中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù) D.眾數(shù)=中位數(shù)=平均數(shù)解析:由所給數(shù)據(jù)知,眾數(shù)為50,中位數(shù)為50,平均數(shù)為50,∴眾數(shù)=中位數(shù)=平均數(shù).答案:D2.已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為-1,0,4,x,6,15,且這組數(shù)據(jù)中位數(shù)為5,那么數(shù)據(jù)中的眾數(shù)為()A.5 B.6C.4 D.5.5解析:由中位數(shù)是5得,4+x=5×2,∴x=6.此時(shí),這列數(shù)為-1,0,4,6,6,15,∴眾數(shù)為6.答案:B3、10名工