等差數(shù)列的基本概念及公式

一知識(shí)框架

一、等差數(shù)列的定義

（1）先介紹一下一些定義和表示方法

定義：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)大（或?。┮粋€(gè)常數(shù)（固定不變的數(shù)），這樣的數(shù)列我們稱它為等

差數(shù)列.

譬如：2、5、8、11、14、17、20、從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3,遞增數(shù)列

100、95、90、85、80、從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)小5,遞減數(shù)列

（2）首項(xiàng)：一個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)，通常用《表示

末項(xiàng)：一個(gè)數(shù)列的最后一項(xiàng)，通常用。“表示，它也可表示數(shù)列的第〃項(xiàng)。

項(xiàng)數(shù)：一個(gè)數(shù)列全部項(xiàng)的個(gè)數(shù)，通常用〃來(lái)表示；

公差：等差數(shù)列每?jī)身?xiàng)之間固定不變的差，通常用d來(lái)表示；

和：一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)的和，常用S,來(lái)表示.

二、等差數(shù)列的相關(guān)公式

（3）三個(gè)重要的公式

①通項(xiàng)公式：遞增數(shù)列：末項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)—l）x公差，an=a,+（n-l）xd

遞減數(shù)列：末項(xiàng)=首項(xiàng)-（項(xiàng)數(shù)—l）x公差，a?=a,-（n-l）xd

回憶講解這個(gè)公式的時(shí)候可以結(jié)合具體數(shù)列或者原來(lái)學(xué)的植樹問題的思想，讓學(xué)生明白末

項(xiàng)其實(shí)就是首項(xiàng)加上（末項(xiàng)與首項(xiàng)的）間隔個(gè)公差個(gè)數(shù)，或者從找規(guī)律的情況入手.同時(shí)還可延伸出來(lái)這

樣一個(gè)有用的公式：an-am=Cn-m）xd,（n>ni）

②項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）+公差+1

由通項(xiàng)公式可以得到：n=<ian-al）^d+1（若a.〉4）；〃=-%）+4+1（若q>%）?

找項(xiàng)數(shù)還有一種配組的方法，其中運(yùn)用的思想我們是常常用到的.

譬如：找找下面數(shù)列的項(xiàng)數(shù)：4、7、10、13、、40、43、46,

分析：配組：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、、（46、47、48）,注意等差是3,

那么每組有3個(gè)數(shù)，我們數(shù)列中的數(shù)都在每組的第1位，所以46應(yīng)在最后一組第1位，4到48有

48-4+1=45項(xiàng)，每組3個(gè)數(shù)，所以共45+3=15組，原數(shù)列有15組.當(dāng)然還可以有其他的配組方法.

③求和公式：和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))x項(xiàng)數(shù)+2

對(duì)于這個(gè)公式的得到可以從兩個(gè)方面入手：

(思路1)1+2+3++98+99+100

=(1+100)+(2+99)+(3+98)++(50+51)=101x50=5050

共50個(gè)101

(思路2)這道題目，還可以這樣理解：

和=1+2+3+4++98+99+100

+和=100+99+98+97++3+2+1即，和

-2倍和=101+101+101+101++101+101+101

=(100+1)x1002=101x50=5050

(4)中項(xiàng)定理：對(duì)于任意一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首項(xiàng)

與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù).

譬如：①4+8+12+...+32+36=(4+36)x9+2=20x9=180,

題中的等差數(shù)列有9項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第5項(xiàng)的值是20,而和恰等于20x9；

②65+63+61++5+3+1=0+65)x33+2=33x33=1089,

題中的等差數(shù)列有33項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第17項(xiàng)的值是33,而和恰等于33x33.

-n加盛

(1)找出題目中首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)。

(2)必要時(shí)調(diào)整數(shù)列順序。

二例題精講

一、等差數(shù)列的基本認(rèn)識(shí)

［例1］下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？若是，請(qǐng)指明公差，若不是，則說明理由。

①6,10,14,18,22,98；

②1,2,1,2,3,4,5,6；

③1,2,4,8,16,32,64；

④9,8,7,6,5,4,3,2；

⑤3,3,3,3,3,3,3,3；

⑥1,0,1,0,1,0,1,0；

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識(shí)【難度】☆☆【題型】解答

【解析】①是，公差d=4.

②不是，因?yàn)閿?shù)列的第3項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于數(shù)列的第2項(xiàng)減去第1項(xiàng).

③不是，因?yàn)?-2,2-1,

④是，公差d=l.

⑤是，公差d=0.

⑥不是，因?yàn)榈?項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于第2項(xiàng)減去第3項(xiàng)。

【答案】①是，公差d=4.

②不是，因?yàn)閿?shù)列的第3項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于數(shù)列的第2項(xiàng)減去第1項(xiàng).

③不是，因?yàn)?-2先-1.

④是，公差d=l.

⑤是，公差d=0.

⑥不是，因?yàn)榈?項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于第2項(xiàng)減去第3項(xiàng)。

【鞏固】3+12、6+10、12+8、24+6、48+4、……是按一定規(guī)律排列的一串算式，其中第六個(gè)算式的

計(jì)算結(jié)果是。

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識(shí)【難度】☆【題型】填空

【解析】規(guī)律是，第一個(gè)加數(shù)是公比為2的等比數(shù)列，第二個(gè)加數(shù)是差為2的等差數(shù)列，所以第六個(gè)式子

是96+2=98

【答案】98

【例2】小朋友們，你知道每一行數(shù)列各有多少個(gè)數(shù)字嗎?

(3)3、4、5、6、...、76、77、78

(4)2、4、6、8、...、96、98、100

(5)1、3、5、7、....、87、89、91

(6)4、7、10、13、...、40、43、46

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識(shí)【難度】☆☆【題型】計(jì)算

【解析】一、⑴連續(xù)的自然數(shù)列，3、4、5、6、7、8、9、10……，對(duì)應(yīng)的是這個(gè)數(shù)列的第1、2、3、4、

5、6、7、8、.....，發(fā)現(xiàn)它的項(xiàng)數(shù)比對(duì)應(yīng)數(shù)字小2,所以78是第76項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)列就有76項(xiàng).對(duì)

于連續(xù)的自然數(shù)列，它們的項(xiàng)數(shù)是：末項(xiàng)一首項(xiàng)+1.

（2）如果添上此數(shù)列所缺的一些奇數(shù)，就變成了1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、

98、99、100,可知這個(gè)數(shù)列是100項(xiàng).讓它們兩兩結(jié)合有：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、

8）、....、（95、96）、（97、98）、（99、100）,奇數(shù)在每一組的第1位，偶數(shù)在第2位，而且

每組里偶數(shù)比奇數(shù)大，同學(xué)們一看就知道，共有100+2=50組，每組把偶數(shù)找出來(lái)，那么原

數(shù)列就有50項(xiàng)了.這樣的方法我們稱為“添數(shù)配組法

（3）利用“添數(shù)配組法”得：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）.............（87、88）、（89、90）、（91、

92）,1?92有92項(xiàng)，每組2項(xiàng)，那么可以得到92+2=46組，所以原數(shù)列有46項(xiàng).

（4）利用“添數(shù)配組法”得:（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、...、（46、

47、48）,注意每?jī)身?xiàng)的差是3,那么每組有3個(gè)數(shù)，數(shù)列中的數(shù)都在每組的第1位，所以

46應(yīng)在最后一組第1位，4至U48有48-4+1=45項(xiàng)，每組3個(gè)數(shù)，所以共45+3=15組，原

數(shù)列有15項(xiàng).當(dāng)然，我們還可以有其他的配組方法.

二、這道題目也可用于學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求項(xiàng)數(shù)公式的學(xué)習(xí)。

【答案】⑴76（2）50⑶46（4）15

【鞏固】1,3,5,7,……是從1開始的奇數(shù)，其中第2005個(gè)奇數(shù)是?

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識(shí)【難度】☆☆【題型】填空

【解析】2x2005-1=4009

【答案】4009

［例3］已知一個(gè)等差數(shù)列第9項(xiàng)等于131,第10項(xiàng)等于137,這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？第19項(xiàng)是多

少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識(shí)【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【解析】一、把數(shù)列列出來(lái)：83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161467,173,179,185,191

二、直接求出公差：由%-/=,（〃>得出d=（a“-%”）+（n-m）。137-131=6,再求首

項(xiàng)：131-（9-1）x6=83,最后求出19項(xiàng)。

【答案】83,191

【鞏固】在下面12個(gè)方框中各填入一個(gè)數(shù)，使這12個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成等差數(shù)列，其中10、16已經(jīng)填好，這

12個(gè)數(shù)的和為o

□□口□□畫□□畫□□口

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識(shí)【難度】☆☆【題型】計(jì)算

【解析】一、由題意知：這個(gè)數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，又由題目給出的兩個(gè)數(shù)10和16知：公差為2,那么第

一個(gè)方格填26,最后一個(gè)方格是4,由等差數(shù)列求和公式知和為：（4+26）x12+2=180。

【答案】180

二、等差數(shù)列公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用

［例4］2、4、6、8、10、12、是個(gè)連續(xù)偶數(shù)列，如果其中五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是320,求它們中最小的

一個(gè).

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【解析】方法一：利用等差數(shù)列的“中項(xiàng)定理”，對(duì)于奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有這些自然數(shù)

的平均值，五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)數(shù)應(yīng)為320+5=64,因相鄰偶數(shù)相差2,故這五個(gè)偶

數(shù)依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60.

方法二：5個(gè)連續(xù)偶數(shù)求和，我們不妨可以把這5個(gè)數(shù)用字母表示記作：x-4、x—2、x、x+2、

x+4.那么這5個(gè)數(shù)的和是5x=320,x=64,進(jìn)而可得這五個(gè)偶數(shù)依次是60、62、64、

66、68,其中最小的是60.請(qǐng)教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)把中間數(shù)表示為x的便利，如果我們把最

大或最小的數(shù)看成x,那么會(huì)怎樣呢？

【答案】60

【鞏固】1、3、5、7、9、11、是個(gè)奇數(shù)列，如果其中8個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是256,那么這8個(gè)奇數(shù)中最大

的數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【解析】我們可以找中間的兩個(gè)數(shù)其中一個(gè)為y,那么這8個(gè)數(shù)為：y-6,y-4,y-2,y,y+2,y+4,

y+6,y+8,根據(jù)題意可得：8y+8=256,所以y=31,最大的奇數(shù)是y+8=39.

【答案】39

［例5］在等差數(shù)列6,13,20,27,…中，從左向右數(shù)，第個(gè)數(shù)是1994.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用【難度】☆☆☆【題型】填空

【解析】每個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)大7,根據(jù)求通項(xiàng)=4+(〃-l)d的公式得”=(a,-q)+d+l,列式得：

(1994-6)^7=284

284+1=285

即第285個(gè)數(shù)是1994.

【答案】285

【鞏固】5、8、11、14、17、20、，這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)？它的第201項(xiàng)是多少？65是其中的第幾項(xiàng)？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【解析】它是一個(gè)無(wú)限數(shù)列，所以項(xiàng)數(shù)有無(wú)限多項(xiàng).第〃項(xiàng)=首項(xiàng)+公差義(〃-1),所以，第201項(xiàng)

=5+3x(201-1)=605,對(duì)于數(shù)列5,8,11,,65,一共有：?=(65-5)^3+1=21,即65是

第21項(xiàng).

【答案】無(wú)限多項(xiàng)；第201項(xiàng)是605;65是第21項(xiàng)

【例6］已知數(shù)列0、4、8、12、16、20..............它的第43項(xiàng)是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【解析】第43項(xiàng)0+4x(43-1)=168.

【答案】168

【鞏固】聰明的小朋友們，PK一下吧.

(1)3、5、7、9、11、13、15、……，這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)？它的第102項(xiàng)是多少？

(2)已知等差數(shù)列2、5、8、11、14……，問47是其中第幾項(xiàng)？

(3)已知等差數(shù)列9、13、17、21、25、……，問93是其中第幾項(xiàng)？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【解析】⑴它是一個(gè)無(wú)限數(shù)列，所以項(xiàng)數(shù)有無(wú)限多項(xiàng).

第"項(xiàng)=首項(xiàng)+公差x(w-D,所以，第102項(xiàng)=3+2x(102-1)=205;

(2)首項(xiàng)=2,公差=3,我們可以這樣看：2、5、8、11、14...,47,那么這個(gè)數(shù)列有：

"=47-2)+3+1=16,(熟練后，此步可省略)，即47是第16項(xiàng).其實(shí)求項(xiàng)數(shù)公式，也就是求第

幾項(xiàng)的公式.

(3)“=03-9)+4+1=22.

【答案】⑴無(wú)限多項(xiàng)；205(2)16(3)22

三、等差數(shù)列的求和

【例7】15個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是1995,其中最大的奇數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的求和【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【解析】由中項(xiàng)定理，中間的數(shù)即第8個(gè)數(shù)為：1995+15=133,所以這個(gè)數(shù)列最大的奇數(shù)即第15個(gè)數(shù)是:

133+2x(15-8)=147

【答案】147

【鞏固】把210拆成7個(gè)自然數(shù)的和，使這7個(gè)數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是5,那么，第

1個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)分別是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的求和【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【解析】由題可知：由210拆成的7個(gè)數(shù)一定構(gòu)成等差數(shù)列，則中間一個(gè)數(shù)為210+7=30,所以，這7個(gè)

數(shù)分別是15、20、25、30、35、40、45.即第1個(gè)數(shù)是15,第6個(gè)數(shù)是40.

【答案】40

［例8］小馬虎計(jì)算1到2006這2006個(gè)連續(xù)整數(shù)的平均數(shù)。在求這2006個(gè)數(shù)的和時(shí)，他少算了其中的

一個(gè)數(shù)，但他仍按2006個(gè)數(shù)計(jì)算平均數(shù)，結(jié)果求出的數(shù)比應(yīng)求得的數(shù)小1。小馬虎求和時(shí)漏掉的

數(shù)是。

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的求和【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】2006年，第4屆，希望杯，4年級(jí)，1試

【解析】少的這個(gè)數(shù)應(yīng)該給每一個(gè)數(shù)都補(bǔ)上1,才能使結(jié)果正確，共要補(bǔ)上2006,因此這個(gè)漏掉的數(shù)是2006。

【答案】2006

四、等差數(shù)列的計(jì)算

【例91用等差數(shù)列的求和公式會(huì)計(jì)算下面各題嗎？

(D3+4+5+6++76+77+78=

(2)1+3+5+7++87+99=

(3)4+7+10+13++40+43+46=

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆【題型】計(jì)算

【解析】算式中的等差數(shù)列一共有76項(xiàng)，所以：

3+4+5+6++76+77+78=<3+78)x76+2=3078

⑵算式中的等差數(shù)列一共有50項(xiàng)，所以：1+3+5+7++87+99=(1+99)x50-2=2500

⑶算式中的等差數(shù)列一共有15項(xiàng)，所以：4+7+10+13++40+43+46=(4+46)x15+2=375

【答案】⑴3078(2)2500(3)375

【鞏固】1+2+.......+8+9+10+9+8+.......+2+1=o

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆【題型】計(jì)算

【解析】l+2+3+...+n+…+3+2+l=nxn,所以原式=10x10=100

【答案】100

【例10］巧算下題：

(1)5000-2-4-6-98-100

(2)1+3+5+7++1995+1997+1999

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆【題型】計(jì)算

【解析】⑴原式=5000-(2+4+6++98+100)=5000-(2+100)x50-2=5000-2550=2450

⑵這一串加數(shù)可以組成首項(xiàng)為1、末項(xiàng)為1999,公差為2的等差數(shù)列，

項(xiàng)數(shù)=(1999-1)+2+1=1000,原式=(1+1999)xl000-2=2000x1000+2=1000000

【答案】⑴2450⑵1000000

【鞏固】(1+2+3+...+2007+2008+2007+...+3+2+1)4-2008=

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆【題型】計(jì)算

【解析】觀察原式可知，1、2、3...2007分別可與2007、2006、2005...1組成2008,于是括號(hào)中有2008個(gè)

2008,故原式結(jié)果為2008。

【答案】2008

【例11】計(jì)算：

(1)(1+3+5++1997+1999)-(2+4+6++1996+1998)

(2)4000-5-10-15--95-100

⑶99+198+297+396+495+594+693+792+891+990

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【解析】⑴(方法一)第一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)1000,第二個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為999,利用求和公式得：

(1+1999)x1000+2-(2+1998)x999+2=1000.

(方法二)第一個(gè)括號(hào)內(nèi)共有1000個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)有999個(gè)數(shù).把1除外，第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的各數(shù)依

次比第二個(gè)括號(hào)里相應(yīng)的數(shù)大1,因此可簡(jiǎn)捷求和.

原式=1+(3-2)+(5-4)++(1999-1998)=/+1+1++1(共1000個(gè)1)=1000

⑵通過觀察可知，題目中的減數(shù)可以組成等差數(shù)列，所以，可先求這些減數(shù)的和，再?gòu)谋粶p數(shù)中減去這個(gè)

和.

4000-5-10-15--95-100=4000-(5+10+15++95+100)=4000-(5+100)x(204-2)

=4000-1050=2950.當(dāng)一個(gè)數(shù)連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，這些減數(shù)能組成等差數(shù)列時(shí)，可以先求這些減數(shù)的和，再

從被減數(shù)中減去這個(gè)和.

⑶99+198+297+396+495+594+693+792+891+990

=100-1+20?230-0+3+1(

=100+200+300++1000-(1+2+3++10)

=(100+1000)x10-2-(1+10)x10-2

=5500-55

=5445

【答案】⑴1000⑵2950⑶5445

【鞏固】計(jì)算(2+4+6++1984+1986+1988)—(1+3+5++1983+1985+1987)

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【解析】根據(jù)求項(xiàng)數(shù)公式可知兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的算式都各有994項(xiàng)

原式=<2-D+(4-3)++(2-1)+(4-3)++(1988+1987)1+1+1++1=994

994個(gè)1

【答案】994

【例12］計(jì)算：1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】第十三屆，迎春杯，試題

【解析】原式=5

=(5.5+15.15)x5

=20.56x5=103.25

【答案】103.25

【例13】計(jì)算—L+二-+二-+1990

1990199019901990

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算

［解析】原式J+2+3++1990

1990

(1+1990)x1990+2

—1990

=995-

2

【答案】995-

2

【鞏固】⑴計(jì)算4+6+8+10++34+36

6「7「8八9-1011

⑶計(jì)算:1——+o3——+5——+7——+9——+11——+1O3—

13131313131313

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【解析】⑴這是一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算得：(4+36)x17+2=340

(2)帶分?jǐn)?shù)加法，我們先計(jì)算整數(shù)部分，再計(jì)算分?jǐn)?shù)部分，認(rèn)真觀察我們發(fā)現(xiàn)整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分

都可以利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算.

1——213口

13131313131313

「。uC一…/567891011

=(1+3+5+7+9+11+13)+(---1----1---1---1---1----1----)

13131313131313

(5+ll)x7+2

=(l+13)x7+2+

13

4

=49+4—

13

=53—

13

4

【答案】(1)340⑵533

13

［例1411只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿;

2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿;

只青蛙張嘴，32只眼睛條腿。

【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】2007年，第5屆，希望杯，4年級(jí)，1試

【解析】32+(2+1)=16;32+(2+1)=16;32x(4-2)=64.

【答案】16:16;64

【鞏固】如圖2,用火柴棍擺出一系列三角形圖案,按這種方式擺下去，當(dāng)N=5時(shí)，按這種方式擺下去,

當(dāng)N=5時(shí)，共需要火柴棍根。

圖2

【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算【難度】3星【題型】填空

【解析】找規(guī)律3,3+6,3+6+9…,N=5時(shí)，需要火柴棍3+6+9+12+15=45

【答案】45

【例15】觀察下面的序號(hào)和等式，填括號(hào).

序號(hào)等式

11+2+3=6

33+5+7=15

55+8+11=24

77+11+15=33

()()+()+7983=()

【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯

【解析】可以這樣想：

⑴表中各豎行排列的規(guī)律是什么？(等差數(shù)列)

⑵表中這四個(gè)括號(hào)，應(yīng)先填哪一個(gè)？為什么？這個(gè)括號(hào)里的數(shù)怎么求？

應(yīng)先填左起第一個(gè)，因?yàn)樗切蛱?hào)，表示了其他三個(gè)括號(hào)里的數(shù)在各自的等差數(shù)列中所在的位置,

即各自的項(xiàng)數(shù).

第一個(gè)括號(hào)：(7983-3)-4+1=1996,1+(1996-1)x2=3991;

第二個(gè)括號(hào)：1+(1996-1)x2=3991;

第三個(gè)括號(hào)：根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：2+(1996-1)x3=5987或3991+1996=5987;

第四個(gè)括號(hào)：根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：6+(1996-1)x9=17961或5987x3=17961

【答案】3991;3991;5987；17961

【鞏固】有許多等式

2+4+6=1+3+5+3

8+10+12+14=7+9+11+13+4

16+18+20+22+24=15+17+19+21+23+5；

那么第10個(gè)等式的和是

【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算【難度】4星【題型】填空

【解析】前九個(gè)等式左邊的數(shù)共有3+4++11=(3+11)x94-2=63(個(gè))數(shù)，那么第十個(gè)等式左邊第一個(gè)

數(shù)是(63+1)x2=128,所以第十個(gè)等式的和是128+130++150=(128+150)x124-2=1668.

【答案】1668

J課堂檢測(cè)

【隨練1】計(jì)算下面結(jié)果.

(1)4+8+12+16++32+36

(2)65+63+61++5+3+1

(3)3+4+5++99+100

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆【題型】計(jì)算

【解析】根據(jù)剛剛學(xué)過的求項(xiàng)數(shù)以及求和公式，項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))+公差+1

等差數(shù)列的和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))x項(xiàng)數(shù)+2

(1)項(xiàng)數(shù)：(36-4)+4+1=9;#口：(4+36)x9+2=180

(2)項(xiàng)數(shù)：(65-1)4-2+1=33;4口：(1+65)x33+2=33x33=1089

⑶項(xiàng)數(shù)：(100-3)-1+1=98;和：(3+100)x984-2=5047

【答案】(1)180(2)1089(3)5047

[隨練2](2005+2006+2007+2008+2009+2010+201D+2008=

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆【題型】計(jì)算

【解析】根據(jù)中項(xiàng)定理知：2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=2008x7,所以原式=2008x7-2008=7

【答案】7

【隨練3】計(jì)算：2007-2006+2005-2004+2003-2002++5-4+3-2+1

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【解析】找規(guī)律并分組計(jì)算如下：

2007-2006+2005-2004+2003-2002++5-4+3-2+1

二(2007-2006)+(2005-2004)+(2003-2002)++(5-4)+(3-2)+1

=1+1++1+1

2003個(gè)1

二2004

【答案】2004

家庭作業(yè)

【作業(yè)1】1966、1976、1986、1996、2006這五個(gè)數(shù)的總和是多少?

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】第一屆，華杯賽，初賽

【解析】1986是這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以和=1986x5=9930。

【答案】9930

【作業(yè)2】計(jì)算：110+111+112+...+126=

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆【題型】計(jì)算

【解析】原式=(110+126)x17+2=2006

【答案】2006

【作業(yè)3】計(jì)算下列一組數(shù)的和：105,110,115,120,195,200

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆【題型】計(jì)算

【解析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式，必須知道首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，這里首項(xiàng)是105,末項(xiàng)是200,但項(xiàng)數(shù)不知

道.若利用%=%+(〃-l)xd,可有〃=(4“-q)+d+l

據(jù)此可先求出項(xiàng)數(shù)，再求數(shù)列的和.

解：數(shù)列的項(xiàng)數(shù)

〃=(見一%)+d+l

=(200—105)+5+1

=95+5+1

=20.

故數(shù)列的和是：

S=(%+a〃)x〃+2

=(10孕209)2

=305x24

=3050

【答案】3050

【作業(yè)4】聰明的小朋友們，PK一下吧.

(1)4+8+12+16++32+36

(2)65+63+61++5+3+1

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆【題型】計(jì)算

【解析】根據(jù)剛剛學(xué)過的求項(xiàng)數(shù)以及求和公式，項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))+公差+1

等差數(shù)列的和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))x項(xiàng)數(shù):2

⑴項(xiàng)數(shù)：(36-4)+4+1=9;和：(4+36)x9+2=180;

(2)項(xiàng)數(shù)：(65-1)-2+1=33;4口：(1+65)x33+2=33x33=1089.

【答案】⑴180⑵1089

【作業(yè)5】計(jì)算：(1)Q+4+6++96+98+100)-1+3+5++95+97+99)

(2)1+3+4+6+7+9+10+12+13++66+67+69+70；

(3)1000+999-998+997+996-995++106+105-104+103+102-101.

⑷61+692+6993+69994+699995+6999996

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】☆☆☆【題型】計(jì)算

【解析】⑴和式2+4++98+100,1+3+5++97+99中的項(xiàng)成等差數(shù)列，從而可能想到先求和，再

做減法.這樣做，很自然，也比較簡(jiǎn)便，有其他更為簡(jiǎn)便的解法嗎？再看題，你會(huì)冒出一個(gè)好想法：運(yùn)用加

減運(yùn)算性質(zhì)先做減法：2—1,4-3,6-5,,100-99,它們的差都等于1,然后，計(jì)算等于1的差數(shù)

有多少個(gè).由于題中1至100的全部偶數(shù)之和作為被減數(shù)，奇數(shù)之和為減數(shù)，所以，相鄰的奇偶數(shù)相減(以

大減小)，共得50個(gè)差數(shù)1,從而，

原式=C2—D+4—3)++08-97)+(100-99)=50.

(2)以把這個(gè)數(shù)列拆分為兩個(gè)數(shù)列1+4+7+10+13++67+70和3+6+9+12++66+69,對(duì)

它們分別求和：原式=Q+70)x24+2+G+69)x23+2=1680；

⑶