專題05函數(shù)的概念及其表示'分段函數(shù)

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖

二、學(xué)法指導(dǎo)與考點(diǎn)梳理

【基礎(chǔ)知識(shí)梳理】

一、函數(shù)的概念

1.函數(shù)與映射的相關(guān)概念

（1）函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

兩個(gè)集合

設(shè)4、2是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)42是兩個(gè)非空集合

/、B

按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系了,使對(duì)于集

對(duì)應(yīng)關(guān)系集合/中的任意一個(gè)數(shù)X,在集合8合力中的任意一個(gè)元素X,在集合B中

中都有唯一確定的數(shù)加)和它對(duì)應(yīng)都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)

稱f：A-B為從集合A到集合B的一稱/：/一8為從集合/到集合8的一

名稱

個(gè)函數(shù)個(gè)映射

記法x^A/：4TB

注意：判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系，就看這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義中“定義

域內(nèi)的任意一個(gè)自變量的值都有唯一確定的函數(shù)值”這個(gè)核心點(diǎn).

(2)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)＞=/)，XGN中，X叫做自變量，X的取值范圍N叫做函數(shù)的定義域，與X的值相

對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合伏幻,6/｝叫做函數(shù)的值域.

(3)構(gòu)成函數(shù)的三要素

函數(shù)的三要素為定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(4)函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.

解析法：一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域；

列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；

圖象法：注意定義域?qū)D象的影響.

二、函數(shù)的三要素

1.函數(shù)的定義域

函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見(jiàn)基本初等函數(shù)定義域的

要求為：

(1)分式函數(shù)中分母不等于零.

(2)偶次根式函數(shù)的被開(kāi)方式大于或等于0.

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R

(4)7=x°的定義域是｛x|#0｝.

2.函數(shù)的解析式

(1)函數(shù)的解析式是表示函數(shù)的一種方式，對(duì)于不是＞=/)的形式，可根據(jù)題目的條件轉(zhuǎn)

化為該形式.

(2)求函數(shù)的解析式時(shí)，一定要注意函數(shù)定義域的變化，特別是利用換元法(或配湊法)求

出的解析式，不注明定義域往往導(dǎo)致錯(cuò)誤.

3.函數(shù)的值域

函數(shù)的值域就是函數(shù)值構(gòu)成的集合，熟練掌握以下四種常見(jiàn)初等函數(shù)的值域：

(1)一次函數(shù)了=履+6/為常數(shù)且以0)的值域?yàn)镽

(2)反比例函數(shù)y=七伏為常數(shù)且厚0)的值域?yàn)?-00,0)U(0,+oo).

x

(3)二次函數(shù)＞="2+反十0(〃，b,c為常數(shù)且。邦)，

4-ctc—Z?2

當(dāng)。＞0時(shí)，二次函數(shù)的值域?yàn)椋?+oo)；

4〃

4-ctc—Z?2

當(dāng)6Z＜0時(shí)，二次函數(shù)的值域?yàn)?-8,空.

4〃

求二次函數(shù)的值域時(shí)，應(yīng)掌握配方法：y=ax2+bx+c^a(xH---)2H---------.

2a4a

三、分段函數(shù)

分段函數(shù)的概念

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，則這

種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

【知識(shí)拓展】

1.(1)相等函數(shù)一如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等.

①兩個(gè)函數(shù)是否是相等函數(shù)，取決于它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)

的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí)，才表示相等函數(shù).

②函數(shù)的自變量習(xí)慣上用x表示，但也可用其他字母表示，如：?=2x-l,g(f)=2/T,

從m)=2m-l均表示相等函數(shù).

(2)映射的個(gè)數(shù)

若集合/中有機(jī)個(gè)元素，集合8中有"個(gè)元素，則從集合/到集合8的映射共有那個(gè).

2.分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

三、重難點(diǎn)題型突破

（一）、判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系（圖像）是否為函數(shù).

1.判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個(gè)條件

（1）48必須是非空實(shí)數(shù)集.

（2）4中任意一元素在8中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng).

對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一''或“多對(duì)一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對(duì)多”的不是函數(shù)關(guān)系.

例1.（2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列對(duì)應(yīng)或關(guān)系式中是4到8的函數(shù)的序號(hào)為.

①AeRBeR,^+y2=1；

②4={1,2,3,4},5={0,1},對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖:

③A=RB=R,于：xTy=----；

x-2

@A=Z,B=Z,=<2x—l.

【變式訓(xùn)練1】（2019?廣東禪城佛山一中高一月考）（多選題）下列四個(gè)圖形中可能是函

【變式訓(xùn)練2】下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的是()

【變式訓(xùn)練3】.(2012?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))設(shè)集合M={x|0<x<2},

N={y|0VyV2},那么下面的4個(gè)圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有

(二卜求函數(shù)的定義域.

1.求函數(shù)定義域的三種常考類型及求解策略

(1)已知函數(shù)的解析式：構(gòu)建使解析式有意義的不等式(組)求解.

(2)抽象函數(shù)：

①若已知函數(shù)啟)的定義域?yàn)閇“，b],則復(fù)合函數(shù)如(x))的定義域由。名㈤劭求出.

②若已知函數(shù)德(尤))的定義域?yàn)榭冢琤],則於)的定義域?yàn)間(x)在切時(shí)的值域.

(3)實(shí)際問(wèn)題：既要使構(gòu)建的函數(shù)解析式有意義，又要考慮實(shí)際問(wèn)題的要求.

2.求函數(shù)定義域的注意點(diǎn)

(1)不要對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，以免定義域變化.

(2)當(dāng)一個(gè)函數(shù)由有限個(gè)基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域一般是各

個(gè)基本初等函數(shù)定義域的交集.

⑶定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示，不能用"或"連接，而應(yīng)該用

并集符號(hào)"U"連接.

例2.(1)(2019?浙江南湖嘉興一中高一月考)下列函數(shù)中，與函數(shù)>=下有相同定

\JX

義域的是()

A.y(x)=—B./(x)=-C./(x)=|x|D.于(X);五，

Xxyjx

(2)(2019秋?金山區(qū)校級(jí)期末)下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是()

A.y=2°^y=-B.y=±l與片拶

C.y=xx2+X與y=v'Txv-1D.y=x+l與y=rr?:廣

【變式訓(xùn)練1】求下列函數(shù)的定義域.

(1)/(x)=3x-4；(2)/(尤)=3尤2+4x-7；

(4)<(x)=Jl-x+Jx+3-l；

/(無(wú))=,3尤-6+

例3.(2019?哈爾濱市第一中學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試(文))已知f(x)的定義域?yàn)?-1,0),則

函數(shù)/(2x+l)的定義域?yàn)?)

A.(-1,1)B.(-1,--)C.(-1,0)D.I]/)

【變式訓(xùn)練1】(1)已知/(>)的定義域?yàn)閇-2,1],求函數(shù)/(3x-l)的定義域;

(2)已知/(2x+5)的定義域?yàn)閇-1,4],求函數(shù)/(X)的定義域.

(3)已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閇-1,2],求函數(shù)y=〃l-d)的定義域.

(4)已知函數(shù)y=/(2x-3)的定義域?yàn)?-2,1],求函數(shù)y=/(x)的定義域.

(三卜判斷函數(shù)為同一(相等)函數(shù)

判斷函數(shù)相等的方法

(1)先看定義域，若定義域不同，則不相等；

(2)若定義域相同，再化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同.

例4.(2020?江蘇省響水中學(xué)高一月考)下列選項(xiàng)中，表示的是同一函數(shù)的是()

A.“X)=7?,g(x)=(?)B./(x)=%2,g(%)=(%—2)2

羽尤N0____

C.f(X)=\c，g(')=WD-/(x)=yjx+1-yjx-l,g(x)=Jx2-1

—%,X<(J

【變式訓(xùn)練1】.(2019?江蘇姑蘇蘇州中學(xué)高一期中)(多選題)下列各組函數(shù)中，兩個(gè)

函數(shù)是同一函數(shù)的有()

I--丫2―1

A./(x)=l%Gg(x)=GB./(x)=x+l與g(x)=------

x-1

C./0)=W與8(%)=<；D./(?=&一1與g(x)=Jx+iJx—i

x-1,x<0J

(四卜求函數(shù)的解析式

求函數(shù)解析式常用的方法

1.換元法：

已知復(fù)合函數(shù)_Ag(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；

2.配湊法：

由已知條件/(g(x))=F(x),可將尸(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x),便得

段)的表達(dá)式；

3.待定系數(shù)法：

若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法；

4.方程組法：

已知關(guān)于/W與y(-)或/(—x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方

X

程組，通過(guò)解方程求出了(X).

例5.(2020?全國(guó)高一)設(shè)函數(shù)/(x)=Ax+>(左>0),滿足/(/(x))=16x+5,則

/（x）=（）

A.—4x—B.4x—C.4%-1D.4x+1

33

【變式訓(xùn)練1】.（2020?河北衡水中學(xué)調(diào)研）已知外）是二次函數(shù)，且黃0）=0,"+1）=

兀T）+尤+1,求兀。的解析式.

例6.（2017?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知了■，則/（九）的解析式為（）

?L

A.y(x)=-^—B.f(x)=^-

-X+1X

0/W=T7ID./(%)=1+%

【變式訓(xùn)練1】.已知函數(shù)/（%）是一次函數(shù)，且/"（X）—2刃=3恒成立，則〃3）=

（）

A.1B.3

C.5D.7

例7.（2020?全國(guó)高一）若函數(shù)F。）滿足/（x）+2/3x,則/⑵

【變式訓(xùn)練1】.（2020?全國(guó)高一）對(duì)的所有實(shí)數(shù)%,函數(shù)/（九）滿足

上)-2/[2)=十3,求/(x)的解析式.

X\L-rXX~1

【變式訓(xùn)練2】.（2019秋?武漢期末）（1）已知〃,'）=我，求八？.|+"彳1；

（2）已知r（x）+2虺=3-2,求/（x）的解析式.

(五卜求函數(shù)值域

求函數(shù)值域的基本方法

1.觀察法：

通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式的簡(jiǎn)單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)圖象的“最高

點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域.

2.利用常見(jiàn)函數(shù)的值域：

一次函數(shù)的值域?yàn)镽；反比例函數(shù)的值域?yàn)椋鹹|ywO｝；指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0,+oo)；

對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽；正、余弦函數(shù)的值域?yàn)椋?1,1］；正切函數(shù)的值域?yàn)镽.

3.分離常數(shù)法：

將形如丁=三二2(〃/))的函數(shù)分離常數(shù)，變形過(guò)程為：

ax+b

c卜,be,be,be

cx+d_a」「工,再結(jié)合x(chóng)的取值范圍確定.一"的取值范圍,

------=------------------=—?--------------

ax+bax+baax+b-------------------------------ax+b

從而確定函數(shù)的值域.

4.換元法：

對(duì)某些無(wú)理函數(shù)或其他函數(shù)，通過(guò)適當(dāng)?shù)膿Q元，把它們化為我們熟悉的函數(shù)，再用有關(guān)

方法求值域.如：函數(shù)/(x)=ax+6+Jcx+d(ac豐0),可以令1=15+-(720),得

到x=-———，函數(shù)f(x)=ax+b+s/cx+d(ac豐0)可以化為y=————+t+b

cc

(侖0),接下來(lái)求解關(guān)于才的二次函數(shù)的值域問(wèn)題，求解過(guò)程中要注意,的取值范圍的限制.

5.配方法：

對(duì)二次函數(shù)型的解析式可以先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用

求二次函數(shù)的值域的方法求函數(shù)的值域.

6.數(shù)形結(jié)合法：

作出函數(shù)圖象，找出自變量對(duì)應(yīng)的范圍或分析條件的幾何意義，在圖上找出值域.

7.單調(diào)性法：

函數(shù)單調(diào)性的變化是求最值和值域的依據(jù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷其單調(diào)性，進(jìn)而求

函數(shù)的最值和值域.

8.判別式法：

將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程:若函數(shù)y=/(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a(y)x2

+b(y)x+c(y)=O,則在。(y)#0時(shí)，由于x,y為實(shí)數(shù)，故必須有4=按(0一4aM-c(y)20,由此

確定函數(shù)的值域.

利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些"分式"函數(shù)、"無(wú)理”函數(shù)等，使用此法要特別注

意自變量的取值范圍.

例8.(2019?東臺(tái)創(chuàng)新高級(jí)中學(xué)高三月考)函數(shù).=54一/的值域是.

例9.求下列函數(shù)的值域：

_______2

(1)=x2-4x+3,x€[-1,1]；(2)y=x--2x；(3)y----(x>1).

x-1

【變式訓(xùn)練1】?求下列函數(shù)的值域

(1)f(x)=x2-4x+l,XG(-2,3]；(2)f(x)=x-4yjx-1(x..1).

(3)y=3x2-x+2,XG[1,3]；(4)y=x+4y/T^x.

ii----r2-2

(5)y=.(6)y=x-y/l-2x(7)y=----.

yj—x2+5x+6x+3

/、x+2,%4—1

【變式訓(xùn)練2】.(2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))(多選題)已知函數(shù)/(力=<2

關(guān)于函數(shù)“X)的結(jié)論正確的是()

A./(x)的定義域?yàn)镽B.7(力的值域?yàn)?—8,4)

C./(1)=3D.若/(x)=3,則x的值是6

E"(x)<l的解集為(—1,1)

(六卜分段函數(shù)求值

分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)，常作為考查函數(shù)知識(shí)的最佳載體，以其考查函數(shù)知識(shí)容

量大而成為高考的命題熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，重點(diǎn)考查求值、解方程、

零點(diǎn)、解不等式、函數(shù)圖象及性質(zhì)等問(wèn)題，難度一般不大，多為容易題或中檔題.分段函

數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略：

1.求函數(shù)值：

弄清自變量所在區(qū)間，然后代入對(duì)應(yīng)的解析式，求“層層套”的函數(shù)值，要從最內(nèi)層逐層

往外計(jì)算.

2.求函數(shù)最值：

分別求出每個(gè)區(qū)間上的最值，然后比較大小.

3.求參數(shù)：

“分段處理”，采用代入法列出各區(qū)間上的方程或不等式.

4.解不等式：

根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定，代入相應(yīng)的解析式求解，但要注意取值范圍的

大前提.

/、fx2+1(%<0)

例10.(2019?浙江南湖嘉興一中高一月考)已知/(%)=40八cJ,若

-2x(%>0)

/(/(a))=10,則。=.

/、1,x>0/、

例H.(2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知y(x)=則不等式步■(x)+XW2的解集

U,Ji<U

是.

X2+］光00

【變式訓(xùn)練1】.(1)已知函數(shù)丁='一，若/(尤)=10,則*=____________

—2x,%>0

(2).(2020?四川省成都市鄲都區(qū)第四中學(xué)高一期末)設(shè)函數(shù)

2x+l,x>l

f(x)=<J若f(Xo)>L則Xo的取值范圍是()

x-2x-2,x<l

A.(-°°,-I)U(I,+8)B.(-°°,-I)U[I,+8)

C.(--3)U(l,+8)D.(--3)U[I,+8)

四、課堂定時(shí)訓(xùn)練（45分鐘）

1.下列四個(gè)圖象中，不是函數(shù)圖象的是（）

0

A

2.（2020?重慶巴蜀中學(xué)高二期中）若函數(shù)/（%）滿足/（3x+2）=9x+8,則/（%）的解

析式是（）

/（X）=9無(wú)+8B./（%）=3%-2

?。?一3%-4D.〃尤）=3%+2

3.（2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域.

（1）y=3——x；

（2）y=2y[x—Jl-7x;

'x+2

（4）尸j2%+3—

4.（2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，求段）的解析式.

（1）火工）是一次函數(shù)，且滿足于（x+1）—危）=2工+9；

（2）火工+1）=/+4