專題04角平分線模型的三種考法類型一、角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線例1．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長(zhǎng)是．【變式訓(xùn)練1】如圖，、是四邊形的對(duì)角線，平分，，已知，則．【變式訓(xùn)練2】已知：是的角平分線，且．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，，點(diǎn)E在上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，連接．①求證：；②若，且，求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練3】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)且a，b滿足．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖（1），點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸一動(dòng)點(diǎn)，，于D，交y軸于點(diǎn)E，求證：平分．（3）如圖（2），點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)G為x正半軸點(diǎn)右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作的垂線，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)H，那么當(dāng)點(diǎn)G的位置不斷變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化?若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)求出相應(yīng)結(jié)果．類型二、過(guò)邊上的點(diǎn)向角平分線作垂線構(gòu)造等腰三角形例．已知：中，為的中點(diǎn)，平分于，連結(jié)，若，求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練1】已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求證：BE=AD．【變式訓(xùn)練2】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求證：CD=DF類型三、利用角平分線的性質(zhì)，在角兩邊截長(zhǎng)補(bǔ)短例．如圖，在中，，平分交于，求證：.【變式訓(xùn)練1】如圖所示，在中，，是的角平分線，交于點(diǎn)，求證：．【變式訓(xùn)練2】閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)可以用下面方法解決問(wèn)題:作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E：(1)根據(jù)閱讀材料可得AD與DC的數(shù)量關(guān)系為__________.(2)如圖二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.(3)如圖三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與BD、BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【變式訓(xùn)練3】如圖，已知B（-1，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，E在BD的延長(zhǎng)線上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求證：∠ABD=∠ACD；（2）求證：AD平分∠CDE；（3）若在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有DC=DA+DB，在此過(guò)程中，∠BAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出∠BAC的度數(shù)．【變式訓(xùn)練4】如圖1，點(diǎn)A、D在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸上，平分與y軸交于D點(diǎn)，．(1)求證：；(2)在（1）中點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且，如圖2，求的長(zhǎng)；(3)在（1）中，過(guò)D作于F點(diǎn)，點(diǎn)H為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為上一動(dòng)點(diǎn)，（如圖3），當(dāng)點(diǎn)H在上移動(dòng)、點(diǎn)G在上移動(dòng)時(shí)，始終滿足，試判斷、、這三者之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明．課后訓(xùn)練1．如圖，在中，，、分別是、的平分線，、相交于點(diǎn)，試判斷和之間的數(shù)量關(guān)系.2．如圖，在中，，平分，交于，于，求證：.3．如圖，在中，，，是的平分線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，，試求的度數(shù)．4．如圖1，在中，是邊的中線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．（1）求證；（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．5．如圖，在中，為邊上的高，是的角平分線，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，連接，．

(1)求證：平分；(2)連接交于點(diǎn)G，若，求證：；(3)在（2）的條件下，當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)．6．已知中，平分，交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)如圖，求證：．

(2)如圖，連接，求證：平分．

(3)如圖，若，，，求的值．

7．已知：在和中，，，．(1)如圖1，A，C，D在同一直線上，延長(zhǎng)交于F，求證：；(2)如圖2，與交于F，G在上，若平分，求證：點(diǎn)C在直線上．

專題04角平分線模型的三種考法類型一、角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線例1．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長(zhǎng)是．【答案】5【分析】過(guò)D作，，交延長(zhǎng)線于F，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】過(guò)D作，，交延長(zhǎng)線于F，∵AD平分，，，∴，，∵，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形．【變式訓(xùn)練1】如圖，、是四邊形的對(duì)角線，平分，，已知，則．【答案】47°【分析】過(guò)D作于E，于F，于G，依據(jù)平分，平分，利用角平分線的性質(zhì)，即可得到，進(jìn)而得出平分．再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可得到，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】如圖所示，過(guò)D作于E，于F，于G，∵平分，，，∴，∵，，∴，∴平分，又∵，，∴，∴，又∵，，∴平分，∵，∴，，∵是的外角，是的外角，∴故答案為：47°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【變式訓(xùn)練2】已知：是的角平分線，且．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，，點(diǎn)E在上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，連接．①求證：；②若，且，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②．【分析】（1）用證明，即得AB＝AC；（2）①證明可得，再用證明△FAG≌△FAE，即得；②過(guò)作于，由，可得，，而，故，即得，根據(jù)，可求．【詳解】解：（1）證明：是的角平分線，，，，在和中，，，；（2）①，，，，，在和中，，，，在和中，，，；②過(guò)作于，如圖：由①知：，，，，由①知：，，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的相關(guān)知識(shí).【變式訓(xùn)練3】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)且a，b滿足．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖（1），點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸一動(dòng)點(diǎn)，，于D，交y軸于點(diǎn)E，求證：平分．（3）如圖（2），點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)G為x正半軸點(diǎn)右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作的垂線，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)H，那么當(dāng)點(diǎn)G的位置不斷變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化?若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)求出相應(yīng)結(jié)果．【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）不變化，．【分析】（1）由非負(fù)性可求a，b的值，即可求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)O作于M，于N，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（3）由于點(diǎn)F是等腰直角三角形AOB的斜邊的中點(diǎn)，所以連接OF，得出OF=BF．∠BFO=∠GFH，進(jìn)而得出∠OFH=∠BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形面積公式解答即可．【詳解】解：（1）∵∴，∴，即．∴，．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O作于M，于N，根據(jù)題意可知．∵，∴，∴．∵，，∴OA＝OB＝6．在和中，，∴．∴，，．∴，∴，∴點(diǎn)O一定在∠CDB的角平分線上，即OD平分∠CDB．（3）如圖，連接OF，∵是等腰直角三角形且點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，∴，，OF平分∠AOB．∴．又∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴．在和中，∴．∴，∴．故不發(fā)生變化，且．【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題，考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，角平分線的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．類型二、過(guò)邊上的點(diǎn)向角平分線作垂線構(gòu)造等腰三角形例．已知：中，為的中點(diǎn)，平分于，連結(jié)，若，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)E.根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)得CG=EG，AE=AC,再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出DG=BE=（AB-AC），從而得出的長(zhǎng)．【詳解】解：延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)E．AG平分，于，，，，∵，為的中點(diǎn)，．故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用三角形中位線定理求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求證：BE=AD．【答案】見解析.【分析】延長(zhǎng)AC、BE交于F，首先由ASA證明△AEF≌△AEB，得到BE=BF，然后再次通過(guò)ASA證明△ACD≌△BCF，得到AD=BF，問(wèn)題得解.【詳解】證明：延長(zhǎng)AC、BE交于F，∵∠1=∠3，BE⊥AE，在△AEF和△AEB中，，∴△AEF≌△AEB(ASA)，∴FE=BE，∴BE=BF，∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，∴∠1=∠2，在△ACD和△BCF中，，∴△ACD≌△BCF（ASA），∴AD=BF，∴BE=AD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，兩次證明全等是解題關(guān)鍵，也考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，有一定的難度．【變式訓(xùn)練2】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求證：CD=DF【答案】見解析【解析】證明：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F.如圖所示：∵AE⊥BE，∴∠BEA=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DBC=∠FAC，在△ACF和△BCD中,，∴△ACF≌△BCD(ASA)，∴AF=BD.又AE=BD，∴AE=AF，即點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)，∴AB=BF，∴BD是∠ABC的角平分線，∵∠C=90°，DF⊥AB于F，∴CD=DF.類型三、利用角平分線的性質(zhì)，在角兩邊截長(zhǎng)補(bǔ)短例．如圖，在中，，平分交于，求證：.【答案】詳見解析【分析】可以在AB上截取AE=AC，構(gòu)造三角形全等，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系可證得結(jié)論．【詳解】在AB上截取AE=AC，則BE=AB-AC，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD(SAS)，∴DE=DC，在△BDE中，BD-DE＜BE(三角形兩邊之差小于第三邊)，∴BE>BD-CD，即AB-AC>BD-CD.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖所示，在中，，是的角平分線，交于點(diǎn)，求證：．【答案】詳見解析【分析】在AB上截，連接FG，根據(jù)角平分線的性質(zhì)、結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，證明，得GD=GF，=60°，可證得，即可得GF=GE=GD.【詳解】證明：在AB上截，連接FG，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠EAB，又∵AG=AG，∴，，，∵，AE,BD是ΔABC的角平分線，∴，∴，∵，∴，∴GD=GE.【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)可以用下面方法解決問(wèn)題:作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E：(1)根據(jù)閱讀材料可得AD與DC的數(shù)量關(guān)系為__________.(2)如圖二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.(3)如圖三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與BD、BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】（1）CD=AD；（2）CD=AD；（3）BC=AD+BD.【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可得AD=DE，根據(jù)∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=DE，進(jìn)而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，連接DE，利用SAS可證明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠C=30°，利用三角形外角性質(zhì)可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得答案；（3）在BC上取一點(diǎn)E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分線的性質(zhì)就可以得出DF=DG，利用AAS可證明△DAF≌△DEG，可得DA=DE，利用外角性質(zhì)可求出∠EDC=40°，進(jìn)而可得DE=CE，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE=AD，故答案為CD=AD（2）如圖，在BC上截取BE=AB，連接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=DE=AD.（3）如圖，在BC上取一點(diǎn)E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，∴∠DFA=∠DGE=90°．∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，∴DF=DG．∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°，∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED．在△DAF和△DEG中，，∴△DAF≌△DEG（AAS），∴AD=ED．∵∠BED=∠C+∠EDC，∴80°=40+∠EDC，∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C，∴DE=CE，∴AD=CE．∵BC=BE+CE，∴BC=BD+AD．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)合理添加輔助線是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】如圖，已知B（-1，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，E在BD的延長(zhǎng)線上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求證：∠ABD=∠ACD；（2）求證：AD平分∠CDE；（3）若在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有DC=DA+DB，在此過(guò)程中，∠BAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出∠BAC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）不變，60°【分析】（1）根據(jù)∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再結(jié)合∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，作AN⊥BE于點(diǎn)N．運(yùn)用“AAS”證明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根據(jù)“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”得證；（3）運(yùn)用截長(zhǎng)法在CD上截取CP＝BD，連接AP．證明△ACP≌ABD得△ADP為等邊三角形，從而求∠BAC的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，∴∠ABD＝∠ACD；（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，作AN⊥BE于點(diǎn)N．則∠AMC＝∠ANB＝90°，∵OB＝OC，OA⊥BC，∴AB＝AC，∵∠ABD＝∠ACD，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴AM＝AN，∴AD平分∠CDE（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）；（3）∠BAC的度數(shù)不變化．在CD上截取CP＝BD，連接AP．∵CD＝AD＋BD，∴AD＝PD，∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，∴△ABD≌△ACP，∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，∴AD＝AP＝PD，即△ADP是等邊三角形，∴∠DAP＝60°，∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用了角平分線的判定定理和“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性較強(qiáng)．【變式訓(xùn)練4】如圖1，點(diǎn)A、D在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸上，平分與y軸交于D點(diǎn)，．(1)求證：；(2)在（1）中點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且，如圖2，求的長(zhǎng)；(3)在（1）中，過(guò)D作于F點(diǎn)，點(diǎn)H為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為上一動(dòng)點(diǎn)，（如圖3），當(dāng)點(diǎn)H在上移動(dòng)、點(diǎn)G在上移動(dòng)時(shí)，始終滿足，試判斷、、這三者之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明．【答案】(1)見解析；(2)；(3)，證明見解析．【分析】（1）結(jié)合題意易得，從而易證得到結(jié)論；（2）如圖所示，過(guò)D作于N點(diǎn)，結(jié)合（1）易證得及，由全等三角形的性質(zhì)可求解；（3）如圖所示，在x軸的負(fù)半軸上取，連接，易證得，得到及，結(jié)合題意易得，再證得得到從而得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，，∴，平分，，在和中，，，；（2）解：由（1）知，∴，如圖所示，過(guò)D作于N點(diǎn)，平分，，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）．平分，在x軸的負(fù)半軸上取，連接，如圖所示：在和中，，

∴，∴，，∴，在和中,，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用．課后訓(xùn)練1．如圖，在中，，、分別是、的平分線，、相交于點(diǎn)，試判斷和之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】詳見解析【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)F作，，垂足分別為H、G，根據(jù)角平分線，可得點(diǎn)F是的內(nèi)心，則有，繼而根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得，從而可得，繼而可得FE=FD.【詳解】FE=FD，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)F作，，垂足分別為H、G.是，的平分線AD、CE的交點(diǎn)，為的內(nèi)心，.，，又；，，又，，.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．2．如圖，在中，，平分，交于，于，求證：.【答案】詳見解析【分析】延長(zhǎng)BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，繼而證得AE=EN，則可證得結(jié)論．【詳解】延長(zhǎng)BD至N，使DN=BD，連接AN．∵AD⊥BE，∴AD垂直平分BN，∴AB=AN，∴∠N=∠ABN，又∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，∴∠ABN=∠NBC=∠C，∴∠NBC=∠C，∴AN∥BC，∴∠C=∠NAC，∴∠NAC=∠N，∴AE=EN，∵BE=EC，∴AC=BN=2BD．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、線段垂直平分線的性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．如圖，在中，，，是的平分線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，，試求的度數(shù)．【答案】40°【分析】在上截取，連接，通過(guò)證明，可得，再通過(guò)證明，即可求得【詳解】解：如圖，在上截取，連接，是的平分線，，在和中，，，，∴DE=DF，，又，，，，在和中，，故．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的問(wèn)題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖1，在中，是邊的中線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．（1）求證；（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，可證，由全等三角形的性質(zhì)從而得出，根據(jù)題目已知，可證，由全等三角形的性質(zhì)從而得出，等量代換即可得出答案；（2）如圖所示，作，可證，由全等三角形的性質(zhì)相等角從而得出，進(jìn)而得出，故可證等量轉(zhuǎn)化即可求出的值．【詳解】（1）如圖1所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，在與中，，，，，，在與中，,，，；（2）如圖所示，，，平分，，，，，，作，在與中，，，，，在與中，，，，，，設(shè)，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的綜合應(yīng)用，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，為邊上的高，是的角平分線，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，連接，．

(1)求證：平分；(2)連接交于點(diǎn)G，若，求證：；(3)在（2）的條件下，當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)7.5【分析】（1）根據(jù)是的角平分線和得，再結(jié)合為邊上的高得出即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，證明，得出，再根據(jù)，解出即可證明；（3）根據(jù)及為邊上的高證明，得出，再根據(jù)，解得，結(jié)合即可求出；【詳解】（1）證明：是的角平分線，.，..為邊上的高，..

平分.（2）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，平分，且，，.，，平分，，在和中，，，，，，

（3），，，，為