第29課時功和功率[雙基落實課]（2020·天津高考8題）復興號動車在世界上首次實現(xiàn)速度350km/h自動駕駛功能，成為我國高鐵自主創(chuàng)新的又一重大標志性成果。判斷下列說法正誤：（1）“復興號”動車勻速運行時牽引力做正功。（√）（2）勻速行駛的“復興號”動車受到的阻力和重力均做負功。（×）（3）若“復興號”動車以恒定功率出站時（阻力恒定），其加速度是增大的。（×）（4）由公式P＝Fv只可以求平均功率，不可以求瞬時功率。（×）考點一恒力做功的分析和計算[素養(yǎng)自修類]1.【功的正負判斷】圖甲為一女士站在臺階式自動扶梯上勻速上樓（忽略扶梯對手的作用），圖乙為一男士站在履帶式自動扶梯上勻速上樓，兩人相對扶梯均靜止。下列關于做功的判斷正確的是（）A.圖甲中支持力對人做正功B.圖甲中摩擦力對人做負功C.圖乙中支持力對人做正功D.圖乙中摩擦力對人做負功解析：A題圖甲中，人勻速上樓，不受摩擦力，支持力向上，與速度方向的夾角為銳角，則支持力做正功，故A正確，B錯誤；題圖乙中，支持力與速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向與速度方向相同，做正功，故C、D錯誤。2.【恒力做功的計算】（多選）如圖所示，升降機內斜面的傾角θ＝30°，質量為2kg的物體置于斜面上始終不發(fā)生相對滑動，在升降機以5m/s2的加速度從靜止開始勻加速上升4s的過程中。g取10m/s2，則（）A.斜面對物體的支持力做功900JB.斜面對物體的摩擦力做功－300JC.物體克服重力做功－800JD.合外力對物體做功400J解析：AD物體置于升降機內隨升降機一起勻加速運動過程中，受力分析如圖所示，由牛頓第二定律得Ffcosθ－FNsinθ＝0，F(xiàn)fsinθ＋FNcosθ－G＝ma，代入數(shù)據(jù)得Ff＝15N，F(xiàn)N＝153N，又x＝12at2＝40m，斜面對物體的支持力所做的功WN＝FNxcosθ＝900J，故A正確；斜面對物體的摩擦力所做的功Wf＝Ffxsinθ＝300J，故B錯誤；物體重力做的功WG＝－mgx＝－800J，則物體克服重力做功800J，故C錯誤；合外力對物體做的功方法一：W合＝F合x＝max＝400J，方法二：W合＝WN＋Wf＋WG＝400J，方法三：W合＝ΔEk＝12m（at）2＝400J，故1.兩個角度判斷功的正負（1）由力與位移（或速度）的夾角判斷（2）依據(jù)能量變化判斷：功是能量轉化的量度，若有能量轉化，則必有力對物體做功。此法常用于判斷兩個相互聯(lián)系的物體之間的相互作用力做功的情況。2.總功的計算方法方法一：先求合力F合，則總功W總＝F合lcosα，此法要求F合為恒力。方法二：先求各個力做的功W1，W2，W3，…，則總功W總＝W1＋W2＋W3＋…，注意代入“＋”“－”再求和。方法三：根據(jù)動能定理求總功，即W總＝ΔEk?？键c二變力做功的分析和計算[多維探究類]以例說法微元法圓周運動一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff（Δx1＋Δx2＋Δx3＋…）＝Ff·2πR等效轉換法恒力F把物塊從A拉到B，繩子對物塊做功W＝Fh以例說法F-x圖像法物體在水平面上運動的位移為x0，拉力所做的功可以用圖線與橫軸所圍面積表示，W＝F0＋平均力法當力與位移為線性關系，力的平均值為F＝F1＋F22，力做的功以例說法W＝Pt公式法當功率恒定時，利用公式W＝Pt計算功，在如圖所示的P-t圖像中前3s內力做功W＝P1t1＋P2t2＋P3t3＝6J動能定理法用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F(xiàn)做功為WF，則有WF－mgL（1－cosθ）＝0，得WF＝mgL（1－cosθ）考法一微元法計算變力的功【典例1】（2021·山東高考3題）如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長為L的輕質細桿，一端可繞豎直光滑軸O轉動，另一端與質量為m的小木塊相連。木塊以水平初速度v0出發(fā)，恰好能完成一個完整的圓周運動。在運動過程中，木塊所受摩擦力的大小為（）A.mv02C.mv02答案：B解析：在運動過程中，只有摩擦力做功，而摩擦力始終與速度方向相反，根據(jù)動能定理有－Ff·2πL＝0－12mv02，可得摩擦力的大小Ff＝mv考法二等效轉換法計算變力的功【典例2】（多選）如圖所示，固定的光滑豎直桿上套著一個滑塊，滑塊用繞過光滑的定滑輪O的輕繩系著。現(xiàn)以大小不變的拉力F拉繩，使滑塊從A點由靜止開始上升，滑塊運動到C點時速度最大。已知滑塊質量為m，滑輪O到豎直桿的距離為d，∠OAO'＝37°，∠OCO'＝53°，重力加速度為g（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。則（）A.拉力F大小為53B.拉力F大小為54C.滑塊由A到C過程輕繩對滑塊做功2536D.滑塊由A到C過程輕繩對滑塊做功2548答案：AC解析：滑塊到C點時速度最大，則其加速度為零，則所受合力為零，則有Fcos53°－mg＝0，解得F＝53mg，故A正確，B錯誤；由能量守恒定律可知，拉力F做的功等于輕繩拉力F對滑塊做的功，滑輪與A間繩長L1＝dsin37°，滑輪與C間繩長L2＝dsin53°，滑輪右側繩子增大的長度ΔL＝L1－L2＝dsin37°－dsin53°＝5d12，拉力做功W＝FΔ考法三平均力法計算變力的功【典例3】如圖所示，傳送帶通過滑道將長為L、質量為m的勻質物塊以初速度v0向右傳上水平臺面，物塊前端在臺面上滑動s后停下來。已知物塊與滑道間的摩擦不計，物塊與臺面間的動摩擦因數(shù)為μ，且s＞L。則物塊在整個過程中克服摩擦力所做的功為（）A.μmgs＋L2C.μmgs－L2 D.μmg（s答案：C解析：物塊在完全滑上臺面前，摩擦力由0均勻增大到μmg，完全滑上平臺后物塊所受摩擦力恒定不變，故整個過程中物塊克服摩擦力做功W＝0+μmg2L＋μmg（s－L）＝μmgs－L考法四圖像法計算變力的功【典例4】如圖甲所示，質量為4kg的物體在水平推力作用下開始運動，推力大小F隨位移大小x變化的情況如圖乙所示，物體與地面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，g取10m/s2，則（）A.物體先做加速運動，推力減小到零后才開始做減速運動B.運動過程中推力做的功為200JC.物體在運動過程中的加速度先變小后不變D.因推力是變力，無法確定推力做功的大小答案：B解析：滑動摩擦力大小為Ff＝μmg＝20N，物體先加速運動，當推力減小到20N時，加速度減小為零，之后推力逐漸減小，物體做加速度增大的減速運動，當推力減小為零后，物體以大小為a＝μg＝5m/s2的加速度做勻減速運動，選項A、C錯誤；F-x圖像中圖線與橫軸所圍的面積表示推力做的功，則W＝12×100×4J＝200J，選項B正確，D考點三功率的分析和計算[素養(yǎng)自修類]1.【瞬時功率的計算】如圖所示，一個質量為m的小球以初速度v0水平拋出，當小球速度與水平方向夾角為53°時，重力加速度取g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力的瞬時功率為（）A.mgv0 B.34mgv0C.43mgv0 D.5解析：C當小球速度與水平方向夾角為53°時，設小球的豎直分速度為vy，則有tan53°＝vyv0，重力的瞬時功率為P＝mgvy，所以P＝43mgv0，故A、B、D2.【平均功率的計算】如圖所示，質量為60kg的某運動員在做俯臥撐運動，運動過程中可將她的身體視為一根直棒。已知重心在c點，其垂線與兩腳、兩手連線中點間的距離Oa、Ob分別為0.9m和0.6m。若她在1min內做了30個俯臥撐，每次肩部上升的距離均為0.4m，則1min內克服重力做的功和相應的功率約為（g取10m/s2）（）A.430J，7W B.4320J，72WC.720J，12W D.7200J，120W解析：B設重心上升的高度為h，如圖所示根據(jù)相似三角形，有h0.4＝0.90.9+0.6，解得h＝0.24m，則做一次俯臥撐克服重力做的功為WG＝mgh＝144J，所以一分鐘克服重力做的功為W＝30WG＝4320J，功率約為P＝1.瞬時功率的計算方法（1）利用公式P＝Fvcosα，其中v為t時刻的瞬時速度。（2）利用公式P＝FvF，其中vF為物體的速度v在力F方向上的分速度。（3）利用公式P＝Fvv，其中Fv為物體受到的外力F在速度v方向上的分力。2.平均功率的計算方法（1）利用P＝Wt（2）利用P＝Fvcosα求解，其中v為物體運動的平均速度。考點四機車啟動問題[互動共研類]兩種啟動方式以恒定功率啟動以恒定加速度啟動P-t圖像和v-t圖像以恒定功率啟動以恒定加速度啟動OA段過程分析v↑?F＝Pv?a＝F－a＝F－F阻m不變?F不變v↑?P＝Fv↑直到P運動性質加速度減小的加速運動勻加速直線運動，維持時間t0＝v以恒定功率啟動以恒定加速度啟動AB段過程分析F＝F阻?a＝0?vm＝Pv↑?F＝P額?a＝F－運動性質以vm做勻速直線運動加速度減小的加速運動BC段無F＝F阻?a＝0?以vm＝P額2.三個重要關系式（1）無論哪種啟動方式，機車的最大速度都為vm＝PF（2）機車以恒定加速度啟動時，勻加速過程結束時功率最大，速度不是最大，即v＝PF＜vm＝P（3）機車以恒定功率運行時，牽引力做的功W＝Pt，由動能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式經常用于求解機車以恒定功率啟動過程的位移、速度或時間?！镜淅?】目前，上海有若干輛超級電容車試運行，運行中無須連接電纜，只需在乘客上車間隙充電30s～1min，就能行駛3～5km。假設有一輛超級電容車，質量m＝2×103kg，額定功率P＝60kW，當超級電容車在平直水平路面上行駛時，受到的阻力Ff是車重力的0.1倍，g取10m/s2。（1）超級電容車在此路面上行駛所能達到的最大速度是多少？（2）若超級電容車從靜止開始，保持以0.5m/s2的加速度做勻加速直線運動，這一過程能維持多長時間？（3）若超級電容車從靜止開始，保持額定功率做加速運動，50s后達到最大速度，求此過程中超級電容車的位移大小。答案：（1）30m/s（2）40s（3）1050m解析：（1）當超級電容車速度達到最大時，超級電容車的牽引力與阻力平衡，即F＝FfFf＝kmg＝2000N又P＝Ffvm解得vm＝30m/s。（2）超級電容車做勻加速運動，由牛頓第二定律得F1－Ff＝ma解得F1＝3000N設超級電容車剛達到額定功率時的速度為v1，P＝F1v1v1＝PF1設超級電容車勻加速運動的時間為t，則v1＝at解得t＝40s。（3）從靜止到達到最大速度的整個過程牽引力與阻力做功，由動能定理得Pt2－Ffx＝12m解得x＝1050m。（1）超級電容車從靜止開始，保持以0.5m/s2的加速度做勻加速直線運動，當速度達到v1＝20m/s后超級電容車做什么運動？若速度從v1到最大速度vm這段過程中對應的時間Δt＝40s，則其位移Δx＝v1＋vm2Δt＝1000m（2）超級電容車以額定功率做加速運動，當v＝10m/s時超級電容車的加速度為多大？提示：（1）超級電容車的速度達到v1＝20m/s時，超級電容車的功率達到額定功率P＝60kW，以后超級電容車的功率不再增加，隨著速度的增大，牽引力減小，超級電容車的加速度逐漸減小，直到速度達到vm＝30m/s，因這一過程中超級電容車做變加速直線運動，其位移Δx不可用Δx＝v1＋vm2Δt計算，因為這段時間內不是做勻變速直線運動，可以用PΔt－FfΔx＝12m（2）超級電容車以額定功率做加速運動，當v＝10m/s時，牽引力F＝Pv＝6000N，超級電容車的加速度a＝F－Ff【特別提醒】（1）在機車功率P＝Fv中，F(xiàn)是機車的牽引力而不是機車所受的合力或阻力，表達式P＝Ffvm只有在達到最大速度時才成立，此時F＝Ff。（2）恒定功率下的啟動過程一定不是勻加速運動，勻變速直線運動的公式不再適用，啟動過程發(fā)動機做的功可用W＝Pt計算，不能用W＝Fl計算（因為F為變力）。（3）以恒定加速度啟動只能維持一段時間，之后又要經歷非勻變速直線運動，所以勻變速直線運動的公式只適用于勻加速階段，不可生搬硬套?？键c一恒力做功的分析和計算1.在體能測試跳繩時，質量為50kg的某同學一分鐘跳了150次，若他每次跳起時，重心上升的高度約為5cm，則他一分鐘內克服重力做的功約為（）A.2500J B.3570JC.7500J D.375000J解析：B因為該同學每次起跳時，重心上升5cm，則每一次克服重力做功為W1＝mgh＝50×9.8×0.05J＝24.5J，則他一分鐘內克服重力做的功約為W＝150W1＝150×24.5J＝3675J，選項B中的數(shù)據(jù)最接近3675J。故選B。2.如圖（a）所示，質量為1kg的物體在水平力F作用下，沿水平方向做直線運動，拉力F與位移x的關系如圖（b）所示，前5m位移內物體做勻速直線運動，則在物體發(fā)生10m位移的過程中（）A.重力做功為WG＝100JB.拉力F做功為WF＝150JC.所有力做的總功W總＝50JD.摩擦阻力做功為Wf＝0解析：C物體運動方向和重力方向垂直，重力做功為零，故A錯誤；拉力做功為WF＝F1x1＋F2x2＝5×5J＋15×5J＝100J，故B錯誤；在前5m內勻速運動，拉力等于阻力f＝F＝5N，故摩擦力做功為Wf＝－fx＝－5×10J＝－50J，合力做功W合＝WF＋Wf＝50J，故C正確，D錯誤?？键c二變力做功的分析和計算3.如圖所示，在水平桌面上，長R＝5m的輕繩一端固定于O點（俯視圖），另一端系一質量m＝2.0kg的小球，現(xiàn)對小球施加一個大小不變的力F＝10N，方向始終與小球在該點的切線成37°角，F(xiàn)拉著物體從M點運動到N點，已知小球與桌面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，不計空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，則拉力F做的功與克服摩擦力做的功之比為（）A.12 B.C.14 D.解析：B將圓弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力F在每小段上做的功為W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不變，方向始終與小球在該點的切線成37°角，所以W1＝Fl1cos37°，W2＝Fl2cos37°，…，Wn＝Flncos37°，W＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos37°·（l1＋l2＋…＋ln）＝Fcos37°·π3R＝403πJ，同理可得克服摩擦力做功Wf＝μmg·π3R＝203πJ，拉力F做的功與克服摩擦力做的功之比為24.如圖所示，一輕質立方體被從水表面緩慢壓入水中，直至其上表面沒入水中，已知立方體的棱長為L，水的密度為ρ，重力加速度為g，不考慮水面高度的變化。該過程中，立方體克服水的浮力所做的功為（）A.ρgL22C.ρgL2 D.ρgL4解析：B設浸入的深度為x，則浮力的大小為F＝ρgV＝ρgL2x，可見浮力與進入水中的位移成正比。由平均值法知立方體克服浮力做的功為W＝F浮2×L＝ρgL32L＝考點三功率的分析和計算5.如圖所示，固定斜面上半部分AB段粗糙且粗糙程度相同，下半部分BC段光滑，滑塊從斜面頂端A點由靜止釋放，沿斜面向下滑動，取沿斜面向下為正方向，下列選項中分別是滑塊的速度v、位移x、加速度a、重力的瞬時功率PG與時間t的關系圖像，其中正確的是（）解析：D物塊在AB、BC兩段均做勻加速直線運動，在AB段加速度為a1，在BC段加速度為a2，且a1＜a2，則v＝at，x＝12at2，故A、B、C錯誤；重力的功率PG＝mgvsinθ，BC段加速度較大，速度變化較快，重力功率變化較快，故D6.一滑塊在水平地面上沿直線滑行，t＝0時其速度為1m/s，從此刻開始在滑塊運動方向上再施加一水平作用力F，力F和滑塊的速度v隨時間t的變化規(guī)律分別如圖甲、乙所示，則以下說法正確的是（）A.第1s內，F(xiàn)對滑塊做的功為3JB.第2s內，F(xiàn)對滑塊做功的平均功率為4WC.第3s末，F(xiàn)對滑塊做功的瞬時功率為1WD.前3s內，F(xiàn)對滑塊做的總功為零解析：C由題圖可知，第1s內，滑塊位移為1m，F(xiàn)對滑塊做的功為2J，A錯誤；第2s內，滑塊位移為1.5m，F(xiàn)對滑塊做的功為4.5J，平均功率為4.5W，B錯誤；第3s內，滑塊位移為1.5m，F(xiàn)對滑塊做的功為1.5J，第3s末，F(xiàn)對滑塊做功的瞬時功率P＝Fv＝1W，C正確；前3s內，F(xiàn)對滑塊做的總功為8J，D錯誤?？键c四機車啟動問題7.（多選）汽車在平直公路上以速度v0勻速行駛，發(fā)動機功率為P，牽引力為F0，t1時刻，司機減小了油門，使汽車的功率立即減小一半，并保持該功率繼續(xù)行駛，到t2時刻，汽車又恢復了勻速直線運動狀態(tài)，（設整個過程中汽車所受的阻力不變）。在下列選項中能正確反映汽車速度v、汽車牽引力F在這個過程中隨時間t的變化規(guī)律的是（）解析：AD開始時汽車勻速運動，則F0＝Ff。由P＝Fv可得，P＝F0v0，v0＝PF0＝PFf，當汽車功率減小一半，即P'＝P2時，其牽引力為F'＝P'v0＝F02＜Ff，汽車開始減速運動，F(xiàn)1＝P'v＝P2v，加速度大小為a＝Ff－F1m＝Ffm－P2mv，由此可見，隨著汽車速度v減小，其加速度a也減小，即汽車做加速度不斷減小的減速運動，最終以v＝v028.（多選）某興趣小組對一輛遙控小車的性能進行研究。他們讓這輛小車在水平的直軌道上由靜止開始運動，并將小車運動的全過程記錄下來，通過處理轉化為v-t圖像，如圖所示（除2～10s時間段圖像為曲線外，其余時間段圖像均為直線）。已知在小車運動的過程中，2～14s時間段內小車的功率保持不變，在14s末停止遙控而讓小車自由滑行，小車的質量為1kg，可認為在整個運動過程中小車所受到的阻力大小不變。則下列選項正確的是（）A.小車兩段勻變速直線運動的加速度大小相同B.小車所受到的阻力為1.5NC.小車額定功率為6WD.小車在變加速運動過程中位移為36m解析：AB0～2s內小車的加速度a＝ΔvΔt＝1.5m/s2，在14～18s內，小車的加速度大小a'＝ΔvΔt＝618－14m/s2＝1.5m/s2，故A正確；14～18s內，由牛頓第二定律得f＝ma＝1.5N，故B正確；在10～14s內小車勻速運動，速度v＝6m/s，牽引力大小F與f大小相等，則小車勻速運動時的功率P＝Fv＝fv＝9W，故C錯誤；2～10s內，根據(jù)動能定理有Pt－fx2＝12mv22－19.（2023·遼寧高考3題）如圖（a），從高