階段驗(yàn)收評估（二）萬有引力與航天一、選擇題1．關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，下列說法符合史實(shí)的是()A．開普勒在牛頓定律的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律B．開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律C．開普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運(yùn)動(dòng)的原因D．開普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律解析：選B開普勒在前人觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，與牛頓定律無聯(lián)系，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；開普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，但沒有找出行星按照這些規(guī)律運(yùn)動(dòng)的原因，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。2．星球上的物體脫離星球引力所需的最小速度稱為第二宇宙速度。星球的第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關(guān)系是v2＝eq\r(2)v1。已知某星球的半徑為r，它表面的重力加速度為地球表面重力加速度g的eq\f(1,6)，不計(jì)其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為()A.eq\r(gr)B.eq\r(\f(1,6)gr)C.eq\r(\f(1,3)gr)D.eq\f(1,3)gr解析：選C由題意v1＝eq\r(g′r)＝eq\r(\f(1,6)gr)，v2＝eq\r(2)v1＝eq\r(\f(1,3)gr)，所以C項(xiàng)正確。3．有一星球的密度與地球的密度相同，但它表面處的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，則該星球的質(zhì)量將是地球質(zhì)量的()A.eq\f(1,4)B．4倍C．16倍D．64倍解析：選D由eq\f(GMm,R2)＝mg得M＝eq\f(gR2,G)，所以ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(gR2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)，R＝eq\f(3g,4πGρ)，eq\f(R,R地)＝eq\f(3g,4πGρ)·eq\f(4πGρ地,3g地)＝eq\f(g,g地)＝4。結(jié)合題意，該星球半徑是地球半徑的4倍。根據(jù)M＝eq\f(gR2,G)得eq\f(M,M地)＝eq\f(gR2,G)·eq\f(G,g地R地2)＝64。4.國務(wù)院批復(fù)，自2016年起將4月24日設(shè)立為“中國航天日”。1970年4月24日我國首次成功發(fā)射的人造衛(wèi)星東方紅一號(hào)，目前仍然在橢圓軌道上運(yùn)行，其軌道近地點(diǎn)高度約為440km，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度約為2060km；1984年4月8日成功發(fā)射的東方紅二號(hào)衛(wèi)星運(yùn)行在赤道上空35786km的地球同步軌道上。設(shè)東方紅一號(hào)在遠(yuǎn)地點(diǎn)的加速度為a1，東方紅二號(hào)的加速度為a2，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度為a3，則a1、a2、a3的大小關(guān)系為()圖1A．a(chǎn)2＞a1＞a3B．a(chǎn)3＞a2＞a1C．a(chǎn)3＞a1＞a2D．a(chǎn)1＞a2＞a3解析：選D衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)行時(shí)，萬有引力提供向心力，對于東方紅一號(hào)，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)有Geq\f(Mm1,R＋h12)＝m1a1，即a1＝eq\f(GM,R＋h12)，對于東方紅二號(hào)，有Geq\f(Mm2,R＋h22)＝m2a2，即a2＝eq\f(GM,R＋h22)，由于h2＞h1，故a1＞a2，東方紅二號(hào)衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，由于東方紅二號(hào)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑大于地球赤道上物體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)a＝ω2r，故a2＞a3，所以a1＞a2＞a3，選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤。5.在同一軌道平面上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星A、B、C，某時(shí)刻恰好在同一過地心的直線上，如圖2所示，當(dāng)衛(wèi)星B經(jīng)過一個(gè)周期時(shí)()圖2A．各衛(wèi)星角速度相等，因而三星仍在一直線上B．A超前于B，C落后于BC．A超前于B，C超前于BD．A、C都落后于B解析：選B由Geq\f(Mm,r2)＝mrω2，可知，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，可見選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由T＝eq\f(2π,ω)，即T∝eq\r(r3)可知，選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤。6．在星球表面發(fā)射探測器，當(dāng)發(fā)射速度為v時(shí)，探測器可繞星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)發(fā)射速度達(dá)到eq\r(2)v時(shí)，可擺脫星球引力束縛脫離該星球。已知地球、火星兩星球的質(zhì)量比約為10∶1，半徑比約為2∶1，下列說法正確的有()A．探測器的質(zhì)量越大，脫離星球所需要的發(fā)射速度越大B．探測器在地球表面受到的引力比在火星表面的小C．探測器分別脫離兩星球所需要的發(fā)射速度相等D．探測器脫離星球的過程中，勢能逐漸增大解析：選D探測器在星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得v＝eq\r(\f(GM,R))，則擺脫星球引力時(shí)的發(fā)射速度eq\r(2)v＝eq\r(\f(2GM,R))，與探測器的質(zhì)量無關(guān)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；設(shè)火星的質(zhì)量為M，半徑為R，則地球的質(zhì)量為10M，半徑為2R，地球?qū)μ綔y器的引力F1＝Geq\f(10Mm,2R2)＝eq\f(5GMm,2R2)，比火星對探測器的引力F2＝Geq\f(Mm,R2)大，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；探測器脫離地球時(shí)的發(fā)射速度v1＝eq\r(\f(2G·10M,2R))＝eq\r(\f(10GM,R))，脫離火星時(shí)的發(fā)射速度v2＝eq\r(\f(2GM,R))，v2＜v1，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；探測器脫離星球的過程中克服引力做功，勢能逐漸增大，選項(xiàng)D正確。7．如圖3所示，有甲、乙兩顆衛(wèi)星分別在不同的軌道圍繞一個(gè)半徑為R、表面重力加速度為g的行星運(yùn)動(dòng)。衛(wèi)星甲、衛(wèi)星乙各自所在的軌道平面相互垂直，衛(wèi)星甲的軌道為圓，距離行星表面的高度為R，衛(wèi)星乙的軌道為橢圓，M、N兩點(diǎn)的連線為其橢圓軌道的長軸且M、N兩點(diǎn)間的距離為4R。則以下說法錯(cuò)誤的是()圖3A．衛(wèi)星甲的線速度大小為eq\r(2gR)B．衛(wèi)星乙運(yùn)行的周期為4πeq\r(\f(2R,g))C．衛(wèi)星乙沿橢圓軌道運(yùn)行經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)的速度大于衛(wèi)星甲沿圓軌道運(yùn)行的速度D．衛(wèi)星乙沿橢圓軌道運(yùn)行經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)的加速度小于衛(wèi)星甲沿圓軌道運(yùn)行的加速度解析：選A衛(wèi)星甲繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，r＝2R，由地球表面萬有引力等于重力得：eq\f(GMm,R2)＝mg可計(jì)算出衛(wèi)星甲環(huán)繞中心天體運(yùn)動(dòng)的線速度大小v＝eq\r(\f(gR,2))，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；同理可計(jì)算出衛(wèi)星甲環(huán)繞的周期T甲＝4πeq\r(\f(2R,g))，由衛(wèi)星乙橢圓軌道的半長軸等于衛(wèi)星甲圓軌道的半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知，衛(wèi)星乙運(yùn)行的周期和衛(wèi)星甲運(yùn)行的周期相等，則T乙＝T甲＝4πeq\r(\f(2R,g))，B選項(xiàng)正確；衛(wèi)星乙沿橢圓軌道經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)的速度大于沿軌道半徑為M至行星中心距離的圓軌道的衛(wèi)星的線速度，而軌道半徑為M至行星中心距離的圓軌道的衛(wèi)星的線速度大于衛(wèi)星甲在圓軌道上的線速度，C選項(xiàng)正確；衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)只受萬有引力，向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，r越大，a越小，D選項(xiàng)正確。8．我國發(fā)射的“嫦娥三號(hào)”登月探測器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圓軌道上繞月運(yùn)行；然后經(jīng)過一系列過程，在離月面4m高處做一次懸停(可認(rèn)為是相對于月球靜止)；最后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，探測器自由下落。已知探測器的質(zhì)量約為1.3×103kg，地球質(zhì)量約為月球的81倍，地球半徑約為月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小約為9.8m/s2。則此探測器()A．在著陸前的瞬間，速度大小約為8.9m/sB．懸停時(shí)受到的反沖作用力約為2×103NC．從離開近月圓軌道到著陸這段時(shí)間內(nèi)，機(jī)械能守恒D．在近月圓軌道上運(yùn)行的線速度大于人造衛(wèi)星在近地圓軌道上運(yùn)行的線速度解析：選B設(shè)月球表面的重力加速度為g月，則eq\f(g月,g地)＝eq\f(\f(GM月,R月2),\f(GM地,R地2))＝eq\f(M月,M地)·eq\f(R地2,R月2)＝eq\f(1,81)×3.72，解得g月≈1.7m/s2。由v2＝2g月h，得著陸前的速度為v＝eq\r(2g月h)＝eq\r(2×1.7×4)m/s≈3.7m/s，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。懸停時(shí)受到的反沖力F＝mg月≈2×103N，選項(xiàng)B正確。從離開近月圓軌道到著陸過程中，除重力做功外，還有其他外力做功，故機(jī)械能不守恒，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。設(shè)探測器在近月圓軌道上和人造衛(wèi)星在近地圓軌道上的線速度分別為v1、v2，則eq\f(v1,v2)＝eq\f(\r(\f(GM月,R月)),\r(\f(GM地,R地)))＝eq\r(\f(M月,M地)·\f(R地,R月))＝eq\r(\f(3.7,81))<1，故v1<v2，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。二、非選擇題9．一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知行星表面的重力加速度為g行，行星的質(zhì)量M與衛(wèi)星的質(zhì)量m之比eq\f(M,m)＝81，行星的半徑R行與衛(wèi)星的半徑R衛(wèi)之比eq\f(R行,R衛(wèi))＝3.6，行星與衛(wèi)星之間的距離r與行星的半徑R行之比eq\f(r,R行)＝60。設(shè)衛(wèi)星表面的重力加速度為g衛(wèi)，則在行星表面有Geq\f(Mm,r2)＝mg衛(wèi)。經(jīng)過計(jì)算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的三千六百分之一，上述結(jié)果是否正確？若正確，列式證明；若錯(cuò)誤，求出正確結(jié)果。解析：所得的結(jié)果是錯(cuò)誤的。上式中的g衛(wèi)并不是衛(wèi)星表面的重力加速度，而是衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度。正確解法是：衛(wèi)星表面Geq\f(m,R衛(wèi)2)＝g衛(wèi)，①行星表面Geq\f(M,R行2)＝g行，②由①②得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R行,R衛(wèi))))2eq\f(m,M)＝eq\f(g衛(wèi),g行)，g衛(wèi)＝0.16g行。所以它們之間的正確關(guān)系應(yīng)為g衛(wèi)＝0.16g行。答案：錯(cuò)誤g衛(wèi)＝0.16g行10．在某個(gè)半徑為R＝105m的行星表面，對于一個(gè)質(zhì)量m＝1kg的砝碼，用彈簧測力計(jì)稱量，其重力的大小G＝1.6N。則：(1)請您計(jì)算該星球的第一宇宙速度v1。(2)請計(jì)算該星球的平均密度。(球體體積公式V＝eq\f(4,3)πR3，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)解析：(1)g＝eq\f(G,m)＝1.6m/s2，m′g＝m′eq\f(v12,R)，解得：v1＝eq\r(Rg)，代入數(shù)值得第一宇宙速度：v1＝400m/s。(2)由mg＝Geq\f(Mm,R2)得M＝eq\f(gR2,G)，又V＝eq\f(4,3)πR3，所以ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3g,4πGR)，代入數(shù)據(jù)解得ρ＝5.7×104kg/m3。答案：(1)400m/s(2)5.7×104kg/m311.發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，可認(rèn)為先將衛(wèi)星發(fā)射至距地面高度為h1的圓形近地軌道上，在衛(wèi)星經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火(噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)工作)實(shí)施變軌進(jìn)入橢圓軌道，橢圓軌道的近地點(diǎn)為A，遠(yuǎn)地點(diǎn)為B。在衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)經(jīng)過B點(diǎn)再次點(diǎn)火實(shí)施變軌，將衛(wèi)星送入同步軌道(遠(yuǎn)地點(diǎn)B在同步軌道上)，如圖4所示。兩次點(diǎn)火過程都是使衛(wèi)星沿切向方向加速，并且點(diǎn)火時(shí)間很短。已知同步衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期為T，地球的半徑為R，地球表面重力加速度為g，求：圖4(1)衛(wèi)星在近地圓形軌道運(yùn)行接近A點(diǎn)時(shí)的加速度大?。?2)衛(wèi)星在橢圓形軌道上運(yùn)行接近A點(diǎn)時(shí)的加速度大??；(3)衛(wèi)星同步軌道距地面的高度。解析：(1)設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，萬有引力常量為G，衛(wèi)星在近地圓軌道運(yùn)動(dòng)接近A點(diǎn)時(shí)加速度為aA，根據(jù)牛頓第二定律Geq\f(Mm,R＋h12)＝maA，可認(rèn)為物體在地球表面上受到的萬有引力等