1.4.2用空間向量探討距離、夾角問(wèn)題（第2課時(shí)）一、教學(xué)內(nèi)容1.能用向量方法得到兩條直線所成的角、直線和平面所成的角、兩個(gè)平面的夾角的向量表達(dá)式；2.解決立體幾何中有關(guān)角度的度量問(wèn)題.二、教學(xué)目標(biāo)1.能用向量方法解決簡(jiǎn)潔夾角問(wèn)題.2.通過(guò)用空間向量解決夾角問(wèn)題，體會(huì)向量方法在探討幾何問(wèn)題中的作用．三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)：利用向量的數(shù)量積探討兩條直線所成的角、直線和平面所成的角、兩個(gè)平面的夾角.2.難點(diǎn)：依據(jù)問(wèn)題的條件選擇適當(dāng)?shù)幕?四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題學(xué)問(wèn)點(diǎn)1：求解直線與直線所成的角導(dǎo)入問(wèn)題：與距離一樣，角度是立體幾何中的另一類度量問(wèn)題.本質(zhì)上，角度是對(duì)兩個(gè)方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量探討角度問(wèn)題有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).本節(jié)我們用空間向量探討夾角問(wèn)題，你認(rèn)為可以按怎樣的依次綻開(kāi)探討.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思索、小組溝通后，通過(guò)全班探討達(dá)成對(duì)探討路徑的共識(shí)，即：直線與直線所成的角----直線與平面所成的角----平面與平面所成的角.設(shè)計(jì)意圖:明確探討路徑,為詳細(xì)探討供應(yīng)思路.環(huán)節(jié)二：視察分析，感知概念問(wèn)題1：例7如圖1.4-19，在棱長(zhǎng)為1的正四面體(四個(gè)面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，求直線AM和CN夾角的余弦值．追問(wèn)1:這個(gè)問(wèn)題的已知條件是什么?依據(jù)以往的閱歷,你準(zhǔn)備通過(guò)什么途徑將這個(gè)立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題?用向量方法求解幾何問(wèn)題時(shí),首先要用向量表示問(wèn)題中的幾何元素.對(duì)于本問(wèn)題,如何用向量表示異面直線與?它們所成的角可以用向量之間的夾角表示嗎?分析：求直線AM和CN夾角的余弦值，可以轉(zhuǎn)化為求向量與夾角的余弦值．為此須要把向量，用適當(dāng)?shù)幕妆硎境鰜?lái)，進(jìn)而求得向量，夾角的余弦值．師生活動(dòng):首先,老師分析題目的條件:已知正四面體的棱長(zhǎng)和棱與棱之間夾角,和是中線,其模長(zhǎng)可求,與其他棱的夾角也是確定的,這些條件都有利于向量基底的選取.接著在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,老師補(bǔ)充后形成共識(shí):求異面直線和的夾角時(shí),只要用基底向量表示出它們的方向即可,這樣,異面直線和夾角,可以轉(zhuǎn)化為求向量與的夾角.為此,選擇為基底并表示向量.解：化為向量問(wèn)題如圖1.4-19，以作為基底，則，．設(shè)向量與的夾角為，則直線和夾角的余弦值等于．在此基礎(chǔ)上,將此問(wèn)題推廣到一般,學(xué)生思索后作答,老師對(duì)學(xué)生的回答賜予補(bǔ)充.梳理出將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題的途徑:途徑1:通過(guò)建立一個(gè)基底,用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面等元素,從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;途徑2:通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面等元素,從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.事實(shí)上,空間直角坐標(biāo)系也是基底,是“特別”的基底.進(jìn)行向量運(yùn)算．又和均為等邊三角形，所以．追問(wèn)2:請(qǐng)你通過(guò)向量運(yùn)算,求出向量夾角的余弦值,進(jìn)而求出直線和夾角的余弦值.所以．回到圖形問(wèn)題所以直線和夾角的余弦值為．師生活動(dòng):學(xué)生利用向量的數(shù)量積求出向量夾角的余弦值,從而解決問(wèn)題.思索以上我們用量方法解決了異面直線AM和CN所成角的問(wèn)題，你能用向量方法求直線AB與平面BCD所成的角嗎？追問(wèn)3:回顧問(wèn)題1的求解過(guò)程,你能歸納出利用向量求空間直線與直線所成的角的一般方法嗎?一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來(lái)求得．也就是說(shuō)，若異面直線，所成的角為，其方向向量分別是，，則．師生活動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生梳理,得出:將直線與直線所成的角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量的夾角,進(jìn)而利用向量的數(shù)量積求解.也就是說(shuō),若異面直線所成的角為,其方向向量分別是,則 在此基礎(chǔ)上,老師板書下面的過(guò)程,讓學(xué)生進(jìn)一步相識(shí)用向量方法解決幾何問(wèn)題的基本步驟:幾何問(wèn)題向量問(wèn)題向量運(yùn)算幾何說(shuō)明.設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)用向量方法求解一個(gè)空間直線與直線所成角的詳細(xì)問(wèn)題,歸納得出用向量方法求解直線與直線所成角的角度的一般方法.環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念學(xué)問(wèn)點(diǎn)2：類比探討,求解直線與平面、平面與平面所成的角問(wèn)題2:你能用向量方法求問(wèn)題1中直線與平面所成的角嗎?一般地,如何求直線與平面所成的角?追問(wèn):這個(gè)問(wèn)題的已知條件是什么?如何將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題?師生活動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件,明確平面的法向量在解決直線與平面所成角的問(wèn)題中的關(guān)鍵作用,將直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線的一個(gè)方向向量與平面的一個(gè)法向量的夾角,進(jìn)而利用向量的數(shù)量積求解.進(jìn)一步地,師生共同給出求直線與平面所成角的步驟和方法.類似地，直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角．如圖1.4-20，直線與平面相交于點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，直線的方向向量，平面的法向量為，則．設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)本問(wèn)題的解決,讓學(xué)生體會(huì)法向量在求解直線與平面所成角時(shí)的關(guān)鍵作用,并得出一般的求解直線和平面所成角的向量表達(dá)式.環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念問(wèn)題3:類比已有的直線、平面所成角的定義,你認(rèn)為應(yīng)如何合理定義兩個(gè)平面所成的角?進(jìn)一步地,如何求平面和平面的夾角?師生活動(dòng):老師給出兩個(gè)相交平面的圖形,讓學(xué)生類比已有的空間基本元素所成角的定義,給兩個(gè)平面所成的角下定義.老師可以追問(wèn)學(xué)生:“角度是度量方向差異的量,那么確定平面方向的是什么?”從而啟發(fā)學(xué)生用兩個(gè)平面的法向量刻畫兩個(gè)平面所成的角.在學(xué)生探討、溝通的基礎(chǔ)上,老師小結(jié)如下:如圖1.4-21，平面與平面相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面與平面的夾角．類似于兩條異面直線所成的角，若平面，的法向量分別是和，則平面與平面的夾角即為向量和的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面與平面的夾角為，則．追問(wèn)1:如何求平面的法向量?師生活動(dòng):學(xué)生思索、回答后,師生共同總結(jié)求平面法向量的方法:在平面內(nèi)找兩個(gè)不共線的向量和,設(shè)平面的法向量為,則 依據(jù)這個(gè)不定方程組,可以求得一個(gè)法向量.老師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上進(jìn)一步指出,求得的是法向量中的一個(gè),不是全部的法向量,但全部法向量可以用,.表示,即追問(wèn)2:你能說(shuō)說(shuō)平面與平面的夾角與二面角的區(qū)分和聯(lián)系嗎?師生活動(dòng):學(xué)生思索、回答,老師與學(xué)生共同總結(jié).二面角的大小是指其兩個(gè)半平面的張開(kāi)程度,可以用其平面角的大小來(lái)定義,它的取值范圍是;而平面與平面的夾角是指平面與平面相交,形成的四個(gè)二面角中不大于的二面角.設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生類比已有的空間基本元素所成角的定義,建立平面與平面的夾角的概念,并進(jìn)一步利用向量方法得到求解兩個(gè)平面夾角的表達(dá)式.結(jié)合法向量的求解,使學(xué)生體驗(yàn)不定方程組的“通解”和“特解”之間的關(guān)系,體會(huì)一般性寓于特別性之中的道理.通過(guò)對(duì)平面與平面的夾角和二面角的辨析,使學(xué)生對(duì)平面與平面的夾角的理解更加深化.環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，鞏固運(yùn)用鞏固應(yīng)用,解決立體幾何中的角度問(wèn)題例8如圖1.4-22，在直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在棱，上，，．求平面與平面夾角的余弦值．分析：因?yàn)槠矫媾c平面的夾角可以轉(zhuǎn)化為平面與平面的法向量的夾角，所以只須要求出這兩個(gè)平面的法向量的夾角即可．解：化為向量問(wèn)題以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖1.4-22所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則平面與平面的夾角就是與的夾角或其補(bǔ)角．進(jìn)行向量運(yùn)算因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，依據(jù)所建立的空間直角坐標(biāo)系，可知，，．所以，．設(shè)，則所以所以取，則．回到圖形問(wèn)題設(shè)平面與平面的夾角為，則．即平面與平面的夾角的余弦值為．師生活動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生先分析題意,明確解題思路,再讓學(xué)生獨(dú)立解答,教帥依據(jù)學(xué)生的解答板書補(bǔ)充,其中重點(diǎn)關(guān)注法向量的求法.為了保證解題規(guī)范,老師展示學(xué)生的解答,并適當(dāng)完善學(xué)生板書.設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)例題鞏固平面與平面所成的角的求解方法,進(jìn)一步理解法向量的夾角和兩個(gè)平面所成角的關(guān)系,進(jìn)一步體會(huì)向量方法解決立體幾何問(wèn)題的一般步驟.練習(xí)（第38頁(yè)）1．在直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值是()A．B．C．D．1．答案：A解析：(方法1，坐標(biāo)法)建立如圖（1）所示的空間直角坐標(biāo)．設(shè)，則，，，，，，．設(shè)與所成角為，．(方法2，基向量法)取為基底，如圖（2），設(shè)，，，，則，，．設(shè)與所成角為，．(方法3，幾何法)如圖（3），取中點(diǎn)，連接，，，設(shè)．，分別為，的中點(diǎn)，，，，．四邊形為平行四邊形，，或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角．在中，，，，．設(shè)與所成角為，則．2．，，是從點(diǎn)動(dòng)身的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的余弦值是()A．B．C．D．2．答案：C解析：把，，放在正方體中，如圖所示，與，與，與的夾角均為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，設(shè)，則，，，．設(shè)直線與平面所成角為，則，．3．如圖，正三棱柱的全部棱長(zhǎng)都為2，求平面與平面夾角的余弦值．3．解析：∵正三棱柱的全部棱長(zhǎng)均為2，取的中點(diǎn)，則，平面，取的中點(diǎn)，連接，，，兩兩垂直．以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，，設(shè)平面的法向量為，，取，則，，．．設(shè)平面與平面的夾角為，則．4．如圖，和所在平面垂直，且，．求：（1）直線AD與直線BC所成角的大?。唬?）直線AD與平面BCD所成角的大??；（3）平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值．4．解析：以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Bxyz．設(shè)，則，，．，，．（1），，與所成角為．（2）是平面的一個(gè)法向量，設(shè)AD與平面BCD所成角為，則．，即AD與平面BCD所成角的大小為45°．（3）設(shè)是平面ABD的法向量，則，，即，取，則，，．．設(shè)平面ABD和平面BDC的夾角為，則．例9圖1.4-23為某種禮物著陸傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°，已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同．求著陸傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2，精確到0.01N)．師生活動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生思索下列問(wèn)題:(1)著陸傘勻速下落,下落過(guò)程中,8根繩子拉力的合力大小與禮物重力大小有什么關(guān)系?(2)每根繩子的拉力和合力有什么關(guān)系?(3)如何用向量方法解決這個(gè)問(wèn)題?師生共同分析,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題,進(jìn)而解決問(wèn)題.設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生體會(huì)向量方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.分析：因?yàn)橹憘銊蛩傧侣?，所以著陸?根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大小．8根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對(duì)相反向量．解：如圖1.4-24，設(shè)水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為．因?yàn)?，所以在上的投影向量為．所?根繩子拉力的合力．又因?yàn)橹憘銊蛩傧侣洌裕?，所以．?0如圖1.4-25，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大?。隳苷业浇鉀Q問(wèn)題的方法嗎?師生活動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)條件確定利用空間直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題.建立以為原點(diǎn),所在直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系.分析：本題涉及的問(wèn)題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計(jì)算兩個(gè)平面的夾角，這些問(wèn)題都可以利用向量方法解決．由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側(cè)棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量及坐標(biāo)表示問(wèn)題中的幾何元素，進(jìn)而解決問(wèn)題．解：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖1.4-26所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)．（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接．依題意得，，．因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以點(diǎn)是它的中心，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，，所以，即．而平面，且平面，因此平面．（2）證明：依題意得，，又，故，所以．由已知，且，所以平面．（3）解：已知，由（2）可知，故是平面與平面的夾角．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．因?yàn)椋?，即，，，設(shè)，則，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以．所以．所以，即平面與平面的夾角大小為．追問(wèn)2:直線和平面是由哪些要素確定的?直線和平面的平行關(guān)系是用這些要素之間怎樣的關(guān)系來(lái)刻畫的?你能用這些要素之間的關(guān)系證明平面嗎?師生活動(dòng):師生共同回顧用向量法證明直線與平面平行的步驟,設(shè)直線的方向向量為,平面的法向量為,則.在此基礎(chǔ)上,用坐標(biāo)表示以及平面的一個(gè)法向量,進(jìn)而利用向量的數(shù)量積運(yùn)算解決問(wèn)題.追問(wèn)3:直線和平面的垂直關(guān)系是用確定直線和平面的要素之間怎樣的關(guān)系來(lái)刻畫的?你能證明平面嗎?師生活動(dòng):師生共同回顧用向量法證明直線與平面垂直的步驟,設(shè)直線的方向向量為,平面的法向量為,則.在此基礎(chǔ)上,用坐標(biāo)表示以及平面的一個(gè)法向量,進(jìn)而利用向量的數(shù)乘運(yùn)算解決問(wèn)題.追問(wèn)4:如何依據(jù)平面與平面的夾角與兩個(gè)平面的法向量的關(guān)系求出平面與平面的夾角?師生活動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生用向量及坐標(biāo)表示平面的法向量,進(jìn)而利用向量的數(shù)量積運(yùn)算,求得平面與平面的法向量的夾角,進(jìn)而求得這兩個(gè)平面的夾角.設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)例題,讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)用向量方法解決空間的位置關(guān)系和度量問(wèn)題的過(guò)程、方法,進(jìn)一步體會(huì)用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“坐標(biāo)法”.例8如圖1.4-22，在直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在棱，上，，．求平面與平面夾角的余弦值．分析：因?yàn)槠矫媾c平面的夾角可以轉(zhuǎn)化為平面與平面的法向量的夾角，所以只須要求出這兩個(gè)平面的法向量的夾角即可．解：化為向量問(wèn)題以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖1.4-22所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則平面與平面的夾角就是與的夾角或其補(bǔ)角．進(jìn)行向量運(yùn)算因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，依據(jù)所建立的空間直角坐標(biāo)系，可知，，．所以，．設(shè)，則所以所以取，則．回到圖形問(wèn)題設(shè)平面與平面的夾角為，則．即平面與平面的夾角的余弦值為．練習(xí)（第38頁(yè)）1．在直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值是()A．B．C．D．1．答案：A解析：(方法1，坐標(biāo)法)建立如圖（1）所示的空間直角坐標(biāo)．設(shè)，則，，，，，，．設(shè)與所成角為，．(方法2，基向量法)取為基底，如圖（2），設(shè)，，，，則，，．設(shè)與所成角為，．(方法3，幾何法)如圖（3），取中點(diǎn)，連接，，，設(shè)．，分別為，的中點(diǎn)，，，，．四邊形為平行四邊形，，或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角．在中，，，，．設(shè)與所成角為，則．2．，，是從點(diǎn)動(dòng)身的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的余弦值是()A．B．C．D．2．答案：C解析：把，，放在正方體中，如圖所示，與，與，與的夾角均為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，設(shè)，則，，，．設(shè)直線與平面所成角為，則，．3．如圖，正三棱柱的全部棱長(zhǎng)都為2，求平面與平面夾角的余弦值．3．解析：∵正三棱柱的全部棱長(zhǎng)均為2，取的中點(diǎn)，則，平面，取的中點(diǎn)，連接，，，兩兩垂直．以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，，設(shè)平面的法向量為，，取，則，，．．設(shè)平面與平面的夾角為，則．4．如圖，和所在平面垂直，且，．求：（1）直線AD與直線BC所成角的大??；（2）直線AD與平面BCD所成角的大小；（3）平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值．4．解析：以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Bxyz．設(shè)，則，，．，，．（1），，與所成角為．（2）是平面的一個(gè)法向量，設(shè)AD與平面BCD所成角為，則．，即AD與平面BCD所成角的大小為45°．（3）設(shè)是平面ABD的法向量，則，，即，取，則，，．．設(shè)平面ABD和平面BDC的夾角為，則．環(huán)節(jié)六：歸納總結(jié),反思提升老師引導(dǎo)學(xué)生回顧本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答以下問(wèn)題:（1）向量方法解決立體幾何問(wèn)題的基本步驟是什么?你能用一個(gè)框圖表示嗎?（2）通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),你對(duì)立體幾何中的向量方法是否有了確定的相識(shí)?請(qǐng)結(jié)合例題和上面的框圖談?wù)勼w會(huì).（3）解決立體幾何中的問(wèn)題,可用三種方法:綜合法、向量法、坐標(biāo)法.你能說(shuō)出它們各自的特點(diǎn)嗎?師生活動(dòng):師生共同梳理總結(jié)本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容,引導(dǎo)學(xué)生畫出用向量法解決立體幾何問(wèn)題的一般步驟的“三步曲”的框圖,詳細(xì)如下:師生活動(dòng)：師生共同梳理總結(jié)本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生畫出用向量法解決立體幾何問(wèn)題的一般步驟的“三步曲”的框圖.進(jìn)一步地，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，老師指出解決立體幾何問(wèn)題的綜合法、向量法、坐標(biāo)法的特點(diǎn)：綜合法通過(guò)純粹的邏輯推理解決問(wèn)題，向量法利用向量的概念及其運(yùn)算解決問(wèn)題，坐標(biāo)法利用數(shù)及其運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題.坐標(biāo)法常常與向量法結(jié)合起來(lái)運(yùn)用.對(duì)于詳細(xì)的問(wèn)題，應(yīng)依據(jù)它的條件和所求選擇合適的方法. "設(shè)計(jì)意圖:這里的小結(jié)既是本節(jié)課的小結(jié)，也是本單元的小結(jié).目的是從宏觀的思想方法和中觀的解題步驟方面進(jìn)行總結(jié)，使學(xué)生駕馭用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的一般方法，并通過(guò)綜合法、向量法、坐標(biāo)法的比較，相識(shí)它們各自的特點(diǎn)，進(jìn)一步加深對(duì)向量法的相識(shí).環(huán)節(jié)七：目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置布置作業(yè)教科書習(xí)題1.4第14,15題.練習(xí)（第41頁(yè)）1．如圖，二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)，，線段與分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱．若，，，，求平面與平面的夾角．1．解析：取基底，設(shè)，，，則，，，．設(shè)平面，的夾角為，則．2．如圖，在三棱錐中，，，，分別是，的中點(diǎn)．求異面直線，所成角的余弦值．2．解析：(方法1)取基底．，．，，．設(shè)異面直線，所成角為，則．(方法2)如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)，，或其補(bǔ)角是異面直線，所成的角，在中，，，，．∴異面直線所成角的余弦值為．3．如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，．求直線與平面所成角的正弦值．3．解析：由，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，．，，，．∴，，．設(shè)平面的法向量為，∴，取，則，，．．設(shè)直線與平面所成角為，則．習(xí)題1.4（第41頁(yè)）1．如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．設(shè)，，，求直線，的方向向量．1．解析：連接，則．．2．如圖，在直三棱柱中，，，．以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．（1）求平面的法向量；（2）求平面的法向量．2．解析：（1），，，，．設(shè)平面的法向量為，，取，則，．∴．（2），，，，．設(shè)平面的法向量為，，取，則，，．3．如圖，在平行六面體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：．3．解析：(方法1)如圖，取基底，為中點(diǎn)，幾何體為平行六面體，，，，．(方法2)如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，．在四邊形中，，為中點(diǎn)，，∴四邊形為平行四邊形．．在四邊形中，，為中點(diǎn)，，∴四邊形為平行四邊形，，，∴四邊形為平行四邊形，．4．如圖，在四面體中，平面，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．點(diǎn)在線段上，且．求證：平面．4．解析：(方法1)建立如圖（1）所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，為的中點(diǎn)，，又為的中點(diǎn)，．設(shè)，，，，，，，，∵平面的一個(gè)法向量為，，平面．(方法2)如圖（2），取的中點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使．在中，，為中點(diǎn)，，又為的中點(diǎn)，，在中，，，，，∴四邊形為平行四邊形，．又平面，平面，平面．(方法3)設(shè)，，，則，，所以．又因?yàn)槠矫妫瞧矫娴姆ㄏ蛄?，，所以．故平面?．如圖，在正方體中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在上，且．求證：（1）；（2）．5．證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，，．，，，，，，．，，，，，，，，又，，，，，．6．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為平面的中心，為的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離．6．解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，又為平面的中心，為的中點(diǎn)，，又，，，取，，，∴點(diǎn)到直線的距離為．7．如圖，四面體OABC的全部棱長(zhǎng)都是1，D，E分別是OA，BC的中點(diǎn)，連接DE．（1）計(jì)算DE的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)O到平面ABC的距離．7．解析：(方法1)如圖，取的中心，連接交于，則面．在上取點(diǎn)，使，，．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1），，，又，，，，，即．（2）O到平面ABC的距離即為．(方法2)（1）設(shè)一組基底，，，則，．，．．（2）連接，取的中心，連接，則即為點(diǎn)到平面的距離．，．8．如圖，四面體的每條棱長(zhǎng)都等于，，分別是，的中點(diǎn)．求證：，．8．解析：(方法1)設(shè)一組基底，，，則，．，．，，，．(方法2)連接，．，都是等邊三角形，且為的中點(diǎn)，．又為的中點(diǎn)，．同理可證．9．如圖，分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，求：（1）和所成角的大??；（2）和所成角的大小．9．解析：(方法1)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，分別以，，為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，．（1），，即和所成角為60°．（2），，即與所成角為．(方法2)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1．，．（1）(1)∵，，，，即和所成角為60°．（2），，，，即與所成角為．10．如圖，在正方體中，，，，，，分別是，，，，，各棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的余弦值．解析：(方法1)（1）證明：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，分別以，，為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，．，，，，．，，又，平面．（2）解：由（1）知平面的一個(gè)法向量為，，，．∴直線與的夾角的余弦值為．與平面所成角的正弦值為，即與平面所成角的余弦值為．(方法2)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1．（1）證明：∵，，，，，，，又，⊥平面．（2）解：，，∵，，與平面所成角的正弦值為，與平面所成角的余弦值為．11．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，是的中點(diǎn)．求證：平面．11．解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．為中點(diǎn)，，，，．設(shè)平面的法向量，則，取，則，，．又，，平面．12．如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，，分別在棱，，上，，點(diǎn)，，分別在棱，，上，．求證：平面平面．12．解析：在直線，，上分別取以D為起點(diǎn)的單位向量，它們構(gòu)成空間一個(gè)基底．，，，，．．，，．又平面，平面，平面，平面，，，所以平面平面．13．如圖，已知