章末復習

【學習目標】1.整合知識結(jié)構(gòu)，進一步鞏固、深化所學

知識2能熟練利用不等式的性質(zhì)比較大小、變形不等

式、證明不等式3體會“三個二次”之間的內(nèi)在聯(lián)系

在解決問題中的作用4.能熟練地運用圖解法解決線性

規(guī)劃問題5會用基本不等式證明不等式，求解最值問

題.

|知識梳理------------------整合知識深化要點

1.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1：如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么a>b9BPa>b<^b<a.

性質(zhì)2：如果a>b,b>c,那么a>c,即a>b,b>c<^a>c.

性質(zhì)3：如果a>b,那么a+c>b+c.

性質(zhì)4：如果a>b,c>0,那么ac>bc,

如果a>b,c<0,那么ac<bc.

性質(zhì)5：如果a>b,c>d,那么a+c>h+d.

性質(zhì)6：如果a>b>Ofc>d>0,那么ac>bd.

性質(zhì)7：如果那么〃〃沙〃N1).

性質(zhì)8：如果a>/x>0,那么缶之冊(〃右N",〃22).

2.三個二次之間的關(guān)系

設(shè)大幻二加+公+^〃>。)，方程ax2+〃x+c=0的判別式/=〃一4〃C

判別式J>0J=0zf<0

解不等式有兩個不等的實有兩個相等的實

求方程yu)=o的解沒有實數(shù)解

加)>0或數(shù)解Xl，X2數(shù)解Xl，X2

火力<0的畫函數(shù)y=?r）的示

步驟2J￡V

意圖0際大2攵2X

5}

得不等式益）>0{x|x<Xl或X>X1]R

的解集

危）V。{小1<第5}00

3.線性規(guī)劃問題求解步驟

①把問題要求轉(zhuǎn)化為約束條件；

②根據(jù)約束條件作出可行域；

③對目標函數(shù)變形并解釋其幾何意義；

④移動目標函數(shù)尋找最優(yōu)解；

⑤解相關(guān)方程組求出最優(yōu)解.

4.基本不等式

利用基本不等式證明不等式和求最值的區(qū)別

①利用基本不等式證明不等式，只需關(guān)注不等式成立的條件.

②利用基本不等式求最值，需要同時關(guān)注三個限制條件：一正；二定；三相等.

|題型探究------------------啟迪思維探究重點

題型一“三個二次”之間的關(guān)系

例1若關(guān)于x的不等式加+版+2>0的解集是（一/I）,則a+6=

答案T4

解析".'X|=-T,及=；是方程加+匕x+2=0（n<0）的兩個根，

〃

〃

一

4一-2

常

8解

。

9一+-3-

.'.a-rb——14.

反思感悟（1）“三個二次”之間要選擇一個運算簡單的方向進行轉(zhuǎn)化.

（2）用不等式組來刻畫兩根的位置體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

跟蹤訓練1若關(guān)于x的不等式0?-6%+?2<0的解集是（1,機），則m=

答案2

解析因為or2—6x+/<o的解集是（1,〃?），

所以1,m是方程or2-6x+/=0的根，且/〃>1,a>0,

fm>1,

由41+機=*m=2,

可得

aa=2.

、1?=a,

題型二一元二次不等式的解法

例2解關(guān)于x的不等式/一m+a2)x+a3>omeR).

解原不等式可化為(X—〃)(x—〃2)>0.

當a<0時，a<a2,原不等式的解集為｛x|x〈a或心>層｝；

當。=0時，a1=a,原不等式的解集為“|xW0,x^R]；

當0<a〈l時，a1<a,原不等式的解集為｛RxV?或大>〃｝；

當。=1時，a2=a,原不等式的解集為｛x|x關(guān)1,x￡R｝；

當時，a<a2,原不等式的解集為｛小Va或尤>〃2｝；

綜上所述，當a<0或。>1時，原不等式的解集為｛x[x<〃或x>cr｝\

當0<〃<1時，原不等式的解集為｛x|x</或x>。｝；

當。=1時，原不等式的解集為｛x|x/1,xWR｝;

當。=0時，原不等式的解集為｛RxWO,x￡R｝.

反思感悟?qū)τ诤瑓?shù)的一元二次不等式，若二次項系數(shù)為常數(shù)，則可先考慮分解因式，再

對參數(shù)進行討論；若不易分解因式，則可對判別式分類討論，分類要不重不漏.

跟蹤訓練2(2018?江蘇省如東高級中學期中)已知常數(shù)〃￡R,解關(guān)于x的不等式以2—2x+

a<0.

解(1)若。=0,則原不等式為-2x<0,故解集為｛x|x>0｝.

(2)若a>0,J=4-4a2.

1—、/]-71-a?

①當，>0,即0<4<1時，方程QX2—1￥+〃=0的兩根為X]=---+----,X2=---2----,

...當0<“<1時，原不等式的解集為一行正工■■

②當/=0,即。=1時，原不等式的解集為Q

③當/<0,即“>1時，原不等式的解集為。.

(3)若a<0,4=4—44.

①當/>0,即-1~<0時，原不等式的解集為“卜<1+中踵或X>1一守k｝.

②當/=0,即a=-1時，原不等式化為(x+l)2>0,

...當。=一1時，原不等式的解集為｛x|xWR且xW-l｝.

③當/<0,即"一1時，原不等式的解集為R.

綜上所述，當時，原不等式的解集為。;

當0<“<1時，原不等式的解集為%];

IIaa

當。=0時，原不等式的解集為“卜>0｝；

當一1<時0時，原不等式的解集為卜卜<1+『乙或QI一中三-；

當4=一1時，原不等式的解集為｛x|x@R且》之一1｝；

當a<-\時，原不等式的解集為R.

題型三線性規(guī)劃問題

'X—4yW—3,

例3已知變量x,y滿足約束條件,3x+5yW25,求z=2x+y的最大值和最小值.

解如圖，陰影部分(含邊界)為不等式組所表示的可行域.

''x=l

設(shè)4)：2x+y=0,/：2x+y=z,則z的幾何意義是直線y=-2x+z在y軸上的截距，顯然，

直線越往上移動，對應(yīng)在)，軸上的截距越大，即z越大；直線越往下移動，對應(yīng)在y軸上的

截距越小，即z越小.

上下平移直線4),可得當4)過點A(5,2)時，zn1ax=2X5+2=12；

當4)過點8(1,1)時，Zmin=2X1+1=3.

反思感悟(1)因為最優(yōu)解與可行域的邊界斜率有關(guān)，所以畫可行域要盡可能精確.

(2)線性目標函數(shù)的最值與縱截距不一定是增函數(shù)關(guān)系，所以要關(guān)注縱橫距越大，z越大還是

越小.

跟蹤訓練3某人承攬一項業(yè)務(wù)，需做文字標牌4個，繪畫標牌5個.現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料,

甲種規(guī)格每張3m2,可做文字標牌I個，繪畫標牌2個：乙種規(guī)格每張2m2,可做文字標牌

2個，繪畫標牌1個，求兩種規(guī)格的原料各用多少張才能使得總用料面積最小.

解設(shè)需要甲種原料x張，乙種原料y張，則可做文字標牌(x+2y)個，繪畫標牌(2x+y)個，

2+月5,

x+2y24,

由題意可得《x20，

y20,

yCN.

所用原料的總面積為z=3x+2y,

作出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示.

在一組平行直線3x+2y=z中，

經(jīng)過可行域內(nèi)的點A時，z取得最小值，

直線2x+y=5和直線x+2y=4的交點為4(2,1),

即最優(yōu)解為(2,1).

所以使用甲種規(guī)格原料2張，乙種規(guī)格原料1張，可使總的用料面積最小.

題型四利用基本不等式求最值

例4函數(shù)y="r(a>0,1)的圖象恒過定點A,若點A在直線1=0(nw?>0)上,

則A+5的最小值為-

答案4

[

解析y=a~\a>09的圖象恒過定點

?.?點A在直線inx+ny—1=0上，

??nt+n~~1,

當且僅當m=〃=3時，取等號.

方法二5+、=(%+〃)

=2+扛6+2

機+相=1,

當且僅當，〃m即機=〃=；時取等號.

jnn9

.6+{U=4.

反思感悟條件最值的求解通常是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造和或積為

常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求最值.

12

跟蹤訓練4設(shè)x,”都是正數(shù)，且十+彳=3,求2x+y的最小值.

xy

解彳+；=3,.,船+3=L

，2x+y=(2x+y)X1=(2x+y)x|(j+^

J”/華卜耒+2寸用

當且僅當《=華，即y=2%時，取等號.

xy

I?24

又???一+-=?，

xy3,.?x=3w,y=3T-

Q

.'.2x+y的最小值為Q.

I達標檢測檢測評價達標過關(guān)

1.（2018?全國1）已知集合4={M『一%一2>0},則［RA等于（）

A.{x|—l<x<2}B.{x|-1WXW2}

C.{x\x<~\}U{x\x>2}D.{小W-1}U{#22}

答案B

解析方法一A={x|（x—2）（x+l）>0}={x|x<—1或x>2},所以［RA={X|—1WxW2},故選

B.

方法二因為A="|f—工-2>0},所以（RA={Mf—x-2W0}={M-lWxW2},故選B.

2.已知實數(shù)x,y滿足條件卜W1,若目標函數(shù)z=mr—y（機WO）取得最大值時的

、2x—2y+lW0,

最優(yōu)解有無窮多個，則實數(shù)用的值為（）

A.1B.gC.一；D.—1

答案A

解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分（包含邊界）所示，

由圖可知當直線y=g—z（wWO）與直線2x~2y+\=O重合，即m=\時,

目標函數(shù)z=/nr—y取最大值的最優(yōu)解有無窮多個，故選A.

3.若不等式加+從一2>0的解集為卜|一24<—：],則等于（）

A.-18B.8C.-13D.1

答案C

解析V—2和一"是方程ax2+bx—2=0的兩根.

4,

[=—9,.?.“+/>=-13.

4.若不等式4（o—2）x2+2（6J—2）x—1<0對一切R恒成立，則a的取值范圍是.

答案（-2,2]

解析不等式4（a-2）『+2（°—2）x—1<0,當“一2=0,即”=2時，不等式恒成立，符合題

J=4(a-2)2+16(a-2)<0,

當。一2#0時，要使不等式恒成立，需

a-2<0,

解得一2<a<2,所以a的取值范圍為（-2,2].

5.已知人x）=32「一k3x+2,當xWR時，/（x）恒為正，求k的取值范圍.

解危）=（3戶一%3，+2>0,；.層號吆=3'+半,3*+京223^|=2啦