向量的數(shù)量積（1）學(xué)科：高中數(shù)學(xué)

教材版本：人教（2019）A版一、復(fù)習(xí)回顧前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的線性運(yùn)算（加法、減法和數(shù)乘），你能總結(jié)一下我們是如何研究這些運(yùn)算的嗎？問題1：物理背景

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概念

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性質(zhì)

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應(yīng)用比如：力力的合成向量向量的加法一、復(fù)習(xí)回顧類比數(shù)的運(yùn)算，你認(rèn)為接下來還可以研究向量的什么運(yùn)算？向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義呢？問題2：二、借助物理背景，抽象概念

在物理課中我們學(xué)過功的概念：如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功

功是一個標(biāo)量，它由力和位移兩個向量來確定．這給我們一種啟示，能否把“功”看成是兩個向量“相乘”的結(jié)果呢？二、借助物理背景，抽象概念思考：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量，其結(jié)果又該如何表述？兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。

功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；1.向量的夾角：

已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作

，，則∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角．ba確定夾角時應(yīng)注意什么？向量夾角的范圍呢？問題3：OBAθab1.向量的夾角：注意：1.向量的夾角：

2.向量的數(shù)量積：

已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積（innerproduct）），記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．問題4：兩個向量的數(shù)量積是向量還是數(shù)量？它的大小與哪些量有關(guān)？符號由哪個量決定？2.向量的數(shù)量積：注意：a·b=|a||b|cosθ．四、典例剖析，鞏固新知例1

已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=，求a·b．解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×=5×4×(-)=-10．例2設(shè)|a|=12，|b|=9，a·b=-54，求a與b的夾角

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三、幾何角度，深化認(rèn)知問題4：a·b=|a||b|cosθ．其中|a|cosθ，類比

你會聯(lián)想到什么呢？A13.投影及投影向量的定義：

3.投影及投影向量的定義：過點(diǎn)A作直線OB的垂線，垂足為A1,

問題5：三、幾何角度，深化認(rèn)知設(shè)e是與向量b方向相同的單位向量，那么三、幾何角度，深化認(rèn)知問題6：三、幾何角度，深化認(rèn)知問題7：

降維或向量b在向量a上的投影向量

與向量a的數(shù)量積.四、典例剖析，鞏固新知例3

已知在正方形ABC