第1頁（共1頁）2021年湖南省株洲市荷塘區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（每小題有且只有一個正確答案，本題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）化簡的正確結(jié)果是（）A．±2 B．﹣2 C．2 D．42．（4分）下面四個圖形，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（）A． B． C． D．4．（4分）下列運算正確的是（）A．（3m2）2＝6m4 B．m2?m3＝m5 C．3m﹣m＝2 D．（m+1）2＝m2+15．（4分）在2021年3月8日當(dāng)天，由賈玲導(dǎo)演并主演的電影《你好，李煥英》，收獲約46120000元票房，將46120000用科學(xué)記數(shù)法表示是（）A．4612×104 B．4.612×108 C．46.12×106 D．4.612×1076．（4分）一個布袋里裝有2個紅球、3個黃球和5個白球，除顏色外其它都相同．?dāng)噭蚝笕我饷鲆粋€球，是白球的概率為（）A． B． C． D．7．（4分）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示．若實數(shù)b滿足﹣a＜b＜a，則b的值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．28．（4分）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，則∠ADB＝（）A．30° B．50° C．70° D．80°9．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在斜邊AB上，且AD＝CD，則下列結(jié)論中錯誤的結(jié)論是（）A．∠DCB＝∠B B．BC＝BD C．AD＝BD D．∠ACD＝∠BDC10．（4分）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了兩枚以勾股圖為背景的郵票，所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗證勾股定理，如圖的勾股圖中，已知∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．作四邊形PQNM，滿足點H、I在邊MN上，點E、G分別在邊PM，QN上，∠M＝∠N＝90°，P、Q是直線DF與PM，QN的交點．那么PQ的長等于（）A． B． C． D．二、填空題（本題共8小題，每小題4分，共32分）11．（4分）使有意義的x的取值范圍是．12．（4分）因式分解：3y2﹣12＝．13．（4分）若方程x2+kx﹣2＝0的一個根是﹣2，則k的值是．14．（4分）如圖：將一副直角三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如圖所示的位置擺放，使AB∥EF，則∠DOC的度數(shù)是．15．（4分）抗擊“新冠肺炎”線上學(xué)習(xí)期間，某校為了解學(xué)校1000名九年級學(xué)生一周體育鍛煉時間的情況，隨機調(diào)查了50名九年級學(xué)生，并繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計該校1000名九年級學(xué)生一周的體育鍛煉時間不少于7小時的人數(shù)是人．16．（4分）中國人民銀行近期下發(fā)通知，決定自2019年4月30日停止兌換第四套人民幣中菊花1角硬幣．如圖所示，則該硬幣邊緣鐫刻的正多邊形的外角的度數(shù)為．17．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、B，取線段OB的中點C，連接PC并延長交x軸于點D．則△APD的面積為．18．（4分）拋物線y＝ax2+3ax+b的一部分圖象如圖，設(shè)該拋物線與x軸的交點為A（﹣5，0）和B，與y軸的交點為C，若△ACO∽△CBO，則∠CAB的正切值為．三、解答題（本題共8小題，共78分）19．（6分）計算：．20．（8分）先化簡，再求值：，其中x＝．21．（8分）在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD于點E，點F在邊AB上，AF＝CE，連接DF，CF．（1）求證：四邊形DFBE是矩形；（2）當(dāng)CF平分∠DCB時，若CE＝3，BC＝5，求CD的長．22．（10分）如圖，△ABC、△FED區(qū)域為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員視線PB與地面BE的夾角∠PBE＝45°，視線PE與地面BE的夾角∠PEB＝30°，點A，F(xiàn)為視線與車窗底端的交點，AF∥BE，AC⊥BE，F(xiàn)D⊥BE．若點A到點B的距離AB＝2m．（1）求AC的長度；（2）求DE的長度．23．（10分）據(jù)新浪網(wǎng)調(diào)查，2019年全國網(wǎng)民最關(guān)注的熱點話題分別有：消費、教育、環(huán)保、反腐及其它共五類，且關(guān)注五類熱點問題的網(wǎng)民的人數(shù)所占百分比如圖1所示，關(guān)注該五類熱點問題網(wǎng)民的人數(shù)的不完整條形統(tǒng)計如圖2，請根據(jù)圖中信息解答下列問題．（1）求出圖1中關(guān)注“反腐”類問題的網(wǎng)民所占百分比x的值，并將圖2中的不完整的條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）為了深度了解網(wǎng)民對政府工作報告的想法，新浪網(wǎng)邀請5名網(wǎng)民代表甲、乙、丙、丁、戊做客新浪訪談，且一次訪談只選2名代表．請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求出一次所選代表恰好是丙和丁的概率．（3）據(jù)統(tǒng)計，2017年網(wǎng)民最關(guān)注教育問題的人數(shù)所占百分比約為10%，則從2017年到2019年的年平均增長率約為多少？（≈3.16）24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，連接BC交⊙O于點D，點E是的中點，連接AE交BC于點F．（1）求證：AC＝CF；（2）若AB＝8，AC＝6，求∠BAE的正切值．25．（13分）如圖，矩形OABC的頂點A，C分別落在x軸，y軸的正半軸上，頂點B（2，2），反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與BC，AB分別交于D，E，BD＝．（1）求反比例函數(shù)關(guān)系式和點E的坐標(biāo)；（2）寫出DE與AC的位置關(guān)系并說明理由；（3）點F在直線AC上，點G是坐標(biāo)系內(nèi)點，當(dāng)四邊形BCFG為菱形時，求出點G的坐標(biāo)并判斷點G是否在反比例函數(shù)圖象上．26．（13分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接BC與OP，交于點D，求當(dāng)?shù)闹底畲髸r點P的坐標(biāo)；（3）點F是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點M，使得以點B，C，M，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．參考答案與試題解析一、選擇題（每小題有且只有一個正確答案，本題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）化簡的正確結(jié)果是（）A．±2 B．﹣2 C．2 D．4【解答】解：＝2．故選：C．2．（4分）下面四個圖形，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、B、C中的圖案都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞這一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：D．3．（4分）如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是B，故選：B．4．（4分）下列運算正確的是（）A．（3m2）2＝6m4 B．m2?m3＝m5 C．3m﹣m＝2 D．（m+1）2＝m2+1【解答】解：A、原式＝9m4，故A不符合題意．B、原式＝m5，故B符合題意．C、原式＝2m，故C不符合題意．D、原式＝m2+2m+1，故D不符合題意．故選：B．5．（4分）在2021年3月8日當(dāng)天，由賈玲導(dǎo)演并主演的電影《你好，李煥英》，收獲約46120000元票房，將46120000用科學(xué)記數(shù)法表示是（）A．4612×104 B．4.612×108 C．46.12×106 D．4.612×107【解答】解：46120000＝4.612×107．故選：D．6．（4分）一個布袋里裝有2個紅球、3個黃球和5個白球，除顏色外其它都相同．?dāng)噭蚝笕我饷鲆粋€球，是白球的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：袋子中球的總數(shù)為2+3+5＝10，而白球有5個，則從中任摸一球，恰為白球的概率為＝．故選：B．7．（4分）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示．若實數(shù)b滿足﹣a＜b＜a，則b的值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2【解答】解：將﹣a，b在數(shù)軸上表示出來如下：∵﹣a＜b＜a．∴b在﹣a和a之間．選項中只有﹣1符合條件．故選：C．8．（4分）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，則∠ADB＝（）A．30° B．50° C．70° D．80°【解答】解：∵，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故選：C．9．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在斜邊AB上，且AD＝CD，則下列結(jié)論中錯誤的結(jié)論是（）A．∠DCB＝∠B B．BC＝BD C．AD＝BD D．∠ACD＝∠BDC【解答】解：∵AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴A正確，故A不符合題意；∵∠BDC≠∠BCD，∴BD≠BC，∴B錯誤，故B符合題意；∵∠B＝∠BCD，∴BD＝DC，∴AD＝BD，∴C正確，故C不符合題意；∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠A＝∠ACD，∴∠ACD＝∠BDC，∴D正確，故D不符合題意；故選：B．10．（4分）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了兩枚以勾股圖為背景的郵票，所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗證勾股定理，如圖的勾股圖中，已知∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．作四邊形PQNM，滿足點H、I在邊MN上，點E、G分別在邊PM，QN上，∠M＝∠N＝90°，P、Q是直線DF與PM，QN的交點．那么PQ的長等于（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，延長FA交PM于J，過點P作PK⊥DE于K，過點Q作QW⊥FG于W．∵四邊形ACDE，四邊形BCFG都是正方形，∴∠ACD＝∠BCF＝90°，AC＝CD，BC＝CF，∵CA＝CD，CB＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，∴△DCF≌△ACB（SAS），∴∠DFC＝∠ABC，DF＝AB＝5，∵AC＝4，∴BC＝＝＝3，∵PM∥AI，DE∥AF，∴∠PDE＝∠PFJ，∠PED＝∠PJF＝∠JAI，∵∠JAI+∠BAC＝90°，∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠JAI＝∠ABC，∴∠PJF＝∠PFJ，∴∠PED＝∠PDE，∴PD＝PE，∵PK⊥DE，∴EK＝DK＝2，∵∠PKD＝∠DCF＝90°，∠PDK＝∠DFC，∴△PKD∽△DCF，∴＝，∴＝，∴PD＝，同法可證，F(xiàn)W＝WG＝1.5，△QFW∽△FDC，∴＝，∴＝，∴QF＝，∴PQ＝PD+DF+FQ＝+5+＝，故選：A．二、填空題（本題共8小題，每小題4分，共32分）11．（4分）使有意義的x的取值范圍是x≥1．【解答】解：∵有意義，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案為：x≥1．12．（4分）因式分解：3y2﹣12＝3（y+2）（y﹣2）．【解答】解：3y2﹣12，＝3（y2﹣4），＝3（y+2）（y﹣2）．13．（4分）若方程x2+kx﹣2＝0的一個根是﹣2，則k的值是1．【解答】解：∵一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一個根是﹣2，∴（﹣2）2+k×（﹣2）﹣2＝0，解得，k＝1，故答案為：1．14．（4分）如圖：將一副直角三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如圖所示的位置擺放，使AB∥EF，則∠DOC的度數(shù)是75°．【解答】解：如圖所示：∵∠D＝90°，∴∠E+∠F＝90°，又∵∠E＝45°，∴∠F＝45°，又∵AB∥EF，∴∠A＝∠ACF，又∵∠A＝30°，∴∠ACF＝30°，又∵∠ACF+∠F+∠1＝180°，∴∠1＝105°，又∵∠1+∠DOC＝180°，∴∠DOC＝75°，故答案為75°．15．（4分）抗擊“新冠肺炎”線上學(xué)習(xí)期間，某校為了解學(xué)校1000名九年級學(xué)生一周體育鍛煉時間的情況，隨機調(diào)查了50名九年級學(xué)生，并繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計該校1000名九年級學(xué)生一周的體育鍛煉時間不少于7小時的人數(shù)是400人．【解答】解：根據(jù)題意得：1000×＝400（人），答：該校1000名九年級學(xué)生一周的體育鍛煉時間不少于7小時的人數(shù)是400人；故答案為：400．16．（4分）中國人民銀行近期下發(fā)通知，決定自2019年4月30日停止兌換第四套人民幣中菊花1角硬幣．如圖所示，則該硬幣邊緣鐫刻的正多邊形的外角的度數(shù)為40°．【解答】解：∵正多邊形的外角和是360°，∴360°÷9＝40°．故答案為：40°．17．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、B，取線段OB的中點C，連接PC并延長交x軸于點D．則△APD的面積為6．【解答】解：∵PB⊥y軸，PA⊥x軸，∴S矩形APBO＝|k|＝6，在△PBC與△DOC中，，∴△PBC≌△DOC，∴S△APD＝S矩形APBO＝6．故答案為：6．18．（4分）拋物線y＝ax2+3ax+b的一部分圖象如圖，設(shè)該拋物線與x軸的交點為A（﹣5，0）和B，與y軸的交點為C，若△ACO∽△CBO，則∠CAB的正切值為．【解答】解：設(shè)B點的坐標(biāo)為（x，0），∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝﹣，∴點B的橫坐標(biāo)為，∴x＝2，即B（2，0），∴AO＝5BO＝2．∵△ACO∽△CBO，∴，∴，∴OC＝．∴∠CAB的正切值＝．故答案為：．三、解答題（本題共8小題，共78分）19．（6分）計算：．【解答】解：原式＝＝1﹣1+5＝5．20．（8分）先化簡，再求值：，其中x＝．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝×＝，當(dāng)x＝﹣1時，原式＝＝．21．（8分）在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD于點E，點F在邊AB上，AF＝CE，連接DF，CF．（1）求證：四邊形DFBE是矩形；（2）當(dāng)CF平分∠DCB時，若CE＝3，BC＝5，求CD的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AF＝CE，∴FB＝ED．∴四邊形DFBE是平行四邊形，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°．∴四邊形DFBE是矩形；（2）解：由（1）得：四邊形DFBE是矩形，∴DE＝BF，∵CF平分∠DCB，∴∠DCF＝∠BCF，∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠CFB，∴∠BCF＝∠CFB，∴BF＝BC＝5，∴DE＝BF＝5，∴CD＝DE+CE＝5+3＝8．22．（10分）如圖，△ABC、△FED區(qū)域為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員視線PB與地面BE的夾角∠PBE＝45°，視線PE與地面BE的夾角∠PEB＝30°，點A，F(xiàn)為視線與車窗底端的交點，AF∥BE，AC⊥BE，F(xiàn)D⊥BE．若點A到點B的距離AB＝2m．（1）求AC的長度；（2）求DE的長度．【解答】解：（1）在Rt△ACB中，AB＝2m，∠PBE＝45°，則AC＝AB?sin∠PBE＝2×＝（m），答：AC的長度為m；（2）由題意得：DF＝AC＝m，在Rt△FDE中，tan∠PEB＝，則DE＝＝＝（m），答：DE的長度為m．23．（10分）據(jù)新浪網(wǎng)調(diào)查，2019年全國網(wǎng)民最關(guān)注的熱點話題分別有：消費、教育、環(huán)保、反腐及其它共五類，且關(guān)注五類熱點問題的網(wǎng)民的人數(shù)所占百分比如圖1所示，關(guān)注該五類熱點問題網(wǎng)民的人數(shù)的不完整條形統(tǒng)計如圖2，請根據(jù)圖中信息解答下列問題．（1）求出圖1中關(guān)注“反腐”類問題的網(wǎng)民所占百分比x的值，并將圖2中的不完整的條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）為了深度了解網(wǎng)民對政府工作報告的想法，新浪網(wǎng)邀請5名網(wǎng)民代表甲、乙、丙、丁、戊做客新浪訪談，且一次訪談只選2名代表．請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求出一次所選代表恰好是丙和丁的概率．（3）據(jù)統(tǒng)計，2017年網(wǎng)民最關(guān)注教育問題的人數(shù)所占百分比約為10%，則從2017年到2019年的年平均增長率約為多少？（≈3.16）【解答】解：（1）1﹣15%﹣30%﹣25%﹣10%＝20%，所以x＝20，總?cè)藬?shù)為：140÷10%＝1400（人）關(guān)注教育問題網(wǎng)民的人數(shù)1400×25%＝350（人），關(guān)注反腐問題網(wǎng)民的人數(shù)1400×20%＝280（人），關(guān)注其它問題網(wǎng)民的人數(shù)1400×15%＝210（人），如圖2，補全條形統(tǒng)計圖，（2）畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知共有20種等可能結(jié)果，其中一次所選代表恰好是丙和丁的有2種結(jié)果，所以一次所選代表恰好是丙和丁的概率為＝；（3）設(shè)2017年到2019年的年平均增長率為x，由題意得10%（1+x）2＝25%，解得x1＝0.58＝58%，x2＝﹣2.58（不合題意，舍去）．答：從2017年到2019年的年平均增長率為58%．24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，連接BC交⊙O于點D，點E是的中點，連接AE交BC于點F．（1）求證：AC＝CF；（2）若AB＝8，AC＝6，求∠BAE的正切值．【解答】（1）證明：連接AD，如圖，∵AC切⊙O于點A，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°∵點E是的中點，∴∠BAE＝∠DAE．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠CAD+∠DAB＝∠DAB+∠B＝90°，∴∠CAD＝∠B．∵∠CAD+∠DAE＝∠B+BAE，∴∠CAF＝∠CFA，∴AC＝CF；（2）解：在Rt△ABC中，∵AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝10，∵AD?BC＝AC?AB，∴AD＝＝，∵CF＝AC＝6，∴BF＝4，在Rt△ABD中，BD＝＝＝，∴DF＝BD﹣BF＝﹣4＝，在Rt△ADF中，tan∠DAF＝＝＝，∴∠BAE的正切值為．25．（13分）如圖，矩形OABC的頂點A，C分別落在x軸，y軸的正半軸上，頂點B（2，2），反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與BC，AB分別交于D，E，BD＝．（1）求反比例函數(shù)關(guān)系式和點E的坐標(biāo)；（2）寫出DE與AC的位置關(guān)系并說明理由；（3）點F在直線AC上，點G是坐標(biāo)系內(nèi)點，當(dāng)四邊形BCFG為菱形時，求出點G的坐標(biāo)并判斷點G是否在反比例函數(shù)圖象上．【解答】解：（1）∵B（2，2），則BC＝2，而BD＝，∴CD＝2﹣＝，故點D（，2），將點D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達式得：2＝，解得k＝3，故反比例函數(shù)表達式為y＝，當(dāng)x＝2時，y＝，故點E（2，）；（2）由（1）知，D（，2），點E（2，），點B（2，2），則BD＝，BE＝，故＝＝，＝＝＝，∴DE∥AC；（3）當(dāng)點F在點C的下方時，點G在點F的右方時，如圖，過點F作FH⊥y軸于點H，∵四邊形BCFG為菱形，則BC＝CF＝FG＝BG＝2，在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝2，則tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°，則FH＝FC＝1，CH＝CF?cos∠OCA＝2×＝，故點F（1，），則點G（3，），當(dāng)點F在點C的上方時，同理可得：點G（1，3），此時，點G也在反比例函數(shù)上，綜上，點G的坐標(biāo)為（3，）或（1，