安徽省合肥九中2025屆高一下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．2．已知隨機(jī)事件中，與互斥，與對立，且，則（）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.93．已知，且，則的最小值為（）A．8 B．12 C．16 D．204．我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．645．直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相離C．相交但不過圓心 D．相交且過圓心6．已知a，b為不同的直線，為平面，則下列命題中錯誤的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．在中，分別是角的對邊,若,且，則的值為()A．2 B． C． D．48．下列命題中不正確的是（）A．平面∥平面，一條直線平行于平面，則一定平行于平面B．平面∥平面，則內(nèi)的任意一條直線都平行于平面C．一個三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個平面，那么該三角形所在的平面與這個平面平行D．分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線9．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式為（）A．f（x）＝sin（x）﹣1 B．f（x）＝2sin（x）﹣1C．f（x）＝2sin（x）﹣1 D．f（x）＝2sin（2x）+110．若長方體三個面的面積分別為2，3，6，則此長方體的外接球的表面積等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知三棱錐（如圖所示），平面，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為______．12．分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦.B.曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立，為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，下圖是按照一定的分形規(guī)律生長成一個數(shù)形圖，則第13行的實(shí)心圓點(diǎn)的個數(shù)是________13．下列命題：①函數(shù)的最小正周期是；②在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，將向量繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是；③在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有兩個公共點(diǎn)；④函數(shù)在上是增函數(shù)．其中，正確的命題是________（填正確命題的序號）．14．已知，則的值為．15．設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且滿足.則______.16．在銳角△中，，，，則________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，，.（1）求邊的長；（2）若的面積是，求的值.18．正項數(shù)列的前項和為，且.（Ⅰ）試求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求的前項和為.（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．如圖，三棱柱中，，D為AB上一點(diǎn)，且平面.（1）求證：；（2）若四邊形是矩形，且平面平面ABC，直線與平面ABC所成角的正切值等于2，，，求三樓柱的體積.20．已知數(shù)列的前項和為，點(diǎn)在直線上.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.21．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，．（1）從第幾項開始；（2）求數(shù)列前n項和的最大值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

畫出長方體,將平移至,則,則即為異面直線與所成角,由余弦定理即可求解.【詳解】根據(jù)題意,畫出長方體如下圖所示:將平移至,則即為異面直線與所成角,,由余弦定理可得故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了長方體中異面直線的夾角求法,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

由對立事件概率關(guān)系得到B發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計算公式求P(A+B).【詳解】因?yàn)椋录﨎與C對立，所以，又，A與B互斥，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件的概率，能利用對立事件概率之和為1進(jìn)行計算，屬于基本題.3、C【解析】

由題意可得，則，展開后利用基本不等式，即可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，且，即為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號，則的最小值為.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，注意等號成立的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．4、A【解析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點(diǎn)睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.5、C【解析】圓心到直線的距離，據(jù)此可知直線與圓的位置關(guān)系為相交但不過圓心.本題選擇C選項.6、D【解析】

根據(jù)線面垂直與平行的性質(zhì)與判定分析或舉出反例即可.【詳解】對A,根據(jù)線線平行與線面垂直的性質(zhì)可知A正確.對B,根據(jù)線線平行與線面垂直的性質(zhì)可知B正確.對C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知C正確.對D,當(dāng),時,也有可能.故D錯誤.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中平行垂直的判定與性質(zhì),屬于中檔題.7、A【解析】

由正弦定理，化簡求得，解得，再由余弦定理，求得，即可求解，得到答案．【詳解】在中，因?yàn)?且，由正弦定理得，因?yàn)?，則，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時，運(yùn)用余弦定理求解.8、A【解析】

逐一考查所給的選項是否正確即可.【詳解】逐一考查所給的選項：A.平面∥平面，一條直線平行于平面，可能a在平面內(nèi)或與相交，不一定平行于平面，題中說法錯誤；B.由面面平行的定義可知：若平面∥平面，則內(nèi)的任意一條直線都平行于平面，題中說法正確；C.由面面平行的判定定理可得：若一個三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個平面，那么該三角形所在的平面與這個平面平行，題中說法正確；D.分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線，不可能相交，題中說法正確.本題選擇A選項.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的線面位置關(guān)系判定與證明：（1）對于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異面直線；（2）對于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵.9、D【解析】

由已知列式求得的值，再由周期求得的值，利用五點(diǎn)作圖的第二個點(diǎn)求得的值，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)三角函數(shù)的圖象，可得，解得，又由，解得，則，又由五點(diǎn)作圖的第二個點(diǎn)可得：，解得，所以函數(shù)的解析式為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由的部分圖象求解函數(shù)的解析式，其中解答中熟記三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖法，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.10、C【解析】

設(shè)長方體過一個頂點(diǎn)的三條棱長分別為，，，由已知面積求得，，的值，得到長方體對角線長，進(jìn)一步得到外接球的半徑，則答案可求．【詳解】設(shè)長方體過一個頂點(diǎn)的三條棱長分別為，，，則，解得，，．長方體的對角線長為．則長方體的外接球的半徑為，此長方體的外接球的表面積等于．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查長方體外接球表面積的求法，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意長方體的對角線長為長方體外接球的直徑.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由于圖形特殊，可將圖形補(bǔ)成長方體，從而求長方體的外接球表面積即為所求.【詳解】，，，，平面，將三棱錐補(bǔ)形為如圖的長方體，則長方體的對角線，則【點(diǎn)睛】本題主要考查外接球的相關(guān)計算，將圖形補(bǔ)成長方體是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的劃歸能力及空間想象能力.12、【解析】

觀察圖像可知每一個實(shí)心圓點(diǎn)的下一行均分為一個實(shí)心圓點(diǎn)與一個空心圓點(diǎn),每個空心圓點(diǎn)下一行均為實(shí)心圓點(diǎn).再利用規(guī)律找到行與行之間的遞推關(guān)系即可.【詳解】由圖像可得每一個實(shí)心圓點(diǎn)的下一行均分為一個實(shí)心圓點(diǎn)與一個空心圓點(diǎn),每個空心圓點(diǎn)下一行均為實(shí)心圓點(diǎn).故從第三行開始,每行的實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)均為前兩行之和.即.故第1到第13行中實(shí)心圓點(diǎn)的個數(shù)分別為：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推數(shù)列的實(shí)際運(yùn)用,需要觀察求得行與行之間的實(shí)心圓點(diǎn)的遞推關(guān)系,屬于中等題型.13、①②④【解析】

由余弦函數(shù)的周期公式可判斷①；由任意角的三角函數(shù)定義可判斷②；由余弦函數(shù)和一次函數(shù)的圖象可判斷③；由誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷④．【詳解】函數(shù)y＝cos（﹣2x）即y＝cos2x的最小正周期是π，故①正確；在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（a，b），將向量繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到向量，設(shè)a＝rcosα，b＝rsinα，可得rcos（90°+α）＝﹣rsinα＝﹣b，rsin（90°+α）＝rcosα＝a，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（﹣b，a），故②正確；在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝cosx的圖象和函數(shù)y＝x的圖象有一個公共點(diǎn)，故③錯誤；函數(shù)y＝sin（x）即y＝﹣cosx在[0，π]上是增函數(shù)，故④正確．故答案為①②④．【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是周期性和單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合思想和化簡運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

利用商數(shù)關(guān)系式化簡即可．【詳解】，故填．【點(diǎn)睛】利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可以化簡一些代數(shù)式，常見的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代數(shù)式化成關(guān)于正切的代數(shù)式，也可以把含有正切的代數(shù)式化為關(guān)于余弦和正弦的代數(shù)式；（2）“1”的代換法：有時可以把看成．15、4【解析】

解法1有題設(shè)及余弦定理得.故.解法2如圖4，過點(diǎn)作，垂足為.則，.由題設(shè)得.又，聯(lián)立解得，.故.解法3由射影定理得.又，與上式聯(lián)立解得，.故.16、【解析】

由正弦定理，可得，求得，即可求解，得到答案.【詳解】由正弦定理，可得，所以，又由△為銳角三角形，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理得應(yīng)用，其中解答中熟記正弦定理，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)2；(2)【解析】

（1）設(shè)，利用余弦定理列方程可得：，解方程即可（2）利用（1）中結(jié)果即可判斷為等邊三角形，即可求得中邊上的高為，再利用的面積是即可求得：，結(jié)合余弦定理可得：，再利用正弦定理可得：，問題得解【詳解】（1）在中，設(shè)，則，由余弦定理得：即：解之得：，即邊的長為2.（2）由（1）得為等邊三角形，作于，則∴，故在中，由余弦定理得：∴在中，由正弦定理得：，即：∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正、余弦定理解三角形，還考查了三角形面積公式的應(yīng)用及計算能力，屬于中檔題18、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）將所給條件式子兩邊同時平方,利用遞推法可得的表達(dá)式,由兩式相減,變形即可證明數(shù)列為等差數(shù)列,進(jìn)而結(jié)合首項與公差求得的通項公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）中可求得.將與代入即可求得數(shù)列的通項公式,利用裂項法即可求得前項和.（Ⅲ）先求得的取值范圍,結(jié)合不等式,即可求得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)檎棓?shù)列的前項和為,且化簡可得由遞推公式可得兩式相減可得,變形可得即,由正項等比數(shù)列可得所以而當(dāng)時,解得所以數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列因而（Ⅱ）由（Ⅰ）可知則代入中可得所以（Ⅲ）由（Ⅱ）可知則,所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,則且當(dāng)時,,即所以因?yàn)閷σ磺械暮愠闪t滿足,解不等式組可得即實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式與求和公式的應(yīng)用,裂項求和法的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性與不等式關(guān)系,綜合性強(qiáng),屬于中檔題.19、（1）見詳解；（2）【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的性質(zhì)定理可得，從而可得為的中點(diǎn)，進(jìn)而可證出（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而