7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.通過具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量通過研究離散型隨機(jī)變量的分布列及其

的分布列及其數(shù)字特征.數(shù)字特征，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)

2.能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值.分析素養(yǎng).

課前預(yù)習(xí)知識探究

新知探究

A情境引入

某城市隨機(jī)抽查了1000戶居民的住房情況，發(fā)現(xiàn)戶型主要集中在160平方米，

100平方米，60平方米三種，對應(yīng)住房比例為1：5：4,能否說該市的戶均住房

,160+100+60.,

面積￡為------;-----%106.7（平T萬米）？

問題上述情境中的計(jì)算是否合理，怎樣運(yùn)算才更合理？

提示此種計(jì)算顯然不合理，忽略了不同住房面積的居民所占的比例，造成了

“被平均”現(xiàn)象，通過本課時(shí)的學(xué)習(xí)我們可以找到正確的計(jì)算方法.

上知識梳理

1.離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望

正確地求出離散型隨機(jī)變量的分布列是求解期望的關(guān)鍵一般地，若離散型隨機(jī)變

望，數(shù)學(xué)期望簡稱為期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),

它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的壬均水壬.

2.兩點(diǎn)分布的期望

一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)=OX(l—p)+lXp=0

3.離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)

設(shè)X的分布列為尸(X=Xj)=Pi,i—\,2,-??,n.

一般地，下面的結(jié)論成立：E(aX+b)=aE(X)+b.

拓展深化

［微判斷］

1.隨機(jī)變量X的均值仇X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化.(X)

提示隨機(jī)變量X的均值E(X)是個(gè)定值，不隨X的變化而變化.

2.隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值相同.(X)

提示隨機(jī)變量的均值與樣本的均值并非等價(jià)，因?yàn)闃颖敬淼氖遣糠值那闆r,

不能完全與整體等價(jià).

3.若隨機(jī)變量X的均值E(X)=2,則E(2X)=4.(J)

［微訓(xùn)練］

1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X123

256

pT513

則X的數(shù)學(xué)期望￡■(%)=()

30c27

A.后Bl3

25

C.2D.百

0sAan

解析E(X)=1X-j^+2Xj^+3X—=—

答案A

2.口袋中有編號分別為1,2,3的三個(gè)大小和形狀相同的小球，從中任取2個(gè),

則取出的球的最大編號X的期望為.

］1CJ2

解析X=2,3.P(X=2)=曰=§,P(X=3)=m=?

?28

故E(X)=2X^+3X-=-.

答案3

［微思考］

某商場要將單價(jià)分別為18元/kg、24元/kg、36元/kg的3種糖果按3：2：1的比

例混合銷售，如何對混合糖果定價(jià)才合理？

提示由于平均在每1kg的混合糖果中，3種糖果的質(zhì)量分別是3kg、(kg和9

kg,所以混合糖果的合理價(jià)格應(yīng)該是18*3+24><；+36><上=23(元/kg).

這里的23元/kg就是混合糖果價(jià)格的均值.

課堂互動(dòng)題型剖析

題型一利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值

【例1】袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只

紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分X的均值.

解取出4只球顏色及得分分布情況是：4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2

黑得6分，1紅3黑得5分，因此,

CLG4

P(X=5)=G-35,

CiC3_18

P(X=6)=

C,一35,

C1C匚12

P(X=7)=

ac2_1

P(X=8)=G-35'

故X的分布列如下:

X5678

418121

P

35353535

418I?I44

.?.E(X)=5義行+6義行+7X行+8X行=亍(分).

規(guī)律方法求隨機(jī)變量的均值關(guān)鍵是寫出分布列，一般分為四步：(1)確定X的

可能取值；(2)計(jì)算出尸(X=Z);(3)寫出分布列；(4)利用E(X)的計(jì)算公式計(jì)算及X).

【訓(xùn)練1】某衛(wèi)視綜藝節(jié)目中有一個(gè)環(huán)節(jié)叫“超級猜猜猜”，規(guī)則如下：在這

一環(huán)節(jié)中嘉賓需要猜三道題目，若三道題目中猜對一道題目可得1分，若猜對兩

道題目可得3分，要是三道題目完全猜對可得6分，若三道題目全部猜錯(cuò)，則扣

掉4分.如果嘉賓猜對這三道題目的概率分別為昌當(dāng)且三道題目之間相互

獨(dú)立.求某嘉賓在該“猜題”環(huán)節(jié)中所得分?jǐn)?shù)的分布列與均值.

解根據(jù)題意，設(shè)X表示“該嘉賓所得分?jǐn)?shù)”，則X的可能取值為-4,1,3,

6.

...p(X=—4)=(1[10X(1—

212,112,1117

P(X=l)=^X^X?+?X^X^+^X^X?=7^,

3乙33乙33乙31o

212,211,1117

P(X=3)=oX-XT+^X^XT+7X^X^=7^,

'乙33233乙、1o

21121

P(x=6)=QX，X3=^=g.

.?.X的分布列為

X-4136

2771

P9Ti189

[77][6

，E(X)=(—4)Xg+lX同+3X比+6X§=g(分).

題型二離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)

【例2]已知隨機(jī)變量X的分布列為：

X-2-1012

111

Pm

43520

若Y=~2X,則E(y)=.

解析由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得

|+|+|+???+^=1,解得機(jī)=看，

1,1,1,1,117

=

.,.E(X)=(-2)X7r+(-l)XJr+0X-+lX7Vz+2X5n~iH\-J

由y=-2X,得E(y)=-2E(X),

?(17A17

即a￡■("—2X］一的|=百

17

答案15

【遷移i】(變設(shè)問)本例條件不變，若y=2x—3,求E(r).

解由公式E(aX+b)=aE(X)+力及E(X)=一品得，

(17、62

E(y)=￡(2X-3)=2￡：(X)-3=2X^-^-3=-^.

【遷移2】(變條件，變設(shè)問)本例條件不變，若Y=aX+3,且￡(Y)=—?,求

。的值.

1711

解???E(r)=E(aX+3)=qE(X)+3=—而。+3=—2，

.?.。=15.

規(guī)律方法離散型隨機(jī)變量性質(zhì)有關(guān)問題的解題思路

若給出的隨機(jī)變量丫與X的關(guān)系為Y=aX+b,a,b為常數(shù),一般思路是先求出

E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y(jié)

的分布列，關(guān)鍵是由x的取值計(jì)算丫的取值，對應(yīng)的概率相等，再由定義法求

得E(Y).

【訓(xùn)練2】已知隨機(jī)變量X和丫，其中y=12X+7,且E(y)=34,若X的分布

列如下表，則m的值為()

X1234

11

Pmn

4n

11

A-3B-4

11

C6D,8

解析因?yàn)閥=12X+7,則E(K)=12E(X)+7,

即風(fēng)y)=12(lX(+2?加+3?〃+4X*)+7=34.

所以2機(jī)+3〃=],①

又^+加+〃+*=1,

2

所以m+n=y②

由①②可解得m=1.

答案A

題型三離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用

2

［例3］某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為尋口

|?現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品區(qū)設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立.

⑴求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；

(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品8研發(fā)成功，

預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤100萬元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列和均值.

解記E=”甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功”，F(xiàn)=”乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功”.由題設(shè)知

2-13-2—一—一

P(E)=yP(E)=yP(F)=m，P(F)=W，且事件E與凡E與F,E與F,E與F都

相互獨(dú)立.

(1)記"="至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功"，則"=EE于是尸(”)=P(E)P(尸=；

2_2_

X5=15,

-?13

故所求的概率為P(”)=l—P(")=l一正=正.

⑵設(shè)企業(yè)可獲利潤為X萬元，則X的可能取值為0,100,120,220.

--122

因?yàn)镻(X=0)=P(EF)=3X5=15,

131

P(X=100)=P(即=gXg=g,

-224

P(X=120)=P(EF)=^X-=~,

232

P(X=220)=P(EF)=^X^=~,

故所求的分布列為

X0100120220

2142

P

155155

2142

均值為E(X)=0X謁+100X\+120X百+220*《=140(萬元).

規(guī)律方法解答實(shí)際問題時(shí)，(1)把實(shí)際問題概率模型化；(2)利用有關(guān)概率的知

識去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相應(yīng)均值.

【訓(xùn)練3】某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請兩位專家獨(dú)立地對每位

學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評審.假設(shè)評審結(jié)果為“支持”和“不支持”的概率都是

若某人獲得兩個(gè)“支持”，則給予10萬元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個(gè)“支持”，

則給予5萬元的資助；若未獲得''支持"，則不予資助.令X表示該公司的資

助總額.

⑴寫出X的分布列；

(2)求均值E(X).

解(1)X的所有取值為0,5,10,15,20,25,30.

P(X=0)=去，P(X=5)=卷

P(X=10)=卷，P(X=15)$

1531

P(X=20)=/，P(X=25)=豆，尸(X=30)=石.

故X的分布列為

X051015202530

131551531

P

64326416643264

（2）砂）=0X也+5義專+10X卷+15義點(diǎn)+20X卷+25義專+30X*=15（萬

元）.

素養(yǎng)達(dá)成■■逐步落實(shí)

一'素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2.求離散型隨機(jī)變量均值的步驟：

(1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值；

⑵寫出分布列，并檢查分布列的正確與否；

(3)根據(jù)公式寫出均值.

3.若X,y是兩個(gè)隨機(jī)變量，且丫=aX+b,則E(y)=aE(X)+b；如果一個(gè)隨機(jī)

變量服從兩點(diǎn)分布，可直接利用公式計(jì)算均值.

二'素養(yǎng)訓(xùn)練

1.袋中有10個(gè)大小相同的小球，其中記為0號的有4個(gè)，記為〃號的有〃個(gè)(〃

=1,2,3).現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取到球的標(biāo)號，則E(X)等于()

3

A.2B，2

47

C.§D.g

解析由題意，可知X的所有可能取值為0,1,2,3.

2113

P(X=0)=5,P(X=1)=正，P(X=2)=g,尸(X=3)=而.

21137

.?.E(X)=0X-+lX-^J+2X-+3XJ^=-

答案D

2.拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得一1分，則得分X的均值

為()

A.0B./

C.1D.-1

解析因?yàn)镻(X=1)=T，P(X=-1)=1，

所以由均值的定義得E0O=lxg+(—1)乂3=0.

答案A

3.若〃為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X的分布列為

X012

11

PP2-P2

則E(X)的最小值為()

3

A.1B，2

2

C.QD.2

解析由p20,p20,得OWpg,則瓜陽=3—p+2X；=|—p21.故選A.

答案A

4.隨機(jī)拋擲一枚骰子，則所得骰子點(diǎn)數(shù)X的均值為

解析拋擲一枚骰子所得點(diǎn)數(shù)X的分布列為

X123456

111111

P

666666

所以E(X)=1X1+2X|+3X|+4X1+5X|+6X1=(1+2+34-44-5+6)X1=

21_7

T=2-

答案I

5.袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號的有10個(gè)，記上〃號的有〃(〃=1,

2,3,4)個(gè).現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號.

(1)求X的分布列、均值；

(2)若y="X+4,E(y)=h求a的值.

解(1)X的分布列為

X01234

113

P

220To205

的均值

XE(X)=0X乙^+1XT乙^U+2X-1.^\J+3XT乙-V7/+4X5=2,

⑵E(K)=aE(X)+4=l,

又￡(X)=|,

3

則02+4=1,

...。=—2.

課后作業(yè)皿WW??鞏固提高

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X-101

則E(2X+1)=()

11

A，2B.2

23

C-D一

解析,.,￡：(X)=-1X^+OX1+1x|=—

EQX+1)=2E(X)+1=2x(-7)+1=?.

答案c

2.已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若E(X)=6.3,則。的值為()

Xa79

pb0.10.4

A.4B.5

C.6D.7

解析根據(jù)分布列的性質(zhì)可知^+0.14-0.4=1,所以8=0.5.又E(X)=aQ5+

7X0.1+9X0.4=63,所以a=4.

答案A

3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)=1.6,則a—人等于()

X0123

P0.1Ab0.1

A.0.2B.0.1

C.-0.2D.-0.4

解析由0.1+a+Z?+0.1=1,得a+b=0.8.

又由￡(X)=0X0.1+l-a+2^+3X0.1=1.6,

得a+2b=\3,

解得a=0.3,8=0.5,則a—b——0.2.

答案C

4.某射擊運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次擊中10環(huán)得1分，擊不中10環(huán)得0分.已知他

擊中10環(huán)的概率為0.8,則射擊一次得分X的期望是()

A.0.2B.0.8

C.1D.0

解析因?yàn)镻(X=l)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=1X0.8+0X0.2=08

答案B

5.隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=l,2,3,4),E(X)

=3,則a+b等于()

A.10B.5

解析易知E(X)=lX(a+b)+2X(2a+/0+3X(3a+b)+4X(4a+b)=3,即30a

+108=3.①

又(a+Z?)+(2a+/?)+(3a+6)+(4a+6)=1,即10a+4b=1,②

由①②，得°=元,匕=0.

答案D

二'填空題

6.已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下表：

X3b8

P0.20.5a

月.E(X)=6,則a=,b=.

解析由0.2+0.5+a=l,得a=0.3.又由E(X)=3X0.2+"0.5+8%=6,得b=

6.

答案0.36

7.某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)X的分布列為

X1234

p0.50.20.20.1

商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為100元；分2期或3期付款，其

利潤為150元；分4期付款，其利潤為200元.若丫表示經(jīng)銷一件該商品的利潤,

則E(n=元.

解析由題意可知y可以取100,150,200,分布列如下

Y100150200

P0.50.40.1

，E(y)=100X0.5+150X0.4+200X0.1=130(元).

答案130

8.某人進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)，若試驗(yàn)成功，則停止試驗(yàn)；若試驗(yàn)失敗，則再重新試驗(yàn)

一次；若試驗(yàn)3次均失敗，則放棄試驗(yàn).若此人每次試驗(yàn)成功的概率均為1則

此人試驗(yàn)次數(shù)X的均值是.

解析試驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1,2,3,

2

則P(X=l)=g,

122

P(X=2)=g><w=§,

P(X=3)=i]X§ix(G2+,?n=g.i

所以X的分布列為

X123

221

P

399

22113

所以E(X)=lX]+2X§+3X§=g.

5但13

答案V

三'解答題

9.盒中裝有5節(jié)同品牌的五號電池，其中混有2節(jié)廢電池，現(xiàn)在無放回地每次

取一節(jié)電池檢驗(yàn)，直到取到好電池為止.

求：(1)抽取次數(shù)X的分布列；

(2)平均抽取多少次可取到好電池.

解(1)由題意知，X取值為1,2,3.

3

p(x=i)=m；

233

P(X=2)=/『；

211

P(X=3)=^=~

所以X的分布列為

X123

331

P5ToTo

331

(2)E(X)=1X；+2X行+3X訕=1.5(次)，

即平均抽取1.5次可取到好電池.

10.在有獎(jiǎng)摸彩中，一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個(gè)獎(jiǎng)品是5元的，20

個(gè)獎(jiǎng)品是25元的，5個(gè)獎(jiǎng)品是100元的.在不考慮獲利的前提下，一張彩票的

合理價(jià)格是多少元？

解設(shè)一張彩票的中獎(jiǎng)?lì)~為隨機(jī)變量X,顯然X的所有可能取值為0,5,25,

100.依題意，可得X的分布列為

X0525100

39111]

P

400505002000

391111

所以E(X)=0義而+5X而+25X而+100X而麗

=0.2(元)，

所以一張彩票的合理價(jià)格是0.2元.

能力提升

11.某人有資金10萬元，準(zhǔn)備用于投資經(jīng)營甲、乙兩種商品，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料:

投資甲獲利(萬元)23-1

概率0.40.30.3

投資乙獲利(萬元)14-2