9.1.2分層隨機(jī)抽樣教學(xué)目標(biāo)1．理解分層抽樣的基本思想和適用情形．2．掌握分層抽樣的實(shí)施步驟．3．了解兩種抽樣方法的區(qū)別和聯(lián)系．1、簡單隨機(jī)抽樣的概念:2、簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn):3、簡單隨機(jī)抽樣的常用方法：③機(jī)會(huì)均等抽樣.①總體個(gè)數(shù)有限；②逐個(gè)進(jìn)行抽取；①抽簽法；②隨機(jī)數(shù)表法.設(shè)一個(gè)總體含有有限個(gè)個(gè)體，并記其個(gè)體數(shù)為N．如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣.復(fù)習(xí)回顧抽樣調(diào)查最核心的問題是樣本的代表性，簡單隨機(jī)抽樣是使總體中每一個(gè)個(gè)體都有相等的機(jī)會(huì)被抽中，但因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性，有可能會(huì)出現(xiàn)比較“極端”的樣本，例如,在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中,可能出現(xiàn)樣本中50個(gè)個(gè)體大部分來自高個(gè)子或矮個(gè)子的情形,這種“極端”樣本的平均數(shù)會(huì)大幅度地偏離總體平均數(shù),從而使得估計(jì)出現(xiàn)較大的誤差.能否利用總體中的一些額外信息對(duì)抽樣方法進(jìn)行改進(jìn)呢？新知探究

問題3在樹人中學(xué)高一年級(jí)的712名學(xué)生中，男生有326名，女生有386名.能否利用這個(gè)輔助信息改進(jìn)簡單隨機(jī)抽樣方法，減少“極端”樣本的出現(xiàn)，從而提高對(duì)整個(gè)年級(jí)平均身高的估計(jì)效果呢？

我們知道，影響身高的因素有很多，性別是一個(gè)主要因素.高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性別的身高差異相對(duì)較小.

那我們就可以利用性別和身高的這種關(guān)系,把高一年級(jí)學(xué)生分成男生和女生兩個(gè)身高有明顯差異的群體，對(duì)兩個(gè)群體分別進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣,然后匯總作為總體的一個(gè)樣本.由于在男生和女生兩個(gè)群體中都抽取了相應(yīng)的個(gè)體，這樣就能有效地避免“極端”樣本.在樹人中學(xué)高一年級(jí)的712名學(xué)生中，男生有326名、女生有386名。樣本量在男生、女生中應(yīng)如何分配？思考

對(duì)男生、女生分別進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，樣本量在男生、女生中應(yīng)分別分配？顯然，為了使樣本的結(jié)構(gòu)與總體的分布相近，人數(shù)多的群體應(yīng)多抽一些，人數(shù)少的應(yīng)少抽一些.

這樣無論是男生還是女生，每個(gè)學(xué)生抽到的概率都相等.當(dāng)總樣本量為50時(shí)，我們就可以計(jì)算出從男生、女生分別應(yīng)抽取的人數(shù)為因此，按男生、女生在全體學(xué)生中所占的比例進(jìn)行分配是比較合理的方式.即

一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分為若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.

在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.分層隨機(jī)抽樣：

分層抽樣的步驟：(1)將總體按一定的標(biāo)準(zhǔn)分層；(2)計(jì)算抽樣比；(3)按抽樣比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；(4)在每一層進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣;(5)綜合每層抽取的樣本，組成總樣本.注意：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí),往往選用分層隨機(jī)抽樣的方法.例1(1)某政府機(jī)關(guān)在編人員共100人，其中副處級(jí)以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級(jí)部門為了了解該機(jī)關(guān)對(duì)政府機(jī)構(gòu)改革的意見，要從中抽取20人進(jìn)行座談訪問，用下列哪種方法最合適(

)A.抽簽法 B.隨機(jī)數(shù)法C.簡單隨機(jī)抽樣法 D.分層隨機(jī)抽樣法(2)分層隨機(jī)抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個(gè)體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個(gè)個(gè)體構(gòu)成樣本，所以分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能抽樣，要求(

)A.每層等可能抽樣B.每層可以不等可能抽樣C.所有層按同一抽樣比等可能抽樣D.所有層抽取的個(gè)體數(shù)量相同DC變式：1.下列問題中，最適合用分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的是(

)A.從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)B.某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本C.從1000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用的時(shí)間D.從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量2.某高中共有900人，其中高一年級(jí)300人，高二年級(jí)200人，高三年級(jí)400人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣抽取容量為45的樣本，那么高一、高二、高三各年級(jí)抽取的人數(shù)分別為()A.15,5,25B.15,15,15C.10,5,30D.15,10,20BD

例2

某學(xué)校有在職人員160人，其中行政人員有16人，教師有112人，后勤人員有32人．教育部門為了了解在職人員對(duì)學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，請(qǐng)利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取，寫出抽樣過程．分層隨機(jī)抽樣的步驟：

變式

某一地區(qū)共有5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其人口比例為3:2:5:2:3，從3萬人中抽取一個(gè)300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問：應(yīng)采取什么樣的方法？并寫出具體過程．

解：因?yàn)榧膊∨c地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層隨機(jī)抽樣的方法．具體過程如下：第一步，將3萬人分為5層，其中一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層．第二步，按照樣本量的比例求得各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的人數(shù)分別為60，40，100，40，60.第三步，利用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本．第四步，將300人合到一起，即得到一個(gè)樣本．我們按照上述方法抽取了一個(gè)容量為50的樣本，其觀測(cè)數(shù)據(jù)(單位：cm)如下：男生173.0174.0166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0173.0172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0175.0168.0173.0167.0170.0175.0女生163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0

通過計(jì)算，得出男生和女生身高的樣本平均數(shù)分別為170.6，160.6.根據(jù)男生、女生身高的樣本平均數(shù)以及它們各自的人數(shù)，可以估計(jì)總體平均數(shù)為所以樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生的平均身高大約在165.2cm左右.思考

在分層隨機(jī)抽樣中，我們能否直接用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)？

在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n.

例3(1)交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員(簡稱駕駛員)對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁4個(gè)社區(qū)做分層隨機(jī)抽樣調(diào)查．假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁4個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12，21，25，43，則這4個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為(

)A．101 B．808C．1212 D．2012(2)將一個(gè)總體分為A,B,C3層，其個(gè)體數(shù)之比為5:3:2.若用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取________個(gè)個(gè)體．(3)分層隨機(jī)抽樣中，總體共分為2層，第1層的樣本量為20，樣本平均數(shù)為3，第2層的樣本量為30，樣本平均數(shù)為8，則該樣本的平均數(shù)為______．B20620.5

變式

將一個(gè)總體分為A,B,C3層，其個(gè)體數(shù)之比為5:3:2.若3層的樣本平均數(shù)分別為15，30，20，則樣本平均數(shù)為________．規(guī)律方法總結(jié)：(1)進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常用到的2個(gè)關(guān)系：②總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．(2)樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系為

練習(xí)－－－－－－－－－－教材184頁證明：

解：這種說法有道理.因?yàn)橐粋€(gè)好的抽樣方法，一般隨著樣本量的增加，抽樣調(diào)查結(jié)果會(huì)越來越接近于普查的結(jié)果.因此，只要根據(jù)誤差控制范圍的要求取相應(yīng)的樣本量進(jìn)行調(diào)查，就可以節(jié)省人力、物力和財(cái)力.

練習(xí)－－－－－－－－－－教材184頁2.有人說:“如果抽樣方法設(shè)計(jì)得好，用樣本進(jìn)行視力調(diào)查與對(duì)24300名學(xué)生進(jìn)行視力普查的結(jié)果差不多，而且對(duì)于想要掌握學(xué)生視力狀況的教育部門來說，節(jié)省了人力、物力和財(cái)力，抽樣調(diào)查更可取.”你認(rèn)為這種說法有道理嗎?為什么?3.高二年級(jí)有男生490人，女生510人，張華按男生、女生進(jìn)行分層，通過分層隨機(jī)抽樣的方法，得到男生、女生的平均身高分別為170.2cm和160.8cm.(1)如果張華在各層中按比例分配樣本，總樣本量為100，那么在男生、女生中分別抽取了多少名?在這種情況下，請(qǐng)估計(jì)高二年級(jí)全體學(xué)生的平均身高.(2)如果張華從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70，那么在這種情況下，如何估計(jì)高二年級(jí)全體學(xué)生的平均身高更合理?

練習(xí)－－－－－－－－－－教材184頁

探究

與考察簡單隨機(jī)抽樣估計(jì)效果類似,小明也想通過多次抽樣考察一下分層隨機(jī)抽樣的估計(jì)效果.他用比例分配的分層隨機(jī)抽樣,從高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了10個(gè)樣本量為50的樣本,計(jì)算出樣本平均數(shù)如下表所示.與上一節(jié)“探究”中相同樣本量的簡單隨機(jī)抽樣的結(jié)果比較，小明有了一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn).你是否也有所發(fā)現(xiàn)？

作出分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)分布圖，并與簡單隨機(jī)抽樣的平均數(shù)的分布圖對(duì)比，如右圖所示，其中紅線表示整個(gè)年級(jí)學(xué)生身高的平均數(shù).

從試驗(yàn)結(jié)果看，分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)圍繞總體平均數(shù)波動(dòng)，與簡單隨機(jī)抽樣的結(jié)果比較，分層抽樣并沒有明顯優(yōu)于簡單隨機(jī)抽樣.

但相對(duì)而言，分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)波動(dòng)幅度更均勻，簡單隨機(jī)抽樣中出現(xiàn)了(第2個(gè))偏離總體平均數(shù)的幅度較大的樣本平均數(shù)，即出現(xiàn)了比較“極端”的樣本，而分層隨機(jī)抽樣沒有出現(xiàn).

實(shí)際上，在個(gè)體之間差異較大的情形下，只要選取的分層變量合適，使得各層間差異明顯、層內(nèi)差異不大，分層隨機(jī)抽樣的效果一般會(huì)好于簡單隨機(jī)抽樣，也好于很多其他抽樣方法.

分層隨機(jī)抽樣的組織實(shí)施也比簡單隨機(jī)抽樣方便，而且除了能得到總體的估計(jì)外