第16章二次根式（單元測試·培優(yōu)卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是的選項(xiàng)是（

）A． B． C． D．2．下列二次根式中，最簡二次根式是（

）A． B． C． D．3．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖，則的結(jié)果是（

）A． B． C．b D．4．李老師設(shè)計(jì)了一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)運(yùn)算的程序：輸入一個(gè)數(shù)，乘以后再減去，輸出結(jié)果．若小剛按程序輸入2，則輸出的結(jié)果應(yīng)為（）A．2 B． C．﹣ D．35．若，則化簡（

）A．m B．-m C．n D．-n6．若，則a的值所在的范圍為（

）A． B． C． D．7．如圖，點(diǎn)P，Q對應(yīng)的數(shù)分別為p，q，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)P向右平移3個(gè)單位長度與點(diǎn)Q重合 B．C．的相反數(shù)的整數(shù)部分為2 D．8．下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．9．已知x是實(shí)數(shù)，且，則的值是（

）A． B． C． D．或或10．下列說法中，正確的是（

）A．與互為倒數(shù)B．若則C．若與是同類二次根式，則與3不一定相等D．若，則二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．若與都是二次根式，那么．12．比較大小，①；②．13．已知，則．14．從、，中任意選擇兩個(gè)數(shù)，分別填在算式里面的“□”與“○”中，計(jì)算該算式的結(jié)果是．（只需寫出一種結(jié)果）15．若兩個(gè)代數(shù)式與滿足，則稱這兩個(gè)代數(shù)式為“互為友好因式”，則的“互為友好因式”是．16．根式的值是．17．[輸入x]→[平方]→[減去]→[輸出A]（1）把多項(xiàng)式A分解因式為；（2）當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式A的值為．18．人們把叫做黃金分割數(shù)．五角星是常見的圖案，如圖，在五角星中存在黃金分割數(shù)，，若，則．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）計(jì)算(1)(2)；20．（8分）數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要講究“靈活”，靈活表現(xiàn)在活用公式，表現(xiàn)在洞察數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)及特征，表現(xiàn)在思維的簡捷與優(yōu)美．以下兩題，特別是第（2）題，很少見，請?zhí)魬?zhàn)以下自己，相信你會秒殺本題．（1）計(jì)算：．（2）計(jì)算：．21．（10分）已知三個(gè)實(shí)數(shù)：，，．（1）計(jì)算：+－．（2）在算式“+□”中，□表示“×”、“÷”中的某個(gè)運(yùn)算符號，請通過計(jì)算說明當(dāng)□表示哪種運(yùn)算符號時(shí)，算式的結(jié)果較大．22．（10分）嘉琪同學(xué)計(jì)算：，部分解題步驟如下．解：．（1）在以上解題步驟中用到了______________（從下面選項(xiàng)中選出兩個(gè)）．A．等式的基本性質(zhì)

B．二次根式的化簡C．二次根式的乘法法則

D．通分（2）算到這里，他發(fā)現(xiàn)算式好像變得更復(fù)雜了，請用一種簡便的方法解答此題．23．（10分）如圖1，從一個(gè)大正方形紙板中截去面積分別為8，32的兩個(gè)小正方形．（1）求留下的部分（陰影部分）的面積；（2）如圖2，用余下部分的長方形紙板A，在它的四個(gè)角各切去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突起的部分折起，制成一個(gè)無蓋的長方體盒子，如果這個(gè)盒子的底面是長方形，高為a，求盒子的底面積；（3）用余下部分的長方形紙板B，在它的四個(gè)角各切去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突起的部分折起，制成一個(gè)無蓋的長方體盒子，如果這個(gè)盒子的底面是長方形，而且長與寬的比是，求這個(gè)盒子的容積．24．（12分）綜合與探究如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)，，所表示的數(shù)分別為0，1，，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，設(shè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊）．

（1）求的值．（2）在數(shù)軸上有兩點(diǎn)，表示的數(shù)為，，且，求的平方根．（3）現(xiàn)將點(diǎn)向左移動5個(gè)單位長度得到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，在數(shù)軸上是否存在一點(diǎn)所表示的數(shù)，使得．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．參考答案：1．B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，A選項(xiàng)保證被開放式大于等于0，且分母不為0；B選項(xiàng)保證被開放式大于等于0；C選項(xiàng)保證被開放式大于等于0，且分母不為0；D選項(xiàng)保證被開放式大于等于0，且分母不為0，求出x的取值范圍即可．【詳解】解：A.中，的取值范圍是，故此項(xiàng)不符合題意；B.中，的取值范圍是，故此項(xiàng)符合題意；C.中，的取值范圍是，且，故此項(xiàng)不符合題意；D.中，的取值范圍是，故此項(xiàng)不符合題意；故選B．【點(diǎn)撥】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】本題考查了最簡二次根式，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡．熟練掌握最簡二次根式的被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)最簡二次根式的定義進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：是最簡二次根式，故A符合要求；，不是最簡二次根式，故B不符合要求；，不是最簡二次根式，故C不符合要求；，不是最簡二次根式，故D不符合要求；故選：A．3．B【分析】本題主要考查了化簡二次根式，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，實(shí)數(shù)的性質(zhì)等，首先由數(shù)軸可得，然后利用二次根式與絕對值的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴，∴．故選：B．4．B【分析】首先用小剛按程序輸入的數(shù)乘，求出積是多少；然后用所得的積減去，求出輸出的結(jié)果應(yīng)為多少即可．【詳解】解：．故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了二次根式的加減法，解答此題的關(guān)鍵是要弄清楚先求什么，再求什么．5．B【分析】先由已知條件得到m、n的符號，再根據(jù)二次根式的乘除法則化簡計(jì)算即可．【詳解】解：由已知條件可得：m<0，n<0，∴原式====|m|=-m，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的乘除法是解題關(guān)鍵．6．D【分析】由題意知，，由，然后利用不等式的性質(zhì)求解作答即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，即，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了分母有理化，無理數(shù)的估算，不等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于利用分母有理化進(jìn)行化簡．7．C【分析】由圖可知，進(jìn)而根據(jù)平移、絕對值以及化簡二次根式即可得解．【詳解】解：由圖可知，∴，即點(diǎn)P向右平移3個(gè)單位長度不與點(diǎn)Q重合，故A錯(cuò)誤；，∴，故B錯(cuò)誤；∵，∴，∴，即的相反數(shù)的整數(shù)部分為2，故C正確；∵，∴，故D錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)軸、平移、絕對值以及化簡二次根式，熟練掌握數(shù)形相結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)絕對值、二次根式的性質(zhì)化簡、負(fù)指數(shù)冪、去括號合并同類項(xiàng)計(jì)算即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，，，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故該選項(xiàng)正確；D、，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查絕對值、二次根式的性質(zhì)化簡、負(fù)指數(shù)冪、去括號合并同類項(xiàng)，熟記運(yùn)算法則是關(guān)鍵．9．B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可知，即，再由可得x的值，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴且，解得：，∴．故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式有意義和代數(shù)式為0的條件，解得x的取值范圍后得到x的值是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則計(jì)算判斷即可．【詳解】A.，不是互為倒數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.若，由于，則，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.若與是同類二次根式，則與3不一定相等，選項(xiàng)正確；D.由可得，結(jié)合可得，，則，選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟記相關(guān)概念是解題是解題的關(guān)鍵．11．0【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵與都是二次根式，∴∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．12．<<【分析】①對于根式的大小比較，可以兩邊同時(shí)平方，比較平方后的大小即可解決問題；②兩邊同時(shí)求倒數(shù)，比較倒數(shù)的大小，然后即可求得答案．【詳解】解：①左邊，平方后得到數(shù)為：12，右邊，平方后得到數(shù)為：13，，；②左邊求倒數(shù)為，右邊求倒數(shù)為，，．故答案為：①<；②<．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式大小比較，求解此類問題常用的方法有：①取倒數(shù)比較；②分母有理化；③局部放縮比較；④取平方比較；⑤數(shù)形結(jié)合比較，熟練掌握相關(guān)方法是解決本題的關(guān)鍵．13．【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，分母有理化，先對分母有理化得到，再把即可求解，正確求出，再把所求式子變成是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．14．（或或，寫出一種結(jié)果即可）【分析】先利用完全平方公式計(jì)算二次根式的乘法，再計(jì)算二次根式的除法即可得．【詳解】解：①選擇和，則．②選擇和，則．③選擇和，則．故答案為：（或或，寫出一種結(jié)果即可）．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．15．/【分析】根據(jù)“互為友好因式”的概念解答即可．【詳解】解：由題意可得：的“互為友好因式”為：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了定義新運(yùn)算，二次根式的分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的分母有理化的方法．16．16【分析】本題考查了二次根式的化簡，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方以及積的乘方，將原式的分子變形為，即為，變形為，即為，同理將原式的分母中的兩項(xiàng)也變形，變形后分子分母分別提取公因式后約分，最后開方即可得到結(jié)果．【詳解】解：．故答案為：16．17．4【分析】（1）先根據(jù)運(yùn)算程序?qū)懗龆囗?xiàng)式A，再利用提公因式法分解因式即可得到答案；（2）把代入多項(xiàng)式A中，利用平方差公式即可得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得；故答案為：；（2）當(dāng)時(shí)，，故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡求值，因式分解，注意二次根式要先化簡再代入求值．18．/【分析】根據(jù)，依次求出即可解答．【詳解】解：根據(jù)，可得，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的乘法法則，熟練運(yùn)用法則計(jì)算是解題的關(guān)鍵．19．(1)17(2)【分析】（1）先計(jì)算完全平方和二次根式的乘法，再合并同類二次根式即可；（2）先化簡每一個(gè)二次根式，再合并同類二次根式即可；本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的化簡和二次根式乘法法則是解題的關(guān)鍵．注意：最后結(jié)果必須化成最簡二次根式．【詳解】（1）（2）20．(1)(2)1【分析】（1）用完全平方公式展開，再合并即可；（2）將被開方數(shù)變形為完全平方數(shù)，求出算術(shù)平方根，再算乘法．【詳解】（1）解：原式＝；（2）解：原式＝．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式性質(zhì)與二次根式的運(yùn)算法則．21．(1)(2)當(dāng)□表示“÷”時(shí)，算式的結(jié)果要大，理由見解析【分析】（1）先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可；（2）把乘與除分別代入計(jì)算后，再比較大小可得答案．【詳解】（1）解：+－==；（2）當(dāng)□表示“×”時(shí)，+=當(dāng)□表示“÷”時(shí)，+=∴當(dāng)□表示“÷”時(shí)，算式的結(jié)果要大．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的加減及二次根式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是掌握二次根式的相關(guān)運(yùn)算法則．22．(1)BD(2)【分析】（1）根據(jù)計(jì)算過程進(jìn)行求解即可；（2）直接利用乘法分配律把變形為，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：觀察可知把變?yōu)橛玫搅硕胃降幕?，然后把變?yōu)橛玫搅送ǚ?，故答案為：BD；（2）解：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，二次根式的化簡，熟知二次根式的混合計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．23．(1)32(2)(3)【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出算式是解答關(guān)鍵．（1）先求得兩個(gè)小正方形的邊長，進(jìn)而利用長方形的面積公式求解即可；（2）利用長方形紙板的面積減去四個(gè)小正方形的面積即可求得底面積；（3）設(shè)底面長方形的寬為x，長為3x，利用長方體的容積等于長×寬×高求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴留下的部分的面積為；（2）解：由題意，盒子的底面積為；（3）解：設(shè)底面長方形的寬為x，長為3x，由題意，得，∴，∴無蓋的長方體盒子的高為，∴無蓋的長方體盒子的容積為．24．(1)(2)(3)存在點(diǎn)，的值為或【分析】（1）先求解，，結(jié)合條件可得，再化簡絕對值即可；（2）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求解，，再計(jì)算，最后求解平方根即可；（3）先表示點(diǎn)表示的數(shù)，求解，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)，，②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右