大學(xué)高等數(shù)學(xué)知識點整理

公式，用法合集

極限與連續(xù)

一.數(shù)列函數(shù)：

1.類型:

(1)數(shù)列：*""=./(”)；*4+1

(2)初等函數(shù)：

口一J/(幻'Ax。(f(x)x^x0

(3)分段函數(shù)：*LMRX＞與；*Iax=x0;*

⑷復(fù)合(含函數(shù)：y=/(〃)，”=0(x)

(5)隱式(方程)：口(蒼歷=0

x=x(Z)

⑹參式(數(shù)一，二)：

⑺變限積分函數(shù)：尸㈤

00

S(x)=Za,x",xeQ

(8)級數(shù)和函數(shù)(數(shù)一，三)："=?

2.特征(幾何)：

⑴單調(diào)性與有界性(判別);(/(X)單調(diào)AM，(X-X0)(/(X)-/(%))定號)

(2)奇偶性與周期性(應(yīng)用).

3,反函數(shù)與直接函數(shù)：y=/(x)=x=/T(y)ny=/T(x)

二.極限性質(zhì)：

皿立［limalim/'(x)..Hmf(x)、土

nX

1.類型""，'8(含Xf±CO)；*(含x-?x,「)

2.無窮小與無窮大(注：無窮量)：

—,—,10°,00—00,0-co,0°,00°

3.未定型：000

4,性質(zhì)：*有界性，*保號性，*歸并性

三.常用結(jié)論：

mfl,a〃(a>0)f1,(a〃+6"+c〃)"fmax(a,b,c),加(“>°)"°

inln〃x

一(xf0)f8limxx=1lim—x=0lim----=0

xfzo+,x-M?e,X^KOX,

0x-?-oo

ne

XlTi0+mxlnx=O,i1,+00_Xf+oo

四.必備公式：

1.等價無窮?。寒?dāng)0時，

./、「/、，八口/、l-cosw(x)D—w2(x)

sinw(x)□w(x).tanw(x)□w(x).2

eu(J)-lDM(X).ln(l+w(x))D?(x).(l+u(x))a-IDau(x).

arcsinw(x)□M(X).arctanw(x)□w(x)

2.泰勒公式:

ex=1+x-l-^jX2+o(x2)

⑴

ln(l+x)=x-^-x2+o(x2)

⑵

sinx=x--x3+o(x4)

⑶3!

COSX—1---X2H---X，+o(x，)

(4)2!4!

（1+x）a=1+ax+——x2+o（x2）

⑸2!

五.常規(guī)方法：

0coi8..

一，—,1,aM八八0o

前提：口）準(zhǔn)確判斷08（其它如：8一°°,0?8,0，00）；（2）變量代換（如:

1

—=z

x）

,8、

（一）

1.抓大棄小00,

.1八

sm—<l,x—>oo

2.無窮小與有界量乘積（-〃）（注：%）

3.1”處理（其它如：

4.左右極限（包括xf±oo）：

⑴e%xf8）；ex（x—0）；（3）分段函數(shù)：㈤，[x],max/（x）

5.無窮小等價替換（因式中的無窮?。ㄗⅲ悍橇阋蜃樱?/p>

6.洛必達法則

0xlnx..xlnx

—lim------hm------

（1）先"處理",后法則（。最后方法）；（注意對比：1旬17與71-X）

[2]嘉指型處理："（x嚴(yán)=e?）2（如：e，+i—e，=^（*-1））

（3）含變限積分；

（4）不能用與不便用

7.泰勒公式（皮亞諾余項）：處理和式中的無窮小

8.極限函數(shù)：""%分段函數(shù)）

六.非常手段

1.收斂準(zhǔn)則：

4=/（?）=lim/（x）

⑴

aC

(2)雙邊夾：*^n—n—n-f*4$TQ?

(3)單邊擠:%=/&)*%N4?*|，|M"?*f\x)>0?

lim乜^=/Yx)

2.導(dǎo)數(shù)定義(洛必達？)：心一?？诠?/p>

3.積分和「叫心+/($+，-+叫=!>心

4.中值定理：㈣小+少"創(chuàng)=。照/⑹

5.級數(shù)和(數(shù)一三)：

2〃加0°

“、》凡以”=Hma”=0工lim—Ji里(q+%+…+勺)=2>“

(1)"=i收斂-，(如-n)⑵…?=i,

00

⑶與n=i同斂散

七.常見應(yīng)用：

1.無窮小比較(等價，階)：*/(x)口b"，(xr°)?

(1)/(0)=/'(0)=-=/叫0)=0,/伙0)=a。/㈤=解+呢/兄

(2)!>師"應(yīng)

2.漸近線(含斜)：

a=lim,b=lim[/(x)-ax]

(1)X->8XXf8n/(x)Dax+b+a

(2)f(x)=ax+b+a

3.連續(xù)性：(1)間斷點判別(個數(shù))；(2)分段函數(shù)連續(xù)性(附：極限函數(shù)，/'(X)連續(xù)

性)

八.3,加上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

1.連通性：，（口，如=［肛M］（注：VO</1<1,"平均"值：

A/（a）+（l-2）/（6）=/（x0））

2.介值定理：（附：達布定理）

（1）零點存在定理：/（a）/S）<°=/（Xo）=°（根的個數(shù)）；

/。）=0=（1/。）狗'=0

⑵J。

第二講：導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用（一元）（含中值定理）

一,基本概念：

/（x<Jx）-/（x）lim〃x）-/（X。）

1.差商與導(dǎo)數(shù)：./（x）="i。Dx；/（Xo）=iMX-Xo

/'（O）=limf（x）—八°）1而儂=%（/

⑴.7x（注：*f°x連續(xù)）n/（O）=0,/（0）=/）

⑵左右導(dǎo)：f（/）,A（xo）；

（3）可導(dǎo)與連續(xù)；（在*=（）處，國連續(xù)不可導(dǎo)；小可導(dǎo)）

2,微分與導(dǎo)數(shù)：□/=/（x40x）-/（x）=/（x）Dx+o（Dx）=>/'=/,（x）t/r

⑴可微o可導(dǎo)；（2）比較2；可與"0"的大小比較（圖示）；

二.求導(dǎo)準(zhǔn)備：

1.基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式；（注：（火刈八

dx_1

2.法則：⑴四則運算；（2）復(fù)合法則；（3）反函數(shù)辦1

三.各類求導(dǎo)（方法步驟）：

,11m/（x+?-/（x—力）

1.定義導(dǎo)：⑴/'⑷與/'（X）La；⑵分段函數(shù)左右導(dǎo)；（3）…h(huán)

/（X）=/（X）“AX。

（注：Ia'》=包求：/'（Xo）J'（x）及/'（X）的連續(xù)性）

2.初等導(dǎo)（公式加法則）：

⑴必=/[g（x）l求:以。）（圖形題）;

（2）尸（加工“城求：叫x）（注：（J"（?町，（“（,）町，

ZWx<x0

⑶I僅X）xNXo,求￡（%）,工（%）及./'（X。）（待定系數(shù)）

（fyd2y

3,隱式（/。/）=。）導(dǎo)：及'石7

（1）存在定理；

（2）微分法（一階微分的形式不變性）.

（3）對數(shù)求導(dǎo)法.

X=X（t）Jy42y

4.參式導(dǎo)（數(shù)一，二）：b=y?）,求：&dx，

5.高階導(dǎo)/⑺（X）公式：

（1）（"）=尸爪

d嚴(yán)=ad；a』（a-bx）n+'.

（sinax）（n}=ansin（ar+—x〃）（cosax）（n>-a"cos（ax+—x”）

2>2

（我嚴(yán)=〃叫+C〃g）P+C1g）p+...

/⑸（0）

ax

注：/⑺（°）與泰勒展式：/（X）=/+\+a2x2+---+a“x”+…n4,一疝

四.各類應(yīng)用：

1.斜率與切線（法線）;（區(qū)別：y=〃x）上點必。和過點必。的切線）

2.物理：（相對）變化率-速度；

P=y73

3.曲率（數(shù)一二）：M+/'-（x））‘（曲率半徑，曲率中心，曲率圓）

4.邊際與彈性（數(shù)三）：（附：需求，收益，成本，利潤）

五.單調(diào)性與極值(必求導(dǎo))

1.判別(駐點/'(Xo)=°)：

⑴/V)>O=>/(x)D./(x)WOn/(x)口;

(2)分段函數(shù)的單調(diào)性

⑶/'(x)>°=>零點唯一；尸'(》)>°=駐點唯一(必為極值，最值).

2.極值點：

.小Uo,Hm告豐0,lim

⑴表格(/'(X)變號)；(由Xf,國』X的特

點)

(2)二階導(dǎo)(/(％)=0)

注⑴/與/'，/”的匹配(/'圖形中包含的信息)；

⑵實例:由73+a(x)/a)=g(x)確定點“xf”的特點.

(3)閉域上最值(應(yīng)用例：與定積分幾何應(yīng)用相結(jié)合，求最優(yōu))

3.不等式證明(〃x)N0)

(1)區(qū)別：*單變量與雙變量？*xeM句與xe[a,+oo),xe(-<?,+oo)?

⑵類型：*/'NQ,f(a)>0.*/,<Q,f(b)>0

*/"<0,f(a),f(h)>0.*f"(x)>0,/Vo)=O,f(xo)>0

(3)注意：單調(diào)性十端點值十極值十凹凸性.(如：/(》)4例=./_。)=")

4.函數(shù)的零點個數(shù)：單調(diào)十介值

六.凹凸與拐點(必求導(dǎo)!)：

1.表格；(/"(%)=0)

2.應(yīng)用:⑴泰勒估計；(2).尸單調(diào)；(3)凹凸.

七.羅爾定理與輔助函數(shù)：(注：最值點必為駐點)

1,結(jié)論：b?=/(a)nb'G)=/C)=0

2.輔助函數(shù)構(gòu)造實例：

⑴/記)=如)=1>勸

⑵/'C)gC)+/C)gG)=0=>F(X)=/(x)g(x)

，&)g④-/d)g&)=0=>F(x)=要

⑶g(x)

(4)/&)+4G)/(J)=0=b(x)=e^(X)dXf(x).

3./⑺⑹=0=/(x)有〃+1個零點=/("T)(x)有2個零點

4.特例：證明/⑺C)=a的常規(guī)方法：令/&)=/(》)_月&)有〃+1個零點(匕CO

待定)

5.注：含量房時，分家!(柯西定理)

6.附(達布定理)：在［“力］可導(dǎo),(磯Me［a,6］使:

/M)=c

八.拉格朗日中值定理

1.結(jié)論:fS)-f(a)=f\^)(b-a).((p(a)<(p(b)=>監(jiān)3>0)

2.估計:口/=/&加

九.泰勒公式(連接/J'J"之間的橋梁)

112

1i/(xX/aoH/'GXxToH百/"(x0)(x—X°)02+方/"G)(x—X0)3

1，口花：乙3?；

2.應(yīng)用：在已知/(幻或"3值時進行積分估計

十.積分中值定理(附：廣義)：［注：有定積分(不含變限)條件時使用］

第三講：一元積分學(xué)

一.基本概念：

1.原函數(shù)/⑶：

⑴F'(x)=/(x).(2］f(x)dx=dF(x).⑶f/U)^=F(x)+c

注⑴/0）=工"叫連續(xù)不-定可導(dǎo)）;

⑵⑺"n/嗎/（X）連續(xù)）

2.不定積分性質(zhì)：

⑴(J/(x>M'=/(x).d[^f{x}dx)=f{x}dx

⑵J/'(x)&=/(x)+c,J/'(x)=/(x)+c

二.不定積分常規(guī)方法

1.熟悉基本積分公式

2.基本方法：拆(線性性)

J("(x)+k2g(x))dx=町f(x)dx+無2Jg(x)dx

3.湊微法(基礎(chǔ)):要求巧，簡，活(1=sin2x+cos2x)

11_(Jxdxi-"

辦=-d(or+6),xdx=—dx1,—=dlnxf,'~/='=2d<x

如：a2x7x

X2

tdx-d飛\+x,(1+Inx)dx=d(xInx)

VI+X2

4,變量代換：

x=sinI,dax+b=t9—=t,Je"+1=

（1）常用（三角代換，根式代換，倒代換）:x

（2）作用與引伸（化簡）：4^±i-x=t

5.分部積分（巧用）：

Inx,arctanx,[f(t)dt

[1）含需求導(dǎo)的被積函數(shù)（如3a)；

⑵"反對塞三指"：卜”葉辦，jx"Inx^

⑶特別：IV（外公（*已知/（X）的原函數(shù)為F（x）.*已知/,U）=F（x）j

f4sinx+b[cosx

6,特例：(1)Jasinx+Acosx；(2)]。(幻*曲，/P(x)sm?曲快速法；?)

Ju"(x)

三.定積分：

1.概念性質(zhì)：

(1)積分和式(可積的必要條件：有界，充分條件：連續(xù))

(2)幾何意義(面積，對稱性，周期性，積分中值)

J：1ax-X?t/r(a>0)=^a2/(x-^^)dx=0

M-

If(x)dx<M(h-a)J：f(x)g(x)dx<A/￡|g(x)|tZr

⑶附：J")

(4)定積分與變限積分，反常積分的區(qū)別聯(lián)系與側(cè)重

2：變限積分①㈤=J*'城的處理(重點)

(1)/可積=>①連續(xù)，/連續(xù)=>①可導(dǎo)

⑵(￡7(。力)：/(x).([(X-”(/城)'=[/(。力。(xW/=(X-4)/(X)

(3)由函數(shù)"㈤4/⑴”參與的求導(dǎo)，極限，極值，積分(方程)問題

3.N-￡公式：J/(x)⑥"3)一/‘(")("⑶在口，加上必須連續(xù)!)

注：(1)分段積分，對稱性(奇偶工周期性

(2)有理式，三角式，根式

⑶含曲的方程.

4,變量代換⑷力

￡f(x)dx=￡f(a-x)dx{x=a-t)

⑴

⑵￡/(用去=奴x=T)=J；[/(x)+/(r)%如：砧*

⑶。=尸sin"Mr=—/〃：

⑷J?/Sinx)dx=[2/(cosx)dxP/(sinx)dx=2p/(sinx)dx

￡xf(sinx)dx=yjo/(sinx)dx

5.分部積分

(1)準(zhǔn)備時“湊常數(shù)"

(2)已知/'(x)或，(x)=J“時，求J

6.附：三角函數(shù)系的正交性：

「2”.廣2”「2”.

sinnxdx=cosnxdx=Isinnxcosmxdx=0

'oJoJo

r2tr..12尸

J。sinnrsinmxdx=cosnxcosmxdx(nw)=0

「2川.2.2死2

sinnxdx=cosnxdx=虱

'oJo

四.反常積分:

1.類型：⑴）〃x）血￡/（x）血匚/（X%/"）連續(xù)）

（2）J/（x）笈：（/（x）在x=a,x=b,x=?a<c<b）處為無窮間斷）

2.斂散；

3.計算：積分法十N-/,公式十極限（可換元與分部）

4特例：⑴）x"；（2）2

五.應(yīng)用：（柱體側(cè)面積除外）

1.面積，

⑴s=f[/(x)-g(x)核;s=f-\yydy

⑴Ja(2JJc;

⑶叱⑷側(cè)面機s=J：2〃(x)gE

2.體積：

⑴匕="f〔"幻一8二切的⑵匕=萬『[廣(州20=2%，^(》)西

⑶匕-與與匕-%

3,弧長：杰='@>+3)2

⑴y=/(x),xe[a,h]s=￡^+f'\x)dx

[x=x(t)/____________

⑵1產(chǎn)v(/)'te[tMs=J：")+/(/)力

s=

⑶r=r⑼,0G[a,ft].Ja]，(&)+r@⑻dd

4.物理(數(shù)一，二)功，引力，水壓力，質(zhì)心，

5.平均值(中值定理)：

—1pb

f[a,b]=-—[f(x)dx

(1)b-aia-

-[：f⑴di_1/(/)力

/[0+oo)=lim—......f=------

(2)'x,(■/以T為周期：T]

第四講：微分方程

一.基本概念

1.常識：通解，初值問題與特解(注：應(yīng)用題中的隱含條件)

2.變換方程：

⑴令x=x(/)ny="分"(如歐拉方程)

(2)令“=u{x,y)=>y=y(x,u)n_/(如伯努利方程)

3.建立方程(應(yīng)用題)的能力

二.一階方程:

1.形式：⑴y'=f(x,y).(2)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.f3jy(a)=b

2.變量分離型：y'=/(x)g(y)

f-77=\f{x}dxnG(y)=F(x)+C

⑴解法：g")'

包=/（x，y）

（2）“偏”微分方程：去力

3.一階線性（重點）：y'+P（x）y=q（x）

1./、1P(x)山1rx

M(x)=e=>y=-------[|A/(x)9(x)d!r4-yl

⑴解法(積分因子法)：M(X)L^如n

[2]變化：x'+My)x=g(y)；

（3］推廣：伯努利（數(shù)一）y，+p（x）y=虱叨0

八①（4

4.齊次方程:X

y,-rdurdx

u=—=>u+xu=①(z〃x)，-------=—

j

(1)解法：xJ<D(U)-Mx

dy_平+g+q

a

(2)特例：烝2^+b2y+c2

dN_dM

5.全微分方程(數(shù)一)：”(蒼夕)公+'(》/)a=。且dxdy

dU=Mdx+Ndy=U=C

0y=cax

y—ay=<n

xnx

6.一階差分方程(數(shù)三)：*'M'p(x)yx=xQ(x)b

三.二階降階方程

1.y"=f(x).y=F(x)+cyx+c2

2.令廣p（x0"=筌""）

?〃.y'=p(y)ny"=p?=f(y,p)

3.V/V/)：令dy

四.高階線性方程：a（x）y"+h（x）y'+c（x）y=/。）

i.通解結(jié)構(gòu)：

⑴齊次解：為（x）=《必（x）+c2y2（x）

（2）非齊次特解：y（x）=q%（x）+C2M（x）+_y*（x）

2.常系數(shù)方程:ayn+by'+cy=f（x）

（1）特征方程與特征根：。%+g+。=0

（2）非齊次特解形式確定：待定系數(shù)；（附：/（X）=加”的算子法）

（3）由已知解反求方程.

22n

3.歐拉方程（數(shù)一）:axy"+bxy'+cy=f（x）i令x^e'=>xy=D（D-l）y,xy'=Dy

五.應(yīng)用（注意初始條件）：

1.幾何應(yīng)用（斜率，弧長，曲率，面積，體積）；

注：切線和法線的截距

2.積分等式變方程（含變限積分）；

可設(shè)￡/U）^=F（x）,F（a）=O

3.導(dǎo)數(shù)定義立方程：

含雙變量條件/（x+y）h-的方程

4.變化率（速度）

dQdP

6.路徑無關(guān)得方程（數(shù)一）：&如

7.級數(shù)與方程：

(1)幕級數(shù)求和;(2)方程的幕級數(shù)解法：尸/+平+生/+…,4=丁(0)M=)(0)

8.彈性問題(數(shù)三)

第五講：多元微分與二重積分

一.二元微分學(xué)概念

1.極限，連續(xù)，單變量連續(xù)，偏導(dǎo)，全微分，偏導(dǎo)連續(xù)(必要條件與充分條件)，

⑴2V=/(/短蒼比向丁)，AJ=/(Xo向范凡)，與/=/(工0，及山7)

(2)2Ay

df

fxUx+fynyUdf,lim^~2

(3)《lx)+(Py)(判別可微性)

注：(°，°)點處的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的極限定義：

，(0,0)=呵小如幽"小=而出也3

XTOxy->0y

2.特例：

孫

f(x,y)=\x2+y2*(0,0)

⑴0，=(°，°):(°。點處可導(dǎo)不連續(xù);

(°，0)點處連續(xù)可導(dǎo)不可微;

二.偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計算:

1.顯函數(shù)一，二階偏導(dǎo)：z=/(x,y)

注:⑴#型;(2)4(X0，%)；(3)含變限積分

2.復(fù)合函數(shù)的一，二階偏導(dǎo)(重點)：z=/[〃(xj),v(x,y)]

熟練掌握記號fl，A'￡1，/2,人2的準(zhǔn)確使用

3.隱函數(shù)(由方程或方程組確定)：

R（x,y,z）=O

⑴形式：*b（xj，z）=O；*[G（x,y,z）=O（存在定理）

（2）微分法（熟練掌握一階微分的形式不變性）："&+%4+Ez=°（要求：二階

導(dǎo)）

（3）注：（/Jo）與Z。的及時代入

（4）會變換方程.

三.二元極值（定義?）;

1.二元極值（顯式或隱式）：

（1）必要條件（駐點）;

（2）充分條件（判別）

2.條件極值（拉格朗日乘數(shù)法）（注：應(yīng)用）

（1）目標(biāo)函數(shù)與約束條件：z=/（x,y）十0（xj）=O,（或：多條件）

（2）求解步驟：“X/,㈤=/（》/）+7。（蒼?。?，求駐點即可.

3.有界閉域上最值（重點）.

⑴z=J\x,y）&MeO={（x,y）M（x,y）WO}

（2）實例：距離問題

四.二重積分計算：

1.概念與性質(zhì)C,積"前工作）：

⑴。，

（2）對稱性（熟練掌握）:*。域軸對稱；*/奇偶對稱；*字母輪換對稱；*重心坐

標(biāo)；

⑶“分塊"積分：*°=AU%*/*,））分片定義；*/*,））奇偶

2.計算（化二次積分）：

[1]直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)選擇（轉(zhuǎn)換）：以“為主；

[2]交換積分次序（熟練掌握）.

3.極坐標(biāo)使用(轉(zhuǎn)換)：/(K+V)

,o,D—+—<1

附：O:(x—a)+(y-b)<R.2b2-.

雙紐線(x2+/)2=a2(x2-/)。:W+?|wi

4.特例：

⑴單變量：/(X)或，(負

\\(k}x+k2y)dxdy

(2)利用重心求積分：要求：題型n,且已知。的面積與與重心

(x,y)

5.無界域上的反常二重積分(數(shù)三)

f/(Af)t/o-=>Q:D;Q;￡;T;Z

五：一類積分的應(yīng)用(力):

JjdbO，

L“尺寸”：(1)?；(2)曲面面積(除柱體側(cè)面)；

2.質(zhì)量，重心(形心)，轉(zhuǎn)動慣量；

3.為三重積分，格林公式，曲面投影作準(zhǔn)備.

第六講：無窮級數(shù)(數(shù)一，三)

一.級數(shù)概念

yn

1.定義:⑴也｝,(2)S0=6+%+…+4；⑶(如”=|(〃+1)!)

注:⑴〃型4;(2)(或乙叫;⑶"伸縮"級數(shù)：24+「。")收斂O&}收

斂.

2.性質(zhì)：(1)收斂的必要條件：！變""二°；

(2)加括號后發(fā)散，則原級數(shù)必發(fā)散(交錯級數(shù)的討論);

⑶S2“->s,勺-0=$2〃+1Tsns「s；

二.正項級數(shù)

1.正項級數(shù)：⑴定義：N°;（2）特征：S”口；⑶收斂=S”4”（有界）

1In??1

2.標(biāo)準(zhǔn)級數(shù)：（1）乙〃"，（2）乙，（3）"心〃

3.審斂方法：（注：2"4a2+",—=陰。）

°n_L/>P（"）

⑴比較法（原理）：/々（估計）如乙。（〃）

lim^^-..I-

（2）比值與根值：*與*加卯"（應(yīng)用：幕級數(shù)收斂半徑計算）

三.交錯級數(shù)（含一般項）：2（-1廣4（4>°）

1."審"前考察：⑴%>0?（2）""7°?；⑶絕對（條件）收斂？

lim—=p>l_

注：若…4，則工明發(fā)散

y（-i）n+i-y（-i）n+,—y（_i）"+'_JL

2.標(biāo)準(zhǔn)級數(shù)：（1）乙〃；（2）乙〃°;（3）乙心〃

3.萊布尼茲審斂法（收斂？）

（1）前提：力發(fā)散；（2）條件：4。％⑶結(jié)論：Z（T）'"&條件收斂.

4.補充方法：

[1]加括號后發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散；（2）$2〃-S，4-o=$2"fsn

5.注意事項：對比Z%；￡（T）Z；Z⑷；Zd之間的斂散關(guān)系

四.幕級數(shù)：

1.常見形式：

⑴E",（2）2勺（XT。）",（3）Z（（x-Xo）2"

2.阿貝爾定理：

⑴結(jié)論：X=X*斂nR#—4x=x*散亦一可

(2)注：當(dāng)x=x*條件收斂時=&=k一"I

3,收斂半徑，區(qū)間，收斂域(求和前的準(zhǔn)備)

注⑴X"。"’2言與同收斂半徑

⑵工耳，與WX(x-xo)2”之間的轉(zhuǎn)換

4.塞級數(shù)展開法：

(1)前提：熟記公式(雙向，標(biāo)明斂域)

1,1,

ex=l+xH—-x3+???,f2=7?

2!3!

-(ex+e-x)=l+—x12+—x4+—,Q=7?

22!4!

—(ex—e-JC)=x+—x3+—x5+'",f^=^

23!5!

sinx=x---x3H—x5—,?,,。=Rcosx=1---x24—x44-?,?,￡2—7?

3!5!2!4!.>

11

----=1+X+X74~?,,,X€(—1,1)-----1—XX7—,,?,%￡(—1,1)

I；1+x

11,

In(l-i-x)=x-^-x29-F—x3---,xe(-l,l]

ln(l-x)=-x--^x2---,xe[-l,l)

13154?n

arctanx=x——x+—x---,xer-1,1

35

]_

(2)分解：〃x)=g(x)+h(x)(注：中心移動)(特另ij：ax2+bx+c，X-X°]

⑶考察導(dǎo)函數(shù)：g(x)U/'(x)n/(x)=￡g(x岫+八°)

⑷考察原函數(shù)：嶺)匚J。/("=/(x)=g'(x)

5.幕級數(shù)求和法(注：*先求收斂域，*變量替換)：

⑴S(x)=X+X,

(2)S'(x)=-，(注意首項變化)

(3)S(x)=(?,

(4)S(x)n"S(x)"的微分方程

⑸應(yīng)用：=S(x)=w⑴.

6.方程的幕級數(shù)解法

7.經(jīng)濟應(yīng)用(數(shù)三)：

(1)復(fù)利：*+P)"；⑵現(xiàn)值：川+0廠

五.傅里葉級數(shù)(數(shù)一)：(7'=2萬)

S(x)=—+Vtzncosnx+bnsinnx

1.傅氏級數(shù)(三角級數(shù))：2?=i

2.Dirichlet充分條件(收斂定理):

⑴由/(x)=S(x)(和函數(shù))

S(x)=4/(x_)+/(x+)]

⑵2

11

?〃二一f(x)cosnxdx

1”TTJr

?o=-Jf(x)dx,.:,〃=1,2,3,…

nj1”

bn=-\/(x)sinnr^Zr

3.系數(shù)公式：冗J*

4.題型：(注：/(x)=5(x),xe?)

(1)7'=2%且/(x)=…，xe(-肛幻(分段表示)

(2)xe(一萬，萬]或xe[0,2萬]

(3)xe[0,加正弦或余弦

*(4)xe[0/](7'=乃)

*5,7=2/

5(x)=—+Vacosnx+hsinnx

6.附產(chǎn)品：/(、)=2占"

/]00

nS（x。）=寸+2%cosnx0+bnsinnx0=l[/（x0-）+/（x0+）]

乙n=\2

第七講：向量，偏導(dǎo)應(yīng)用與方向?qū)В〝?shù)一）

一.向量基本運算

1.占。+&2，；（平行<=>6=AaJ

|-|。=曰?？冢╟osa,coscos/）

2.代（單位向量（方向余弦）同）

__飽=臀___

3.。4;（投影：四；垂直：a_Lloai=0；夾角:

4.axb；（法向：n=axbla,b,面積：S=卜'%

二.平面與直線

1.平面n

⑴特征(基本量)：M0(x0,y0,z0)en=(A,B,C)

Ax

(2)方程(點法式)：^-(-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=Q^Ax+By+Cz+D=O

xyz

⑶其它：*截距式abc；*三點式

2.直線L

⑴特征(基本量)：%(Xo，%，Zo)十G=(“,〃,p)

xx

L.-o_y-y0=z-z0

(2)方程(點向式)：,加〃P

4x+4y+C]Z+2=0

<

(3)一般方程(交面式)：[4工+32歹+。22+4=0

(4)其它：*二點式;*參數(shù)式;(附：線段AB的參數(shù)表示：

x=a]+(出一

■y=b1+(b2-h])t,te[O,\]

z=cl+(c2-ci)t)

3.實用方法：

⑴平面束方程：萬：A,x+B]y+Clz+D,+A(A2x+B2y+C2z+D2)=0

d_\-^o+Byo+CzQ+

(2)距離公式：如點”。(/，盟)到平面的距離y/A2+B2+C2

⑶對稱問題;

(4)投影問題.

三.曲面與空間曲線(準(zhǔn)備)

1.曲面

⑴形式E：尸(x/,z)=°或z=/(x,y)；(注：柱面/(x,y)=O)

(2)法向〃=(%，%，￡)=>(cosa,cos#,cosy)(或n=(-zx,-zy1^

2.曲線

X=x(t)

r[尸(x,y,z)=0

(1)形式〔z=z"或[G(x,y,z)=Q.

(2)切向：s={x")，1/(/)*'?)}(或s=〃|X“2)

3.應(yīng)用

(1)交線，投影柱面與投影曲線；

(2)旋轉(zhuǎn)面計算：參式曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)；

[3]錐面計算.

四.常用二次曲面

1.圓柱面:x2+y2=R2

2.球面：x2+y2+z2^R2

變形：f+爐=*_，，z=J/?2_,+/),

2222222

x+y+z=2az,(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=R

3.錐面:z=&+y2

變形：x2+y2=z2,z=a-ylx2+y2

22

4.拋物面：z=x+y,

2222

變形：x+y^Z)z^a-(x+y)

5.雙曲面：x2+y2=z2±}

22

6.馬鞍面：z=x-y,或z=xy

五.偏導(dǎo)幾何應(yīng)用

1.曲面

(1)法向："(x,y,z)=O=>〃=(%%,￡),注：z=/(")=>5=(￡/-1)

(2)切平面與法線：

2.曲線

⑴切向：x=xa)/=，(/)，z=z(/)ns=-z)

(2)切線與法平面

/=0

3.綜合：「：［G=0,S=^X^

六.方向?qū)c梯度(重點)

1.方向?qū)?7方向斜率)：

(1)定義(條件):/=(m,n,p)=^>(cosa,cosJ3,cos/)

du

⑵計算(充分條件：可微)：方=%c°sa+"尸尸+『叼

dz

，/、而，/1?=>—=fcos0+fsin0

附：z=f(x,y),I={cos0,sin0}譏x

⑶附.箓=幾c°s"+sin0cos。+啟si"0

2.梯度（取得最大斜率值的方向）否:

⑴計算：

(a)z=f(x,y)=>G=gradz=(</)；

S)〃=f(x,y,z)=>G=gradu=(ux,uy,uz)

（2）結(jié)論

du

(?)SF-G-75；

3）取7=己為最大變化率方向;

（C）|G（K>）|為最大方向?qū)?shù)值.

第八講：三重積分與線面積分（數(shù)一）

一.三重積分（"J/

1.。域的特征（不涉及復(fù)雜空間域）：

（1）對稱性（重點）：含：關(guān)于坐標(biāo)面；關(guān)于變量；關(guān)于重心

（2）投影法:與={。，刃卜2+5'*}十zG，y）"z4z2（x,y）

⑶截面法：0（z）={（XJ）,+必〈及⑶}@a<z<h

（4）其它：長方體，四面體，橢球

2./的特征:

x22222

⑴單變量(2)f(+y),(3)f(x+y+z)t(-4)f=ax+by+cz+d

3.選擇最適合方法:

nr積"前：*%；*利用對稱性(重點)

/=JaJJfdxdy

(2)截面法(旋轉(zhuǎn)體)：“D⑺(細腰或中空，/(z),/(/+/)J

，=齷畋:；a

⑶投影法(直柱體)：%

(4)球坐標(biāo)(球或錐體)「=(呵:.。呵；7(…)四。

⑸重心法(f=ax+by+cz+dyI=(ax+by+cz+d)Vn

4.應(yīng)用問題：

(1)同第一類積分：質(zhì)量，質(zhì)心，轉(zhuǎn)動慣量，引力

(2)G的ss公式

14s

二.第一類線積分(力)

1."積"前準(zhǔn)備：

\ds=L

⑴L-⑵對稱性；⑶代入"L"表達式

，”?/e口向nJf/(%(/),y(/))Jx"(/)+-“(/)力

2.計算公式：1=%)；ia

3.補充說明：

^(ax+by+c)ds-{ax-^-by+c)L

(1)重心法:

|A-rds=\A-dr

(2)與第二類互換：：?./.

4.應(yīng)用范圍

口)第一類積分

\z(x,y)ds

(2)柱體側(cè)面積/.

三.第一類面積分（"Ms）

1.“積”前工作（重點）：

JffZS'=S

（I）1；（代入Z：尸（x,y,z）=o）

（2）對稱性（如：字母輪換，重心）

（3）分片

2.計算公式：

z=z（x,y）,（x,y）e與n/=jjf（x,y,z（x,y^l+zj+z^dxdy

⑴%

吐酒=?曲

（2）與第二類互換：女x

\p（x,y）dx+Q[x,y）dy

四：第二類曲線積分（1）:7（其中￡有向）

x=x"），

1,直接計算：/產(chǎn)r"2）+如（陽

常見（1）水平線與垂直線；（2）/+爐=1

2.Green公式:

中產(chǎn)益+%=!!（祟-%dxdy

⑴如

（2）〃之為:*如Sy換路徑；*如dy圍路徑

⑶七（&=弓但。內(nèi)有奇點）中%變形）

dPdQ

3.推廣（路徑無關(guān)性）：如力

<=>

（1）9+Q4="〃（微分方程）（道路變形原理）

\p(x,y)dx-^Q(x,y)dy

［2］與路徑無關(guān)(/待定］：微分方程.

4.應(yīng)用

I=\F-dr____

功(環(huán)流量)：r(「有向丁，尸=(P,Q,R),"=加$=3,改，龍))

五.第二類曲面積分：

ffPdydz+Qdzdx+Rdxdy\\R{x,y,z）dxdy

1.定義:￡,或i（其中￡含側(cè)）

2.計算:

ffR(x,y,z)dxdy

⑴定向投影(單項)：x，其中Z：z=z(x,y)(特別：水平面);

注：垂直側(cè)面，雙層分隔

⑵合一投影（多項，單層）：〃=（W，-z,,l）

njjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ[P（-z*）+0（-z，）+R]dxdy

（3）化第一類（￡不投影）：〃=（cosa,cos/,cos外

=>j|Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ（Pcosa+Qcos/3+Rcosy}dS

￡

3.Gauss公式及其應(yīng)用：

力.竺+駕空

(1)散度計算：為如8z

（2）Gauss公式：￡封閉外側(cè)，。內(nèi)無奇點

0Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=jjjdivAdv

Q

IXf+f1f,;*封閉曲面變形rf9f(含奇點)

(3)注：*補充"蓋"平面:

4.通量與積分：

①_

L(￡有向J,4,4=溫5=(◎血或公,信功))

fP{x,y,z）dx+Q（x,y,z）dy+R（x,y,z）dz

六：第二類曲線積分（2）:；

i.參數(shù)式曲線r：直接計算（代入）

一一/=\Fdr

注⑴當(dāng)尸o〃=0時，可任選路徑；（2）功（環(huán)流量）：?

2.Stokes公式：（要求：「為交面式（有向），所張曲面E含側(cè)）

-ddd

R=VXA=（—L,—）X（P,Q,R）

⑴旋度計算：dxdydz

F=0

<n_t

（2）交面式（一般含平面）封閉曲線：1G=°同側(cè)法向〃={%，％，￡}或

&Gy,G}

）

（3）Stokes公式（選擇）：r工

[[Pdydz+Qdzdx+Rdxdy[fR(x,y,z)dxdy[ffdS

(為化為i；(力化為i;(c)化為士

高數(shù)重點知識總結(jié)

1、基本初等函數(shù)：反函數(shù)（y=arctanx）,對數(shù)函數(shù)（y=lnx）,幕函數(shù)（y=x）,指數(shù)

函數(shù)（歹="）,三角函數(shù)（y=sinx）,常數(shù)函數(shù)（y=c）

2、分段函數(shù)不是初等函數(shù)。

X2+X..X,