三觀一統(tǒng)2020年高中數(shù)學(xué)十年高考真題精解（全國卷I）

專題8立體幾何（文）

十年樹木，百年樹人，十年磨一劍。本專輯按照最新2020年考綱，對近十年高考真題精

挑細(xì)選，去偽存真，挑選符合最新考綱要求的真題，按照考點/考向同類歸納，難度分層精析，

對全國卷I具有重要的應(yīng)試性和導(dǎo)向性。

三觀指的觀三題（觀母題、觀平行題、觀扇形題），一統(tǒng)指的是統(tǒng)一考點/考向，并對十

年真題進行標(biāo)灰（調(diào)整不考或低頻考點標(biāo)灰色）。

（一）2020考綱

考點2020考綱要求

空間幾何體認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)

構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活

中簡單物體的結(jié)構(gòu)

能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、

圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能

識別上述三視圖所表示的立體模型，會用

斜二測法畫出它們的直觀圖

會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡

單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解龍劍

圖形的不同的表示形式

會畫某些建筑物的視圖與直觀圖

了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積

的計算公式

點、直線、平面之間的位置關(guān)系理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并

2

了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理

以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，

認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)

性質(zhì)和判定定理

能夠運用公理、定理和己經(jīng)獲得的結(jié)論證

明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題

（二）本節(jié)考向題型研究匯總

題型考向考點/考向

空間幾何體之三視圖由三視圖求空間幾何體的體積和表面積

由三視圖求空間幾何體的最長邊長

由三視圖求空間幾何體的邊長

空間幾何體之外接球、內(nèi)接球由空間幾何體求外接球、內(nèi)接球的體積和表面積

由外接球、內(nèi)接球求幾何體的體積和表面積

空間幾何體的體積空間幾何體的體積問題

點到面的距離問題點到面的距離問題

直線和平面、平面和平面平行的判定和直線和直線的平行的性質(zhì)

性質(zhì)

直線和平面的平行的性質(zhì)

平面和平面的平行的性質(zhì)

直線和平面、平面和平面垂直的判定和直線和直線的垂直的性質(zhì)

2

性質(zhì)直線和平面的垂直的性質(zhì)

平面和平面的垂直的性質(zhì)

一、考向題型研究一：空間幾何體之三視圖

三觀真題》

期母題）

（2018新課標(biāo)I卷T7理科）某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖.圓柱表面上的點在

正視圖上的對應(yīng)點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應(yīng)點為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，

最短路徑的長度為

A,□______,口_________

A.2V17B.2V5C.3D.2

【答案】B

【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點M和點N在圓柱上所處的位置，點M在上底面

上，點N在下底面上，并且將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪，點M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點

處，根據(jù)平面上兩點間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.

詳解：根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，

可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對

角線的端點處，

所以所求的最短路徑的長度為V42+22=2逐，故選B.

點睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需要明

2

確兩個點在幾何體上所處的位置,再利用平面上兩點間直線段最短，所以處理方法就是將面切開平鋪,

利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.

（觀平行題）

（2016新課標(biāo)I卷T6理科）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的

半徑.若該幾何體的體積是空巴，則它的表面積是

3

(A)17〃(B)18?(C)20乃(D)28乃

【答案】A

【解析】原立體圖如圖所示:

是一個球被切掉左上角的工后的三視圖

8

7

表面積是-的球面面積和三個扇形面積之和

8

71

S=—X4TIX291+3X—?X292=17?

84

故選A.

2

（2015新課標(biāo)I卷T11理科）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該

幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20%,則r=（）

(A)1(B)2(C)4(D)8

【答案】B

【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r,

圓柱的高為2r,其表面積為+乃廠義2r+7?■產(chǎn)+2廠義2r=5萬r+4產(chǎn)=16+20萬，解得尸2,故

選B.

【點睛】簡單幾何體的三視圖；球的表面積公式、圓柱的測面積公式

（2013新課標(biāo)I卷T8理科）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）.

A.16+871

2

B.8+871

C.16+16兀

D.8+16兀

【答案】A

【解析】由三視圖可知該幾何體為半圓柱上放一個長方體，由圖中數(shù)據(jù)可知圓柱底面半徑廠=2,長為

4,在長方體中，長為4,寬為2,高為2,所以幾何體的體積為b+4義2'2=8無+16.故選A.

2

（觀扇形題）

（2017新課標(biāo)I卷T7理科）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直

角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯

形，這些梯形的面積之和為（）

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

【分析】由三視圖可得直觀圖，由圖形可知該立體圖中只有兩個相同的梯形的面，根據(jù)梯形的面積公

式計算即可

【解析】解：由三視圖可畫出直觀圖，

該立體圖中只有兩個相同的梯形的面，

S梯形二工X2X（2+4）=6,

2

2

.?.這些梯形的面積之和為6x2=12,

故選：B.

【點睛】本題考查了體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題

（2015新課標(biāo)I卷T11文科）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾

何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20萬，則r=（）

正視圖俯視圖

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

【解析】解：由幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖可知，

截圓柱的平面過圓柱的軸線，

該幾何體是一個半球拼接半個圓柱，

其表面積為：—x4^r2+—xnr1+—x2rxInr+2rx2r+—xTir1=5^r2+4r2，

2222

2

又該幾何體的表面積為16+20萬，

;.5萬/+4/=16+20萬，解得廠=2,

故選：B.

（2014新課標(biāo)I卷T12理科）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,

則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）

67264724

【答案】B

【分析】畫出圖形，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)求出棱長，推出結(jié)果即可

【解析】解：幾何體的直觀圖如圖：AB=4,BD=4,C到BD的中點的距離為：4,

,BC=CD=I22+42=2近?AC=J42+（2正）2=6,AD=4?,

顯然AC最長.長為6.

故選：B.

2

B

【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的棱長，考查計算能力

（2013新課標(biāo)I卷T11文科）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）.

A.16+84B.8+8不C.16+164D.8+16%

【解析】該幾何體為一個半圓柱與一個長方體組成的一個組合體.

V半圓槎=—兀x2?x4=8兀,

V長方體=4x2x2=16.

所以所求體積為16+8兀故選A.

（2012新課標(biāo)I卷T7文科）如圖，網(wǎng)格上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則

此幾何體的體積為

2

(A)6

(B)9

(C)12

(D)18

【答案】B

【解析】由三視圖知，其對應(yīng)幾何體為三棱錐，其底面為一邊長為6,這邊上高為3,棱錐的高為3,

故其體積為」XLX6X3X3=9,故選B.

32

(2011新課標(biāo)I卷T8文科)在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖

【答案】D

【分析】由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個簡單的組合體，是由一個三棱錐和被軸截面截開的

半個圓錐組成，根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，得到組合體的側(cè)視圖.

【解析】解：由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個簡單的組合體，

是由一個三棱錐和被軸截面截開的半個圓錐組成，

.??側(cè)視圖是一個中間有分界線的三角形，

故選：D.

2

【點睛】本題考查簡單空間圖形的三視圖，考查由三視圖看出原幾何圖形，再得到余下的三視圖，本

題是一個基礎(chǔ)題.

「統(tǒng)考點/考向〉,

空間幾何體的三視圖與直觀圖

1.空間幾何體的三視圖

(1)三視圖的概念

①光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖;

②光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖;

③光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的俯視圖.

幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.如圖.

c

O口，

ab

正視圖側(cè)視圖

b

俯成圖

(2)三視圖的畫法規(guī)則

①排列規(guī)則：一般地，側(cè)視圖在正視圖的右邊，俯視圖在正視圖的下邊.如下圖:

正側(cè)

2

俯

②畫法規(guī)則

i）正視圖與俯視圖的長度一致，即“長對正”;

ii）側(cè)視圖和正視圖的高度一致，即“高平齊”;

出）俯視圖與側(cè)視圖的寬度一致，即“寬相等

③線條的規(guī)則

i）能看見的輪廓線用實線表示；

ii）不能看見的輪廓線用虛線表示.

（3）常見幾何體的三視圖

常見幾何體正視圖側(cè)視圖俯視圖

長方體矩形矩形矩形

正方體正方形正方形正方形

圓柱矩形矩形圓

圓錐等腰三角形等腰三角形圓

兩個同心的

圓臺等腰梯形等腰梯形

圓

球圓圓圓

2.空間幾何體的直觀圖

（1）斜二測畫法及其規(guī)則

對于平面多邊形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖.斜二測畫法是一種特殊的畫直觀圖的方法，其

畫法規(guī)則是：

2

①在已知圖形中取互相垂直的無軸和y軸，兩軸相交于點。.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的尤，軸和y

軸，兩軸相交于點。'，且使/尤儲y=45。(或135。)，它們確定的平面表示水平面.

②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于V軸或y軸的線段.

③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一

半.

(2)用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟

①在己知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox,Oy,再作Oz軸使NxOz=90。,且NyOz=90。.

②畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的軸Ok,O'y',O'z',使/xby=45。(或135。)，Zx'O'z'=90°,x'O'y'

所確定的平面表示水平平面.

③已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于才軸、y軸或/軸的線段,

并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同.

④已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵?/p>

來的一半.

⑤畫圖完成以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.

(3)直觀圖的面積與原圖面積之間的關(guān)系

①原圖形與直觀圖的面積比為之=20,即原圖面積是直觀圖面積的2夜倍,

②直觀圖面積是原圖面積的」式=也倍.

2V24

3.空間幾何體的三視圖問題的常見類型及解題策略：

(1)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理,

結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖.

(2)由幾何體的直觀圖求三視圖.注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實線,

不能看到的部分用虛線表示.

2

(3)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖.先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測直觀圖的可能

形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式.當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出

的部分三視圖是否符合.

4.空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧：

緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的

情況下，變換模型中的線面關(guān)系增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定

通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可

5.由三視圖還原直觀圖的方法

還原后的幾何體一般為較熟悉的柱、錐、臺、球的組合體

注意圖中實線、虛線，實際是原幾何體中的可視線與被遮擋線

想象原圖形，并畫出草圖后進行三視圖還原，把握三視圖和幾何體之間的關(guān)系，與所給三視圖比較，

通過調(diào)查準(zhǔn)備畫出幾何體

6.常見三視圖對應(yīng)的幾何體：

三視圖為三個三角形，對應(yīng)三棱錐

三視圖為兩個三角形，一個四邊形，對應(yīng)四棱錐

三視圖為兩個三角形，一個圓，對應(yīng)圓錐

三視圖為一個三角形，兩個四邊形，對應(yīng)三棱柱

三視圖為兩個四邊形，一個圓，對應(yīng)圓柱

5.具體方法可采用垂線法或者削體法

二、考向題型研究二：空間幾何體之外接球、內(nèi)接球

2

三觀真題》

觀母題）

（2013新課標(biāo)I卷T15文科）已知H是球。的直徑48上一點，AH:HB=1;2,A3,平面a,H為

垂足，a截球。所得截面的面積為萬，則球。的表面積為.

9

【答案】-TI

2

【解析】如圖，

設(shè)球。的半徑為R,

2R

則AH=

R_

OH=7

又,：KEH2=TI,：.EH=1.

1七?

?.,在RSOE”中，R2=+12,

9兀

；?S球=4?；?=——

2

（觀平行題）

（2019新課標(biāo)I卷T12理科）.已知三棱錐P-A8C的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,LABC

是邊長為2的正三角形，E,尸分別是PA,的中點，ZCEF=90°,則球。的體積為

2

A.8A/6HB.4娓兀C.2娓兀D.幾為

【答案】D

【分析】先證得尸5,平面PAC，再求得PA=PB=PC=g,從而得P—ABC為正方體一部分,

進而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解.

【解析】

解法一:PA=PB=PC,AA3C為邊長為2的等邊三角形，ABC為正三棱錐，

:.PB±AC,又E,歹分別為下月、AB中點，

:.EF//PB,：.EFLAC,又哥Jffi,CEAC=C,..跖，平面B4C,尸5,平面PAC,

.?.NPAB=90°,，P4=PB=PC=0ABC為正方體一部分，2R=,2+2+2=歷即

R-2^；.v=3兀-3=士兀義6戈=逐兀,故選D.

2338

解法二:

2

P

E

B

設(shè)24=尸5=尸。=2*，E,尸分別為R4,A3中點，

：.EF//PB,且所=工尸3=x,AA3C為邊長為2的等邊三角形，

2

:.CF=6又NCEF=9Q°：.CE=13-*2,AE=^PA=x

r24-f3-x21

AAEC中余弦定理,os/以/=二___+____~'—L,作PDLAC于。，PA=PC,

2x2xx

???/廠4個AD1冗2+4—3+%21

QZ）為AC中點，cosZ.EAC==—,--------------------二—,

PA2x4xlx

2X2+1=2:.X2^-x=叵，；.PA=PB=PC=6,又9我個芻,:.PA,PB,PC

22

兩兩垂直，2R=j2+2+2=R=V=—兀=—兀x',故選D.

2338

【點睛】

本題考查學(xué)生空間想象能力，補體法解決外接球問題.可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直

關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進而補體成正方體解決.

（2017新課標(biāo)I卷T16文科）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若

平面SCA,平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球。的表面積為.

【答案】36K

2

【解析】解：三棱錐s-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑，若平面SCA，平面

SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,

可知三角形SBC與三角形SAC都是等腰直角三角形，設(shè)球的半徑為r,

可得2rXrXr=9,解得r=3.

球O的表面積為：471r2=36兀.

故答案為：36n.

【點睛】本題考查球的內(nèi)接體，三棱錐的體積以及球的表面積的求法，考查空間想象能力以及計算能

力.

(2012新課標(biāo)I卷T8文科)平面a截球。的球面所得圓的半徑為1,球心。到平面a的距離為限,

則此球的體積為

(A)yffm(B)4小兀(C)4加兀(D)64n

【答案】B

【解析】設(shè)球的半徑為R,由球的截面性質(zhì)得R=J(、反『+1=6,所有球的體積V=-萬夫3=不后兀

(2011新課標(biāo)I卷T15理科)已知矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球。的球面上，且AB=6,BC=2

加，則棱錐O-ABCD的體積為.

【答案】8V3

2

【分析】由題意求出矩形的對角線的長，結(jié)合球的半徑，球心到矩形的距離，滿足勾股定理，求出棱

錐的高，即可求出棱錐的體積.

【解析】解：矩形的對角線的長為：正+（2⑨2=4,所以球心到矩形的距離為：d42T2a）2

=2,

所以棱錐o-ABCD的體積為：—X6x2V3X2=8VS-

3

故答案為：8V3

【點睛】本題是基礎(chǔ)題，考查球內(nèi)幾何體的體積的計算，考查計算能力，空間想象能力，?？碱}型.

（觀扇形題）

（2017新課標(biāo)I卷T16理科）如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC

的中心為O.D、E、F為圓O上的點，ADBC,AECA,AFAB分別是以BC,CA,AB為底邊的

等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC,CA,AB為折痕折起ADBC,AECA,AFAB,使得D、

E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)AABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為一.

【答案】4J元cn?.

2

【分析】法一：由題，連接0D,交BC于點G,由題意得ODLBC,OG=^BC,設(shè)OG=x,則BC=2

6

加X,DG=5-X,三棱錐的高h(yuǎn)="25TOx，求出SAABC=3J^X2，丫=￡S△期cXh=

J

W25x4-10x5,令f(X)=25x4-10x5,xG(0,-1-),f(x)=100x3-50x4,f(x)<f(2)

=80,由此能求出體積最大值.

法二：設(shè)正三角形的邊長為X,貝UOG=Lx返xX^x，F(xiàn)G=SG=5-返X，SO=h=^sG2Q2=

3266

,由此能示出三棱錐的體積的最大值.

【解析】解法一：由題意，連接OD,交BC于點G,由題意得ODLBC,OG=返:

BC,

6

即OG的長度與BC的長度成正比,

設(shè)OG=x,則BC=2?x,DG=5-x,

三棱錐的高h(yuǎn)=4DG2-oG2=正_]dx+X2_X2="25TOx，

SzkABC^X號X(275x)2=3病x2,

則SAABCXh=V3x2XV25-10x=V3'V25x4-10x5,

令f(x)=25x4-10x5,x￡(0,,f(x)=100x3-50x4,

2

令f(x)>0,即X4-2X3<0,解得x<2,

則f(x)<f(2)=80,

V<V3X五忌!!？，?,?體積最大值為4

故答案為：4A/元cm3.

解法二：如圖，設(shè)正三角形的邊長為X,貝UOG=Lx返xX^x，

326

；.FG=SG=5-運?￥，

6

2

SO=h=JSG2-GC)2=J(5-^X)2-(*X)2={5(5一*；,

三棱錐的體積V《s△超c-h

□

qX乎X小(5岑x)嚕g與5'

34>

令b(x)=5x4-亨X，則J(x)-20x--y^-x

令b(x)=0,則4x3-x=0,解得x=4?,

73

VzX48X

max^V5^4=4V15(加3).

故答案為：4V15cm3.

【點睛】本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系、函數(shù)

性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、

化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

2

一統(tǒng)考點/考向》

1.球的表面積和體積公式

設(shè)球的半徑為R,它的體積與表面積都由半徑R唯一確定，是以R為自變量的函數(shù)，其表面積公式為

43

4冰2,即球的表面積等于它的大圓面積的4倍；其體積公式為§兀穴3.

2.球的切、接問題（常見結(jié)論）

1J3

（1）若正方體的棱長為。，則正方體的內(nèi)切球半徑是一a；正方體的外接球半徑是2士a；與正方體

22

所有棱相切的球的半徑是注a.

2

外接球球心是正方體的中心

內(nèi)切球球心是正方體的中心

與各條棱相切的求，球心是正方體的中心

（2）若長方體的長、寬、高分別為a,b,h,則長方體的外接球半徑是:4?+燈+層.

球心是體對角線的交點

（3）若正四面體的棱長為。，則正四面體的內(nèi)切球半徑是逅a；正四面體的外接球半徑是逅a；

124

與正四面體所有棱相切的球的半徑是一a.

4

球心是正四面體的中心

（4）球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑.

（5）球與圓臺的底面與側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺的高.

綜上，可以認(rèn)為，外接球的球心在空間幾何體底面的外接圓的圓心的豎直線上

2

3、球的表面積和體積

確定一個球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知

球的體積或表面積也可以求其半徑.

球與幾種特殊幾何體的關(guān)系：（1）長方體內(nèi)接于球，則球的直徑是長方體的體對角線長；（2）正四面體的

外接球與內(nèi)切球的球心重合，且半徑之比為3：1；（3）直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱

的外接球就是所求直棱柱的外接球.特別地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的

中點；（4）球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑；（5）

球與圓臺的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺的高.

與球有關(guān)的實際應(yīng)用題一般涉及水的容積問題，解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積之間的關(guān)系，

正確建立等量關(guān)系.

有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決.球心到

截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿足關(guān)系式：d=-產(chǎn).

5.柱體的外接球問題，其解題關(guān)鍵是在于確定球心在多面體中的位置，找到球的半徑或者直徑與多面

體相關(guān)元素之間的關(guān)系，結(jié)合原有多面體的特性求出球的半徑，然后再利用球的表面積和體積公式進

行正確計算，常見的方法是將多面體還原成正方體和長方體中再去求解

6.椎體的外接球問題的關(guān)鍵是確定球心位置：

將椎體還原或者補形為正方體或者長方體，進而確定球心

椎體的外接球的球心一定在過底面的外心與底面垂直的直線上

球心到各頂點的距離都相等

球心一定在外接球的直徑上

三、考向題型研究三：空間幾何體的體積

三觀真題》

觀母題

2

（2018新課標(biāo)I卷T12理科）已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角相等，則a

截此正方體所得截面面積的最大值為

ABc3D

.4342

【答案】A

【解析】分析：首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只

需與從同一個頂點出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個

正六邊形，且邊長是面的對角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.

詳解：根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，

所以在正方體力BCD中，

平面力當(dāng)4與線441,4/1,44所成的角是相等的，

所以平面AB1/與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，

同理平面G8D也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，

要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面AB1%與GBD中間的，

且過棱的中點的正六邊形，且邊長為漁，

2

所以其面積為S=6xf?（乎）2=乎，故選A.

【點睛】該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務(wù)是需要先確定截

面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過六條棱的中點的正六邊形，利用

六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.

（觀平行題）

（2013新課標(biāo)I卷T6理科）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個球

放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度，則球

的體積為（）.

2

8667r

3

B.3cm

1372兀2048兀

C.3cm3D.3cm3

【答案】A

【解析】設(shè)球半徑為尺，由題可知凡R—2,正方體棱長一半可構(gòu)成直角三角形，即△OA4為直角三

角形，如圖.

BC=2,BA=4,OB=R—2,OA=R,

由R2=（R—2）2+42,得R=5,

所以球的體積為士兀53=迎兀。013）,故選A.

33

(觀扇形題)

(2013新課標(biāo)I卷T19文科)如圖，三棱柱中，CA=CB,AB=A4i，ZBAAi=60°.

(1)證明：ABXAiC；

(2)若A8=CB=2,AiC=V6,求三棱柱ABC—ABCi的體積.

2

【答案】答案見解析

【解析】

(1)證明：取的中點。，連結(jié)。C,0AltAiB.

因為CA=CB,

所以O(shè)C_LAB.

由于A8=AAi,ZBAAi=60°,

故△A4山為等邊三角形，

所以O(shè)AX±AB.

因為0CCO4i=0,所以AB_L平面0Ale

又AiCu平面0AC，故AB_LAiC.

(2)解：由題設(shè)知AABC與A441B都是邊長為2的等邊三角形，

所以0C=04=百.

又AiC=底,則4C2=0C2+O4；,

故OAi±OC.

因為OCrUB=O,所以。41J_平面ABC,0A1為三棱柱ABC-AiBiG的高.

又以ABC的面積SAABC=A/3,故三棱柱ABC-AiBiCi的體積V=SAABCX0A1=3.

(2012新課標(biāo)I卷T19文科)如圖，三棱柱ABC-A4cl中，側(cè)棱垂直底面,

ZACB=90°,AC=BC^AAt，。是棱44i的中點。

(I)證明：平面3DG，平面

(II)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.

2

【解析】（I）由題設(shè)知BC_LCG，8C_LAC,CC（nAC=C,

5。_1_面ACG4，又：￡>Gu面ACG4，；.5C,

由題設(shè)知Z^DC]=ZADC=45°，,ZCDQ=90°，即DC,1DC,

又,：DCc\BC=C,；.￡>G，面8。。，：。。1（=面3。。1，

面BDC_1面BDC1；

（H）設(shè)棱錐B—D4C￡的體積為匕，AC=1,由題意得，匕=g義號xlxl=g,

由三棱柱ABC-4與。]的體積V=1,

.?.（V—匕）：匕=1：1,.??平面BDG分此棱柱為兩部分體積之比為1:1.

（2011新課標(biāo)I卷T16文科）已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個

球面上，若圓錐底面面積是這個球面面積的旦，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者

16

的高的比值為一.

【答案】1

3

【分析】所成球的半徑，求出球的面積，然后求出圓錐的底面積，求出圓錐的底面半徑，即可求出體

積較小者的高與體積較大者的高的比值.

【解析】解：不妨設(shè)球的半徑為：4；球的表面積為：64K,圓錐的底面積為：12K,圓錐的底面半徑為：

2T；

2

由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離，求的半徑以及圓錐底面的半徑三者可以構(gòu)成一個直角三角

形

由此可以求得球心到圓錐底面的距離是^42_(2/§)2=2,

所以圓錐體積較小者的高為：4-2=2,同理可得圓錐體積較大者的高為：4+2=6；

所以這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為：1.

3

故答案為：1

3

【點睛】本題是基礎(chǔ)題，考查旋轉(zhuǎn)體的體積，球的內(nèi)接圓錐的體積的計算，考查計算能力，空間想象

能力，?？碱}型.

(2011新課標(biāo)I卷T18文科)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形.ZDAB=60°,

AB=2AD,PD_L底面ABCD.

(I)證明：PA±BD

(II)設(shè)PD=AD=1,求棱錐D-PBC的高.

【答案】答案見解析

【分析】(I)因為NDAB=60。，AB=2AD,由余弦定理得BD=^AD,利用勾股定理證明BD_LAD,

根據(jù)PD_L底面ABCD,易證BD_LPD,根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可證PA_LBD；

(II)要求棱錐D-PBC的高.只需證BCL平面PBD,然后得平面PBCL平面PBD,作DELPB于

E,則DEL平面PBC,利用勾股定理可求得DE的長.

【解析】解：（I）證明：因為NDAB=60。，AB=2AD,由余弦定理得BD=J^AD,

Affi]BD2+AD2=AB2,故BDJ_AD

又PD_L底面ABCD,可得BD_LPD

所以BD_L平面PAD.故PA_LBD.

（II）解：作DE_LPB于E,已知PD_L底面ABCD,

則PD_LBC,由（I）知，BDXAD,又BC〃AD,

；.BC_LBD.

故BC_L平面PBD,BC±DE,

則DE_L平面PBC.

由題設(shè)知PD=1,貝ijBD=?,PB=2.

根據(jù)DE?PB=PD?BD,得DE=返，

2

即棱錐D-PBC的高為區(qū).

2

【點睛】此題是個中檔題.考查線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，以及點到面的距離，查了同學(xué)們觀

察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題能力.

一統(tǒng)考點/考向》

一、柱體、錐體、臺體的表面積

1.旋轉(zhuǎn)體的表面積

圓柱（底面半徑為圓錐（底面半徑為圓臺（上、下底面半徑分

r,母線長為/）r,母線長為/）別為r’,廠,母線長為/）

2

s，-L

，2irr'//

側(cè)面展

開圖"人

2irr_-"占

底面面

氐=兀,$底=",2c*2

s上底=“，5下底="

積

側(cè)面面

s伊j=litrls側(cè)=兀"s側(cè)=7i/(/+r)

積

廠，2+/+，in

S表=兀r+

表面積S表=2jir(r+/)S表=兀r（廠+/）

2.多面體的表面積

多面體的表面積就是各個面的面積之和，也就是展開圖的面積.

棱錐、棱臺、棱柱的側(cè)面積公式間的聯(lián)系：

二、柱體、錐體、臺體的體積

1.柱體、錐體、臺體的體積公式

幾

體積

何體

唳體=S，（S為底面面積，/l為高）,%柱=兀廠2介（廠為底面半徑，h為高）

柱

2

體

錐唳體=gs/i（S為底面面積，〃為高），/錐為底面半徑，力為高）

體

%體=g（S'+JF?+S）/i（S、S分別為上、下底面面積，/Z為高），

臺

體

%臺=；兀%卜，2+/廠+廠2卜八廠分別為上、下底面半徑，〃為高）

2.柱體、錐體、臺體體積公式間的關(guān)系

%體=護+乒+奶

3.必記結(jié)論

（1）一個組合體的體積等于它的各部分體積之和或差;

（2）等底面面積且等高的兩個同類幾何體的體積相等.

三、柱體、錐體、臺體的表面積

1.已知幾何體的三視圖求其表面積，一般是先根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再根據(jù)題目所給數(shù)

據(jù)與幾何體的表面積公式，求其表面積.

2.多面體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理，以確保不重復(fù)、不

遺漏.

2

3.求多面體的側(cè)面積時，應(yīng)對每一個側(cè)面分別求解后再相加；求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般要將旋轉(zhuǎn)體

展開為平面圖形后再求面積.

4.柱體、錐體、臺體的體積

空間幾何體的體積是每年高考的熱點之一，題