2024年暑假初升高銜接數(shù)學講義拓展初中-銜接高中-精準定位-強化練習！同學們，首先祝賀你們進入高中數(shù)學殿堂繼續(xù)學習。在經(jīng)歷了三年的初中數(shù)學了解，對數(shù)學思維有了一定的雛形，在對問題的分析方法和解決能力上得到了一定的訓練。這也是我們繼續(xù)高中數(shù)數(shù)學中我們將學習函數(shù)，函數(shù)是高中數(shù)學的重點，它在高中數(shù)學中是起著提綱的作用，它融匯在整個高中數(shù)學知識中，其中有數(shù)學中重要的數(shù)學思想方法；如：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想等，它也是高考的重點，近年來，高考壓軸題都以函數(shù)題為考察方法的。高考題中與函數(shù)思想方法有關的習題占整個試生愛好，愛好它就要去實踐它，達到樂在其中，有興趣才會形成學習的主動性和積極性。在數(shù)學學習中，我們把這種從自發(fā)的感性的樂趣出發(fā)上升為自覺的理性的“認識”過程，這自然會變?yōu)榱⒅緦W好數(shù)學，成為數(shù)學學習的成功教具和模型的演示都視為欣賞音樂，及時回答老師課堂提問，培養(yǎng)思考與老師同步性，提高精神，把老師對你的提（4）聽課中注意老師講解時的數(shù)學思想，多問為什么要直角坐標系的產(chǎn)生都是從實際生活中抽象出來的。只有回歸現(xiàn)實才能使對概念的理解切實可靠，在應用概念判斷、習慣是經(jīng)過重復練習而鞏固下來的穩(wěn)重持久的條件反感到有序而輕松。高中數(shù)學的良好習慣應是：多質(zhì)疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用。學生在學習數(shù)學的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還要保證每天有一定的數(shù)學能力包括：邏輯推理能力、抽象思維能力、計算能力、空間想象能力和分析解決問題能力共五大能力。這些能力是在不同的數(shù)學學習環(huán)境中得到培養(yǎng)的。在平時學習中要注意開發(fā)不同的學習場所，參與一切有益的學習實把空間中的實體高度抽象在大腦中，并在大腦中進行分析推理。其它能力的培養(yǎng)都必須學習、理解、訓練、應用中得到發(fā)展。特別是，教師為了培養(yǎng)這些能力，會精心設計“智力課”和“智力問題”比如對習題的解答時的一題多學生務必要用全身心投入、全方位智力參與，最終達到自己各方面有許多初中階段數(shù)學成績很好的學生，升入高中后，感覺數(shù)學學習困難，他們教材的原因：初中數(shù)學教材，多數(shù)知識點與學生日常生活實際貼近，且初中學生一般容易接受、理解和掌握。相對而言，高中數(shù)學概念抽象，邏輯性強，教材敘述比較嚴謹、規(guī)范，知識難度加大，抽象思維和空間想象能力明顯提高，且習題類型多，解題技巧靈活多變，計算相對復雜，體現(xiàn)了“起點高、教法的原因：初中數(shù)學內(nèi)容少，知識難度不大，教學要求較低，因而教學進度較慢，對于某些重點、難點，教教學進度相應加快，知識的重點和難點也不可能象初中那樣通過反復強調(diào)來排難釋疑，且高中教學往往通過設導、設問、設陷、設變，啟發(fā)引導，開拓思路，然后由學生自己思考、去解答，比較注意知識的發(fā)生過程，傾重對學生思想方法的滲透和思維品質(zhì)的培養(yǎng)。這使得剛?cè)敫咧械牟糠謱W生不適應教學方法，聽課時存在思維障礙，跟不上教學法的原因：在初中，部分學生習慣于圍著教師轉(zhuǎn)，獨立思考和對規(guī)律進行歸納總結的能力較差，滿足于知識的接受，缺乏學習的主動性。而到了高中，數(shù)學學習要求學生勤于思考，善于歸納總結規(guī)律，掌握數(shù)學思維方法，做到舉一反三，觸類旁通。但是，剛?cè)雽W的高一新生，往往沿用初中時的學法，致使學習出現(xiàn)困難，甚至完成當天其它原因：學生學習數(shù)學的情感、興趣、性格針對以上影響數(shù)學學習的原因，同學們應當怎樣彌補這些不足呢？下面從高中學透徹領悟所學知識：高中數(shù)學的理論性、抽象性強，這就需要學生在知識的理解上下大功夫，不僅要弄清數(shù)學概念的實質(zhì)，還要弄清概念的背景及其與其它概念的聯(lián)系。例如初三學生都會解一元二次方程，我曾在高一新生中做過這種調(diào)查：為什么一元二次方程在△≥0時有根？答對率不到15％，說明了什么？學生對一元二次方程這個概科學地對待預習：對于一部分數(shù)學基礎不太理想的同學，我主張課前預習。正確的方法是先不打開書，設想這節(jié)課的內(nèi)容、結構，然后打開書；看到要對某個概念進行定義，馬上蓋上書，自己試著定義一下；看到一個定理的第一句敘述，再蓋上書自己猜想他的結論；看到一個公式時，也是這樣。看到例題時，先不要看解法，自己先在紙上把它做一遍，再與書上的解法進行比較、思考……這樣的預習，無論對知識的掌握，還是對思維的訓練，都是有對于數(shù)學基礎較好，思維反應敏銳的同學，我不主張課前預習。因為通過預習已經(jīng)知道了課上要講的內(nèi)容、結論、推導過程、例題解法等，那么，課堂上還談何“超前思維、真正做課堂的主人、在思維運動中訓練思維呢？”提高聽課效率：高中學習期間，學生在課堂的時間占了一大部分。因此聽課效率如何，決定著學習的效果。我首先應做好課前的物質(zhì)準備和精神準備，上課時不至于出現(xiàn)書、本等物丟三落四的現(xiàn)象；上課前也不應做過于耳到：就是專心聽講，聽老師如何講課，如何分析，如何歸納總結，另外，還要聽同學們的答問，看是否對自眼到：就是在聽講的同時看課本和板書，看老師講課的表情，手勢和演示實驗的動作，生動將聽課中的要點、思維方法等作出簡單扼要的記錄，以便復習復習的有效方法不是一遍遍地看書或筆記，而是采取回憶式的復習：一下還有哪些沒記清的，把它補起來，就能使當天上課內(nèi)容鞏固下來，同時也檢查了當天課堂聽課的效果如何，也2、做好單元復習。學習一個單元后應進行（3）自我體會：對本章內(nèi)，自己做錯的典型問題應有記載，分析其原因及正確答案，應記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問做適量的練習題：有不少同學把提高數(shù)學成績的希望寄托在大量做題上，這是不成績，重要的不在做題多，而在于做題的效益要高。做題的目的在于檢查你學的知識，方法是否掌握得很好。如果你掌握得不準，甚至有偏差，那么多做題的結果，反而加深了你的缺欠，因此，在準確地把握住基本知識和方法的基礎上，做一定量的練習是必要的。而對于中檔題，尢其要講究做題的效益，即做題后有多大收獲，這就需要在做法和解法，本題的分析方法與解法，在解其它問題時，是否也用到過，把它們聯(lián)系起來，你就會得到更多的經(jīng)驗和教訓，更重要的是養(yǎng)成善于思考的好習慣，這將大大有利于你今后的學習。當然沒有一定量（老師布置的作業(yè)量）課外要自學、研究：課外自學與研究的目的是擴大知識面，開闊眼界，進一步提力。課外自學的范圍不宜過大，應該圍繞所學的教材進度看一些課外參考書及數(shù)學雜志，作一些較新鮮或難度較大的習題。課外自學應該是有計劃地有節(jié)制地進行，不要因小失大，更不要影響其它學科的學習。在課外自學的過程分析能力較強的學生，可以選一、二個專題，深入進行探討和研究，把研究結果寫成論文，用以培養(yǎng)和鍛煉自己的思維能力?；A不太好、分析能力一般的學生，應該經(jīng)常和基礎好、分析能力強的同學在一起研究、探討一些數(shù)學著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數(shù)學一下子就觸及抽象的集合語言、邏輯運算語言以及以后要學習到的函數(shù)語言、高一學生產(chǎn)生數(shù)學學習障礙的另一個原因是高中數(shù)學思維方法與初中生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等……分別確定了各自的思維套路。因此，初中學習中習慣于這種機械的，便于操作的定勢方式，而高中數(shù)學在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，正如上節(jié)所述，數(shù)學語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當然，能力的發(fā)展是漸進的，不是一朝一夕的事，這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應，故而導致成績下降。高一新生一定要能從經(jīng)驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初步初中數(shù)學知識少、淺、難度容易、知識面笮。高中數(shù)學知識廣泛，將對初中的數(shù)在三維空間中求一些幾何實體的體積和表面積；還將學習“排列組合”知識，以便解決排隊方法種數(shù)等問題。如：①三個人排成一行，有幾種排隊方法答：=6種②四人進行乒乓球雙打比賽，有幾種比賽場次答：=3種）高中將學習統(tǒng)計這些排列的數(shù)學方法。初中中對一個負數(shù)開平方無意義，但在高中規(guī)定了i=-1,就使-1的平方根為±i.即可把數(shù)的概念進行推廣，使數(shù)的概念擴大到初中生在學習上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分數(shù)，初中數(shù)學教學中教高中后，還象初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉(zhuǎn)，沒有掌握學習的主動權。表現(xiàn)在不定計劃，坐等2、學不得法。老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重點難點，突出思想方法。而還有些同學晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結果是事倍3、進一步學習條件不具備。高中數(shù)學與初中數(shù)學相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎知識與技能為進一步學習作好準備。高中數(shù)學很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數(shù)值的求法，實根分布與參變量的討論，三角公式的變形與靈活運用，空間概念的形成，排列組合應用題及實際應用問題等。有的內(nèi)容還是初中教材都不講的脫節(jié)內(nèi)容，如不采取補救措施，查缺補漏，就必然會跟不上高中學習本。把平時容易出現(xiàn)錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達到：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對癥下藥；解答問外題，加大自學力度。6、反復鞏固，消滅前學后忘。7、學會總結歸類?？桑孩購臄?shù)學思想分類②從解題方法歸類4.高中數(shù)學學習方法和特點僅在知識上而且在數(shù)學能力上已經(jīng)作好了高中繼續(xù)學習的準備。只要認清高中數(shù)學的特點，并促使自己適應這些特點，那么學好高中數(shù)學是完全可能的。高中數(shù)學的特點概括地說3、知識的獨立性大：初中知識的系統(tǒng)性是較嚴謹?shù)模矫鎺缀斡绕淙绱?，這個系統(tǒng)給我們學習帶來了很大的方便。因為它便于記憶，又適合于知識的提取和使用。因此，平面幾何的知識使人長久不忘，記得清，用得上。但初中畢業(yè)生以較高的數(shù)學成績升入高中后，不適應高中數(shù)學教學，相當多的高一的兩極分化，少數(shù)學生甚至對學習失去了信心。前幾年，不少學校受高考指揮棒的影響，只注重升學率而忽視了合格率。現(xiàn)在高中搞會考制，上述問題引起了各校足夠的重視。本文對高一數(shù)學成績大面積下降談談造成的原因及應初中教材偏重于實數(shù)集內(nèi)的運算，缺少對概念的嚴格定義或?qū)Ω拍畹亩x不全，義就是如此；對不少數(shù)學定理沒有嚴格論證，或用公理形式給出而回避了證明，比如不等式的許多性質(zhì)就是這樣處理的；教材坡度較緩，直觀性強，對每一個概念都配備了足夠的例題和習題。而高一教材第一章就是集合、映射等的證明又是一個難點，立體幾何對空間想象能力的要求又很高。教材概念多、符號多、定義嚴格，論證要求又高，高一新生學起來相當困難。此外，內(nèi)容也多，每節(jié)課容量遠大于初中數(shù)學。這些都是高一數(shù)學成績大面積下降的客高一學生普遍反映數(shù)學課能聽懂但作業(yè)不會做。不少學生說，平時自究其原因是初中教師重視直觀、形象教學，老師每講完一道例題后，都要布置相應的練習，學生到黑板表演的機會相當多。為了提高合格率，不少初中教師把題型分類，讓學生死記解題方法和步驟。在初三，重點題目反復做過多次。而高中教師在授課時強調(diào)數(shù)學思想和方法，注重舉一反三，在嚴格的論證和推理上下功夫。又由于高中搞小循環(huán)，接高一課程的教師剛帶完高三，他們往往用高三復習時應達到的難度來對待高一教學。因此造成初、高中教師教學方法上的巨大差距，中間又缺乏過渡過程，至使高中新生普遍適應不了高高一學生在初中三年已形成了固定的學習方法和學習習慣。他們上課不會科學地安排時間，缺乏自學、看書的能力，還有些學生考上了高中后，認為可以松口氣了，放松了對自己的要高中教師應聽初中數(shù)學課，了解初中教師的授課特點。開學初，要通握知識的程度和學生的學習習慣。在摸清三個底（初中知識體系，初中教師授課特點，學生狀況）的前提下，根據(jù)高一教材和大綱，制訂出相當?shù)慕虒W計劃，確定應采取的教學方根據(jù)實踐，新高一第一章課時數(shù)要增加。要加強基本概念、基礎知識的教學。教一學生缺乏嚴格的論證能力，所以證明函數(shù)單調(diào)性時可進行系列訓練，開始時可搞模仿性的證明。要增加學生到黑板上演練的次數(shù)，從而及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，章節(jié)考試難度不能大。通過上述方法，降低教材難度，提高學生的可接受性，增強學生學習信心，讓學生逐步適應高開學第一節(jié)課，教師就應對學習的五大環(huán)節(jié)提出具體、可行要求。如：作業(yè)的等。對學生在學習上存在的弊病，應限期改正。嚴格要求貴在持之以恒，貫穿在學生學習的全過程，成為學生的習慣。考試的密度要增加，如第一章可分為三塊進行教學，每講完一塊都要復習、測驗測驗，課前5分鐘小題測驗，應經(jīng)常化，用以督促、檢查、鞏固所學知識。實踐表明，教好課與嚴要求，是提高教面需教師的指導，另一方面也靠老師的強求。教師應向?qū)W生介紹高中數(shù)學特點，進行學習方法的專題講座，幫助學生制訂學習計劃。這里，重點是會聽課和合理安排時間。聽課時要動腦、動筆、動口，參與知識的形成過程，而不是只記結論。教師應有針對性地向?qū)W生推薦課外輔導書，以擴大知識面。提倡學生進行章節(jié)總結，把知識串成線，做到書由厚讀薄，又由薄變厚。期中、期末都要召開學習方法交流會，讓好的學習方法成為全現(xiàn)代教育倡導自主性學習和研究性學習，堅信能力是練出來的，因此我們在課程安排和教學常規(guī)中，設置有課前三分鐘準備、晚修分段學習、教學三清（即堂堂清、周周清、月月清）等，這樣設置的目的，就是為了培養(yǎng)同學們良好的修習養(yǎng)身習慣。我希望同學們領會意圖，配合學校的安排。在課前三分鐘，提前回到自己的座位，把課做到眼晴看、耳朵聽、嘴巴說、腦筋想、手頭記，充分調(diào)動和發(fā)揮各器官功能……晚修分時段學習，合理安排各科學習時間，做到復習、作業(yè)、預習三不誤，照顧到當天學習及第二天學習的全部學科，做到均衡發(fā)展，要主動到走廊上請教下班輔導的老師，維護課室里面安靜的晚修秩序，預習，即課前的自學。指在教師講課之前，自己先獨立地閱讀新課內(nèi)容。初步理解內(nèi)容，是上課做好接受新知識的準備過程。有些學生由于沒有預習習慣，對老師一堂課要講的內(nèi)容一無所知，坐等教師講課，老師講什么就聽什么，老師叫干什么就干什么，學習就很辛苦。有些學生雖能預習，但看起書來似走馬觀花，不動腦、不分析，這種預習一點也達不到效果。老師建議：預習時要讀、思、問、記同步進行，對課本內(nèi)容能看懂多少就算多少，不必求全理解，疑難也不必鉆深，只需順手用筆作出不同符號的標記，把沒有讀懂的問題記下來，作為聽課的重點。完之后再進行。時間多，就多預習幾門，鉆得深一點；反之，就少預習幾門，鉆得淺一點。切不可以每天學習任務還未完成就忙著預習，打亂了正常的學習秩序。若你以前沒有預習的習慣，現(xiàn)在可以先選一兩門自己學起來感到吃力的學科進行預習嘗試，等嘗到甜頭，取得經(jīng)驗后，再逐漸增加學科，學生的大部分時間是在課堂中度過的。因此，聽課是學生接受教師指導，掌握知識，發(fā)展智力的中心環(huán)節(jié)，是獲取知識的重要途徑，是保證高效率學習的關鍵。聽課時，有的學生全神貫注，專心聽講；有的分心走神，萎靡不振，打瞌睡；有的像錄音機，全聽全錄；有的邊聽邊記，基本上能把教師講的內(nèi)容都記下來；有的以聽為主，邊聽邊思考，有了問題記下來；有的干脆不記，只顧聽講；有的邊聽邊劃邊思考。思考時，有的思考當堂內(nèi)容，有的思考與本課相關的知識體系，有的思考教師的思路，有的拿自己的思路與教師的思路比較。那么，怎樣才能達到聽好課的目的呢？總的要求是：要抓住各學科的不同特點，帶著問題聽，聽清內(nèi)容，記住要點，抓住關鍵，著重聽老復習是對前面已學過的知識進行系統(tǒng)再加工，并根據(jù)學習情況對學習進行適當調(diào)整，為下一階段的學習做好兩天后留下的只有28%；六天后為25%。所有的人，學習的知識都會發(fā)生先快后慢的遺忘過程。一些記性好的繞概念、公式、法則、定理、定律復習。通過追根溯源，思考它們是怎么形成與推導出來的？能應用到哪些方面？（3）要反復復習。學完一課復習一次，學完一章或一專門復習。通過這種步步為營的復習，形成的知識聯(lián)系就不會消退。學校為此采取了教學“三清”措施，希望老師書上有的不必多記。難點不放過，疑點有標記。不亂，不混，條理明。對聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)的問題，要及時記。筆記要留初中板塊：第1講數(shù)與式[[數(shù)與式{根式數(shù)與式{數(shù)與式{根式數(shù)與式{[公式法l分解因式{l其它方法知識點一：乘法公式【內(nèi)容概述】【公式2】(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(立方和公式) 【公式3】(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(立方差公式) 【公式4】(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2（請同學證明）【公式5】(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3（請同學證明）【典型例題—1】：例1.計算：例2.計算：(2a+b)(4a2-2ab+b2)例3.計算(1)(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)(2)(2x-3)(4x2+6xy+9)變式1：利用公式計算(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)變式2:利用立方和、立方差公式進行因式分解27m3-n327m3-x3-125m6-n6【典型例題—2】：例4.計算：例5.已知x2-3x+1=0，求x3+的值.例6.已知a+b+c=0，求a的值.變式1:計算：(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1).變式2:已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，求a2+b2+c2的值.知識點二、根式【內(nèi)容概述】式子·(a≥0)叫做二次根式，其性質(zhì)如下：【典型例題—1】：基本的化簡、求值例7.化簡下列各式(2)例8.計算-a成立的條件是()A．a(chǎn)>0B．a(chǎn)<0C．a(chǎn)≤0D．a(chǎn)是任意實數(shù)-|x-6|的值是()變式3：計算【說明】1、二次根式的化簡結果應滿足：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.2、二次根式的化簡常見類型有下列兩種：①被開方數(shù)是整數(shù)或整式．化簡時，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開得盡方的因數(shù)或因式開②分母中有根式或被開方數(shù)有分母(如形式(如形式(如)．這時可將其化為 可化為轉(zhuǎn)化為“分母中有根式”的情況.化簡時，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個根式進行化簡化為其中2+·i3與2-叫做互為有理化因式).【典型例題—2】：有理化因式和分母有理化有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個代數(shù)式叫做有理化因式。如·ia與va；與a互為有理化因式。分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。例9.計算1）(++1)(1-+)-(+)2(2)知識點三、分式【典型例題—1】：分式的化簡例11.化簡例12.化簡【典型例題—2】：分式的證明例試證：（其中n是正整數(shù)計算：【典型例題—3】：分式的運用例14.設e=，且e＞1，2－5ac＋2＝0，求e的值.變式1：對任意的正整數(shù)=_____________變式2:選擇題：若則）（A）1（BCD）知識點四、因式分解【內(nèi)容概述】因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形。在分式運算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用。是一種重要的基本技能。因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等?！镜湫屠}—1】：公式法(立方和、立方差公式)【內(nèi)容概述】我們已經(jīng)學習了乘法公式中的立方和、立方差公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(立方和公式)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，就得到：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)這就是說，兩個數(shù)的立方和(差)，等于這兩個數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)。運用這兩個公式，可以把形式是立方和或立方差的多項式進行因式分解。例15.用立方和或立方差公式分解下列各多項式：(2)0.125-27b3變式：分解因式：(1)3a3b-81b4(2)a7-ab6【典型例題—2】：分組分解法【內(nèi)容概述】從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式．而對于四項以上的多項式，如ma+mb+na+nb既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取．因此，可以先將多項式分組處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法.分組分解法的關鍵在于如何分組．常見題型：（1）分組后能提取公因式（2）分組后能直接運用公式（1）分組后能提取公因式例16.把2ax-10ay+5by-bx分解因式。變式：把ab(c2-d2)-(a2-b2)cd分解因式。（2）分組后能直接運用公式例17.把x2-y2+ax+ay分解因式。變式：把2x2+4xy+2y2-8z2分解因式。【典型例題—3】：十字相乘法【內(nèi)容概述】（1）x2+(p+q)x+pq型的因式分解這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點是：①二次項系數(shù)是1；②常數(shù)項是兩個數(shù)之積；③一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和.∵x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)，運用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式.（2）一般二次三項式ax2+bx+c型的因式分解a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)，我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2寫成EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up9(a),a)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up6(1),2)×EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up9(c),c)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up6(1),2)，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1。(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解.（1）x2+(p+q)x+pq型的因式分解例18.把下列各式因式分解：例19.把下列各式因式分解：(1)x2+5x24(2)x22x15例20.把下列各式因式分解：(1)x2+xy6y2(2)(x2+x)28(x2+x)+12（2）一般二次三項式ax2+bx+c型的因式分解例21.把下列各式因式分解：(1)12x2-5x-2(2)5x2+6xy-8y2變式練習:（1）x2-6x+5（2）x2+15x+56（3）x2+2xy-3y2（4）(x2+x)2-4(x2+x)-12【典型例題—3】：其它因式分解的方法（1）配方法例22.分解因式x2+6x-16變式:（1）x2+12x+20（2）a4+a2b2+b4（2）拆項法(選講）例23.分解因式x3-3x2+4（3）其它方法（選講）例24.(x2-5x+2)(x2-5x+4)-8課后練習1．填空：(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().想，都是問題（4）若(x-2y)(x2+2xy+4y2)+8y3=1，則x,y的值為（5）若x2+x+1=0，則x4-x2-2x-1=若x2+xy-2y2=0，則=________________ （A）-a（B）a（C）--a（D）-·a若=2，則的值為()A．B．-C．-D.-2m23．把下列各式分解因式：(1)3ax-3ay+xy-y2(2)8x3+4x2-2x-1(3)5x2-15x+2xy-6y（4）4xy+1-4x2-y24b+a3b2-a2b3-ab4(6)x6-y6-2x3+1第2講一元二次函數(shù)與二次不等式1、能熟練掌握二次函數(shù)的圖像，能夠根據(jù)解析式快速畫出函數(shù)的圖像2、理解并掌握二次函數(shù)的三種表達式教學目標3、理解并掌握二次函數(shù)的最值問題4、能夠根據(jù)二次函數(shù)、一元二次不等式不等式的關系解二次不等式二次函數(shù)的最值問題重點、難點一元二次不等式的解法考點及考試要求二次函數(shù)的最值與一元二次不等式的解法知識框架1、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2、二次函數(shù)的三種表達式3、二次函數(shù)的最值問題4、一元二次不等式知識點一、y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)【內(nèi)容概述】函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口方向；頂點坐標為，對稱軸為直當時，函數(shù)取最小值.函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口方向；頂點坐標為，對稱軸為直當時，函數(shù)取最大值.上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過上圖直觀地表示出來．因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結合的思想方法來解決問題.【典型例題】例1.求二次函數(shù)y=-3x2-6x+1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。坎嫵鲈摵瘮?shù)的圖象.變式1：作出以下二次函數(shù)的草圖（1）y=x2-x-6(2)y=x2+2x+1(3)y=-x2+1例2.某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關系如下表所示：x/元y/件若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？例3.把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，求b，c的值.知識點二、二次函數(shù)的三種表示方式【內(nèi)容概述】1、一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2、頂點式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中頂點坐標是(－h(huán)，k).3、交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).【典型例題】例4.已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過點（31求二次函數(shù)的解析式.例5.已知二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達式.例6.已知二次函數(shù)的圖象過點(－122)，(08)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達式.例7.函數(shù)yx2＋x－1圖象與x軸的交點個數(shù)是()（A）0個（B）1個（C）2個（D）無法確定變式1:已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(－1，0)和(2，0)，則該二次函數(shù)的解析式可設為y＝a(a≠0).變式2：二次函數(shù)yx2+2v3x＋1的函數(shù)圖象與x軸兩交點之間的距離為.變式3：根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式.（1）圖象經(jīng)過點(12)，(03)，(－16)；（2）當x＝3時，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過點(1，11)；（3）函數(shù)圖象與x軸交于兩點(1－\2，0)和(1＋v2，0)，并與y軸交于(02).知識點三、二次函數(shù)的最值問題【內(nèi)容概述】1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最值.二次函數(shù)在自變量x取任意實數(shù)時的最值情況：處取得最大值無最小值2．二次函數(shù)最大值或最小值的求法.第一步：確定a的符號，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步：配方求頂點，頂點的縱坐標即為對應的最大值或最小值.3．求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值.如：y=ax2+bx+c在m≤x≤n（其中m<n）的最值.第一步：先通過配方，求出函數(shù)圖象的對稱軸：x=x0；第二步：討論：（1）若a>0時求最小值或a<0時求最大值，需分三種情況討論：③對稱軸大于n即x0>n，即對稱軸在m（2）若a>0時求最大值或a<0時求最小值，需分兩種情況討論：說明：求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值，要注意對稱軸與自變量的取值范圍相應位置【典型例題】例8.求下列函數(shù)的最大值或最小值.（1）y=2x23x52）y=x23x+4例11.當t≤x≤t+1時，求函數(shù)x2一x的變式1：設a>0，當-1≤x≤1時，函數(shù)y=-x2-ax+b+1的最小值是-4，最大值是0，求a,b的值.變式2：已知函數(shù)y=x2+2ax+1在-1≤x≤2上的最大值為4，求a的值.變式3：求關于x的二次函數(shù)y=x2-2tx+1在-1≤x≤1上的最大值(t為常數(shù)).變式4：已知函數(shù)yx2－2x＋3，當自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當函數(shù)取最大（?。┲禃r所對應的自變量x的值：（1）x≤-22）x≤232≤x≤14）0≤x≤3.知識點四、一元二次不等式【內(nèi)容概述】通過前面的學習，咱們已經(jīng)掌握了根據(jù)二次函數(shù)的解析式畫函數(shù)的圖像，現(xiàn)在同學們根據(jù)圖像與x軸交點的個數(shù)分類，詳細總結，然后對比二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的關系.（在黑板上畫出表格的框架，讓學生來填，引導學生自主找規(guī)律）1、一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集：設相應的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2且x1≤x2，Δ=b2-4ac，則不等式的解的各種情況如下表：二次函數(shù)y=ax2+bx+c一元二次方程(a>0)的解集2．簡單分式不等式的解法解簡單的分式不等式的方法：對簡單分式不等式進行等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為整式不等式，應當注意分母不為零.3．含有字母系數(shù)的一元一次不等式一元一次不等式最終可以化為ax>b的形式：（1）當a>0時，不等式的解為：（2）當a<0時，不等式的解為：（3）當a=0時，不等式化為：0.x>b；①若b>0，則不等式的解是全體實數(shù)；②若b≤0，則不等式無解.【典型例題】例12.解下列不等式：(1)x2+x-6>0(2)(x-1)(x+2)≥(x-2)(2x+1)24x2x例14.已知對于任意實數(shù)x，kx2一2x+k恒為正數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.變式2：解下列不等式(3)(4)變式4:已知關于x的不等式mx2一x+m課后練習1．根據(jù)下列條件，分別求出對應的二次函數(shù)的關系式.（2）已知拋物線的頂點為（1，一3且與y軸交于點（0，1（3）已知拋物線與x軸交于點M（一3，05，0且與y軸交于點（0，一3（4）已知拋物線的頂點為（3，一2且與x軸兩交點間的距離為4.≤x≤a，其中a≥2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應的自變量x的值.3.若0<a<1,則不等式的解是()A.a<x<<x<aC.x>或x<aD.x<或x>a4.如果方程ax2＋bx＋b＝0中，a＜0，它的兩根x1，x2滿足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx＋b＜0的解5.解下列不等式：（1）3x2－2x＋1＜0；（2）3x2－4＜03）2x－x2≥-1；（4）4－x2≤0.6.解關于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a為常數(shù)）.7.關于x的不等式ax2+bx+c<0的解為x<—2或x>—求關于x的不等式ax2—bx+c>0的解.第3講一元二次方程與韋達定理1、理解并掌握一元二次方程根的判別式教學目標2、理解并掌握根與系數(shù)的關系（韋達定理）1、韋達定理與一元二次方程的關系重點、難點2、韋達定理的應用1、一元二次方程根的判別式考點及考試要求2、根與系數(shù)的關系（韋達定理）知識框架1、一元二次方程根的判別式2、根與系數(shù)的關系（韋達定理）3、簡單的二元二次方程組（選講）4、分式方程和無理方程的解法（選講）知識點一、一元二次方程根的判別式【典型例題】例1.求下列方程的根（1）x2+2x3=0(2)x2+2x+1=0例2.判定下列關于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根.（1）x2－3x＋3＝02）x2－ax－1＝03）x2－ax＋(a－1)＝0（4）x2－2x＋a＝0.變式練習:已知關于x的一元二次方程3x2—2x+k=0，根據(jù)下列條件，分別求出k的范圍：(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)方程有實數(shù)根；(4)方程無實數(shù)根。知識點二、根與系數(shù)的關系（韋達定理）【內(nèi)容概述】則有：所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關系：a這一關系也被稱為“韋達定理”．特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知：x1＋x2p，x1·x2＝q，即：p(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化為x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0。由于x1，x2是一元二次方程x2＋px+q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0的兩根．因此有：1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0.【典型例題】=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.例4.已知關于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21，求m的值.例5.已知兩個數(shù)的和為4，積為－12，求這兩個數(shù).例6.若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根.變式：若x1,x2是方程x2+2x-2007=0的兩個根，試求下列各式的值：x|x1-x2|例7.若關于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的范圍.例8.已知關于x的方程k2+1=0，根據(jù)下列條件，分別求出k的值。(1)方程兩實根的積為5；(2)方程的兩實根x1,x2滿足|x1|=x2。例9.已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個實數(shù)根。（1）是否存在實數(shù)成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。求使的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值。x2x1變式1：填空:（1）若方程x2－3x－1＝0的兩根分別是和，則.x1x2（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情況是.（3）以－3和1為根的一元二次方程是.（4）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的兩個實數(shù)根，則m2n＋mn2－mn的值等于.（5）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是.-1|=0，當k取何值時，方程kx2＋ax＋b＝0有兩個不相等的實數(shù)根？變式3:已知方程x2－3x－1＝0的兩根為x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值.變式4:已知關于x的方程x2－kx－2＝0.（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設方程的兩根為x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求實數(shù)k的取值范圍.知識點三、簡單的二元二次方程組（選講內(nèi)容）【內(nèi)容概述】在初中我們已經(jīng)學習了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌握了用“消元法”解二元一次方程組．高中新課標必修2中學習圓錐曲線時，需要用到二元二次方程組的解法．因此，需介紹簡單的二元二次方程組的解法。含有兩個未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次方程。由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，或由兩個二元二次方程組組成的方程組，叫做二元二次方程組。（1）由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組【內(nèi)容概述】一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，一般都可以用“代入法”求解．其蘊含著轉(zhuǎn)化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解。例10.解方程組例11.解方程組（2）由兩個二元二次方程組成的方程組（可因式分解型）【內(nèi)容概述】方程組中，一個方程可以因式分解化為兩個二元一次方程，則原方程組可轉(zhuǎn)化為兩個方程組，其中每個方程組都是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成。例12.解方程組例13.解方程組例14.解方程組2=26例15.解方程組知識點四、分式方程和無理方程的解法（選講）【內(nèi)容概述】初中大家已經(jīng)學習了可化為一元一次方程的分式方程的解法。這里將要學習可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無理方程的解法．要求掌握：(1)不超過三個分式構成的分式方程的解法，會用“去分母”或”換元法”求方程的根，并會驗根；(2)了解無理方程概念，掌握可化為一元二次方程的無理方程的解法，會用”平方”或”換元法”求根，并會驗根?！镜湫屠}—1】可化為一元二次方程的分式方程（1）去分母，化分式方程為一元二次方程例16.解方程（2）用換元法，化分式方程為一元二次方程例17.解方程-4=0例18.解方程=11.【典型例題—2】可化為一元二次方程的無理方程（1）平方法解無理方程（2）換元法解無理方程變式練習:解下列方程課堂練習11．選擇題:（1）已知關于x的方程x2＋kx－2＝0的一個根是1，則它的另一個根是()（A3（B）3（C2（D）2（2）下列四個說法：①方程x2＋2x－7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為－7；②方程x2－2x＋7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為7；③方程3x2－7＝0的兩根之和為0，兩根之積為-；④方程3x2＋2x＝0的兩根之和為－2，兩根之積為0.其中正確說法的個數(shù)是()（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個（3）關于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一個根是0，則a的值是()（A）0（B）1（C1（D）0，或－12．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的兩根之和為－2，則k=.（3）已知關于x的方程x2－ax－3a＝0的一個根是－2，則它的另一個根是.（4）方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2，則|x1－x2|=.3．試判定當m取何值時，關于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？課后練習21、選擇題：（1）已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x2－8x＋7＝0的兩根，則這個直角三角 形的斜邊長等于() （A）·3（B）3（C）6（D）9（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的兩個根，則的值為()x2x1（A）6（B）4（C）3（D）（3）如果關于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有兩實數(shù)根α,β,則α+β的取值范圍為(）(4)已知a,b,c是ΔABC的三邊長，那么方程的根的情況是()A）沒有實數(shù)根B）有兩個不相等的實數(shù)根C）有兩個相等的實數(shù)根D）有兩個異號實數(shù)根2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，且3x1＋2x2＝18，則m=.3.求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數(shù)24．已知關于x的方程（1）求證：無論m取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個相異實數(shù)根；（2）若這個方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相應的x1，x2.5.若關于x的方程x2＋x＋a＝0的一個大于1、零一根小于1，求實數(shù)a的取值范圍6選做）已知x1，x2是關于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個實數(shù)根.（1）是否存在實數(shù)使成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；求使的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值；x2x1若k2，λ=，試求λ的值.第4講絕對值不等式與無理式不等式1、理解絕對值的意義，能夠熟練的解絕對值不等式教學目標2、了解解無理不等式的方法，會解無理不等式重點、難點絕對值不等式與無理不等式的解法考點及考試要求絕對值不等式與無理不等式的解法知識框架1、絕對值的意義2、絕對值不等式的解法3、簡單高次不等式的解法4、無理不等式的解法知識點一、絕對值【內(nèi)容概述】絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零．即：絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：a-b表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離.知識點二、絕對值不等式的解法【內(nèi)容概述】（1）不等式x<a(a>0)的解是（2）不等式x>a(a>0)的解是x>a,或x<-a}；（3）不等式ax+b<c(c>0)的解為{x|-c<ax+b<c}(c>0)；（4）不等式ax+b>c(c>0)的解為{x|ax+b<-c,或ax+b>c}(c>0).【典型例題】例1.解下列不等式：⑴.|x-3|>4⑵.1≤|x+1|例2.解不等式：x-1+x+2≥5[5x-1>3(x-2)l2-x≤5.l2-x≤5.例3.解不等式|x2-5x+5|<1.變式1：|x2-11x+24|<6變式2：|x2+7x+11|<1課堂練習（1）|x-1|<12）|x2-x-1|≤1；1≤|x2-1|<3；|x+1|+|2-x|>4知識點三、簡單高次不等式【內(nèi)容概述】（設a<b<c<d)：（1）(x-a)(x-b)(x-c)>0→a<x<b,x>c；（3）(x-a)(x-b)2(x-c)>0→x<a,x>c說明1）化高為低即“降次”2）數(shù)形結合的應用；穿針引線法：從右往左，從上往下，奇過偶不過(前提：x的系數(shù)化為正數(shù))【典型例題】例4.解不等式變式：≥x+1知識點四：無理不等式【內(nèi)容概述】前面我們已經(jīng)研究了一元一次不等式、一元二次不等式和一元高次不等式，它們稱為整式不等式，再加上分式不等式，統(tǒng)稱為有理不等式，下面，我們將繼續(xù)學習一下無理不等式的解法。無理不等式一般是指在根號下含有未知數(shù)的不等式，今天我們主要研究在二次根號下含有未知數(shù)的簡單的無理不等式的解法?！镜湫屠}】通過這個題型我們可以發(fā)現(xiàn)：在解無理不等式的時候，關鍵是找出與其同解的有理不等式組，而解有理不等式組（如：一元一次不等式組、一元二次不等式組和一元高次不等式組等等）都是我們比較拿手的。簡言之：“解無理不等式”要轉(zhuǎn)化為“解有理不等式”。即：無理不等式的有理化解法。例5.解不等式變式：解不等式⑴1-x-3x-2≤0例6.解不等式>x-1變式：解不等式>1+2x例7.解不等式<1+2x變式：<x+1（4綜合問題例8.解不等式：2x+1>x+1-1變式：9-x2+·6x-x2>3知識點五、四個結論選講）【內(nèi)容概述】（1）f(x)≥a恒成立f(x)min≥a2）f(x)≤a恒成立f(x)max≤a；（3）f(x)≥a有解f(x)max≥a4）f(x)≤a有解f(x)min≤a；【典型例題】例9（1）求使得不等式有實數(shù)解的a的取值范圍：（2）對于恒成立，求實數(shù)a的取值范圍：課堂練習11.解下列不等式：（1）(x24)(x6)2≤0；2.解下列不等式：3.解下列不等式：課后練習21.解下列不等式（3）>x-129x-1)2>0；2、若關于x的不等式x2-ax-6a≤0有解，且對任意的解x1,x2恒有|x1-x2|≤5，試求實數(shù)a的取值范圍；第5講集合的基本概念1、理解并掌握集合的含義與表示教學目標2、理解并掌握集合間的基本關系1、集合元素的三種特性（確定性、互異性、無序性）重點、難點2、元素與集合之間的關系、集合的表示方法、子集與真子集考點及考試要求1、集合元素的三種特性（確定性、互異性、無序性）2、元素與集合之間的關系、集合的表示方法、子集與真子集知識框架1、集合的概念2、元素與集合的關系及常用數(shù)集記法3、集合的表示方法4、集合的分類5、集合間的基本關系（子集，真子集）知識點一、集合的概念【內(nèi)容概述】一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構成一個集合.集合中的每一個對象稱為該集合的元素，簡稱“元”【典型例題】例1.考查下列每組對象能否構成一個集合：（1）著名的數(shù)學家2）某校2010年在校的所有高個子同學；（3）不超過20的非負數(shù)4）方程x2－9＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解；（5）直角坐標平面內(nèi)第一象限的一些點6）-\3的近似值的全體.變式1:下面有三個命題：其中正確的命題有個.（1）自然數(shù)中最小的數(shù)是零（2）0是自然數(shù)（3）{1,2,3}是不大于3的自然數(shù)組成的集合；【概括】：集合中元素的特性確定性：它的元素必須是確定的?；ギ愋裕和患现胁粦貜统霈F(xiàn)同一元素.一個給定集合中的元素是指屬于這個集合的互不相同的對象。無序性：對于給定的集合，其中的元素是不考慮順序的例2.下列各組對象：其中能構成集合的組數(shù)是() 4平面上到點O的距離等于1的點的全體○5正三角形的全體A.2B.3C.4D.5變式2：下列各種對象，可以構成集合的有個3某書中的難題A.1B.2C.3D.4知識點二、元素與集合的關系及常用數(shù)集記法【內(nèi)容概述】1．集合通常用表示，用表示集合中的元素.2．如果a是集合A的元素，就說a集合A，記作A，讀作“”；如果a不是集合A的元素，就說aA，記作A，讀作“”.3。數(shù)學中一些常用的數(shù)集及其記法：實數(shù)集：有理數(shù)集：整數(shù)集：非負整數(shù)集：正整數(shù)集或【典型例題】 1_____N,-3_____N,0_____N,2_____N,變式3：下面命題：正確的個數(shù)是個。集合N中最小的數(shù)是1○2若-a不屬于N，則a屬于N知識點三、集合的表示方法【內(nèi)容概述】1、自然語言：通過日常語言來描述集合問題中被研究的對象，如全體實數(shù)組成的集合、正整數(shù)集等。2、列舉法：把集合的元素一一列出來寫在大括號的方法。如{1，-2}說明：(1)書寫時，元素與元素之間用逗號分開；(2)一般不必考慮元素之間的順序；(3)在表示數(shù)列之類的特殊集合時,通常仍按慣用的次序；(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能時，可以列出該集合的一部分元素,以提供某種規(guī)律,其余元素以省略號代替【典型例題—1】列舉法：例4.用列舉法表示下列集合：（1）小于5的正奇數(shù)組成的集合（2）能被3整除而且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合（3）從51到100的所有整數(shù)的集合4）小于10的所有自然數(shù)組成的集合；（5）方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合6）由1-20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合?！緝?nèi)容概述】我們不能用列舉法表示不等式x-7<3的解集，因為這個集合中的元素是列舉不完的，但是，我們可以用這個集合中元素所具有的共同特征來描述：描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共屬性描述出來,寫在大括號里的方法)。表示形式：A={x∈Ip(x)}，其中豎線前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共屬性；A={x∈Ip(x)}表示集合A是由所有具有性質(zhì)P的那些元素x組成的，即若x具有性說明:(1)有些集合的代表元素需用兩個或兩個以上字母表示；(2)應防止集合表示中的一些錯誤。如：把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},用{實數(shù)集}或{全體實數(shù)}表示R?！镜湫屠}—2】描述法：例5．用描述法表示下列集合：（1）由適合x2-x-2>0的所有解組成的集合2）拋物線y=x2上的點；（3）拋物線y=x2上點的橫坐標；(4)拋物線y=x2上點的縱坐標；變式1：試分別用列舉法和描述法表示下列集合：（1）方程x2—2=0的所有實數(shù)根組成的集2）由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合。知識點四、集合的分類【內(nèi)容概述】[有限集:含有有限個元素的集合集合的分類{無限集:含有無限個元素的集合l空集:不含有任何元素的集合⑦(empty-set)【典型例題】例6.觀察下列三個集合的元素個數(shù)2+1=0}課堂練習填空題1．由下列對象組成的集體屬于集合的是(填序號).①不超過π的正整數(shù)；②高一數(shù)學課本中所有的難題；③中國的大城市；④平方后等于自身的數(shù)；⑤某校高一(2)班中考試成績在500分以上的學生.2．下列四個說法中正確的個數(shù)是.①集合N中最小數(shù)為1；②若a∈N，則－a∈N；③若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2；④所有小的正數(shù)組成一個集合.(1)－3______N；(2)3.14______Q；(3)______Z；4．集合A＝{1,2,3,5}，當x∈A時，若x－1∈A，x＋1∈A，則稱x為A的一個“孤立元素”，則A中孤立元素的個數(shù)為.5．已知x、y、z為非零實數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是M，則M中元素的個數(shù)為.6．方程x2－2x＋1＝0的解集中含有個元素.7．已知集合S的三個元素a、b、c是△ABC的三邊長，那么△ABC(填“能”或“不能”)為等腰三角形.8．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.知識點五、集合間的基本關系【典型例題—1】子集的概念：例1.觀察下列幾組集合，有什么共同的地方（1）A={1，2，3}B={1，2，3，4，5}（2）A={3，5，7}B={3，5，7}我們可以發(fā)現(xiàn)A中的任何一個元素在B中都能找到。那么這樣的兩個集合是什么樣的關系呢？【概括】對于集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合是包含關系，集合A為集合B的子集。記作AB(或B彐A)讀作A含于B例3.寫出集合｛a，b｝的所有子集，例4.說出下列每對集合之間的關系.（1）A1，2，3，4B3，42）Px｜x2＝1Q-1，13）N，N*.}，且AB，則實數(shù)a的范圍是()2-3x+2=0},B={x【典型例題—2】韋恩圖：【內(nèi)容概述】用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖叫做韋恩圖。想，都是問題例6.求下列集合之間的關系，并用Venn圖表示.Ax｜x是平行四邊形Bx｜x是菱形Cx｜x是矩形Dx｜x是正方形｝.【典型例題—3】集合相等：設集合A={x|x2-1=0}，B={-1,1}，那么這兩個集合會有什么關系呢？【概括】集合A與集合B中的元素完全相同，只是表示方法不同，我們就說集合A與集合B相等，即：A=B判斷集合A={xx例8.判斷集合A與B是否相等？(1)A={0}，B=⑦;(2)A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x|x=2m+1,m∈Z}；變式：已知三元集合A=｛x,xy,x-yB=｛0,x|,y且A=B,求x與y的值.【典型例題—4】真子集：【內(nèi)容概述】如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一個元素不屬于集合B，那么把集合B[不包含本身的子集叫做真子集]對于集合A、B、C，如果AüB，BüC，則AüC.例9.選用適當?shù)姆枴啊被颉啊碧羁眨豪?0.設集合M={0,1,2},試寫出M的所有子集，和真子集想，都是問題xax-1=0}若BA,求a的值所組成的集合M.【典型例題—5】空集【內(nèi)容概述】1、我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作⑦2、空集是任何集合的子集。3、空集是任何非空集合的真子集例11.求方程x2+1=0的實數(shù)根變式：下列四個集合中，表示空集的是()2=-x2,x2課后練習1.已知集合A=｛a,b,cB={x|x∈A},則集合B的真子集個數(shù)最多是()A.5個B.6個C.7個D.8個2.設集合M｛1,2,3,4,5且a∈M時，6-a∈M,則集合M=.3.寫出滿足條件｛0，1｝M｛0，1,2,3}的集合M4.集合{3，x，x2－2x}中，x應滿足的條件是.5.集合中的元素有.6．用符號∈或∈填空： ①1N，0N3Q，0.5Z，2R.②1R，·i5Q3|N+,|-·i3｜Z.2______7．若集合A＝{x｜x2＋(a－1)x＋b＝0}中，僅有一個元素a，則ab=.8.已知集合A={x|x<-1或x>2},B={x|4x+p<0},當BA時，求實數(shù)p的取值范圍.求實數(shù)a的取值范圍10．實數(shù)集A滿足條件：1∈A，若a∈A，則(1)若2∈A，求A；(2)集合A能否為單元素集？若能，求出A；若不能，說明理由；a11選做）已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中a為常數(shù)，且a∈R①若A是空集，求a的范圍；②若A中只有一個元素，求a的值；③若A中至多只有一個元素，求a的范圍.第6講集合的基本運算教學目標重點、難點考點及考試要求1理解兩個集合的并集、交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集2理解在給定集合中的一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集3能夠使用韋恩圖表示集合的關系與運算，并能夠解決一些簡單的實際集合的并集、交集、補集運算的應用熟練掌握集合的并、交、補運算知識框架集合的并集、交集、補集知識點一、并集【內(nèi)容概述】1、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，叫做集合A與集合B2、并集運算必須掌握的幾條性質(zhì)1并集滿足交換律，符號語言表達式為：AUB=BUA；2任何集合同自身的并集等于集合自身，符號語言表達式為：AUA=A；3任何集合同空集的并集等于集合本身，符號語言表達式為：AU⑦=A；ABAUB=B；5任何集合都是該集合與另一集合并集的子集，符號語言表達式為：A(AUB),B(AUB).【典型例題】2若AUB=A，求實數(shù)a的取值范圍.變式1：若集合A，則AUB=.知識點二、交集【內(nèi)容概述】1、交集的定義：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，叫做A與B的交集.2、交集的運算必須掌握的幾條性質(zhì)：（1）A∩B=B∩A2）A∩BA,A∩BB；【典型例題】2變式2：已知集合A={0,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}分別符合下列條件的a的值.例4.設集合M={-1,0,1},N={x|x2≤x}，則M∩N=.變式1：圖中陰影部分用集合表示為.想，都是問題知識點三、補集【內(nèi)容概述】1.全集：在研究集合與集合之間的關系時，有時這些集合都是某一個給定集合的子集，這個給定集合可以看成一個全集，用符號“U”表示，也就是說，全集含有我們所要研究的各個集合的全部元素.2.補集：如果集合A是全集U的一個子集，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，叫做集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集.3.對補集定義的理解要注意以下幾點：（1）補集是相對于全集而存在的，研究一個集合的補集之前一定要明確其所對應的全集.比如當研究數(shù)的運算性質(zhì)時，我們常常將實數(shù)集R當做全集.(2)補集既是集合之間的一種關系，同時也是集合之間的一種運算，當然也是一種