初中數(shù)學(xué)教學(xué)典型案例分析

杏林初中數(shù)學(xué)組韓懷斌2014年10月11S

我個人數(shù)學(xué)教學(xué)的體會，這四個方面是：

1.在多樣化學(xué)習(xí)活動中實(shí)現(xiàn)三維目標(biāo)的整合；2.課堂教學(xué)過

程中的預(yù)設(shè)和生成的動態(tài)調(diào)整；3.對數(shù)學(xué)習(xí)題課的思考；

2.首先，結(jié)合《勾股定理》一課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧诙?/p>

樣化學(xué)習(xí)活動中實(shí)現(xiàn)三維目標(biāo)的整合

案例1:《勾股定理》一課的課堂教學(xué)

第一個環(huán)節(jié)：探索勾股定理的教學(xué)

師（出示4幅圖形和表格）：觀察、計算各圖中正方形A、B、C

的面積，完成表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？

A的面積3的面積C的面積

圖1

圖2

圖3

圖4

生：從表中可以看出A、8兩個正方形的面積之和等于正方形C

的面積。并且，從圖中可以看出正方形4、8的邊就是直角三角形的

兩條直角邊，正方形C的邊就是直角三角形的斜邊，根據(jù)上面的結(jié)

果，可以得出結(jié)論：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平

方。

這里，教師設(shè)計問題情境，讓學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的密

切關(guān)聯(lián)，形成猜想，主動探索結(jié)論，訓(xùn)練了學(xué)生的歸納推理的能力，

數(shù)形結(jié)合的思想自然得到運(yùn)用和滲透，“面積法”也為后面定理的證

明做好了鋪墊，雙基教學(xué)寓于學(xué)習(xí)情境之中。

第二個環(huán)節(jié)：證明勾股定理的教學(xué)

教師給各小組奮發(fā)制作好的直角三角形和正方形紙片，先分組拼

圖探究，在交流、展示，讓學(xué)生在實(shí)踐探究活動中形成新的能力（試

圖發(fā)現(xiàn)拼圖和證明的規(guī)律：同一個圖形面積用不同的方法表示）。

學(xué)生展示略

通過小組探究、展示證明方法，讓學(xué)生把已有的面積計算知識與

要證明的代數(shù)式聯(lián)系起來，并試圖通過幾何意義的理解構(gòu)造圖形，讓

學(xué)生在探求證明方法的過程中深刻理解數(shù)學(xué)思想方法，提升創(chuàng)新思維

能力。

第三個環(huán)節(jié)：運(yùn)用勾股定理的教學(xué)

師（出示右圖）：右圖是由兩個正方形

組成的圖形，能否剪拼為一個面積不變的新

的正方形，若能，看誰剪的次數(shù)最少。

生（出示右圖）：可以剪拼成一個面積

不變的新的正方形，設(shè)原來的兩個正方形的

邊長分別是。、b,那么它們的面積和就是

a2+h2,由于面積不變，所以新正方形的面積

應(yīng)該是序+序，所以只要是能剪出兩個以h

為直角邊的直角三角形，把它們重新拼成一個

邊長為a2+b2的正方形就行了。

問題是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心就在于提高解決問題的能

力。教師在此設(shè)置問題不僅是檢驗(yàn)勾股定理的靈活運(yùn)用，更是對勾股

定理探究方法和證明思想（數(shù)形結(jié)合思想、面積割補(bǔ)的方法、轉(zhuǎn)化和

化歸思想）的綜合運(yùn)用，從而讓學(xué)生在解決問題中發(fā)展創(chuàng)新能力。

第四個環(huán)節(jié)：挖掘勾股定理文化價值

師：勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，見數(shù)與形

密切聯(lián)系起來。它在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)計算、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)推斷、數(shù)學(xué)

論證和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問題中都具有獨(dú)特的作用。勾股定

理最早記載于公元前十一世紀(jì)我國古代的《周髀算經(jīng)》，在我國古籍

《九章算術(shù)》中提出“出入相補(bǔ)”原理證明勾股定理。在西方勾股定

理又被成為“畢達(dá)哥拉斯定理”，是歐式幾何的核心定理之一，是平

面幾何的重要基礎(chǔ)，關(guān)于勾股定理的證明，吸引了古今中外眾多數(shù)學(xué)

家、物理學(xué)家、藝術(shù)家，甚至美國總統(tǒng)也投入到勾股定理的證明中來。

它的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用都蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)人文內(nèi)涵，希望同學(xué)們課

后查閱相關(guān)資料，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史和數(shù)學(xué)家的故事，感受數(shù)學(xué)的

價值和數(shù)學(xué)精神，欣賞數(shù)學(xué)的美。

新課程三維目標(biāo)（知識和技能、過程和方法、情感態(tài)度和價值觀）

從三個維度構(gòu)建起具有豐富內(nèi)涵的目標(biāo)體系，課程運(yùn)行中的每一個目

標(biāo)都可以與三個維度發(fā)生聯(lián)系，都應(yīng)該在這三個維度上獲得教育價

值。

2.課堂教學(xué)過程中的預(yù)設(shè)和生成的動態(tài)調(diào)整

案例2：年前，在魯教版七年級數(shù)學(xué)上冊《配套練習(xí)冊》第70

頁，遇到一道填空題：

例：設(shè)。、b.c分別表示三種質(zhì)量不同的物體，如圖所示，圖①、

圖②兩架天平處于平衡狀態(tài)。為了使第三架天平（圖③）也處于平衡

狀態(tài)，則“？”處應(yīng)放個物體根

b

圖①圖②

9*

圖③

通過調(diào)查，這個問題只有極少數(shù)學(xué)生填上了答案，還不知道是不

是真的會解，我需要講解一下。

我講解的設(shè)計思路是這樣的：

一.引導(dǎo)將圖①和圖②中的平衡狀態(tài)，用數(shù)學(xué)式子（符號語言——

數(shù)學(xué)語言）表示（現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化——數(shù)學(xué)建模）：

圖①：2a=c~\~b.圖②：a+b=c.

因此，2a=（a+A）~\~h.

可得：a=2h,c=3h.

所以，a~\~c=5b.

答案應(yīng)填5.

我自以為思維嚴(yán)密，有根有據(jù)。然而，在讓學(xué)生展示自己的想法

時，卻出乎我的意料。

學(xué)生1這樣思考的：

值■設(shè)b=l,a=2,c=3.所以，a+c=5,答案應(yīng)填5.

學(xué)生這是用特殊值法解決問題的，雖然特殊值法也是一種數(shù)學(xué)

方法，但是存在很大的不確定性，不能讓學(xué)生僅停留在這種淺顯的思

維表層上。面對這個教學(xué)推進(jìn)過程的教學(xué)“新起點(diǎn)”，我必須深化學(xué)

生的思維，但是，還不能打擊他的自信心，必須保護(hù)好學(xué)生的思維成

果。因此，我立刻放棄了準(zhǔn)備好的講解方案，以學(xué)生思維的結(jié)果為起

點(diǎn)，進(jìn)行調(diào)整。

我先對學(xué)生1的方法進(jìn)行積極地點(diǎn)評，肯定了這種思維方式在

探索問題中的積極作用，當(dāng)那幾個同樣做法的學(xué)生自信心溢于言表

時，我隨后提出這樣一個問題：

“你怎么想到假設(shè)6N,aAc??b、c是不是可以假設(shè)為

任意的三個數(shù)？”

有的學(xué)生不假思索，馬上回答：“可以是任意的三個數(shù)。”也有

的學(xué)生持否定意見，大多數(shù)將信將疑，全體學(xué)生被這個問題吊足了胃

口，我趁機(jī)點(diǎn)撥：

“驗(yàn)證一下吧?！?/p>

全班學(xué)生立刻開始思考，驗(yàn)證，大約有3分鐘的時間，學(xué)生們開

始回答這個問題：

?=2,4=3,c=4時不行，不能滿足圖①、圖②中的數(shù)量關(guān)系?！?/p>

7=2,a=4,c=6時可以。結(jié)果也該填5.”

?=3,a=6,c=9時可以，結(jié)果也一樣。”

7=4,a=8,c=12時可以，結(jié)果也一樣?！?/p>

“我發(fā)現(xiàn)，只要a是人的2倍，c是人的3倍就能滿足圖①、圖②

中的數(shù)量關(guān)系，結(jié)果就一定是5.”

這時，學(xué)生的思維已經(jīng)由特殊上升到一般了，也就是說在這個過

程中，學(xué)生的歸納推理得到了訓(xùn)練，對特殊值法也有了更深的體會，

用字母表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)而得到a^lb,c=3h.所以，a+c=5h.答

案應(yīng)填5.

我的目的還沒有達(dá)到，繼續(xù)拋出問題：

“我們列舉了好多數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了這個結(jié)論，你還能從圖①、圖②

中的數(shù)量關(guān)系本身，尋找更簡明的方法嗎？”學(xué)生又陷入深深地思考

中，當(dāng)我巡視各小組中出現(xiàn)了“圖①：2a=c+6.圖②：a+b=c.w時，

我知道，學(xué)生的思維快與嚴(yán)密的邏輯推理接軌了。

我們是不是都有這樣的感受，課堂教學(xué)設(shè)計兼具“現(xiàn)實(shí)性”與“可

能性”的特征，這意味著課堂教學(xué)設(shè)計方案與教學(xué)實(shí)施過程的展開之

間不是“建筑圖紙”和“施工過程”的關(guān)系，即課堂教學(xué)過程不是簡

單地執(zhí)行教學(xué)設(shè)計方案的過程。

在課堂教學(xué)展開之初，我們可能先選取一個起點(diǎn)切入教學(xué)過程，

但隨著教學(xué)的展開和師生之間、生生之間的多向互動，就會不斷形成

多個基于不同學(xué)生發(fā)展?fàn)顟B(tài)和教學(xué)推進(jìn)過程的教學(xué)“新起點(diǎn)”。因此

課堂教學(xué)設(shè)計的起點(diǎn)并不是唯一的，而是多元的；不是確定不變的，

而是預(yù)設(shè)中生成的；不是按預(yù)設(shè)展開僵硬不變的，而是在動態(tài)中調(diào)整

的。

3.一節(jié)數(shù)學(xué)習(xí)題課的思考

案例3：一位教師的習(xí)題課，內(nèi)容是“特殊四邊形”。

該教師設(shè)計了如下習(xí)題：

A

0

F

E

B

H

G

C

題1(例題)順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)、，所得的四邊形是怎

樣的四邊形？并證明你的結(jié)論。

題2如右圖所示，△ABC中，中線BE、CF

交于O,G、H分別是BO、C0的中點(diǎn)。

(1)求證：FG//EH;

(2)求證：OF=CH.

0

F

A

E

C

B

D

題3(拓展練習(xí))當(dāng)原四邊形具有什么條件時，其中點(diǎn)四邊形為

矩形、菱形、正方形？

題4(課外作業(yè))如右圖所示，

DE是△4861的中位線，Ab是邊

8c上的中線，DE、AF相交于點(diǎn)O.

(1)求證：Ab與DE互相平分；

(2)當(dāng)△ABC具有什么條件時，AF=DE0

(3)當(dāng)△ABC具有什么條件時，AF±DEO

F

G

E

H

D

c

B

A

教師先讓學(xué)生思考第一題（例題）。教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖、觀察后，

進(jìn)入證明教學(xué)。

師：如圖，由條件E、F、G、H

是各邊的中點(diǎn)，可聯(lián)想到三角形中位

線定理，所以連接BD,可得EH、

FG都平行且等于BD,所以EH平行

且等于FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形，下面，請同學(xué)們寫

出證明過程。

只經(jīng)過五六分鐘，證明過程的教學(xué)就“順利”完成了，學(xué)生也覺

得不難。但讓學(xué)生做題2,只有幾個學(xué)生會做。題3對學(xué)生的困難更

大，有的模仿例題，畫圖觀察，但卻得不到矩形等特殊的四邊形；有

的先畫矩形，但矩形的頂點(diǎn)卻不是原四邊形各邊的中點(diǎn)。

評課：本課習(xí)題的選擇設(shè)計比較好，涵蓋了三角形中位線定理及

特殊四邊形的性質(zhì)與判定等數(shù)學(xué)知識。運(yùn)用的主要方法有：（1）通

過畫圖（實(shí)驗(yàn)）、觀察、猜想、證明等活動，研究數(shù)學(xué)；（2）溝通

條件與結(jié)論的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，添加輔助線；（3）由于習(xí)題具備了

一定的開放性、解法的多樣性，因此思維也要具有一定的深廣度。

為什么學(xué)生仍然不會解題呢？學(xué)生基礎(chǔ)較差是一個原因，在教學(xué)

上有沒有原因？我個人感覺，主要存在這樣三個問題:

（1）學(xué)生思維沒有形成。教師只講怎么做，沒有講為什么這么

做。教師把證明思路都說了出來，沒有引導(dǎo)學(xué)生如何去分析，剝奪了

學(xué)生思維空間；

（2）缺少數(shù)學(xué)思想、方法的歸納，沒有揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。出現(xiàn)

講了這道題會做，換一道題不會做的狀況；

（3）題3是動態(tài)的條件開放題，相對于題1是逆向思維，思維

要求高，學(xué)生難把握，教師缺少必要的指導(dǎo)與點(diǎn)撥。

修正：根據(jù)上述分析，題1的教學(xué)設(shè)計可做如下改進(jìn)：

首先，對于開始例題證明的教學(xué)，提出“序列化”思考題：

（1）平行四邊形有哪些判定方法？

（2）本題能否直接證明EF〃FG,EH=FG?在不能直接證明的情

況下，通?？紤]間接證明，即借助第三條線段分別把EH和FG的位置

關(guān)系（平行）和數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來，分析一下，那條線段具有這樣的

作用？

（3）由E、F、G、H是各邊的中點(diǎn)，你能聯(lián)想到什么數(shù)學(xué)知識？

（4）圖中有沒有現(xiàn)成的三角形及其中位線？如何構(gòu)造？

設(shè)計意圖：上述問題（1）激活知識；問題（2）暗示輔助線添加

的必要性，滲透間接解決問題的思想方法；問題（3）、（4）引導(dǎo)學(xué)

生發(fā)現(xiàn)輔助線的具體做法。

其次，證明完成后，教師可引導(dǎo)歸納：

我們把四邊形ABCD稱為原四邊形，四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊

形，得到結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形;輔助線溝通

了條件與結(jié)論的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化。原四邊形的一條對角線溝通了中

點(diǎn)四邊形一組對邊的位置和數(shù)量關(guān)系。這種溝通來源于原四邊形的對

角線同時又是以中點(diǎn)四邊形的邊為中位線的兩個三角形的公共邊，由

此可感受到，起到這種溝通作用的往往是圖形中的公共元素，因此，

在證明中一定要關(guān)注這種公共元素。

然后，增設(shè)“過渡題”：原四邊形具備什么條件時，其中點(diǎn)四邊

形為矩形？教師可點(diǎn)撥思考：

怎樣的平