對數(shù)函數(shù)及對數(shù)型函數(shù)(講案)

【教學(xué)目標(biāo)】

本節(jié)內(nèi)容目標(biāo)層級是否掌握

★☆☆☆☆☆

對數(shù)函數(shù)的定義

★★☆☆☆☆

對數(shù)函數(shù)的定點

對數(shù)函數(shù)的圖像

★★★★☆☆

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

對數(shù)大小比較

★★★★☆☆

對數(shù)函數(shù)的奇偶性

一、對數(shù)函數(shù)的定義

【知識點】

1.定義：一般地，我們把形如y=log”x(q>0,且aH1)這種形式的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中X是自變

量，函數(shù)的定義域是(0,+8).注意：(1)對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別，

如：y=2叫2x不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).(2)對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：S>°,且

定義域：（。,+8）

值域:R

過定點（1,0）,即x=l時，y=0

在（0,+8）上增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

當(dāng)0<x<l時,y<0,當(dāng)0<x<l時,y>0,

當(dāng)X21時，y“當(dāng)X21時，y?0

【例題講解】

★☆☆例題1.下列函數(shù)表達(dá)式中，是對數(shù)函數(shù)有—O

①y=log,2;@y=log?x（aeR）;③y=log8X（x>0）；④y=lnx（x>0）;⑤y=log,（x+2）;

⑥y=21og4X;⑦y=log2（x+l）

答案：③④

解析：由對數(shù)定義即可

★☆☆練習(xí)1.判斷。

⑴函數(shù)y=log.,；是對數(shù)函數(shù).（）

⑵函數(shù)y=21og3x是對數(shù)函數(shù).（）

（3）函數(shù)y=log3（x+l）的定義域是（0,+8）.（）

答案：（l）x（2）x（3）x

解析：由對數(shù)定義即可

二、對數(shù)函數(shù)的定點

【例題講解】

★☆☆例題2.已知a>0,且aA1,函數(shù)y=log“(2x-3)+正的圖像恒過點Po若點P也在黑函數(shù)f(x)的

圖像上，則/(幻=.

1_

答案：y=N

解析：由對數(shù)定義可得函數(shù)過定點(2,、傷)

★☆☆練習(xí)1.函數(shù)y=log“(x-1)+1恒過定點,

答案：(2,1)

解析：當(dāng)x=2時可消掉a可得過定點(2,1)

三、對數(shù)(型)函數(shù)的圖像

【例題講解】

★★☆例題3.函數(shù)/(%)=2log4(l-x)的大致圖像是()

答案：C

解析：/(尤)=2log4(1-x)是一個復(fù)合函數(shù)，可以看成“=1-x,y=2log4u兩個函數(shù)的復(fù)合。先求定義域

M>0,EP1-X>0,%<1;再看單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足"同增異減"，所以單調(diào)遞減。

★★☆練習(xí)L函數(shù)y=1g|x-11的圖像是()

答案：A

解析：圖像關(guān)于x=1對稱，在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增。

★★☆練習(xí)2.若函數(shù)〃x)"T(a>0且a是定義域為R的增函數(shù)，則函數(shù)"x)=log.(x+l)的圖像是()

答案：D

解析：函數(shù)〃x)=10g,,(x+l)的圖像由函數(shù)/(X)=log“X的圖像左移一個單位得到；由函數(shù)

/(x)=「(“>0且”1)單調(diào)遞增得0<a<l,〃x)=log.(x+l)單調(diào)遞減，選D。

四、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

【例題講解】

例題4.已知/(幻是定義在R上的偶函數(shù),且/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則()

A./(0)>/(log,2)>/(-log23)

B./(log32)>/(0)>/(-log23)

C./(-log23)>/(log32)>/(0)

D./(-log23)>/(0)>/(log32)

答案：C

解析：log23>log,2=1,log32<log33=1,f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞

增，所以/(-log?3)>/(log32)>/(0)

★★☆練習(xí)1.設(shè)/(x)是定義域為A的偶函數(shù)，且在(0,一)單調(diào)遞減，則()

1_3_2

2

A./dog3-)>/(2)>/(2

1.2_3

B./(lo-)>/(23)>/(22)

g'l4

_3_21

23

c./(2)>/(2)>/(log3-)

-3N|

D./(25)>/(22)>/(log,-)

【答案】C

【解答】解："'(x)是定義域為R的偶函數(shù)，.?./(log，)=/(log,4),

32

5

vlog,4>log33=l,0<22<2<2°=1,

32

/.0<2<2^<log34

/(x)在(o,g)上單調(diào)遞減，

_3_2.

/(22)>/(23)>/(/叼)，

故選：C.

★★☆例題5.函數(shù)/(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是().

A.(-co,-2)B.(-co,-l)C.(l,+oo)D.(4,-KO)

答案：D

解析：由f-2x-8>0得：xe(-oo,-2)U(4,+(?)

令1=,則y=hv,當(dāng)xe(-oo,-2)時，/=￡-2x-8為減函數(shù)；

當(dāng)xe(4,用)時，/=x?-2x-8為增函數(shù)；y=hv為增函數(shù)，

故函數(shù)/(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,田),故選：D.

★★☆練習(xí)1.函數(shù)/(元)=log?(x2-4x-5)(a>1)的單調(diào)遞增區(qū)間是______.

答案：(5,+8)

解析：利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性"同增異減"；注意定義域

★★☆例題6.已知函數(shù)f(x)"3。-l)x+4。，x<1是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

Jog/,X>1

答案:總

解析：分段函數(shù)單調(diào)性要求每段區(qū)間上單調(diào)，分段處單調(diào)性不變。

★★☆練習(xí)1.已知函數(shù)/■(x)=["n(l+x)+x-，jNO，若f(_a\+f(a\<2f(\)則實數(shù)a的取值

-xln(l-x)+x,x<0

范圍是()

A.(-x>,-+

B.[-1,0]

C.[0,1]

D-[-M]

答案D

解析：函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，在[0,+8)上單調(diào)遞增，/(—a)+/(a)W2〃l)可以轉(zhuǎn)化為2/3)42/⑴,

即/⑷4/(1).

五、對數(shù)大小比較

【例題講解】

☆例題7.若。=log34,b=log76,c=log20.8，貝I」().

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

答案：A

解析：a=log4>1b=log6<1c=log0.8<0

3f7i2

☆練習(xí)1.若〃=0.3?,Z?=log20.3,c=log34，貝U().

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

答案：C

2

解析：a=0.3<1b=logo0.3<0c=log34>1

☆練習(xí)2.^a=log38,b=log050.2,c=log424,則().

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

答案：B

解析：log.,8<log,9=2,log050.2>log050.25=2,log424>log416=2,所以a最??；

log050.2=黑|=黑==黑=log?5=log,25>log,24,所以人最大。

lg0.5lg5-llg2

★★☆例題8.若a>b>l,Ovcvl,則()

A.ac<bcB.abc<ba1

C.alog〃c<blog.cD.log?c<log,,c

【答案】C

【解答】解：，0<c<1>

函數(shù)/(x)=x'在(0,+oo)上為增函數(shù)，故函>加,故A錯誤；

函數(shù)f(x)=x'T在(0,+oo)上為減函數(shù)，故故ba,<a，,B|Jabc>bae；故8錯誤;

lognc<0,且log〃c<0,k>g“6<l,即log2=bg“c.<],即iog“c>log〃c.故￡>錯誤；

log。alog?c

0<-logac<-log6c,tifl-b\oguc<-alog/(c,BPZ>logac>aloghc,BPa\og,hc<b\ogac,故C正確;

故選：C.

★★☆練習(xí)1.已知。力>0且,若log,/>l,貝！1()

A.(a—1)(。一1)<0B.(a—l)(a—。)<0C.僅一l)g—a)<0D.(Z?-l)(^-?)>0

答案D

解析：由log“b>1可得〃>a>1或者()<A<a<1

六、對數(shù)函數(shù)的奇偶性

【知識點】

1.定義：函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，函數(shù)為奇函數(shù)，滿足/(-x)=-/(x);函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，函數(shù)

為偶函數(shù)，滿足/(—%)=/(九)。

2.函數(shù)滿足奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點對稱。

【例題講解】

V-4-1

★★☆例題10.已知函數(shù)/(x)=ln——，判斷函數(shù)奇偶性。

x-i

答案：奇函數(shù)

解析：先求定義域，關(guān)于原點對稱；/(-x)=-/(x)。

2

★★☆練習(xí)1.函數(shù)/(X)=log(,(x+l)-log?|x|,判斷函數(shù)/(X)的奇偶性并證明。

答案：偶函數(shù)

解析：由偶函數(shù)定義可得

★★☆例題11.若函數(shù)/(x)=xln(x+而7)為偶函數(shù)，則。=

答案：1

解析：由偶函數(shù)定義可得

★★☆練習(xí)1.若函數(shù)/(力=噢“1+&+2片)為奇函數(shù)，則a=

2V2

答案：:一

2

解析：略；注意a在底數(shù)位置,需要大于0

★★☆例題12.已知函數(shù)/(x)=ln(，l+-3%)+1，貝！l/(lg2)+/(lg；)=

A.-1B.0C.1D.2

答案：D

解析：ln(Jl+9%2-3x)是奇函數(shù),lg2+lg1=0,利用奇函數(shù)性質(zhì)即可。

★★☆練習(xí)1.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,長。)上是減函數(shù)，則不等式

flog,>0的解集為_________.

I8)

加

答案：C)

解析：flog〕x〉0n/log〕,所以Ilog〕x|<g,解得;<x<2。

【課后練習(xí)】

【鞏固練習(xí)】

1.已知。=2。2,fr=log20.2,c=log020.3,則()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b

【答案】C

【解析】解：?.?2°2>2°=1,「.a>l,

,/log20.2<log21=0,,\b<0,

?/log021<log020.3<log020.2=1,0vlog。20.3<1,即0vcv1,

:.b<c<a,

故選：c.

2.已知x=204,y=lg^,z=(|)0-4,則下列結(jié)論正確的是()

A.x<y<zB.y<z<xC.z<y<xD.z<x<y

【答案】B

【解析】解：?.?2°4>2°=1,/g|</gl=0,0<(|)°-4<(|)°=1,

：.y<z<x?

故選：B.

3.已知a=log23,b=(logo40.2嚴(yán)，，貝!，人，(?的大小關(guān)系正確的是()

加3

A.a<c<bB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【解析】解：logo.40.2>log。*0.4=1,

(/臉/0.2嚴(yán)<(/%4().2)°=1,

X1=log,2<log,3<log,4=2,工=log、10>log，=2,

這3

：.b<a<c.

故選：C.

4.函數(shù)y=|/g(x+1)I的圖象是()

【答案】A

【解析】解：由于函數(shù)丫=々5+1)的圖象可由函數(shù)尸3的圖象左移一個單位而得到，函數(shù)尸儂的圖象

與X軸的交點是(1,0),

故函數(shù)y=/g(x+1)的圖象與X軸的交點是(0,0),即函數(shù)y=|/g(x+1)|的圖象與X軸的公共點是(0,0),

考察四個選項中的圖象只有A選項符合題意

故選：A.

5.若函數(shù)/(幻=108“工(4>0且4/1)的定義域與值域都是［〃7,"］(〃?<〃)，貝?。荨钡娜≈捣秶?)

A.(l,4-oo)B.(e,+oo)C.(l,e)D.(l,e‘)

【答案】D

【解析】解：???/(x)=log“x的定義域與值域相同，

等價于方程/(x)=10gtiX=K有兩個不同的實數(shù)解.

因為/(x)=log“x=x,

bvc

—=xI

Ina

.??/〃”=媽有2個不同解，

X

問題等價于直線y=Ina與函數(shù)y=—的圖象有兩個交點.

作函數(shù)丫=絲的圖象，如圖所示.

X

根據(jù)圖象可知，當(dāng)0<勿。<L時，即1<4<e：時，直線y=/〃〃與函數(shù)V=—的圖象有兩個交點.

ex

1

貼一）

e

故選：D.

6.函數(shù)y=log.(x+l)(a>0且awl)過定點()

A.(1,0)B.(0,2)C.(0,0)D.(0,1)

【答案】

【解析】解：因為又微函數(shù)經(jīng)過(1,0),而函數(shù)丫=1。8.(*+1)(4>0且。*0)是由對數(shù)函數(shù)向左平移1個單位

得至!1,所以圖象經(jīng)過(0,0)；

故選：C.

7.若函數(shù)f(x)=log?x(a>0,a")在區(qū)間［2,4］上的最小值為2,則實數(shù)a的值為()

歷

A.—B.V2C.2D.夜或2

2

【答案】B

【解析】解:,函數(shù)/(乃=108“工3>0,”1)在區(qū)間［2,4］上的最小值為2,

若a>l,則/（x）在區(qū)間［2,4］上為增函數(shù)，故有l(wèi)og“2=2，求得。=夜；

若0<”1,則/（X）在區(qū)間［2,4］上為減函數(shù)，故有l(wèi)og“4=2,求得a=2（舍去）,

綜上可得，實數(shù),

故選：B.

8.若。<x<y<1,則下列不等式成立的是（）

A.（；），<§）''B./<。

C.log'x<logiyD.logv3<log,?

22

【答案】

【解析】解：若0<x<y<l,

由于函數(shù)y=g）,是減函數(shù)，故有（；）*>（：）',故排除4；

由于函數(shù)丫=￡；為減函數(shù)，,故排除8；

由于函數(shù)y=log,x為（0,+oo）上的減函數(shù),故有l(wèi)og,x>log,y,故C錯誤；

222

由于log,3<0,logxy>0,故有l(wèi)og,3<0logty,故于正確,

故選：D.

9.函數(shù)y=log“，-or+2）在區(qū)間（-8,1］上是減函數(shù)，貝11。的取值范圍是（）

A.（0,1）B.［2,+00）C.［2,3）D.（1,3）

【答案】c

【解析】解：若Ovavl,則函數(shù).V=log“，-奴+2）在區(qū)間（-<?,1］上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意；

若a>1,則f=丁-or+2在區(qū)間（HO,1］上為減函數(shù)，且，>0

￡1

"2,2,,a<3

1一〃+2>0

即。的取值范圍是［2,3）

故選：C.

10.函數(shù)/(x)=|log3x|在區(qū)間［a,b］上的值域為［0,1］,則〃-。的最小值為()

1?

A.-B.-C.1D.2

33

【答案】B

【解析】解:函數(shù)/(X)=|log3X|在區(qū)間，切上的值域為［0,1］,

9：X=\時，/(%)=0,?.?x=3或g時，/(x)=l,

1_.19

故lw［a,b］,3和-至少有一個在區(qū)間［a,句上，.?./?-a的最小值為1--=-,

333

故選：B.

11.已知函數(shù)/(X)=log?X,若|/(x)|..l,則實數(shù)X的取值范圍是()

(0,ju12，+8)D.(-00,1](J[2,+00)

A.(-00,gjB.[2,+oo)C.

【答案】C

【解析】解：,.■函數(shù)/(x)=log2X,

.J/(x)|..l,即：llog^xl.」，

.?.1082乂4或1里2%，-1

0<X，或x..2

2

故選：C.

【拔高練習(xí)】

12里

14

1.已知。=log]213/?=(—)；c=log1314，貝!J。，,。的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

【答案】D

【解析】解：/%14-/%13=/明14-廠二=絲畔俱

題12*12

???<(/附3】4；/哂121=(我竺y<1,

12-1?

14(,

logL,14<logl213，且log”14>l,(―)<(—)=1,

：.a>c>b.

故選：D.

2.設(shè)“46=陪0,實數(shù)c滿足，(其中e為自然常數(shù))，則()

22

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【解析】解:???el>0,s.lnc>0,

c>1fe'v—/

e

1I1

lnc<—=lnee<Ine2<ln2,

e

/.l<c<2,

33

XIn-<\,log？e>logj(-)2=2,

2252

：.b>c>a.

故選：B.

3.已知函數(shù)/(x)=ln(]x[+1)+-Jx2+],則使得.f(x)>/(2x-l)的.V的取值范圍是()

A.(q,l)B.(—oo,—)|^J(l,+℃)

c.(l,+oo)D.(-00,1)

【答案】A

【解析】解:?函數(shù)/。)="(口|+1)+4177為定義域/?上的偶函數(shù)，

且在X..0時，函數(shù)單調(diào)遞增，

.-?/?>/(2x-1)等價為/(|x|)>/(|2x-l|),

兩邊平方得f>(2x-l)2,

即3/一4%+1<0,

解得:<X<1；

3

，使得/(x)>f(2x-l)的x的取值范圍是(；,1).

故選：A.

4.已知函數(shù)/。)=陛“，-2辦)在［4,5］上為增函數(shù)，貝!I”的取值范圍是()

A.(1,4)B.(1,4］C.(1,2)D.(1,2］

【答案】C

【解析】解：由題意可得g(x)=x2-2or的對稱軸為x=a

①當(dāng)時，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，g(x)在［4,5］單調(diào)遞增，且g(x)>0在［4,5］恒成立

a>\

貝(］卜(4)=16-8〃>0

4,4

:.\<a<2

②0<a<l時,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,g(x)在［4,5］單調(diào)遞增,且g(x)>0在［4,5］恒成立

0<a<l

則45此時。不存在

g⑸=25-10“>0

綜上可得，1<a<2

故選：C.

log；">,x<0

5.設(shè)函數(shù)/(x)=2，若/(a)>/(-a),貝［|a的范圍為()

logj,x>0

A.(-1,0)5。,1)B.(-1,0)51,+8)

C.(—30,—1)(1,+oo)D.(―co,—1)(0,1)

【答案】B

【解析】解:①當(dāng)a>0