數(shù)學建模優(yōu)秀論文-易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計方案易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計方案摘要：本文討論的是在體積一定的情況下，滿足成本最低即用料最省的易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計方案。 問題一，我們對十種常見飲料的易拉罐的罐體直徑、圓臺直徑、罐體高度等八項指標進行了實際測量，得到了比較精確的數(shù)據(jù)。 問題二，將易拉罐分為各處壁厚相同、壁厚不同以及兼顧不同壁厚與焊接長度三種情形；分別建立了以易拉罐表面積、材料體積以及材料體積和焊縫長度為目標函數(shù)，容積一定為約束條件的非線性規(guī)劃模型。通過理論推導拉格朗日乘數(shù)法求得與關系的解析解分別為、、，并用實測數(shù)據(jù)進行驗證，實測數(shù)據(jù)與理論結果吻合效果較好。 問題三，類似于問題二，我們也分上述三種情形分別建立非線性規(guī)劃模型，再用拉格朗日乘數(shù)法求得解析解之后，用Matlab6.5編程求得結果，并用配對樣本檢驗，說明實測數(shù)據(jù)與理論結果基本相符。 問題四，在問題三的基礎上，我們引入黃金分割點，綜合考慮壓強、環(huán)保，同時兼顧材料最省，設計了一種兼顧各種優(yōu)點的新型易拉罐，各項指標見正文表6。 問題五，根據(jù)數(shù)學建模的經(jīng)歷闡述了數(shù)學建模的含義、關鍵之處和難點。 本文對易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計綜合考慮了多方面的影響因素，并巧妙應用拉格朗日乘數(shù)法求出了最優(yōu)解析解，具有較強的實用性和推廣性。關鍵詞：非線性規(guī)劃、拉格朗日乘數(shù)法、配對樣本檢驗一、問題重述我們只要稍加留意就會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料的飲料罐的形狀和尺寸幾乎相同。看來，這并非偶然，而應該是某種意義下的最優(yōu)設計。當然，對于單個的易拉罐來說，這種最優(yōu)設計可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。1.取一個飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；解答以下各問。2.設易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明所測量的易拉罐的形狀和尺寸。3.設易拉罐的中心縱斷面的上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。4.利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計。5.用你們做本題以及以前學習和實踐數(shù)學建模的親身體驗，寫一篇短文闡述什么是數(shù)學建模及其關鍵步驟以及難點。二、模型假設1．各種易拉罐的上面的拉環(huán)生產(chǎn)成本固定，不受易拉罐形狀和尺寸的影響；2．易拉罐的容積是一定的；3.易拉罐所有材料的密度都相同，材料的價格與其體積成正比；4．易拉罐圓臺部分頂蓋到側面間的坡度為0.3[1]。三、符號說明

：規(guī)劃的目標函數(shù)；：易拉罐的表面積；：易拉罐的體積；：正圓柱體形易拉罐底面的半徑；：圓臺上表面的半徑；：圓臺下表面的半徑；：易拉罐側面的高度；：易拉罐上頂?shù)暮穸?；：易拉罐圓臺部的厚度；：易拉罐側面的厚度；：易拉罐底面的厚度；：圓臺的母線長度；：易拉罐焊縫的長度；：易拉罐所材料量；：為各部分的系數(shù)；：為各部分的系數(shù)；：為各部分的系數(shù)；：易拉罐的各種壓強；：易拉罐底的弧面面積；：易拉罐底的搭接角；：圓臺的高；：易拉罐的美觀度；：易拉罐底面的圓弧角

四、模型分析問題一：可以借助物理儀器，如游標卡尺、螺旋測微儀測量易拉罐的高度、直徑、頂面、底面、圓臺側面、圓柱側面的厚度問題二：對于一個體積給定的正圓柱體，最優(yōu)設計應該考慮材料最省，可以分為易拉罐各點罐壁厚度相同和各點罐壁厚度不同這兩種情況。因此，最優(yōu)設計可以通過建立以用料最省、焊縫最短為目標函數(shù)，以體積一定為約束條件的規(guī)劃模型予以解決。具體地可以按以下步驟求解其最優(yōu)設計：首先，考慮最簡單的情況：易拉罐各點罐壁厚度相同。將表面積的大小作為目標函數(shù)，建立非線性規(guī)劃模型一，求解該正圓柱體的表面積最小時所對應的尺寸（半徑和高的比值）；然后，考慮易拉罐各點罐壁厚度不同。以用料最少作為目標函數(shù)，建立模型二，通過拉格朗日乘數(shù)法求解易拉罐的最優(yōu)尺寸；再進一步考慮易拉罐焊縫增加的工作量。我們將焊縫的長短也作為目標函數(shù)之一，在模型二的基礎上建立模型三，同樣通過拉格朗日乘數(shù)法求解最優(yōu)尺寸；最后，為了驗證模型求解的結果是否準確，我們考慮把問題一所得的數(shù)據(jù)代入進行檢驗，看理論值與實際值是否吻合，把它作為衡量模型求解結果好壞以及實際值是否合理的標準。問題三：易拉罐的縱斷面上部是圓臺，下部是正圓柱體，對于這一設計，同樣按照問題二的分析方法，逐步求解易拉罐的最優(yōu)尺寸，依次建立模型四、五、六，同樣通過拉格朗日乘數(shù)法求解。為驗證求解結果是否正確，把實際數(shù)據(jù)代入模型進行檢驗。問題四：日常生活中，面對同樣的飲料，消費者更青睞于美觀大方、安全方便的產(chǎn)品。因此，在滿足用料最省的前提下，我們引入黃金分割和壓強，在兼顧二者的前提下建立優(yōu)化模型。具體地，我們可以從以下幾個方面來考慮：（一）增加美觀度，引入黃金分割點來判斷，使得易拉罐的外形達到最優(yōu)。（二）考慮壓強變化所引起的底面弧度變化，一方面使得用料最省，另一方面對于不同種類飲料，作出不同類的易拉罐設計。（三）考慮改變易拉罐的材料，例如可以使用紙質材料，使得更環(huán)保，更安全。最終作出新型易拉罐的設計圖。問題五：根據(jù)學習和實踐數(shù)學建模的親身體驗，寫一篇短文闡述建模的含義，以及它的關鍵步驟和難點。五、模型建立1.問題二：正圓柱形易拉罐尺寸的最優(yōu)設計模型（1）易拉罐各點罐壁厚度相同的情形圖1各點罐壁厚度相同的圓柱形易拉罐由圖1可知：易拉罐的容積為.易拉罐的表面積為因此，建立以表面積最小為目標函數(shù)，以體積一定作為約束條件的非線性規(guī)劃模型，即模型一：（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形易拉罐上、下底面，側面的厚度不同，導致用料量也不相同。根據(jù)材料的用量與其體積成正比，那么在容積一定時，所用材料的體積最小時的尺寸即易拉罐的最優(yōu)尺寸。圖2有不同罐壁厚度的圓柱形易拉罐如圖2所示，做一個易拉罐所需要的材料為：應使取得最小值。由此可得，模型二：（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考慮焊縫長度[4]的情形在模型二的基礎上，考慮工作量（焊縫長度）的不同工作量有影響，因此，綜合考慮這兩方面因素，使得易拉罐的材料用量最省的同時，焊縫長度也盡量取到最小。根據(jù)模型分析，可得焊縫長度：將焊縫的長度為時的工作量轉化為同等的材料體積，從而可以將二者直接相加。由此可以得到模型三：此模型即為求解問題二的完善模型。2.問題三：圓柱體加圓臺形易拉罐尺寸的最優(yōu)設計模型（1）易拉罐各點罐壁厚度相同的情形此時，以易拉罐表面積的大小來衡量尺寸的優(yōu)劣。圖3各點罐壁厚度相同的含圓臺易拉罐由圖3，得圓臺的上面、側面的面積為圓柱側面的面積為圓柱底面的面積為此時易拉罐的表面積為：由于圓臺的斜率為一定值0.3[1]，因此得到模型四:（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形圖4有不同罐壁厚度易拉罐的圓臺如圖4所示，易拉罐所需材料量為：由此可得模型五:（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考慮焊縫長度的情形綜合考慮兩方面因素，使得易拉罐用料最少時，焊縫長度也盡量取到最小。焊縫長度：由此可得模型六：模型六為求解問題三的完善模型。3．問題四：自己設計的易拉罐最優(yōu)形狀和尺寸模型考慮美觀度的情形在模型六的基礎上引入美觀度來描述易拉罐的外形是否美觀，考慮易拉罐的直徑和高度之比趨向于黃金分割點，即：，取得最小值時即為最優(yōu)解。由此可得模型七：（2）考慮壓強引起的底面弧度變化的情形目前市售的易拉罐不是正圓柱體，也不僅僅將頂部變?yōu)閳A臺，而是上拱的底面,頂蓋實際上也不是平面的,略有上拱,這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接粘合很牢固、耐壓.所有這些都是物理、力學、工程或材料方面的要求,我們只做簡單討論。對于上拱的底面，是為了耐壓，從物理角度分析曲面下的壓強，若液體表面為曲面，則表面張力有拉平液面的趨勢，從而對液體產(chǎn)生附加壓強。附加壓強的方向由表面張力的方向確定，大小可以用液面內外的壓強差來表示[3]。圖5易拉罐的底面示意圖對于下表面而言，受到的壓力包括三部分：第一部分是通過小液塊的邊線，作用在液塊上的向上的表面張力；第二部分力是液體內氣體產(chǎn)生產(chǎn)生的作用于液塊底面向下的壓力；第三部分是液體本身向下的重力。設球形液面半徑為，單位長度液體表面的張力為（大小即為液體的表面張力系數(shù)），則小液塊邊線所具有的總張力向下分量為：用表示液體內外的壓強差，則小液塊所受的向上的張力為：這兩部分力方向相反，在平衡時大小相等，所以液體重力作用產(chǎn)生的壓強；易拉罐內部氣體壓強為一定值。因此，易拉罐下表面所受到的壓強為與此同時，底部的上拱必然會引起所用材料的增多圖6易拉罐的底面積示意圖易拉罐的底面積為：此時所用材料量為：可得模型八：六、模型求解1.問題一的求解測量各種類易拉罐的高度、直徑、頂面、圓臺側面、圓柱側面、底面的厚度的數(shù)據(jù)表110種355ml易拉罐飲料的相關測量數(shù)據(jù) 罐體直徑cm 圓臺口直徑cm 罐體高度cm 整罐高度cm 頂蓋厚度cm 側面厚度cm 圓臺厚度cm 罐底厚度cm 可口可樂 6.616 4.552 10.116 12.164 0.0471 0.0109 0.0318 6.616 雪碧 6.62 4.562 10.088 12.192 0.0448 0.011 0.0332 6.62 天府百檸 6.66 4.574 10.102 12.182 0.0462 0.0113 0.0322 6.66 百事可樂 6.618 4.554 10.114 12.174 0.0466 0.0108 0.0326 6.618 七喜勁檸 6.614 4.548 10.112 12.172 0.0462 0.0102 0.0316 6.614 美年達 6.616 4.536 10.116 12.162 0.047 0.0108 0.032 6.616 醒目 6.646 4.55 10.114 12.166 0.0473 0.0107 0.0318 6.646 輕怡 6.628 4.552 10.118 12.166 0.0468 0.0104 0.032 6.628 菠蘿啤酒 6.62 4.548 10.108 12.158 0.0482 0.0113 0.0322 6.62 雪花啤酒 6.614 4.55 10.11 12.166 0.0475 0.0107 0.0324 6.614 表2GB／T9106―2001中規(guī)定的罐體主要尺寸單位：毫米[5]名稱 符號 公稱尺寸 極限偏差 250mL 275mL 300mL 335mL 500mL 罐體高度 H 90.93 98.95 115.2 122.22 167.84 ±0.38 罐體外徑 D1 66.04 縮頸內徑 D2 57.40 ±0.25 翻邊寬度 B 2.22 ±0.25 2.問題二的求解（1）易拉罐各點罐壁厚度相同的情形根據(jù)模型一可知：函數(shù)取最小值時，必定有，即，然后利用編程，可得圖7體積一定時隨變化的曲線即易拉罐的高度為半徑的二倍（等邊圓柱形）時，所需材料最少。（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形根據(jù)模型二，用拉格朗日乘數(shù)法求解。首先生成新的函數(shù)，然后分別對，，求偏導，并令其為0，解得：即圓柱體的高與半徑之比為6時為最優(yōu)尺寸。由（1）、（2）可知，根據(jù)問題一中測得的實際數(shù)據(jù)可以得到：表3檢驗數(shù)據(jù)表 罐體高度（cm） 罐體直徑cm 雪碧 10.116 6.616 1.529 可口可樂 10.088 6.62 1.524 天府百檸 10.102 6.66 1.517 百事可樂 10.114 6.618 1.528 七喜勁檸 10.112 6.614 1.529 美年達 10.116 6.616 1.529 醒目 10.114 6.646 1.522 輕怡 10.118 6.628 1.527 菠蘿啤酒 10.108 6.62 1.527 雪花啤酒 10.11 6.614 1.529 由表3可知：所有均在此范圍內，在1與3之間必有一個最優(yōu)值符合實際條件，從結果可以大致得出此最優(yōu)值應該在1.5附近。因此，實際值是合理的，而的比例關系式也符合實際情況。（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考慮焊縫長度的情形對模型三用拉格朗日乘數(shù)法按照（2）的求解步驟求解。解得：即，此時的，關系即為最優(yōu)設計尺寸。3．問題三的求解1易拉罐各點罐壁厚度相同的情形根據(jù)模型四，通過編程求解，得到要使得表面積最小，只有，即即圓柱體沒有頂部的圓臺，這顯然與已知不符，因此，我們考慮用易拉罐所用材料最少為目標函數(shù)來求解。（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形根據(jù)模型五，用拉格朗日乘數(shù)法求解步驟求解，首先求偏導數(shù)，然后令偏導數(shù)為0解最小值得到：解之可得：化簡可得：從而可求得，，，四者之間的關系：令，代入表1的數(shù)值，結果見表4表4與數(shù)據(jù)表（cm） cm 雪碧 2.276 3.308 0.0407 0.0413 可口可樂 2.281 3.31 0.0408 0.0403 天府百檸 2.287 3.33 0.0409 0.0414 百事可樂 2.277 3.309 0.0408 0.0412 七喜勁檸 2.274 3.307 0.0407 0.0419 美年達 2.268 3.308 0.0406 0.0411 醒目 2.275 3.307 0.0407 0.0414 輕怡 2.276 3.314 0.0407 0.0409 菠蘿啤酒 2.274 3.31 0.0407 0.041 雪花啤酒 2.275 3.323 0.0407 0.0403 對表4中、進行配對樣本檢驗[2]，結果如下：由結果可知，，結果的差異性不顯著，說明理論值與實際值相吻合。因此，即，，四者之間的關系滿足上述表達式時，易拉罐的尺寸最優(yōu)。易拉罐有不同罐壁厚度并考慮焊縫長度的情形對模型六同樣用拉格朗日乘數(shù)法得：此時解得：其余處理方法與（2）相同，同樣可得關系表達式是易拉罐的尺寸最優(yōu)的表達式：化簡可得：因此，當，，之間的關系滿足上述表達式時，易拉罐的尺寸最優(yōu)。4．問題四的求解（1）考慮美觀度的情形對模型七用拉格朗日乘數(shù)法得：即得到，，的關系式，此時著重考慮接近于0.618，使易拉罐具有最大的美感，可以求出易拉罐的最優(yōu)尺寸。（2）考慮壓強引起的底面弧度變化的情形模型八用拉格朗日乘數(shù)法理論上可算出給定壓強下的，，，，之間的關系式。根據(jù)模型解出新的搭接角度為45°，而罐底的搭接角度為77°~90°。事實上比較小的搭接角度能將來自罐內碳酸飲料的氣壓分流掉大部分。對軟飲料來說，罐內最大氣壓可達90磅/平方英寸，分流的氣壓，由罐底邊緣承擔，罐底邊緣是整個罐強度最大的部位，由5層金屬粘結而成。由于搭接角度小，所以生產(chǎn)超級底的圓合金片下料面積比原來減少7%。另外，由于這種結構強度高，因此底的厚度英寸，這又可以節(jié)省約3%的用料。鋁易拉罐和紙易拉罐比較表鋁易拉罐 紙易拉罐 投資生產(chǎn)線資金 1700萬 200萬 最小生產(chǎn)批量 2000萬 2萬 原材料 需進口 稻,麥草紙漿 能耗 高能耗,國家已禁止發(fā)展 工藝簡單,低能耗,環(huán)保 成本 約1元/只 約0.3~0.4元/只 外觀 外觀精美 外觀同樣精美 紙易拉罐由紙漿高壓壓鑄成形，造型美觀同鋁易拉罐，不污染環(huán)境，是國際推廣的最優(yōu)綠色包裝，它使用安全衛(wèi)生，生產(chǎn)工藝簡單，投資少，尤其是成本低的特點最突出，②考慮節(jié)約材料，則利用模型八，求出不同體積下易拉罐的最優(yōu)尺寸，具體數(shù)值如下表：表6各種體積下的最優(yōu)尺寸cm cm cm cm cm 180ml 1.755 2.84 2.68 4.34 0.3255 45° 250ml 1.96 3.17 2.99 4.845 0.363 45° 275ml 2.022 3.2725 3.09 5 0.3752 45° 300ml 2.08 3.37 3.18 5.15 0.387 45° 335ml 2.16 3.5 3.3 5.34 0.402 45° 345ml 2.18 3.53 3.34 5.4 0.405 45° 355ml 2.2 3.57 3.37 5.45 0.4 45° 500ml 2.47 4 3.78 6.11 0.459 45° 以上數(shù)據(jù)可作為實際設計的參考。5．問題五數(shù)學建模魅力無限在科學領域中,數(shù)學憑借其難以抗拒的魅力成為研究者交流中使用最廣泛的語言。我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁，無處不用數(shù)學。當今世界,電子技術研究成果在實際生產(chǎn)中的不斷普及,數(shù)學建模作為一條將數(shù)學與實際聯(lián)系起來的紐帶也隨之應運而生。流年似水,經(jīng)過一年的學習我們認識到：數(shù)學模型,就是用數(shù)學語言模擬現(xiàn)實,即把事物所在的系統(tǒng)的主要特征、主要關系，用數(shù)學語言概括地、近似地表達成一種數(shù)學框架，它是對客觀事物的空間形式和數(shù)量關系的反映或近似反映。而所謂的數(shù)學建模就是構造數(shù)學模型的過程,即用數(shù)學語言―公式、符號、圖表等刻畫和描述實際問題,再經(jīng)過一系列的數(shù)學處理得到定量或定性的結果,以供人們作分析、預報、決策和控制。實際生活中問題往往涉及眾多因素，其中的數(shù)學奧妙不是擺在那里等著去解決，而是蘊涵于暗處等著去分析。因此，首先應結合實際作出合理化的假設，簡化、提煉問題，然后用數(shù)學工具、方法建立數(shù)學模型，這是解決問題的關鍵，也是難點，而在數(shù)學，通常還要處理大量數(shù)據(jù)。計算機，解決實際問題開了廣闊的道路。就萬事大吉了數(shù)學模型能近似地實際問題，需要接受檢驗數(shù)學解答再正確也是。編程巧妙地求出函數(shù)的最優(yōu)解，并利用已測量的數(shù)據(jù)對模型結果進行配對樣本檢驗，從而驗證了實際值的合理性和模型的準確性。在此基礎上，我們又分析了底面對液體產(chǎn)生的附加壓強以及易拉罐材料的種類，進一步對模型進行優(yōu)化，并給出了不同體積易拉罐的最優(yōu)設計尺寸，可供易拉罐生產(chǎn)商參考。不足之處在于考慮的因素太多，使得求解模型時的計算復雜，耗費時間。2.模型的推廣本文所設計的易拉罐也可以應用于其它罐裝食物，還可以推廣到其他類似行業(yè)，例如：酒業(yè)中酒瓶的設計、日用品盛裝容器的設計、食品包裝的設計等等。參考文獻[1]可口可樂罐頭為什么是這種樣子forwindows統(tǒng)計分析教程（第2版），2001年10月[3]胡新珉，液體的表面現(xiàn)象，醫(yī)學物理學第六版，2004年[4]周文國，易拉罐的設計方案，中學數(shù)學教學，2002年第1期[5]中國國家行業(yè)標準GB/T9106-2001，包裝容器鋁易開蓋兩片罐附錄程序一clearclcsymsabcz4z5ntrlhdmz4*a*pi*r^2+b*pi*l*r+t+2*c*pi*t*h+d*pi*r^2+z5*2*pi*r-n*pi*t^2*h